文档内容
精选 2024.1~2 新高考新结构联考卷 29 套
解析版
目录
安徽省2024届“耀正优＋”高三名校期末测试数学试题 1
河北省金太阳联考2024届高三上学期摸底考试数学试题 15
江西省上饶市六校2024届高三第一次联合考试（2月）数学试卷 28
江西省九师联盟2024届高三上学期1月质量检测试数学试题 40
河南省金太阳联考2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题 54
辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三高考适应性考试模拟数学试题 63
河北省衡中同卷2023-2024学年高三1月考试数学试题 80
福建省名校联盟全国优质校2024届高三大联考数学试卷 95
浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题 107
2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题 124
湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试数学试卷 132
安徽省部分学校2023-2024学年高三下学期春季阶段性检测数学试题 141
甘肃省九师联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试题 153
广东省衡水金卷2024届高三年级2月份大联考数学试题 167
江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷 177
江西省上进联盟2023-2024学年高三下学期一轮总复习（开学考）验收考试数学试卷 192
重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题 202
湖南省名校教育联盟2024届高三下学期入学摸底考试数学试题 216
广东省、福建省、甘肃省2023-2024学年高三下学期开学考试金太阳联考数学试题 228
山东省齐鲁名校联盟2024届高三下学期开学质量检测数学试题 239
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学联考数学试题 253
湖南省、贵州省2023-2024学年高三下学期2月开学金太阳联考数学试题 260
河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评(V)数学试题 269
安徽省1号卷A10联盟2024届高三开年考数学试题 278
黑龙江省“六校联盟”2023-2024学年高三下学期联合性适应测试数学试题 290
安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试(2月)数学试题 305
浙江省新阵地教育联盟2024届高三下学期第三次联考(开学考试)数学试题 320
河北省百师联盟2024届高三下学期开学摸底联考数学试题 335
江西省名校教研联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试卷 343安徽省 2024 届“耀正优＋”高三名校期末测试
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合U=1,2,3,4,5 ,A=2,3 ,B=xx=2k,k∈Z ，则B∩∁ A= ( ) U
A. 4 B. 2,4 C. 1,2 D. 1,3,5
答案 A
【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.
解析 ∵U=1,2,3,4,5 ,A=2,3 ，
∴∁ A=1,4,5
U
，
又B=xx=2k,k∈Z
∴B∩∁ U A=4
故选：A．
1
2.复数i-
i
3
的虚部是 ( ) .
A.-8 B.-8i C.8 D.8i
答案 A
【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的概念可求得选项.
1
解析 因为i-
i
3 i2-1
=
i
3 -2
=
i
3 1
=-8i，所以复数i-
i
3
的虚部是-8，
故选：A.
【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题.
3.已知向量a=0,-2
，b=1,t
1
，若向量b在向量a上的投影向量为- a，则a⋅b= ( )
2
5 11
A.-2 B.- C.2 D.
2 2
答案 A
【分析】根据向量投影的概念运算求出t，再利用向量数量积运算求得结果.
解析 由题b在a上的投影向量为b
a
⋅cosθ×
a
a⋅b
=
a
a
=0,t 2 ，
1
又- a=0,1
2
，∴t=1，即b=1,1 ，
∴a⋅b=0×1+-2 ×1=-2.
故选：A.
π
4.在△ABC中，“C= ”是“sin2A+sin2B=1”的 ( )
2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
·1·【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公式，可得答案.
解析 在△ABC中，A+B+C=π，则B=π-C-A，
π π π
充分性：当C= 时，B= -A，sinB=sin -A
2 2 2
=cosA，
π
sin2A+sin2B=sin2A+cos2A=1，所以“C= ”是“sin2A+sin2B=1”的充分条件;
2
π π π π
必要性：当sin2A+sin2B=1时，取A= ，B= + =A+ ，
12 12 2 2
π π π π
此时满足sin2A+sin2B=sin2 +cos2 =1，但C= ≠ ，
12 12 3 2
π
所以“C= ”是“sin2A+sin2B=1”的不必要条件.
2
π
综上所述，“C= ”是“sin2A+sin2B=1”的充分不必要条件.
2
故选：A.
5.过点0,-2 与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则cosα= ( )
1 15 1 10
A. B. C.- D.
4 4 4 4
答案 A
【分析】圆的方程化为(x-2)2+y2=5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin∠BPC，由二倍角公式可
得cosα的值．
解析 圆x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5，则圆心C(2,0)，半径为r= 5；
设P(0,-2)，切线为PA、PB，则PC= 22+22=2 2，
BC 5
△PAC中，sin∠BPC= = ，所以cosα=1-2sin2∠BPC
PC 2 2
5
= 1-2×
2 2
2
1
= ．
4
故选：A．
6.A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为 ( )
A.24 B.120 C.48 D.60
答案 C
【分析】将AB捆绑在一起，计算得到答案.
解析 将AB捆绑在一起，共有A4×A2=48种排法.
4 2
故选：C.
1 7.若系列椭圆C :a x2+y2=1(00,b>0
a2 b2
，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲
线C左、右两支分别交于P，Q两点,与其两条渐近线分别交于R，S两点,则下列命题正确的是 ( )
A.存在直线l，使得AP∥OR
B.l在运动的过程中，始终有PR =SQ
C.若直线l的方程为y=kx+2，存在k，使得S 取到最大值
△ORB
2
D.若直线l的方程为y=- x-a
2
，RS=2SB，则双曲线C的离心率为 3
答案 BD
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线l：y=kx+t分别与
双曲线联立，渐近线联立，分别求出P,Q和
R,S坐标，从而可对B、C项判断；根据RS=2SB，求出b= 2a，从而可对D项判断.
解析 对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
y=kx+t
对于B项：设直线l:y=kx+t，与双曲线联立 x2 y2 ，得：b2-a2k2
- =1
a2 b2
x2-2a2ktx-a2t2+a2b2 =0，
设Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2
2a2kt a2b2+a2t2
，由根与系数关系得：x +x = ，x x =- ， 1 2 b2-a2k2 1 2 b2-a2k2
x +x y +y
所以线段PQ中点N 1 2, 1 2
2 2
a2kt a2k2t
= , +t
b2-a2k2 b2-a2k2
，
b at bt
将直线l：y=kx+t，与渐近线y= x联立得点S坐标为S ,
a b-ak b-ak
，
b -at bt
将直线l：y=kx+t与渐近线y=- x联立得点R坐标为R ,
a b+ak b+ak
a2kt a2k2t
所以线段RS中点M , +t
b2-a2k2 b2-a2k2
，
所以线段PQ与线段RS的中点重合，所以PR
PQ
=
-RS
=SQ
2
，故B项正确；
·4·-2a 2b
对于C项：由B项可得R , b+ak b+ak
1
，S △ORB = 2 OB ×y R
1
= OB 2
2b
b+ak ，因为OB 为定值，
b b 2b
当k越来越接近渐近线y=- x的斜率- 时，
a a b+ak
趋向于无穷，
所以S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
△ORB
b a2 ab
对于D项：联立直线l与渐近线y= x，解得S ,
a 2b+a 2b+a
，
b a2 ab
联立直线l与渐近线y=- x，解得R ,
a - 2b+a 2b-a
由题可知，RS=2SB，
所以y S -y R =2y B -y S 即3y =y +2y S R B
3ab ab
= ，解得b= 2a，所以e= 3，故D项正确.
2b+a 2b-a
故选：BD.
11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正
确的是 ( )
π
A.直线AE与PB所成的角为
2
B.△ABE的周长最小值为4+ 34
6
C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为
3
2 6-2
D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为
5
答案 ACD
【分析】A选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答
案；B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一平面内，由余弦定理求出AE+BE的最小值，得到周
长的最小值；C选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D选项，当四个小球相切且与大正
四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C选项中结论得到
方程，求出小球半径的最大值.
解析 A选项，连接AD，由于D为PB的中点，
所以PB⊥CD，PB⊥AD，
又CD∩AD=D，AD,CD⊂平面ACD，
所以直线PB⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，
所以PB⊥AE，故A正确；
·5·B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连接AB交CD于点E，
则AE+BE的最小值即为AB的长，
由于AD=CD=2 3，AC=4，
CD2+AD2-AC2 2 3
cos∠ADC= =
2CD⋅AD
2+2 3 2-42 1
= ，
2×2 3×2 3 3
π
cos∠ADB=cos +∠ADC
2
1
=-sin∠ADC=- ，
3
所以AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=22+2 3
2 2
2-2×2×2 3×-
3
16 6
=16+ ，
3
16 6 6 6
故AB= 16+ =4 1+ ，△ABE的周长最小值为4+4 1+ ，B错误；
3 3 3
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为O，取AC的中点M，连接BM,PM，过点P作PF垂直于BM于点F，
则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，
因为AM=2,AB=4，所以BM= AB2-AM2=2 3，同理PM=2 3，
1 2 3
则MF= BM= ，
3 3
4 6
故PF= PM2-MF2= ，
3
4 6
设OF=ON=R，故OP=PF-OF= -R，
3
4 6
-R
ON OP R 3
因为△PNO∽△PFM，所以 = ，即 = ，
FM PM 2 3 2 3
3
6
解得R= ，C正确；
3
D选项，4个小球分两层(1个，3个)放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面
相切，
设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q-VKG，
2 6
由C选项可知，其高为 r，
3
由C选项可知，PF是正四面体P-ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，
2 6
则QS= r，SF=r，
3
1
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的 得，如图正四面体P-HJI中，QZ=r，QP=3r，
4
·6·2 6 6 2 6-2
正四面体Q-VKG高为3r+ r+r= ×4，解得r= ，D正确.
3 3 5
故选：ACD
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意
球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相
等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理
求得球的半径
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于 ．
答案 3920
【分析】根据小于300的所有末尾是1的三位数是以101为首项，以10为公差的等差数列求解.
解析 解：小于300的所有末尾是1的三位数是101，111，121，⋯，291，
是以101为首项，以10为公差的等差数列，
20×101+291
所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为S =
20
=3920,
2
故答案为：3920
13.已知函数fx =lnx+1
ax
- ，若fx
x+1
≥0恒成立，则a= .
答案 1
【分析】对f(x)求导，分a>0和a≤0两种情况，判断f(x)的单调性，求出f(x)的最小值，再结合fx ≥
0恒成立求出a的取值范围.
解析 由题可得f(x)的定义域为-1,+∞ ，且f x
1 a x-a-1
= - =
x+1 (x+1)2
，
(x+1)2
①当a≤0时，f x >0，所以fx 在-1,+∞ 上单调递增，所以当x∈-1,0 时，fx 0时，当x∈-1,a-1 时，f x <0,fx 单调递减，当x∈a-1,+∞ 时，f x >0,fx 单调
递增，所以f(x) min =fa-1 =lna-a-1 ，
因为fx ≥0恒成立，所以lna-a-1 ≥0，记ga =lna-a-1 ,g a
1 1-a
= -1= ,当a∈
a a
0,1 时，g a >0,ga 单调递增，
当a∈1,+∞ 时g a <0,ga 单调递减，所以g(a) max =g1 =0，所以lna-a-1 ≤0在(0,+∞)上
恒成立，
故要使lna-a-1 ≥0恒成立，则lna-a-1 =0，所以a=1.
故答案为：1
p
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，点P为抛物线上的动点，点A4- ,0
2
与点P的距离AP 的最小值为2，
·7·则p= .
答案 2- 2,4,12
3p 【分析】由题意得|AP|2= x-4-
2
2 3p +8p-2p2，对4- 与0的大小关系分类讨论即可得解.
2
解析 设Px,y p ,|AP|2= x-4-
2
2 p +y2=x2-24-
2
p x+4-
2
2 +2px=x2-8-3p x+
p
4-
2
2
3p = x-4-
2
2 +8p-2p2
3p 8
(i)当4- ≥0，即0 ，故p=2- 2.
3
3p 8 p
(ii)当4- <0，即p> 时，|AP|2有最小值4-
2 3 2
2
，即AP
p
有最小值4-
2
=2，解得p=4或
12.
综上，p的值为2- 2,4,12.
故答案为：2- 2,4,12.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b= 2,c=4,acosC+b=0.
(1)求a；
3π
(2)已知点D在线段BC上，且∠ADB= ，求AD长.
4
答案 (1) 10；
4 5
(2) .
5
【分析】(1)根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.
(2)由(1)的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.
a2+b2-c2
解析 (1)在△ABC中，由acosC+b=0及余弦定理，得a⋅ +b=0，
2ab
即a2+3b2-c2=0，而b= 2,c=4，
所以a= 10.
b2+a2-c2 2+10-16 5
(2)由(1)知a= 10，由余弦定理得cosC= = =- ，
2ab 2× 2× 10 5
2 5 3π π
C为三角形内角，则sinC= 1-cos2C= ，而∠ADB= ，于是∠ADC= ，
5 4 4
AD AC
在△ADC中，由正弦定理得 = ，
sinC sin∠ADC
2 5
2×
AC⋅sinC 5 4 5
所以AD= = = .
sin∠ADC 2 5
2
16（. 15分）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料
可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,
0.2，且甲､乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
·8·(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.
答案 (1)0.2
(2)分布列见解析，数学期望为0.6
【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；(2)根据独立重复实验相关概率计算知识可得
答案.
解析 (1)设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A，
则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
则PA =0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2.
(2)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3，
由(1)可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则X∼B3,0.2 ，
所以PX=0 =C 3 0×0.20×(1-0.2)3=0.512,PX=1 =C1×0.2×(1-0.2)2=0.384， 3
PX=2 =C 3 2×0.22×1-0.2 =0.096,PX=3 =C3×0.23×(1-0.2)0=0.008， 3
故X的分布列为
X 0 1 2 3
0.51
P 0.384 0.096 0.008
2
所以EX =3×0.2=0.6.
17（. 15分）如图，圆台O O 的轴截面为等腰梯形A ACC ，AC=2AA =2A C =4，B为底面圆周上异于A，C
1 2 1 1 1 1 1
的点.
(1)在平面BCC 内，过C 作一条直线与平面A AB平行，并说明理由；
1 1 1
(2)设平面A AB∩平面C CB=l，Q∈l，BC 与平面QAC所成角为α，当四棱锥B-A ACC 的体积最大
1 1 1 1 1
时，求sinα的取值范围.
答案 (1)作图及理由见解析；
14
(2)0,
4
.
【分析】(1)取BC中点P，作直线C P，再利用线面平行的判定推理作答.
1
(2)延长AA ,CC 交于点O，作直线BO，再确定四棱锥体积最大时，点B的位置，然后建立空间直角坐标
1 1
系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答.
解析 (1)取BC中点P，作直线C P，则直线C P即为所求，
1 1
1
取AB中点H，连接A H,PH，则有PH⎳AC,PH= AC，如图，
1 2
·9·1
在等腰梯形A ACC 中，A C = AC，有HP⎳A C ,HP=A C ，则四边形A C PH为平行四边形，
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
即有C P⎳A H，又A H⊂平面A AB，C P⊄平面A AB，
1 1 1 1 1 1
所以C P⎳平面A AB.
1 1
(2)延长AA ,CC 交于点O，作直线BO，则直线BO即为直线l，如图，
1 1
过点B作BO⊥AC于O，因为平面A ACC ⊥平面ABC，平面A ACC ∩平面ABC=AC，BO⊂平面
1 1 1 1
ABC，
因此BO⊥平面A ACC ，即BO为四棱锥B-A ACC 的高，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
1 1 1 1
BA⋅BC BA2+BC2 1
BO= ≤ = AC，当且仅当BA=BC时取等号，此时点O与O 重合，
AC 2AC 2 2
1
梯形A ACC 的面积S为定值，四棱锥B-A ACC 的体积V = S⋅BO，
1 1 1 1 B-A1ACC1 3
于是当BO最大，即点O与O 重合时四棱锥B-A ACC 的体积最大，BO ⊥AC,BO =2，
2 1 1 2 2
以O 为原点，射线O A,O B,O O 分别为x,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
2 2 2 2 1
AC-A C
在等腰梯形A ACC 中，AC=2AA =2A C =4，此梯形的高h= AA2- 1 1
1 1 1 1 1 1 2
2
= 3，
显然A C 为△OAC的中位线，则O(0,0,2 3),A(2,0,0),B(0,2,0),C (-1,0, 3)，
1 1 1
BC =(-1,-2, 3),AB=(-2,2,0),BO=(0,-2,2 3),O A=(2,0,0)，
1 2
设BQ=λBO,λ∈R，则AQ=AB+BQ=AB+λBO=(-2,2-2λ,2 3λ)
n⋅O A=2x=0
设平面QAC的一个法向量n=(x,y,z)，则
2 ，令y= 3λ，得n=(0,
n⋅AQ=-2x+(2-2λ)y+2 3λz=0
3λ,λ-1)，
|n⋅BC | |-2× 3λ+ 3(λ-1)|
则有sinα=|cos‹n,BC 1 ›|= |n ||B C 1 | = ( 3λ)2+(λ-1)2× (-1)2+(-2)2+( 3)2 =
1
·10·3|λ+1|
，
2 2× 4λ2-2λ+1
3|t|
令t=λ+1，则sinα= ，当t=0时，sinα=0，
2 2× 4t2-10t+7
3 3
当t≠0时，00时，证明：fx
2+a 3
≤ - .
a2+8a-a 2
答案 (1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)首先求得导函数，然后分类讨论确定f x 零点的个数即可；
(2)由题意可知f x 在0,+∞ 上有1个零点，结合不等式的特点，构造函数g(x)=lnx-(x-1)，对函
数g(x)进行求导，利用导数推出lnx-(x-1)≤0成立，再代入进行求证即可.
解析 (1)f x
1 -2ax2+ax+1
= -2ax+a= ，定义域为0,+∞
x x
.
1
当a<0时，二次函数y=-2ax2+ax+1的图象开口向上，对称轴为x= .
4
①a2+8a<0，即-80，即a<-8时，f x 在0,+∞ 有2个不同的零点；
综上，当-80时，二次函数-2ax2+ax+1的图象开口向下，此时a2+8a>0，f x 在
0,+∞ 上有1个零点，设零点为x ， 0
ax +1 a+ a2+8a
则ax2= 0 ，解得，x = ，
0 2 0 4a
进一步，当00，fx 单调递增，当x>x 0 时，f x <0，fx 单调递减，
所以fx ≤fx 0 =lnx 0 -ax 0x 0 -1
ax +1 ax -1
=lnx -ax2+ax =lnx - 0 +ax =lnx + 0 ， 0 0 0 0 2 0 0 2
不妨设g(x)=lnx-(x-1)，函数定义域为0,+∞ ，
可得g x
1 1-x
= -1= ，
x x
当00，g(x)单调递增；当x>1时，g x <0，g(x)单调递减，
所以当x=1时，函数g(x)取得最大值，最大值g(1)=0，则lnx-(x-1)≤0成立，
·11·ax -1 此时lnx 0 + 0 2 ≤x 0 -1 + ax 0 -1 = a+2 2 x 3 2+a 0 - = 2 2
a+ a2+8a
4a 3 2+a - = - 2 2 a2+8a-a
3
，
2
故fx
2+a 3
≤ - .
a2+8a-a 2
19（. 17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿
MQ
波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比
MP
=
λ λ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M
x2 y2
的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C: + =1 a>b>0
a2 b2
的右焦点F与
1
右顶点A，且椭圆C的离心率为e= ．
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为k k>0 的直线l与椭圆C相交于B，D(点B在x轴上方)，点S，T是椭圆C
上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．
BS
①求
DS
的取值范围；
81π
②将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为 ，求直线l的方程．
8
x2 y2 1
答案 (1) + =1；(2)① ,1
8 6 3
5 10
；②y= x- ．
2 2
2x-2aλ2 λ2a2-c2
【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x2+y2+ x+
λ2-1 λ2-1
MF
=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由
MA
为常数，求得系数，得到椭圆方
BS
程；(2)①首先由面积比值求得
DS
BF
=
DF
BF
，令
DF
=λ，则BF=λFD，利用坐标表示向量，求得λ=
3
，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关
5- 2x
0
·12·BF
系列式得
DF
2r- BF
=
2r+ DF
1
，求得r，再根据
BF
1
-
DF
2- 2x
= 0
1
3 2 2- x
2 0
2 2
= ，求得x ,y ，即可
9 0 0
计算直线方程.
解析 (1)方法(1)特殊值法，令M ±2,0
c-2
，
a-2
c+2
= ，且a=2c，解得c2=2
a+2
x2 y2
∴a2=8，b2=a2-c2=6，椭圆C的方程为 + =1
8 6
方法(2)设M x,y
MF
，由题意
MA
x-c
=
2+y2
x-a
=λ(常数)，
2+y2
2x-2aλ2 λ2a2-c2
整理得：x2+y2+ x+ =0，
λ2-1 λ2-1
2c-2aλ2
=0
λ2-1 c 1
故 ，又 = ，解得：a=2 2，c= 2．
λ2a2-c2 a 2
=-4
λ2-1
x2 y2
∴b2=a2-c2=6，椭圆C的方程为 + =1．
8 6
方法(3)设M x,y ，则x2+y2=4．
MF
由题意
MA
x-c
=
2+y2
x-a
x-c
=
2+y2
2+4-x2
x-a
c2+4-2cx
=
2+4-x2 a2+4-2ax
MF
∵
MA
c2+4 c c 1
为常数，∴ = ，又 = ，解得：a2=8，c2=2，故b2=a2-c2=6
a2+4 a a 2
x2 y2
∴椭圆C的方程为 + =1
8 6
1
SB
S 2
(2)①由 △SBF =
S
△SDF
⋅ SF ⋅sin∠BSF
1
SD
2
⋅ SF
SB
=
⋅sin∠DSF
SD
BF
S
，又 △SBF =
S
△SDF
DF
，
BS
∴
DS
BF
=
DF
(或由角平分线定理得)
BF
令
DF
=λ，则BF=λFD，设D x ,y 0 0
，则有3x 0 2+4y 0 2=24，
又直线l的斜率k>0，则x ∈ -2 2, 2 0 x = 2 λ+1 ， B -λx 0代入3x2+4y2-24=0得： y =-λy
B 0
3 2 1+λ -λx 0 2+4λ2y 0 2-24=0，即 λ+1 5λ-3- 2λx 0 =0，
3 1
∵λ>0，∴λ= ∈ ,1
5- 2x 3
0
．
SB
②由①知，
SD
TB
=
TD
BF
=
DF
，由阿波罗尼斯圆定义知，
S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C ，半径为r，与直线l的另一个交点为N，
1
BF
则有
DF
NB
=
ND
BF
，即
DF
2r- BF
=
2r+ DF
1
，解得：r=
1
BF
1
-
DF
．
·13·81 9 1
又S =πr2= π，故r= ，∴
圆C1 8 2 2
BF
1
-
DF
2 2
=
9
又 DF = x - 2 0 2+y 0 2= x 0 - 2
3 1
2+6- 4 x 0 2=2 2- 2 x 0 ，
1
∴
BF
1
-
DF
1
=
λ DF
1
-
DF
5- 2x
= 0
1
3 2 2- x
2 0
1 2- 2x
- = 0
1 1
2 2- x 3 2 2- x
2 0 2 0
2 2
= ，
9
2 3 3 10
解得：x =- ，y =- 6- x2=- ，
0 2 0 4 0 4
-y 5 5 10
∴k= 0 = ，∴直线l的方程为y= x- ．
2-x 2 2 2
0
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，
属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.
·14·河北省金太阳联考 2024 届高三上学期摸底考试
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集U=A∪B=x∈N0≤x≤8 ，A∩∁ U B =1,3,5 ，则集合B为 ( )
A. 2,4,6,7 B. 0,2,4,6,8 C. 0,2,4,6,7,8 D. 0,1,2,3,4,5,6,7,8
答案 C
【分析】利用韦恩图即可得解.
解析 因为U=A∪B=x∈N0≤x≤8 =0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，
又A∩∁ U B =1,3,5 ，所以B=0,2,4,6,7,8 .
故选：C.
2.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是 ( )
A.若α⎳β，l⊂α，n⊂β，则l⎳n B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C.若l⊥n，m⊥n，则l⎳m D.若l⊥α，l⎳β，则α⊥β
答案 D
【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.
解析 对于A，若α⎳β，l⊂α，n⊂β，则l与n可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若α⊥β，l⊂α，则l与β可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若l⊥n，m⊥n，则l与m可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若l⎳β，则由线面平行的性质定理可知，必有l ⊂β，使得l⎳l ，
1 1
又l⊥α，则l ⊥α，因为l ⊂β，所以α⊥β，故D正确.
1 1
故选：D.
3.若抛物线x2=2py(p>0)上一点Mn,6 到焦点的距离是4p，则p的值为 ( )
12 7 6 7
A. B. C. D.
7 12 7 6
答案 A
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
p
解析 因为抛物线x2=2py(p>0)的准线为y=- ，
2
p 12
由题意可得：6+ =4p，解得p= .
2 7
·15·故选：A.
4.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行
政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区
指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为 ( )
1 4 1 8
A. B. C. D.
9 9 3 27
答案 B
【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至
少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.
解析 甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34=81种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C2A3=36种；
4 3
36 4
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为： = .
81 9
故选：B.
5.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作
的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，
AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针
画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧⋯⋯以此类推，当得到的
“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 ( )
A.44π B.64π C.70π D.80π
答案 D
【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.
2π
解析 由题意每段圆弧的中心角都是 ，每段圆弧的半径依次增加1，
3
2π
则第n段圆弧的半径为n，弧长记为a ，则a = ⋅n，
n n 3
2π
所以S 15 = 3 1+2+3+⋯+15 =80π.
故选：D．
6.已知圆C:x2+2x+y2-1=0，直线mx+ny-1 =0与圆C交于A，B两点.若△ABC为直角三角形，则
( )
A.mn=0 B.m-n=0 C.m+n=0 D.m2-3n2=0
答案 A
【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =2 r2-d2进行求解即可.
·16·解析 因为圆C:x2+2x+y2-1=0，圆心为C-1,0 ，半径为r= 2，即CA =CB = 2
因为△ABC为直角三角形，所以AB = CB 2+CA 2=2,
设圆心C-1,0 到直线mx+ny-1
-m-n
=0的距离为d，d=
m+n
=
m2+n2
m2+n2
由弦长公式AB
m+n
=2 r2-d2得d=1，所以
=1，化简得mn=0.
m2+n2
故选：A.
7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均
数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 ( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
答案 D
【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
解析 设甲组数据分别为x 、x 、⋯、x ，乙组数据分别为x 、x 、⋯、x ，
1 2 6 7 8 12
1 6 6 1 6
甲组数据的平均数为 6 x i =3，可得x i =18，方差为 6 x i -3
i=1 i=1 i=1
6
2=5，可得 x i -3
i=1
2=30，
1 12 12 1 12
乙组数据的平均数为 6 x i =5，可得x i =30，方差为 6 x i -5
i=7 i=7 i=7
12
2=3，可得 x i -5
i=7
2=18，
1 12 18+30
混合后，新数据的平均数为 x = =4，
12 i 12
i=1
1 6
方差为 12 x i -4
i=1
12
2+ x i -4
i=7
2
1 6
= 12 x i -3-1
i=1
12
2+ x i -5+1
i=7
2
1 6
= 12 x i -3
i=1
12
2+ x i -5
i=7
6
2-2 x i -3
i=1
12
+2 x i -5
i=7
+12
1
= × 30+18-2×3-3
12
×6+2×5-5 ×6+12 =5.
故选：D.
8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 的曼哈顿距离为：dA,B =x 1 -x 2 +y -y 1 2 .已知点M在圆O:x2+y2=1上，点N在直
线l:3x+y-9=0上，则dM,N 的最小值为 ( )
9 10 9 10 18-2 10 10
A. B. -1 C. D.3-
10 10 5 3
答案 D
【分析】如图，作过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，过点N作NA⊥MB于点A，结合直线的
斜率得出MN平行于x轴，dM,N 最小，再设M(cosθ,sinθ)，求出MB ，利用三角函数知识得最小值．
解析 如图，过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，过点N作NA⊥MB于点A,dM,N 表示
MA +NA
NA
的长度，因为直线l的方程为3x+y-9=0，所以tan∠NBA=3,
AB
=3，即NA =3AB ,
dM,N =MA +3AB =MB +2AB ，
当固定点M时，MB 为定值，此时AB 为零时，dM,N 最小，即N与B重合(MN平行于x轴)时，
dM,N 最小，如图所示，
设M(cosθ,sinθ)，θ∈0,2π
9-sinθ 1
，则x = =3- sinθ， B 3 3
MB
1 1
=x -cosθ=3- sinθ-cosθ=3- (sinθ+3cosθ)， B 3 3
·17·由三角函数知识可知sinθ+3cosθ= 10sinθ+φ ，其中tanφ=3，
则其最大值是 10，
10
所以d(M,N) =3- ，故D正确.
min 3
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到MB
1
=x -cosθ=3- sinθ-cosθ，再利 B 3
用辅助角公式即可求出其最值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.设集合 P= x0≤x≤4 ,Q= y0≤y≤4 ，则下列图象能表示集合 P到集合Q的函数关系的有
( )
A. B.
C. D.
答案 BD
【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．
解析 对于A：由图象可知定义域不是P，不满足；
对于B：定义域为P，值域为Q的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D：由函数定义可知D满足．
故选：BD．
10.已知二项展开式fx 1 =x3-
x
8 ，下列说法正确的有 ( )
A. fx 的展开式中的常数项是56 B. fx 的展开式中的各项系数之和为0
C. fx 的展开式中的二项式系数最大值是70 D. fi =-16，其中i为虚数单位
·18·答案 BC
【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.
解析 T =Ck x3 k+1 8 1 8-k- x k =-1 kCkx24-4k， 8
对A：令24-4k=0，即k=6，则T 7 =-1 6C6=28，故A错误； 8
对B：令x=1，即f1
1
=1-
1
8
=0，故各项系数之和为0，故B正确；
8×7×6×5
对C：由n=8，故二项式系数中的最大值为C4= =70，故C正确；
8 4×3×2×1
对D：fi 1 =i3-
i
8 =-i+i 8=0，故D错误.
故选：BC.
11.在△ABC中，若A=nBn∈N* ，则 ( )
A.对任意的n≥2，都有sinAnsinB成立 D.存在n，使tanA>ntanB成立
答案 AD
【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.
π π
解析 在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B= ，则A= ，tanA=1，
12 4
π π
tanB=tan -
3 4
3-1
= =2- 3，3tanB=3(2- 3)，则tanA>3tanB，B错，D对；
1+ 3
00，直线l的方程为y= 3x-1 ，
y= 3x-1 联立
1
x = y2= 3 x 可得 x y 1 = = 2 3 或 2 2 3 ，即点A2, 3
2 1 y =-
2 2
1 3 、B ,- 2 2 ，
·20·易知点D2,0 ，
翻折后，以原坐标原点O为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线OP所在直线为y轴，
过点O且垂直于平面OPB的直线作z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则P0,1,0 、D0,2,0
3 1
、B , ,0
2 2
3 3
、A- ,2,
2 2
，
设四棱锥P-ABD的外接球球心为Ga,b,c ，
a2+b-1
由题意可得
2+c2=a2+b-2
2+c2
a2+b-1 3 2+c2=a- 2 2 1 +b- 2 2 +c2
a2+b-1 3 2+c2=a+ 2 2 +b-2 3 2+c- 2
3
a= 2
3 ，解得 b= 2 ，
2 c= 3
2
3 3 3
所以，球心为G , ,
2 2 2
，所以，球G的半径为PG
3 3
= + -1
4 2
2 9 13
+ = ，
4 2
因此，球G的表面积为4πAG 2=13π.
故答案为：13π.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知函数fx =alnx-x．
(1)当a=1时，求函数fx 的单调区间；
(2)当a>0时，求函数fx 的最大值．
答案 (1)fx 在(0,1)上为增函数；f(x)在(1,+∞)上为减函数；
(2)a(lna-1)
【分析】(1)直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
(2)求导根据函数的单调性即可求解最值．
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，fx =lnx-x，f x
1 1-x
= -1= ，
x x
当f x
1-x
= >0，解得：01．
x
∴f(x)在(0,1)上为增函数；f(x)在(1,+∞)上为减函数；
(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，
f x
a a-x
= -1= ，
x x
当a>0时，令f x >0，得0a，
∴f(x)的递增区间为0,a ，递减区间为a,+∞ ．
·21·f(x) =alna-a=a(lna-1).
max
16（. 15分）设S n 为数列a n S 的前n项和，已知 n nn+1 1 1 是首项为 、公差为 的等差数列. 2 3
(1)求a n 的通项公式；
2n-1 (2)令b = n a S n，T n 为数列b n
n
n 6n-1 的前n项积，证明：∑T≤ . i 5
i=1
答案 (1)a =n2
n
(2)证明见解析
【分析】(1)由等差数列定义可得S ，由S 与a 的关系即可得a ；
n n n n
(2)由S n 与a n 可得b n ，即可得T n ，由2n+1 n+1 ≥6，可得T≤6n-1，借助等比数列求和公式计算即可 n
得证.
S 解析 (1)由 n
nn+1
1 1 是首项为 、公差为 的等差数列，
2 3
S
故 n
nn+1
1 1
= + n-1
2 3
n 1
= + ，
3 6
n 1
即S = + n 3 6 nn+1
n2n+1
=
n+1
， 6
n2n-1
当n≥2时，S =
n-1
n-1
，
6
n2n+1
故S -S =a =
n n-1 n
n+1 n2n-1
-
6
n-1
6
n2n2+3n+1-2n2+3n-1
=
=n2，
6
3×2
当n=1时，a =S = =1，符合上式，
1 1 6
故a =n2；
n
n2n+1
(2)由a =n2，S =
n n
n+1
，
6
2n-1 故b =
n
a n = 62n-1
S n
n2
n2n+1 n+1
62n-1 = n
2n+1 n+1
，
62-1
则T=b b ⋯b =
n 1 2 n
2+1 1+1
64-1
⋅
×2
4+1 2+1
62n-1
⋅⋯⋅
n
2n+1 n+1
6n 2-1
=
2n+1 n+1
6n
=
2n+1 n+1
，
由2n+1 n+1 ≥3×2=6，
6n
故T≤ =6n-1，
n 6
n n 1×1-6n
则∑T≤∑6n-1=
i
i=1 i=1
6n-1
= .
1-6 5
17（. 15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(00)元，若试验成功则获利8a元，则该公
司应如何决策投资？请说明理由．
·22·答案 (1)证明见解析；
(2)应该投资，理由见解析
【分析】(1)由题意，X=1,2,3,...,8，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)7，列出分布
列，列出E(X)，乘公比错位相减法求和S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+⋯+7(1-p)6，分析可证明
EX
1
< ；
p
1
(2)由(1)可得E(X)< =5，分析即得解
p
解析 (1)由题意，X=1,2,3,...,8
故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)7
分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6 7 8
P p p(1-p) p(1-p)2 p(1-p)3 p(1-p)4 p(1-p)5 p(1-p)6 (1-p)7
所以X的数学期望E(X)=p(1-p)0+2p(1-p)1+3p(1-p)2+⋯+7p(1-p)6+8(1-p)7，
记S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+⋯+7(1-p)6，
(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+⋯+7(1-p)7，
作差可得，pS=1-p 0+1-p 1+1-p 2+⋯+1-p 6-71-p
1-1-p
7=
7
-71-p
p
7，
1-(1-p)7 1-(1-p)8 1
则E(X)=pS+8(1-p)7= +(1-p)7= < ；
p p p
1
(2)由(1)可知E(X)< =5，则试验成本的期望小于5a元，
p
试验成功则获利8a元，且8a>5a，则该公司应该投资该产品
x2 y2 1
18（. 17分）已知椭圆C： + =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F、F，离心率为 ，经过点F 且倾斜
a2 b2 1 2 2 1
π
角为θ0<θ<
2
的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)，△ABF 的周长为8．
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AFF)与y轴负半轴和x轴
1 2
所确定的半平面(平面BFF)互相垂直．
1 2
·23·π
①若θ= ，求异面直线AF 和BF 所成角的余弦值；
3 1 2
π
②是否存在θ0<θ<
2
15
，使得折叠后△ABF 的周长为 ？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理
2 2
由．
x2 y2 13 3 35
答案 (1) + =1；(2)① ；②存在；tanθ= ．
4 3 28 14
【分析】(1)由△ABF 的周长可求出a的值，从而由离心率的值可求得c=1，进而由椭圆中a2=b2+c2的关
2
系求出b的值，即可得椭圆的标准方程.
(2)①直线l的方程为y= 3x+ 3，与椭圆方程联立求出点A,B的坐标，再建立空间直角坐标系，求出
点F,A,B,F 的坐标，从而可得FA,BF ，再利用空间向量的夹角公式即可求解.
1 2 1 2
②由A′F 2 +B′F 2 +A′B′
15
= 2 ,AF 2 +BF 2 +|AB|=8，可得|AB|-A′B′
1
= 2 ，设折叠前Ax 1 ,y 1 ,
Bx 2 ,y 2 ，直线l的方程my=x+1与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出m的值，
从而可得直线l的斜率，进而可得tanθ的值.
解析 解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a,BF 1 +BF 2 =2a，
所以△ABF 的周长L=4a=8，所以a=2，
2
1 c 1
又椭圆离心率为 ，所以 = ，所以c=1，b2=a2-c2=3，
2 a 2
由题意，椭圆的焦点在x轴上，
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1；
4 3
(2)①由直线l：y-0= 3x+1
x2 y2
与 + =1，
4 3
联立求得A0, 3
8 3
，(因为点A在x轴上方)以及B- ,- 3
5 5
，
再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标
系，则
·24·F 10,-1,0 ，A0,0, 3
3 8
，B 3,- ,0
5 5
，F 20,1,0 ，
F 1 A=0,1, 3
3 13
，BF =- 3, ,0 2 5 5 ．
记异面直线AF 和BF 所成角为φ，则cosφ=cos
1 2 1 2
FA⋅BF 1 2 =
FA
1
BF
2
13 = ；
28
②设折叠前Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，折叠后A，B在新图形中对应点记为A′，B′，A′x 1 ,y 1 ,0 ，B′x 2 ,0,-y 2 ，
由A′F 2 +B′F 2 +A′B′
15
= 2 ，AF 2 +BF 2 +|AB|=8，故AB -A′B′
1
= ， 2
my=x+1
将直线l方程与椭圆方程联立x2 y2 ，得3m2+4
+ =1
4 3
y2-6my-9=0，
6m -9
y +y = ，y y = ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负
半轴为z轴)；
A′B′ = x 1 -x 2 2+y 1 2+y 2 2，AB = x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2，
所以AB -A′B′ = x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2- x 1 -x 2
1
2+y2+y2= ，(i) 1 2 2
-2y y
又 1 2
x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2+ x 1 -x 2
1
= ，
2+y2+y2 2 1 2
所以 x 1 -x 1 2+y 1 -y 2 2+ x 1 -x 2 2+y2+y2=-4y y ，(ii) 1 1 1 2
由(i)(ii)可得 x 1 -x 2 2+y 1 -y 2
1
2= -2y y ， 4 1 2
因为x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2=1+m2 y 1 -y 2 1 2= -2y y 4 1 2 2 ，
·25·所以1+m2 6m
3m2+4
2 36 +
3m2+4
1 18 = +
4 3m2+4
2 ，
1+m
即144
3m2+4
2 1 18
= +
4 3m2+4
2
，
12+12m2 1 18 28
所以 = + ，解得m2= ，
3m2+4 4 3m2+4 45
π 1 3 35
因为0<θ< ，所以tanθ= = ．
2 m 14
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2 周长的变化，得到AB -A′B′ =
1
，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.
2
19（. 17分）已知定义域为R的函数hx 满足：对于任意的x∈R，都有hx+2π =hx +h2π ，则称函数
hx 具有性质P.
(1)判断函数fx =2x,gx =cosx是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数fx =sinωx+φ
3 5
<ω< ,φ
2 2
π
<
2
，判断是否存在ω,φ，使函数fx 具有性质P？若
存在，求出ω,φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数fx 具有性质P，且在区间0,2π 上的值域为 f0 ,f2π .函数gx =sin fx ，满足
gx+2π =gx ，且在区间0,2π 上有且只有一个零点.求证：f2π =2π.
答案 (1)函数fx =2x具有性质P；gx =cosx不具有性质P.
(2)ω=2，φ=0
(3)证明见解析
【分析】(1)利用定义判断即可；
(2)假设函数fx 具有性质P，可求出φ=0，进而可得ω=2，从而可得fx =sin2x，再根据定义进行验
证，即可得到答案；
(3)由函数fx 具有性质P及(2)可知，f(0)=0，进而可得fx 在0,2π 的值域为0,kπ ，k∈Z且k>
0，由gx 在区间0,2π 上有且只有一个零点可证明当k>2时不符合题意，再求解当k=1时与gx 是
以2π为周期的周期函数矛盾，从而可得k=2，即可证明.
解析 (1)因为fx =2x，则fx+2π =2(x+2π)=2x+4π，又f2π =4π，
所以fx+2π =f(x)+f(2π)，故函数fx =2x具有性质P；
因为gx =cosx，则gx+2π =cos(x+2π)=cosx，又g2π =cos2π=1，
g(x)+g(2π)=cosx+1≠g(x+2π)，故gx =cosx不具有性质P.
(2)若函数fx 具有性质P，则f0+2π =f(0)+f(2π)，即f(0)=sinφ=0，
因为φ
π
< ，所以φ=0，所以fx
2
=sin(ωx)；
若f(2π)≠0，不妨设f(2π)>0，由fx+2π =f(x)+f(2π)，
得f2kπ =f(0)+kf(2π)=kf(2π)(k∈Z)(*)，
只要k充分大时，kf(2π)将大于1，而fx 的值域为[-1,1]，
故等式(*)不可能成立，所以必有f(2π)=0成立，
3 5
即sin(2ωπ)=0，因为 <ω< ，所以3π<2ωπ<5π，
2 2
所以2ωπ=4π，则ω=2，此时fx =sin2x，
则fx+2π =sin2(x+2π)=sin2x，
而f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x，即有fx+2π =f(x)+f(2π)成立，
·26·所以存在ω=2，φ=0使函数fx 具有性质P.
(3)证明：由函数fx 具有性质P及(2)可知，f(0)=0，
由gx+2π =gx 可知函数gx 是以2π为周期的周期函数，则g2π =g(0)，
即sin(f(2π))=sin(f(0))=0，所以f(2π)=kπ，k∈Z；
由f(0)=0，f(2π)=kπ以及题设可知，
函数fx 在0,2π 的值域为0,kπ ，所以k∈Z且k>0；
当k>2，fx =π及fx =2π时，均有gx =sin fx =0，
这与gx 在区间0,2π 上有且只有一个零点矛盾，因此k=1或k=2；
当k=1时，f(2π)=π，函数fx 在0,2π 的值域为0,π ，
此时函数gx 的值域为0,1 ，
而fx+2π =f(x)+π，于是函数fx 在2π,4π 的值域为π,2π ，
此时函数gx 的值域为-1,0 ，
函数gx =sin fx 在当x∈0,2π 时和x∈2π,4π 时的取值范围不同，
与函数gx 是以2π为周期的周期函数矛盾，
故k=2，即f(2π)=2π，命题得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把
新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.
·27·江西省上饶市六校 2024 届高三第一次联合考试（2 月）
数学试卷
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A=x-1≤x≤1 ，B= x y=lg2x-1 ，则A∩B= ( )
A. x-1≤x≤1 B. x0≤x≤1 C. x-1≤x≤0 D. x00，即x>0，故B=xx>0 ，
所以A∩B=x-1≤x≤1 ∩xx>0 =x00，
所以，当x∈(0,π)时，g(x)≥g(1)=0，即ex≥ex，
所以，当x∈(0,π)时，0b>0，则 ( )
1 1 1 1
A. < B.2a>2b>1 C.a3b>0，故ab>0，则 > ，即 > ，故A正确；
ab ab b a
对B：由a>b>0，且fx =2x为定义域上的单调递增函数，故2a>2b>20=1，故B正确；
1 1 1 1 1 1
对C：当a=8，b=1时，有a3=83=2，b3=13=1，此时a3>b3，故C错误；
1
对D：当a=2，b= 时，有log 2=log 2=1，log 2=log 2=-1，此时log 2>log 2，故D错误.
2 a 2 b 1 a b
2
故选：AB.
10.已知定义在R上的奇函数fx 满足fx =f2-x ，且fx 在-1,0 上单调递增，则 ( )
A. fx 的图象关于1,0 中心对称 B. fx 是周期函数
C. fx 在1,2
2024
上单调递减 D. fk
k=0
=1
答案 BC
【分析】对A：由fx =f2-x 可得fx 的图象关于直线x=1对称；对B：结合fx 为奇函数与fx
=f2-x 即可得周期性；对C：结合对称性与fx 在-1,0 上单调递增即可得；对D：结合周期性与奇
函数的性质计算即可得.
解析 对A：由fx =f2-x ，故fx 的图象关于直线x=1对称，故A错误；
对B：由fx 为奇函数，故fx =-f-x ，又fx =f2-x ，
故-f-x =f2-x ，即有fx =-f2+x ，
则fx+2 =-f2+x+2 =-fx+4 =-fx ，
即fx =fx+4 ，故fx 是周期函数且周期为4，故B正确；
对C：由fx 在-1,0 上单调递增，且fx 为奇函数，故fx 在0,1 上单调递增，
又fx 的图象关于直线x=1对称，故fx 在1,2 上单调递减，故C正确；
对D：由fx 为定义在R上的奇函数，故f0 =0，有f0 =f4 =0，
由fx 的图象关于直线x=1对称，故fx 的图象关于2,0 中心对称，
故f1 +f3 =0，由fx =f2-x ，故f0 =f2 =0，
·31·即有f0 =f2 =f4 =0，f1 +f3 =0，故f1 +f2 +f3 +f4 =0，
2024
∑fk
k=0
=f0 +f1 +⋯+f2024 =f0 +506 f1 +f2 +f3 +f4
=0+0=0，故D错误.
故选：BC.
11.已知正项数列a n
1
满足a 1 = 2 ，a n+1 =fa n ，其中fx =lnex-1 -lnx，则 ( )
A. a n 为单调递减数列 B.a a D.a +a +a +⋅⋅⋅+a ≥1-
n+1 2 n 1 2 3 n 2n
答案 ACD
【分析】利用导数判断单调性，放缩法证明不等式逐个选项分析即可.
解析 对于AB，由已知得a n+1 =fa n ，令hx =fx -x=lnex-1 -lnx-x，
定义域为0,+∞ ，h x
-ex+1+x
=
xex-1
，令g(x)=-ex+1+x，g(x)=-ex+1，
当x∈(0,+∞)时，此时g(x)<0恒成立，故g(x)在(0,+∞)上单调递减，
g(x)0，即h x <0，
故h(x)在(0,+∞)上单调递减，当x→0时，h(x)→0，则h(x)<0，
故fx a ，故B错误；
2023 2024
1
对于C，欲证a n+1 > 2 a n ，且由题意得a n+1 =fa n =lnean-1 -lna ， n
即证lnean-1
1 ean-1 1 ean-1 an
-lna > a ，即证ln > a ，取指数得 >e2， n 2 n a 2 n a
n n
又易知a >0，化简得ean-1-a e a 2 n >0，故证明ean-1-a e a 2 n >0恒成立即可，
n n n
令φx =e2x-1-2xex，x∈(0,+∞)，而φ x =2ex ex-x-1 >0，
故φx
a a
在(0,+∞)上单调递增，且 n >0，故φ n
2 2
>0，
即ean-1-a e a 2 n >0恒成立，故a > 1 a 得证，故C正确，
n n+1 2 n
1 1 1 1 1 1 1
对于D，由C可知，a = ，a > a = ，a > a = ，⋯，a > a = ，
1 2 2 2 1 4 3 2 2 8 n 2 n-1 2n
1 1 1-
1 1 2 2
上式相加，得a +a +a +⋅⋅⋅+a ≥ +⋅⋅⋅+ =
1 2 3 n 2 2n
n
，
1
1-
2
1
故a +a +a +⋅⋅⋅+a ≥1- 得证，故D正确.
1 2 3 n 2n
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用导数证明数列的单调性，再构造函数结合放缩法证明不等式
即可.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.请写出一个焦点在y轴上，焦距为4的椭圆的标准方程 .
y2
答案 +x2=1(答案不唯一)
5
【分析】根据给定条件，结合椭圆的标准方程写出得解.
·32·y2 x2
解析 依题意，设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，其半焦距c=2，显然a2-b2=c2=4，
a2 b2
y2
令b=1，得a= 5，所以椭圆的标准方程为 +x2=1.
5
y2
故答案为： +x2=1(答案不唯一).
5
13.动点P与两个定点O0,0 ，A0,3 满足PA =2PO ，则点P到直线l：mx-y+4-3m=0的距离的最
大值为 .
答案 2+ 34
【分析】利用两点距离公式及已知求得P的轨迹是圆心为(0,-1)，半径为2的圆上，再确定直线所过的定
点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在直线与直线l垂直，进而求
最大值.
解析 令P(x,y)，则 x2+(y-3)2=2 x2+y2，整理得x2+(y+1)2=4，
所以P的轨迹是圆心为(0,-1)，半径为2的圆上，
又直线l：mx-y+4-3m=0可化为m(x-3)-(y-4)=0，易知过定点(3,4)，
由32+(4+1)2>4，故点(3,4)在圆x2+(y+1)2=4外，
则圆心与定点所在直线与直线l垂直，圆心与直线l距离最大，
所以点P到直线l距离的最大值为 32+(4+1)2+2=2+ 34.
故答案为：2+ 34
14.函数fx
π
=2sinωx+
6
π π
(ω>0)在区间 ,
6 2
上有且只有两个零点，则ω的取值范围是 .
11
答案 ,5
3
17 23
∪ ,
3 3
解析 利用三角函数的性质分析求解即可.
由于fx
π π
在区间 ,
6 2
T π 3T
上有且只有两个零点，所以 < < ，
2 3 2
π π 3π
即 < < ⇒3<ω<9，由fx
ω 3 ω
π
=0得，ωx+ =kπ，k∈Z，
6
π π
∵x∈ ,
6 2
π πω π πω π
，∴ωx+ ∈ + , +
6 6 6 2 6
，
πω π πω π
6 + 6 <π π≤ 6 + 6 <2π 11 17 23
∴ 或 ，解得 <ω<5或 <ω≤ ，
πω π πω π 3 3 3
2π< + ≤3π 3π< + ≤4π
2 6 2 6
11
所以ω的取值范围是 ,5
3
17 23
∪ ,
3 3
.
11
故答案为： ,5
3
17 23
∪ ,
3 3
π πω π πω π
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到ωx+ ∈ + , +
6 6 6 2 6
，再根据零点个数得到
不等式组，解出即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量
(单位：g)将它们分成5组：360,380 ，380,400 ，400,420 ，420,440 ，440,460 ，得到如下频率分布
直方图.
·33·(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间380,400 ，400,420 ，420,440 内的石榴中抽取7个石
榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.记这3个石榴中质量在区间420,440 内的个数为X，
求X的分布列与数学期望.
答案 (1)416g
(2)分布列见解析，EX
9
=
7
【分析】(1)由频率分布直方图中，样本平均数的计算公式求解；
(2)由分层抽样，计算这三个组中抽取的个数，根据X可能的取值，计算对应的概率，列出分布列，由公式
求数学期望.
解析 (1)该品种石榴的平均质量为x=20× 370×0.005+390+410+450 ×0.010+430×0.015 =
416，
所以该品种石榴的平均质量为416g.
(2)质量在区间380,400 ，400,420 ，420,440 内的频率比为0.010:0010:0015=2:2:3，
所以分层抽样抽取时，质量在区间380,400 ，400,420 ，420,440 内的石榴个数分别为2，2，3.
由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，
PX=0
C3 4
= 4 = ，PX=1
C3 35
7
C2C1 18
= 4 3 = ，
C3 35
7
PX=2
C1C2 12
= 4 3 = ，PX=3
C3 35
7
C3 1
= 3 = ，
C3 35
7
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
4 18 12 1
P
35 35 35 35
EX
4 18 12 1 9
=0× +1× +2× +3× = .
35 35 35 35 7
16（. 15分）设S n 为数列a n S 的前n项和，已知 n nn+1 1 1 是首项为 、公差为 的等差数列. 2 3
(1)求a n 的通项公式；
2n-1 (2)令b = n a S n，T n 为数列b n
n
n 6n-1 的前n项积，证明：∑T≤ . i 5
i=1
答案 (1)a =n2
n
(2)证明见解析
·34·【分析】(1)由等差数列定义可得S ，由S 与a 的关系即可得a ；
n n n n
(2)由S n 与a n 可得b n ，即可得T n ，由2n+1 n+1 ≥6，可得T≤6n-1，借助等比数列求和公式计算即可 n
得证.
S 解析 (1)由 n
nn+1
1 1 是首项为 、公差为 的等差数列，
2 3
S
故 n
nn+1
1 1
= + n-1
2 3
n 1
= + ，
3 6
n 1
即S = + n 3 6 nn+1
n2n+1
=
n+1
， 6
n2n-1
当n≥2时，S =
n-1
n-1
，
6
n2n+1
故S -S =a =
n n-1 n
n+1 n2n-1
-
6
n-1
6
n2n2+3n+1-2n2+3n-1
=
=n2，
6
3×2
当n=1时，a =S = =1，符合上式，
1 1 6
故a =n2；
n
n2n+1
(2)由a =n2，S =
n n
n+1
，
6
2n-1 故b =
n
a n = 62n-1
S n
n2
n2n+1 n+1
62n-1 = n
2n+1 n+1
，
62-1
则T=b b ⋯b =
n 1 2 n
2+1 1+1
64-1
⋅
×2
4+1 2+1
62n-1
⋅⋯⋅
n
2n+1 n+1
6n 2-1
=
2n+1 n+1
6n
=
2n+1 n+1
，
由2n+1 n+1 ≥3×2=6，
6n
故T≤ =6n-1，
n 6
n n 1×1-6n
则∑T≤∑6n-1=
i
i=1 i=1
6n-1
= .
1-6 5
17（. 15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB⎳CD，AB⊥BC，PD=AB=2CD=
2，BC= 2，∠PDC=120°.
(1)证明：PB⊥AD；
5
(2)点E在线段PC上，当直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为 时，求平面ABE与平面PBC的夹
5
角的余弦值.
答案 (1)证明见解析
4 154
(2)
77
·35·【分析】(1)要证AD⊥PB，需要证过PB的平面与AD垂直即可，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的
判定定理结合条件即得；
(2)建立空间直角坐标系，先根据条件确定E点的坐标，再求二面角.
解析 (1)如图：
由于平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，
过点P作CD的垂线交CD的延长线于点O，则PO⊥平面ABCD.
连接OB交AD于Q，连接OA，
∵PD=2，∠PDC=120°，
∴OD=1，∴OC=AB=2，
又AB⎳CD，∠ABC=90°，
∴四边形ABCO为矩形，
OD OA 2
∴OA=BC= 2，∴ = = ，
OA AB 2
∴Rt△ODA∽Rt△AOB，∴∠OAD=∠ABO，
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠AQB=90°，即AD⊥OB，
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥AD，又PO∩BO=O,PO,BO⊂平面POB，
∴AD⊥平面POB，又∵PB⊂平面POB，
∴AD⊥PB.
(2)以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分別为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0, 3 ，C0,2,0 ，A 2,0,0 ，B 2,2,0 ，
由于E在PC上，设PE=λPC，
则E0,2λ, 3- 3λ
，∴AE=- 2,2λ, 3- 3λ ，
又平面ABCD的法向量n=0,0,1 ，设直线AE与平面ABCD所成角为θ，
∴sinθ= cosAE,n
3- 3λ
=
2+4λ2+ 3- 3λ
5
= ，
2 5
1 5
解得λ= 或λ= (舍去)，
2 2
3
∴E0,1,
2
，∴BA=0,-2,0
3
，BE=- 2,-1,
2
，BC=- 2,0,0 ，
·36·
设平面ABE的法向共n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1
，平而PBC的法向共n 2 =x 2 ,y 2 ,z 2 ，
-2y =0, - 2x =0,
则 B A ⋅n 1 =0, B C ⋅ n 2 =0, 即 1 3 ， 2 3
BE⋅n =0, BE⋅n =0, - 2x -y + z =0, - 2x -y + z =0,
1 2 1 1 2 1 2 2 2 2
取x 1 = 3，y 2 = 3得n 1 = 3,0,2 2
，n 2 =0, 3,2 ，
∴cosn ,n
1 2
4 2 4 154
= = ，
11× 7 77
4 154
故平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为 .
77
x2 y2
18（. 17分）已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左焦点F到其渐近线的距离为 3，点A1,0
a2 b2
在C
上.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与C交于M，N(不与点A重合)两点，记直线AM，AN，l的斜率分别为k ，k ，k，且kk +kk =
1 2 1 2
-6，是否存在k值，使得FM =FN .若存在，求出k的值和直线l的方程；若不存在，请说明理由.
y2
答案 (1)x2- =1
3
15 15
(2)k=± ；直线l为y=± x-2
5 5
【分析】(1)借助渐近线公式及点到直线的距离公式，并代入A点计算即可得；
(2)借助韦达定理结合kk
1
+kk
2
=-6从而得到直线中所设参数的关系，取线段MN中点P，由FM =FN
可得FP⊥MN，即可得k的值和直线l的方程.
x2 y2
解析 (1)由双曲线C： - =1可得F-c,0
a2 b2
b
，渐近线方程为：y=± x，
a
bc
a
则有d=
b
a
= 3，化简得b= 3，又A1,0
2
+1
在C上，
1 0 y2
即 - =1，即a=1，故C：x2- =1；
a2 3 3
(2)由题意可知直线l的斜率存在且斜率为k，
设直线l为y=kx+m，Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2 ，
y=kx+m
联立直线与双曲线 y2 ，消去y可得3-k2
x2- =1
3
x2-2kmx-m2-3=0，
则有3-k2≠0且Δ=4k2m2+43-k2
m2+3
=12m2-12k2+36>0，
即k2≠3且m2>k2-3，
2km -m2-3
有x +x = ，x x = ，
1 2 3-k2 1 2 3-k2
由A1,0
y y
，故k = 1 、k = 2 ， 1 x -1 2 x -1
1 2
则kk 1 +kk 2 =kk 1 +k 2
y y
=k 1 + 2 x -1 x -1 1 2
x y +x y -y -y
=k⋅ 1 2 2 1 1 2 x 1 -1 x 2 -1
=k⋅ 2kx 1 x 2 +m-k x 1 +x 2 -2m
x 1 x 2 -x 1 +x 2
-m2-3
2k⋅ +m-k
3-k2 =k⋅
+1
2km
⋅ -2m
3-k2
-m2-3 2km - +1
3-k2 3-k2
·37·2k-m2-3
=k⋅
+2kmm-k -2m3-k2
-m2-3-2km+3-k2
-6m+k
=k⋅
-k+m
6mk+k2
=
2
k+m
=-6，
2
即有m+k k=-m+k 2，即m+k 2k+m =0，
故m+k=0或2k+m=0，
当m+k=0时，直线l为y=kx-k，过点A1,0 ，故舍去，
当2k+m=0时，直线l为y=kx-2k，
由Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2
x +x y +y
，则线段MN中点P为 1 2, 1 2 2 2 ，
x 1 +x 2 = km = -2k2 ， y 1 +y 2 = kx 1 +x 2
2 3-k2 3-k2 2
-4k -2k3 -6k = -2k= ，
2 3-k2 3-k2
-2k2 -6k
即P ,
3-k2 3-k2
，由FM =FN ，F-2,0 ，FP⊥MN，
-6k
-0
3-k2 -6k2 2k2 3
故有 ⋅k=-1，即 =-2+ ，解得k2= ，
-2k2 3-k2 3-k2 5
+2
3-k2
15 15
故k=± ，则直线l为y=± x-2
5 5
，
15
即存在k=± ，使得FM
5
=FN
15
，此时直线l的方程为y=± x-2
5
.
.
【点睛】关键点睛：本题关键在于借助韦达定理结合题目所给kk +kk =-6，计算出直线中参数得关系.
1 2
19（. 17分）若函数 fx 在a,b 上有定义，且对于任意不同的x 1 ,x 2 ∈a,b ，都有 fx 1 -fx 2 ，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
xex xex
·38·(3)分x 1 -x 2
1 1
< 2 和 2 ≤x 1 -x 2 <1两种情况进行证明，f1 =f2 ，用放缩法 fx 1 -fx 2 =
fx 1 -f1 +f2 -fx 2 ≤ fx 1 -f1 + f2 -fx 2 进行证明即可.
解析 (1)对于任意不同的x 1 ,x 2 ∈1,2 ，
x +x +2
有1≤x fx 2 -2x ， 2
故fx +2x为1,e 上的增函数，fx -2x为1,e 上的减函数，
故任意x∈1,e ，都有-2≤f x ≤2，
由f x
x+lnx+3
≤2可转化为a≤ ，令gx xex
x+lnx+3
= ，只需a0，me =1-e<0，所以∃x 0 ∈1,e 使mx 0 =0，即2-lnx -x =0， 0 0
即lnx =2-x ,x =e2-x0，
0 0 0
当x∈1,x 0 时，mx >0，h x >0，故hx 在1,x 0 单调递增，
当x∈x 0 ,e 时，mx <0，h x <0，故hx 在x 0 ,e 单调递减，
hx max =hx 0
x +lnx -1 1
= 0 0 = ， x ee+1 e2
0
1 4+e
故 ≤a≤ .
e2 ee+1
(3)因为fx 为1,2 上的“2类函数”，所以 fx 1 -fx 2 <2x 1 -x 2 ，
不妨设1≤x 0 ，则∁ R A ∩B= ( )
A. -1,2 B. 2,4 C. -4,1 D. -4,2
答案 B
【分析】解一元二次不等式得集合A和集合B，然后根据补集运算和交集运算求解即可.
解析 由x2-3x-4≥0，得x≤-1或x≥4，所以A=xx≤-1 或 x≥4 ，
所以∁ R A=x-10得20，b>0)的左、右焦点分
a2 b2
别为F，F，其离心率e= 5，从F 发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若
1 2 2
反射光线与入射光线垂直，则sin∠FFE= ( )
2 1
5 5 4 2 5
A. B. C. D.
6 5 5 5
答案 B
【分析】设EF 1 =m，EF 2 =n，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得n=2a，进而得出结论．
解析 设EF 1 =m，EF 2 =n，F 1 F 2
c
=2c，由题意知m-n=2a，FE⊥EP， = 5， 2 a
所以m2+n2-2mm=4a2，c= 5a，m2+n2=4c2，所以mn=2c2-2a2=8a2，
又m-n=2a，所以n2+2an-8a2=0，解得n=2a，
所以sin∠FFE= EF 2
2 1
F 1 F 2
2a 5 = = .
2 5a 5
故选：B.
8.若集合 x xlnx+k-ln4 x+k<0 中仅有2个整数，则实数k的取值范围是 ( )
3 4 2
A. ln , ln2
4 3 3
2 3
B. ln2, ln3
3 4
2 3
C. ln2, ln2
3 2
3 2 2
D. ln , ln2
4 3 3
答案 A
【分析】原不等式等价于kx+1 0，fx 单调递增；
4
当x> 时，f x
e
<0，fx 单调递减.
又f4 =0，x→0时，fx →0，
因此y=fx 与y=gx 的图象如图，
·42·当k≤0时，显然不满足题意；
g1
当k>0时，当且仅当
0)的焦点F作直线l，交抛物线于A,B两点，若FA =3FB ，则直线l的倾斜角可
能为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 BC
【分析】分直线l的倾斜角为锐角、钝角讨论，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B，直线l交准线于C，
作BM⊥AA，垂足为M，结合抛物线定义、图形性质可得答案.
解析 当l的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，
p
准线方程为x=- ，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B，
2
直线l交准线于C，作BM⊥AA，垂足为M，
则AA =AF ，BB =BF ，FA =3FB ，
所以AM =2BF ，AB =4BF =2AM ，
所以∠ABM=30°，则∠BFO=60°，所以直线l的倾斜角60°；
·43·当直线l的倾斜角为钝角时，
如图所示，由抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，
p
准线方程为x=- ，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B，
2
直线l交准线于C，作BM⊥AA，垂足为M，
则AA =AF ，BB =BF ，FA =3FB ，
所以AM =2BF ，AB =4BF =2AM ，
所以∠ABM=30°，则∠BFO=60°，
则l的倾斜角为120°.
故选：BC.
10.已知函数 fx =asinωx+4φ a>0，ω>0，φ
π
<
3
，若 fx 的图象过A0,1 ，Bm,2 ，Cm+π,0
三点，其中点B为函数fx 图象的最高点(如图所示)，将fx 图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐
1 π
标变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到函数gx
4 6
的图象，则 ( )
A. fx
1 5π
=2sin x+
2 6
B. gx
π
=2sin2x-
6
C. fx
2π
的图象关于直线x= 对称 D. gx
3
5π
在 - ,-π
3
上单调递减
答案 BC
【分析】由图象得fx
1 π
=2sin x+
2 6
，然后对选项逐一判断.
1 2π 1
解析 由题意得a=2， × =π，ω= ，所以fx
4 ω 2
1
=2sin x+4φ
2
，.
由f0 =1，得2sin4φ=1，由图知fx 在0，m 上单调递增，
π kπ π
所以4φ=2kπ+ ，k∈Z，所以φ= + ，k∈Z.
6 2 24
又φ
π π
< ，只可能k=0，所以φ= ，
3 24
所以fx
1 π
=2sin x+
2 6
，gx
π
=2sin2x-
6
，故A错误，B正确；
2π
因为f
3
1 2π π
=2sin × +
2 3 6
=2，所以fx
2π
的图象关于直线x= 对称，故C正确；
3
π π 3π π 5π
令 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z)，解得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z)，
2 6 2 3 6
·44·5π 7π 5π
令k=-2，得- ≤x≤- ，又 - ,-π
3 6 3
5π 7π
包含 - ,-
3 6
但不是其子集，故D错误.
故选：BC.
11.如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面BCC B 内(含边界)一点，则
1 1 1 1 1 1
( )
A.若D P⊥平面A C D，则点P与点B重合
1 1 1
2 6 3π
B.以D为球心， 为半径的球面与截面ACD 的交线的长度为
3 1 3
7 17
C.若P为棱BC中点，则平面D EP截正方体所得截面的面积为
1 6
D.若P到直线A B 的距离与到平面CDD C 的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧
1 1 1 1
答案 ABC
【分析】由线线垂直证明线面垂直判断选项A；由球面与截面的交线轨迹，计算长度判断选项B；由位置关
系得截面形状，计算面积判断选项C；由P点位置特征分析轨迹形状判断选项D.
解析 正方体ABCD-A B C D 中，BC⊥平面DCC D ，DC ⊂平面DCC D ，BC⊥DC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
正方形DCC D 中，D C⊥DC ，
1 1 1 1
D C,BC⊂平面BCD ，D C∩BC=C，则DC ⊥平面BCD ，
1 1 1 1 1
D B⊂平面BCD ，DC ⊥D B，
1 1 1 1
同理，DA ⊥D B，
1 1
DA ,DC ⊂平面A C D，DA ∩DC =D，D B⊥平面A C D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
若点P不与B重合，因为D P⊥平面A C D，则D P⎳D B，与D P∩D B=D 矛盾，
1 1 1 1 1 1 1 1
故当D P⊥平面A C D时，点P与B重合，故A正确；
1 1 1
DA=DC=DD ，AC=AD =CD ，三棱锥D-ACD 为正三棱锥，
1 1 1 1
故顶点D在底面ACD 的射影为△ACD 的中心H，
1 1
1 1 1 1 3
连接DH，由V =V ，得 × ×2×2×2= × ×2 2×2 2× DH，
D-ACD1 D1-ACD 3 2 3 2 2
2 2 6 2 6
所以DH= ，因为球的半径为 ，所以截面圆的半径r=
3 3 3
2 2
-
3
2 2
= ，
3
2
所以球面与截面ACD 的交线是以H为圆心， 为半径的圆在△ACD 内部部分，
1 3 1
·45·1 3 6 2 3
如图所示，HN= ×2 2× = ，所以MF=2
3 2 3 3
2 6
-
3
2 2 6
= .
3
π π
HF2+HM2=MF2，所以∠MHF= ，同理，其余两弦所对圆心角也等于 ，
2 2
2 π 2 3π
所以球面与截面ACD 的交线的长度为2π× -3× × = ，故B正确；
1 3 2 3 3
对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接D M、D G，
1 1
分别交侧棱C C于点N，交侧棱A A于点H，连接EH和NP，如图所示：
1 1
则截面为五边形D HEPN，
1
GA=AE=EB=BP=PC=CM=1，GE=EP=PM= 2，GM=3 2
2 13
D G=D M= D D2+DM2= 13，HA= ，GH= ，
1 1 1 3 3
1
GM
2 3 17
cos∠D GM= = ，故sin∠D GM= ，
1 D G 26 1 26
1
1 17 3 17 1 13 17 17
所以S = × 13×3 2× = ，S = × 2× × = ，
△D1GM 2 26 2 △GEH 2 3 26 6
3 17 17 7 17
所以五边形D HEPN的面积S=S -2S = -2× = ，故C正确；
1 △D1GM △GEH 2 6 6
因为A B ⊥平面BCC B ，PB ⊂平面BCC B ，
1 1 1 1 1 1 1
所以PB ⊥A B ，点P到直线A B 的距离即点P到点B 的距离，
1 1 1 1 1 1
因为平面BCC B ⊥平面CDD C ，故点P到平面CDD C 的距离为点P到CC 的距离，
1 1 1 1 1 1 1
由题意知点P到点B 的距离等于点P到CC 的距离，
1 1
故点P的轨迹是以B 为焦点，以CC 为准线的抛物线在侧面BCC B 内的部分，故D错误.
1 1 1 1
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：
“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态
的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求
解，二是利用空间向量的坐标运算求解.
作几何体截面的方法：(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面.
找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面交点法：各棱面与截平面的交线.
·46·第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
2
12. x-
x
9
的展开式中的常数项为 ．(用数字作答)．
答案 -672
解析 根据二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.
2 x-
x
9 的展开式的通项公式为T =Cr( x)9-r- 2
r+1 9 x
r =Cr(-2)rx 9- 2 3r ，
9
9-3r
令 =0，得r=3，
2
故常数项为C3(-2)3=-672．
9
故答案为：-672.
【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项，属基础题.
13.已知A为圆C：x2+y-1
1
2= 上的动点，B为圆E：x-3
4
1 1
2+y2= 上的动点，P为直线y= x上的
4 2
动点，则PB -PA 的最大值为 .
130
答案 +1
5
1
【分析】设E关于直线y= x的对称点为E，求出E，要使PB
2
-PA 的值最大，转化为P,A,B(其中B
1
为B关于直线y= x的对称圆E上的点)三点共线，利用该直线过C,E两点可得答案.
2
解析 设E3,0
1
关于直线y= x的对称点为E m,n
2
，
n 1 9
m-3 ⋅ 2 =-1 m= 5 9 12
则 ，解得 ，故E ,
n 1 m+3 12 5 5
= ⋅ n=
2 2 2 5
，
1 9 则圆E关于y= x对称的圆E的方程为x-
2 5
2 12 +y-
5
2 1 = ，
4
要使PB -PA 的值最大，
1
则P,A,B(其中B为B关于直线y= x的对称圆E上的点)三点共线，
2
且该直线过C,E两点，如图，
其最大值为AB =CE 9 +1=
5
2 12 + -1
5
2 130 +1= +1.
5
130
故答案为： +1.
5
14.在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，
9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，x ，x ，⋯，x ，3为数列1，3的第n次扩展
1 2 2n-1
·47·数列，令a n =log 3 1×x 1 ×x 2 ×⋯×x 2n-1 ×3 ，则数列a n 的通项公式为 .
3n+1
答案 a =
n 2
【分析】根据数列的定义找到a 与a 的关系，然后利用构造法结合等比数列的定义求解即可.
n+1 n
解析 因为a n =log 3 1×x 1 ×x 2 ×⋯×x 2n-1 ×3 ，
所以a n+1 =log 3 1⋅1⋅x 1 x 1x 1 x 2 x 2 ⋯x 2n-1 x 2n-1 ⋅3 ⋅3 =log 3 12⋅x3 1 x3 2 ⋯x3 2n-2 x3 2n-1 ⋅32 =3a -1， n
1 1
所以a - =3a -
n+1 2 n 2
，
又a 1 =log 31×3×3
1 3
=2，所以a - = ， 1 2 2
1
所以a -
n 2
3
是以 为首项，3为公比的等比数列，
2
1 3 3n 3n+1
所以a - = ×3n-1= ，所以a = .
n 2 2 2 n 2
3n+1
故答案为：a =
n 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，
首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，
答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N60,144 ，规定X≥72为达标，求进入面试
环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)；
2 4
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，每道题是否答对互不影响，
3 5
求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若X~Nμ,σ2 (σ>0)，则Pμ-σb>0)的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，右顶点为A，且AF 1 +AF 2 =4，
1
离心率为 .
2
(1)求C的方程；
(2)已知点B-1,0 ，M，N是曲线C上两点(点M，N不同于点A)，直线AM,AN分别交直线x=-1于
9
P，Q两点，若BP⋅BQ=- ，证明：直线MN过定点.
4
x2 y2
答案 (1) + =1
4 3
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意列方程组求解a,b,c的值，即得答案；
(2)设MN的方程x=sy+t并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线AM,BM的方程，进而
9
求得P,Q坐标，结合BP⋅BQ=- 化简求值，可得t的值，即可证明结论.
4
2a=4
c 1
解析 (1)设椭圆C的半焦距为c，由题意得 = ，
a 2
a2=b2+c2
a=2
解得b= 3，
c=1
x2 y2
故C的方程为 + =1.
4 3
(2)证明：由题意可知直线MN的斜率不为0，否则P,Q将位于x轴同侧，BP⋅BQ>0，不合题意；
x2 y2
设MN的方程为x=sy+t(t≠2)，代入 + =1，
4 3
·51·得3s2+4
y2+6sty+3t2-12=0，
由Δ=36s2t2-43s2+4
3t2-12
>0，得3s2+4-t2>0，
设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2
6st 3t2-12
，则y +y =- ，y y = ， 1 2 3s2+4 1 2 3s2+4
所以x 1 +x 2 =sy 1 +y 2
8t
+2t= ， 3s2+4
x 1 x 2 =sy 1 +t sy 2 +t =s2y 1 y 2 +sty 1 +y 2
4t2-12s2
+t2= ， 3s2+4
y
直线AM的方程为y= 1 x-2
x -2
1
3y 3y
，令x=-1，得y=- 1 ，故P-1,- 1
x -2 x -2
1 1
，
3y
同理可求Q-1,- 2
x -2
2
，
3y
所以BP=0,- 1
x -2
1
3y
，BQ=0,- 2
x -2
2
，
9 3y 3y
由BP⋅BQ=- ，得- 1 ⋅- 2
4 x -2 x -2
1 2
9
=- ，
4
y y
即 1 2
x 1 x 2 -2x 1 +x 2
3t2-12
1 3s2+4 1
=- ，所以 =- ，
+4 4 4t2-12s2 8t 4 -2× +4
3s2+4 3s2+4
3t2-4
所以
t-2
=-1，解得t=-1，(t=2舍)，
2
所以直线MN的方程为x=sy-1，故直线MN过定点-1,0 .
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设
直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，
且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心.
19（. 17分）已知函数fx =x-1 ex-alnx(a∈R).
(1)当a=e时，求fx 的最小值；
(2)若fx 有2个零点，求a的取值范围.
答案 (1)0
(2)0,e ∪e,+∞
【分析】(1)依据给定参数值，确定具体函数，用导数求解最值即可.
(2)根据题意，对参数范围进行分类讨论，找到符合题意的情况即可.
解析 (1)fx 的定义域为0,+∞ .
当a=e时，fx =x-1 ex-elnx，f x
e x2ex-e
=xex- = .
x x
令gx =x2ex-e(x>0)，则g x =x2+2x ex>0，
所以gx 在上0,+∞ 单调递增，又g1 =0，所以当x∈0,1 时，gx <0，f x <0；
·52·当x∈1,+∞ 时，gx >0，f x >0，
所以fx 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，
所以fx min =f1 =0.
(2)由题意知f x
a x2ex-a
=xex- = (x>0).
x x
①当a≤0时，f x >0在0,+∞ 上恒成立，所以fx 在0,+∞ 上单调递增，所以fx 至多有一个零
点，不合题意；
②当a>0时，令hx =x2ex-a，则h x =x2+2x ex>0在0,+∞ 上恒成立，
所以hx 在0,+∞ 上单调递增，
因为h0 =-a<0，h a =ae a-a=ae a-1 >0，
所以存在唯一x 0 ∈0, a ，使得hx 0 =x2ex0-a=0，所以a=x2ex0. 0 0
当x∈0,x 0 时，hx <0，f x <0；当x∈x 0 ,+∞ 时，hx >0，f x >0，
所以fx 在0,x 0 上单调递减，在x 0 ,+∞ 上单调递增，
所以fx min =fx 0 =x 0 -1 ex0-alnx . 0
(a)当a=e时，由(1)知fx min =f1 =0，即a=e时，x 0 =1，且fx 0 =0，fx 只有一个零点1，不合题
意；
(b)当a>e时，因为a=x2 0 ex0>e，则x 0 >1，又fx 在0,x 0 上单调递减，
所以fx min =fx 0 1时，φ x >0，φx 在1,+∞ 上单调递增；当01时，φx >φ1 =0，即x-1-lnx>0.
又lna>1，所以lna-1-lnlna >0，所以flna =aφlna >0，
由fx 的单调性及零点存在定理，知fx 在x 0 ,+∞ 上有且仅有一个零点.
又fx 在0,x 0 上有且仅有一个零点1，所以，当a∈e,+∞ 时，fx 存在两个零点；
(c)当0e
-1
a-1
1
-1
1-e a
+1=-1+1=0，
由fx 的单调性及零点存在定理，知fx 在0,x 0 上有且有一个零点，
又1为fx 在x 0 ,+∞ 内的唯一零点，所以当a∈0,e 时，fx 存在两个零点.
综上可知，a的取值范围是0,e ∪e,+∞ .
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是正确对参数范围进行讨论，然后得到零点个数，最后得到
所要求的参数范围．
·53·河南省金太阳联考 2023 - 2024 学年高三上学期 2 月期末检测
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
(2+3i)i3
1.已知复数z= ，则z= ( )
1+i
1 5 1 5 1 5 1 5
A.- + i B. + i C.- - i D. - i
2 2 2 2 2 2 2 2
答案 B
(2+3i)i3 (3-2i)(1-i) 1 5 1 5
解析 因为z= = = - i，所以z= + i．
1+i (1+i)(1-i) 2 2 2 2
2.已知集合A=x∣log (4-x)<1
2
,B={x∣x>a}，若A∩B=A，则a的最大值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由题意可得A={x∣20,tanα<0,sinαtanα<0．若sinαtanα<0，则α是第二象限角或第三
象限角．故选A．
4.某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，10名参赛者的成绩(单位：个)分别是152，136，125，131，
129，123，143，119，115，138，则这组数据的中位数是 ( )
A.126 B.129 C.130 D.131
答案 C
解析 将这组数据从小到大排列为115，119，123，125，129，131，136，138，143，152，第5个和第6个
129+131
数据分别是129和131，则这组数据的中位数是 =130．
2
5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与拋物线C交于A，B两点，点A在x轴上方，且A的横
|BF|
坐标为5，则 = ( )
|AF|
2 5 2 3
A. B. ． C. D.
7 7 5 5
答案 C
解析 如图，设点A，B在抛物线C的准线上的投影分别是A,B，作BD⊥AA，垂足为D，BD与x轴交于
点E，由题意可知|AF|=5+2=7．设|BF|=m，则|AD|=7-m,|EF|=4-m，易证△BEF∽△BDA，则
|BF| |EF| m 4-m 14 |BF| 2
= ，即 = ，整理得5m=14，解得m= ，故 = ．
|AB| |AD| m+7 7-m 5 |AF| 5
·54·6.折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动．如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为O，
在圆内任取一点P，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点P重合，记此时的折痕为l，点Q在l上，则
|OQ|+|PQ|的最小值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 D
解析 如图，设P关于l对称的点为P 1 ，则P 1 在圆O上，连接P 1 Q,OP 1 ，则有|PQ|=QP 1 ，故|QP|+|QO|=
QP 1 +|QO|≥OP 1 =2．
x2 y2
7.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过点F的直线l:x+ 3y+m=0与y轴交于点
a2 b2
B，与双曲线C交于点A(A在y轴右侧)．若B是线段AF的中点，则双曲线C的离心率是 ( )
A. 2 B.2 C. 3 D.3
答案 C
3
解析 设双曲线C的右焦点为F(c,0)．因为直线l的斜率是- ，所以∠BFF=30°，所以|OF|=c,
3
3c
|OB|= ,|BF|=BF
3
2 3c
= ．因为B是线段AF的中点，所以|AB|=|BF|=BF
3
2 3c
= ．因为
3
∠ABF=60°，所以AF
2 3c
= ．由双曲线的定义可得2a=|AF|-AF
3
2 3c
= ，则双曲线C的离心率
3
·55·c
e= = 3．
a
8.函数f(x)=sinx-sin3x+sin2xcosx+2cos3x的值域是 ( )
A.[- 2, 2] B.[-2,2] C.[- 2,2] D.[-2, 2]
答案 B
解析 f(x)=sinx-sin(2x+x)+sin2xcosx+2cos3x=sinx(1-cos2x)+2cos3x=2sin3x+2cos3x=2
π
(sinx+cosx)(1-sinxcosx)．设t=sinx+cosx= 2sinx+
4
t2-1
∈[- 2， 2]，则g(t)=2t1-
2
=
-t3+3t，从而g(t)=-3t2+3．由g(t)>0，得-1 R3
3 12
π
D.若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB= ，则a2+b2>c2
2
答案 BC
·56·3 π
解析 若平面△ABC是面积为 R2的等边三角形，则AB=BC=AC=R，则α=β=γ= ,a=b=c=
4 3
π π
R．A不正确．若a2+b2=c2，则(aR)2+(βR)2=(γR)2，则a2+β2=γ2．B正确．若a=b=c= R，则α
3 3
π 3 R2
=β=γ= ,AB=BC=AC=R，则平面△ABC的面积为 R2，则O到平面ABC的距离h= R2-
3 4 3
6 1 2
= R，则三棱锥O-ABC的体积V = S ⋅h= R3，则球面O-ABC的体积V>V =
3 O-ABC 3 △ABC 12 O-ABC
2
R3．C正确．由余弦定理可知
12
BC2=2R2-2R2cosα,
π π π
AC2=2R2-2R2cosβ,因为C= ,所以BC2+AC2=AB2,则cosα+cosβ-cosγ=1,取α=β= ,γ= ，
2 3 2
AB2=2R2-2R2cosγ,
π π 2π2 π2
则a=b= R,c= R，则a2+b2= R2< R2=c2．D不正确．
3 2 9 4
11.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，且f(x-1)-f(1-x)=2x-2,f(x)的图象关于点(1,
0)对称，则 ( )
A. f(0)=1 B. y=f(x)-x为偶函数
C. f(x)的图象关于点(1,0)对称 D. f(2024)=-2023
答案 ABD
解析 由f(x-1)-f(1-x)=2x-2，可得f(x)-f(-x)=2x，则f(x)+f(-x)=2，令x=0，得f(0)=
1．A正确．令g(x)=f(x)-x，则g(-x)=f(-x)+x=f(x)-x=g(x)，故y=f(x)-x为偶函数．B正
确．假设f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(x-1)+f(1-x)=0，则f(x-1)-f(1-x)=0，即f(x)
-f(-x)=0，则f(x)=1，这与f(x)的图象关于点(1,0)对称矛盾，假设不成立．C不正确．因为f(x)
的图象关于点(1,0)对称，所以f(1+x)+f(1-x)=0，令h(x)=f(1+x)-f(1-x)，则
，则 为常数)，则
，从而 ，即 ，由
，得 -2023．D正确．
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知单位向量a,b满足|3a+b|=5，则a⋅(a+2b)=
答案 6
解析 因为|3a +b |=5，所以(3a +b )2=25，所以9a 2 +6a ⋅b +b 2 =25，则a ⋅b = 5 ，故a ⋅(a +2b )=a 2
2
+2a⋅b=6.
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构
成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，
在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是
·57·A
B
H
E
C
D
F
3
答案
6
解析 取棱AB的中点G，连接HG，FG.因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以HG⎳AC，则∠FHG
是异面直线HF与AC所成的角或补角.设AB=2，则HG=1,FG= 5,HF= 3.在△GHF中，由余弦定
HG2+FH2-FG2 3 3
理可得cos∠FHG= =- ，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是 .
2HG⋅FH 6 6
14.将1,2,3,⋯,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第
1行中最大的数为a，第2行中最大的数为b，第3行中最大的数为c，则ab>0)的右焦点与点P ,1
a2 b2 2
连线的斜率为2，且点(1,e)在椭圆C
上(其中e为C的离心率)．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)已知点D(2,0)，过点P的直线l与C交于A，B两点，直线DA，DB分别交C于M，N两点，试问直线
·60·MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1-0
3 -c a2=2,
解析 (1)由题意可得
1
+
c2
=1,
解得b2=1,
a2 a2b2
c2=1,
a2=b2+c2,
3
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m(y-1)+ 2 ,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ，y 2 ,Mx 3 ,y 3 ,
Nx 4 ,y 4 ，
x -2
则直线DA的方程为x= 1 y+2．
y
1
x -2
x= 1
y
y+2,
联立 x2 1 整理得3-2x 1
+y2=1,
2
y2+2x 1 -2 y y+y2=0 1 1
y2 y
则y y = 1 ，即y = 1 ．
1 3 3-2x 3 3-2x
1 1
x -2 x -2 3 1
代入x= 1 y+2，得x = 1 +2= -
y 1 3 3-2x 1 2 23-2x 1
．
y 3 1
同理可得y = 2 ,x = -
4 3-2x 2 4 2 23-2x 2
．
y y
2 - 1
y -y 3-2x 3-2x 因为k = 1 3 = 2 1
MN x -x 1
4 3
23-2x 1
1
-
23-2x 2
= y 23-2x 1 -y 13-2x 2
x -x
1 2
3
y 3-2my -m+ 2 1 2 =
3
-y 3-2my -m+ 1 1 2
my 1 -y 2
= 2my 2 -y 1
my 1 -y 2
=-2,
所以直线MN的斜率为定值，且定值为-2．
19（. 17分）已经函数fx =x+a
a
lnx- x2-xa>0
2
．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
1
(2)当00，则方程-ax2+x-a=0存在两个不同的实数根m，n(设m0,mn=1，则00，则f(x)=g(x)在(0,m)和(n,+∞)上单调
递减，在(m,n)上单调递增．
f(1)=0,f a2
1 1
=2lna+ -a3,f
a a2
1
=-2lna+a3- =-f a2
a
，
1 1
令h(x)=2lnx+ -x30h
2
15
= -2ln2>0，则f a2
8
1
>0,f
a2
<0,
不妨令x 0，当x∈x 1 ,x 2 ∪x 3 ,+∞ 时，f(x)<0，则f(x)在(0，x 1 和x 2 ,x 3 上单调递增，在x 1 ,x 2
和x 3 ,+∞ 上单调递减，从而f(x)恰有三个极值点x ,x ,x ． 1 2 3
1
由f x +f(x)=0,f x 1 +f x 3 =0，得x x =1，所以x x x =x x =1． 1 3 1 2 3 1 3
·62·辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体 2024 届高三高考适应
性考试模拟数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合S=ss=2n+1,n∈Z ，T=tt=4n+1,n∈Z ，则S∩T= ( )
A.∅ B.S C.T D.Z
答案 C
【分析】分析可得T⊆S，由此可得出结论.
解析 任取t∈T，则t=4n+1=2⋅2n +1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，
因此，S∩T=T.
故选：C.
2.已知复数z满足z =1且有z5+z+1=0，则z= ( )
1 3 1 3 2 2 3 1
A.- ± i B. ± i C. ± i D. ± i
2 2 2 2 2 2 2 2
答案 A
【分析】设z=cosθ+isinθ(i为虚数单位)，由棣莫佛公式可知z5=cos5θ+isin5θ，根据平方关系求出
cosθ，从而求出sinθ，即可得解.
解析 设z=cosθ+isinθ(i为虚数单位)，由棣莫佛公式可知z5=cos5θ+isin5θ，
因为z5+z+1=0，所以cos5θ+isin5θ+cosθ+isinθ+1=0，即cos5θ+cosθ+1 +sin5θ+sinθ i=
0，
cos5θ+cosθ+1=0 cos5θ=-cosθ-1
所以 ，即 ，因为cos5θ
sin5θ+sinθ=0 sin5θ=-sinθ
2+sin5θ 2=1，
所以cos5θ 2+sin5θ 2=-cosθ-1 2+-sinθ 2=1，
1 3
即cos2θ+2cosθ+1+sin2θ=1，所以cosθ=- ，所以sinθ=± 1-cos2θ=± ，
2 2
1 3
所以z=- ± i.
2 2
故选：A
sinα
3.已知α，β均为锐角，且cos(α+β)= ，则tanα的最大值是 ( )
sinβ
2 2
A.4 B.2 C. D.
4 5
答案 C
sinα
【分析】将cos(α+β)= 变形，配角sinα=sin[(α+β)-β]利用两角差的正弦公式展开化简计算，可
sinβ
得关于tanβ的一元二次方程，根据Δ≥0列不等式求解tanα的取值范围，即可得最大值.
sinα
解析 ∵cos(α+β)= ，∴cos(α+β)sinβ=sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)
sinβ
tanα+tanβ
sinβ，即tan(α+β)=2tanβ，∴ =2tanβ，即2tanαtan2β-tanβ+tanα=0，又因为β为锐角，所
1-tanαtanβ
2 2 2
以该方程有解，即Δ=1-8tan2α≥0，解得- ≤tanα≤ ．又α为锐角，∴00，在(π,2π)上f(x)<0，
所以f(x)在(-2π,-π)、(π,2π)上递减，(-π,π)上递增，符合；
1 1
C：由f(-x)=(-x)2- =x2- =f(x)且定义域为{x|x≠0}，为偶函数，
(-x)2 x2
2
所以题图不可能在y轴两侧，研究(0,+∞)上性质：f(x)=2x+ >0，故f(x)递增，不符合；
x3
D：由f(-x)=sin(-x)+(-x)3=-sinx-x3=-f(x)且定义域为R，为奇函数，
研究(0,+∞)上性质：f(x)=cosx+3x2>0，故f(x)在(0,+∞)递增，
所以f(x)在R上递增，不符合；
故选：B
5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图
2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y
轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y=1.1x，第n(n∈N，第0根
弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l:y=x+1交于点A nx n ,y n 和B nx n ,y n
20
，则y y n n
n=0
= ( ) 参考数据：1.122=8.14．
A.814 B.900 C.914 D.1000
答案 C
【分析】根据题意，有y =1.1n，y=n+1，则有y y=(n+1)1.1n，利用错位相减法分析可得答案．
n n n n
·64·解析 根据题意，第n根弦分别与雁柱曲线y=1.1x和直线l:y=x+1交于点A (x ，y )和B (x，y)，
n n n n n n
则y =1.1n，y=n+1，则有y y=(n+1)1.1n，
n n n n
20
设T=y y ，则T=1+2×1.1+3×1.12+4×1.13+⋯⋯+21×1.120，①
n n n n
n=0
则1.1T=1.1+2×1.12+3×1.13+4×1.14+⋯⋯+21×1.121，②
n
1⋅121-1
①-②可得：-0.1T=1+1.1+1.12+1.13+⋯⋯+1.120-21×1.121= -21×1.121
n 1.1-1
=10×(1.121-1)-21×1.121=-10-11×1.121=-10-10×1.122=-91.4；
T=914，
n
20
故y y =914；
n n
n=0
故选：C
6.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为 ( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
答案 B
【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，
2πR4
内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>1，∠BDC=θ，则tanθ=R，求出S= ，再换元利用基本
R2-1
不等式求出函数的最小值得解.
解析 设圆锥的内切球半径为r，则4πr2=4π，解得r=1，
设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，
轴截面如下图示，内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>1，∠BDC=θ，则tanθ=R，
又∠ADE=π-2θ，故AB=BE+AE=R+tan(π-2θ)=R-tan2θ，
2tanθ 2R 2R R(R2+R)
又tan2θ= = ，故AB=R- = ，
1-tan2θ 1-R2 1-R2 R2-1
πR2(R2+1) 2πR4
故该圆锥的表面积为S= +πR2= ，
R2-1 R2-1
令t=R2-1>0，所以R2=t+1，
2π(t+1)2 1
所以S= =2π⋅t+ +2
t t
1
≥2π⋅2 t⋅ +2
t
=8π.
(当且仅当t=1时等号成立)
所以该圆锥的表面积的最小值为8π.
故选：B
7.已知定点P(m,0)，动点Q在圆O：x2+y2=16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹
是双曲线，则m的值可以是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
·65·【分析】当P在圆内时，由几何性质可得MP +MO =4>OP =m ，此时M的轨迹是以O,P为焦点的
椭圆. 当P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O.当P在圆外时，MP -MO =4<OP =
m ,此时M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
解析 当P在圆内时，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点,
则OH⊥PQ, 线段PQ的中点E在线段HQ内，则线段PQ的中垂线交线段OQ于点M，如图1 .
连接MP, 则QM =MP , 所以MP +MO =MQ +MO =OQ =4
则MP +MO =4>OP =m
此时M的轨迹是以O,P为焦点的椭圆.
当P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O.
当P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点,
则OH⊥PQ, 线段PQ的中点E在线段HP内，则线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M，如图2
.
连接MP, 则QM =MP , 所以MP -MO =MQ -MO =OQ =4
则MP -MO =4<OP =m
此时M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的一支.
同理当Q在圆上运动时，还会得到MO -MP =4<OP =m
所以动点M的轨迹是双曲线，则P在圆外,所以m >r=4
故选：D
1
8.设a=cos0.1，b=10sin0.1，c= ，则 ( )
10tan0.1
A.aa,c>a，再构造函数，比较出c< < <
239600 600
b，得到结论.
1
解析 a=cos0.1>0,b=10sin0.1>0,c= >0，
10tan0.1
b a
=10tan0.1， =10tan0.1⋅cos0.1=10sin0.1，
a c
·66·π
下证θ∈0,
2
时，tanθ>θ>sinθ，
π
设∠AOB=θ∈0,
2
，射线OB与单位圆O相交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，
单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作AB⊥x轴，交射线OB于点B，连接AC，
则CD=sinθ,AB=tanθ，
设扇形AOC的面积为S，因为S 0.1>sin0.1，所以 =10tan0.1>10×0.1=1， =10sin0.1<10×0.1=1，
a c
所以b>a,c>a，
因为b=10sin0.1，令fx
x3 π
=sinx-x+ ，x∈0,
6 2
，
则f x
x2
=cosx-1+ ，其中f 0
2
=0，
令gx =f x ，则g x =-sinx+x，g 0 =0，
令hx =g x ，则h x
π
=-cosx+1>0在x∈0,
2
上恒成立，
则hx =g x
π
在x∈0,
2
上单调递增，又g 0 =0，
故hx =g x
π
=-sinx+x>0在x∈0,
2
上恒成立，
所以gx =f x
x2 π
=cosx-1+ 在x∈0,
2 2
上单调递增，又f 0 =0，
故gx =f x
x2 π
=cosx-1+ >0在x∈0,
2 2
上恒成立，
所以fx
x3 π
=sinx-x+ 在x∈0,
6 2
上单调递增，又f0 =0，
0.13 0.13 1 1 599
所以sin0.1-0.1+ >0，即sin0.1>0.1- = - = ，
6 6 10 6000 6000
599
则b=10sin0.1>
600
1 cos0.1
因为c= = ，
10tan0.1 10sin0.1
令qx
x2 x4 π
=cosx-1+ - ，x∈0,
2 24 2
，
则q x
x3
=-sinx+x- ，令wx
6
=q x
x3
=-sinx+x- ，
6
·67·则w x
x2
=-cosx+1- ，令ex
2
=w x
x2
=-cosx+1- ，
2
则e x =sinx-x，令rx =e x =sinx-x，
则r x
π
=cosx-1<0在x∈0,
2
上恒成立，
所以rx =e x
π
=sinx-x在x∈0,
2
单调递减，
又r0 =0，故rx =e x
π
=sinx-x<0在x∈0,
2
上恒成立，
所以ex =w x
x2 π
=-cosx+1- 在x∈0,
2 2
上单调递减，
又e0 =0，故ex =w x
x2 π
=-cosx+1- <0在x∈0,
2 2
上恒成立，
所以wx =q x
x3 π
=-sinx+x- 在x∈0,
6 2
上单调递减，
又w0 =0，故wx =q x
x3 π
=-sinx+x- <0在x∈0,
6 2
上恒成立，
故qx
x2 x4 π
=cosx-1+ - 在x∈0,
2 24 2
上单调递减，
又q0 =0，故q0.1
0.01 0.0001 238801
<0，即cos0.1<1- + = ，
2 24 240000
238801
1 cos0.1 240000 238801 600 238801
故c= = < = × = ，
10tan0.1 10sin0.1 599 240000 599 239600
600
238801 599
其中c< < k时，恒有b +b +⋯+b k时，恒有b +b +⋯+b ≥n-2023，
2 3 n
n-1
不妨设a =2n，则b +b +⋯+b = ，
n 2 3 n 2
n-1
取k=4047，当k>4047时，b +b +⋯+b = k时，恒有b +b +⋯+b 8
答案 CD
【分析】结合已知sin2α+sin2β=2sinα+β cosα-β 对sin2A+sinA-B+C =sinC-A-B
1
+
2
进行变形化简即可得sinAsinBsinC的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆
a
半径R可求 =2R的范围，从而判断B；根据sinAsinBsinC的值，结合△ABC外接圆半径R即可求
sinA
abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得bcb+c >bc⋅a，从而判断D﹒
解析 ∵△ABC的内角A、B、C满足sin2A+sinA-B+C =sinC-A-B
1
+ ，
2
∴sin2A+sinπ-2B =sinC-π+C
1 1
+ ，即sin2A+sin2B=-sin2C+ ，
2 2
1
∴sin2A+sin2B+sin2C= ，
2
由题可知，sin2α+sin2β=2sinα+β cosα-β ，
∴2sinA+B cosA-B
1
+sin2C= ，
2
∴2sinCcosA-B
1
+2sinCcosC=
2
∴2sinC cosA-B -cosA+B
1
= ，
2
1
∴有sinAsinBsinC= ，故A错误；
8
设△ABC的外接圆半径为R，
a b c
由正弦定理可知， = = =2R，
sinA sinB sinC
1 1 R2
∴S= absinC= ⋅2RsinA⋅2RsinB⋅sinC=2R2sinAsinBsinC= ∈1,2
2 2 4
，
∴R∈2,2 2
a
，∴ =2R∈4,4 2
sinA
，故B错误；
abc=8R3sinAsinBsinC∈8,16 2 ，故C正确；
bcb+c >abc≥8，故D正确．
故选：CD．
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种.
答案 14
【分析】根据加法分类计数原理求解即可.
解析 不妨设圆周上的点依次为A,B,C,D,E,F,G,H，
要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：
符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；
·70·共计2+4+8=14种.
故答案为：14.
π
13.已知f(x)=2sin2x+
3
3π
，若∃x ,x ,x Î 0,
1 2 3 2
，使得f(x )=f(x )=f(x )，若x +x +x 的最大值为M，
1 2 3 1 2 3
最小值为N，则M+N= .
23π
答案
6
3π
【分析】作出f(x)在 0,
2
上的图象，x ,x ,x 为f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标，
1 2 3
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
π
解析 作出f(x)=2sin2x+
3
3π
在 0,
2
上的图象(如图所示)
π 3π
因为f(0)=2sin = 3，f
3 2
π
=2sinπ+
3
=- 3，
所以当f(x)的图象与直线y= 3相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为x 、x 、x ，此时和最小为N，
1 2 3
π
由2sin2x+
3
π
= 3，得sin2x+
3
3
= ，
2
π 7π
则x =0，x = ，x =π，N= ；
1 2 6 3 6
当f(x)的图象与直线y=- 3相交时，
设三个交点横坐标依次为x 、x 、x ，此时和最大为M，
1 2 3
π
由2sin2x+
3
π
=- 3，得sin2x+
3
3
=- ，
2
7π 3π 8π
则x +x = ，x = ，M= ；
1 2 6 3 2 3
23π
所以M+N= .
6
23π
故答案为： .
6
x2 y2
14.已知椭圆C: + =1，F、F 分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上
4 3 1 2
S
一点，使得PD平分∠F PF ．过点D作PF 、PF 的垂线，垂足分别为 A、B．则 △DAB 的最大值是
1 2 1 2 S
△PF1F2
．
3
答案 /0.1875
16
S 3 3
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得 △DAB = 1-
S 4 |PF||PF|
△PF1F2 1 2
，再利用均值不
等式求解作答.
·71·θ
解析 设∠FPF=θ，依题意，∠ADB=π-θ，|AD|=|BD|=|PD|sin ，由S +S =S ，
1 2 2 △PF1D △PF2D △F1PF2
1 θ 1 θ 1 θ |PF||PF|sinθ
得 |PF||PD|sin + |PF||PD|sin = |PF||PF|sinθ，即|PD|sin = 1 2 ，
2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 |PF|+|PF|
1 2
1 θ
|AD||BD|sin(π-θ) |PD|sin S 2 |AD||BD| 2
△DAB = = =
S 1 |PF||PF|
△PF1F2
2
|PF
1
||PF
2
|sinθ 1 2
2
|PF||PF|sin2θ
= 1 2 ，
|PF||PF| (|PF|+|PF|)2
1 2 1 2
x2 y2
椭圆C: + =1中，|FF|=2,|PF|+|PF|=4，
4 3 1 2 1 2
在△PFF 中，由余弦定理得|FF|2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|cosθ，
1 2 1 2 1 2 1 2
即有|FF|2=(|PF|+|PF|)2-2|PF||PF|(1+cosθ)，
1 2 1 2 1 2
(|PF|+|PF|)2-|FF|2 6
则1+cosθ= 1 2 1 2 = ，
2|PF||PF| |PF||PF|
1 2 1 2
S |PF||PF| |PF||PF| 3 6
因此 △DAB = 1 2 (1-cos2θ)= 1 2 (1+cosθ)(1-cosθ)= 2-
S 16 16 8 |PF||PF|
△PF1F2 1 2
3 3
= 1-
4 |PF||PF|
1 2
3 3
≤ 1-
4 |PF|+|PF|
1 2
2
2
3
= ，当且仅当|PF|=|PF|=2时取等号，
16 1 2
S 3
所以 △DAB 的最大值是 .
S 16
△PF1F2
3
故答案为：
16
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地
开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出
售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.
(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种
猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；
(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔
一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率
答案 (1)0.96
(2)0.8336
【分析】(1)根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；
(2)根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.
解析 (1)由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂
果，
·72·C3
甲购买一盒猕猴桃的概率P=1-0.2× 19 =0.96.
C4
20
(2)用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：
第1 第2 第3 第4 第5
周 周 周 周 周
√ √ √ √ √
√ ╳ √ √ √
√ √ ╳ √ √
√ ╳ √ ╳ √
√ √ √ ╳ √
故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率P=0.8 4+0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.2+0.8×0.8×
0.2=0.8336.
1
16（. 15分）如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，AB=AC，点D在棱AA 上，且A D= AA ,E为A C 的中
1 1 1 1 1 3 1 1 1
点．
(1)证明：平面BDE⊥平面BCC B ；
1 1
(2)若AB=AA =2,BC=2 2,求二面角D-BE-A 的余弦值．
1 1
答案 (1)证明见解析；
5 34
(2) .
34
【分析】(1)法一、延长DE与CC 的延长线交于点G，连接GB与B C 交于点F，利用线段关系及面面垂
1 1 1
直的性质判定EF⊥平面BCC B 即可；法二、延长ED与CA的延长线交于点G，连接BG，利用线段关系
1 1
及面面垂直的性质判定BG⊥平面BCC B 即可；
1 1
(2)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
解析 (1)解法一
·73·如图，延长DE与CC 的延长线交于点G，
1
1 1 1 1
因为A D= AA = CC ,E为A C 的中点，所以GC =A D= CC = GC，
1 3 1 3 1 1 1 1 1 3 1 4
1
连接GB与B C 交于点F，则FC = B C ，
1 1 1 4 1 1
1
取B C 的中点H，连接A H,EF，则FC = C H，故EF⎳A H，
1 1 1 1 2 1 1
因为AB=AC，所以A H⊥B C ，所以EF⊥B C ，
1 1 1 1 1
又EF⊂平面A B C ，平面A B C ⊥平面BCC B ，平面A B C ∩平面BCC B =B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以EF⊥平面BCC B ，
1 1
因为EF⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCC B ．
1 1
解法二
如图，延长ED与CA的延长线交于点G，连接BG，
1
因为A D= AA ,E为A C 的中点，所以GA=2A E=AB=AC，
1 3 1 1 1 1
所以BC⊥BG，
又BG⊂平面ABC，平面ABC⊥平面BCC B ，平面ABC∩平面BCC B =BC，
1 1 1 1
所以BG⊥平面BCC B ，
1 1
因为BG⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCC B ．
1 1
(2)由AB=AC=2,BC=2 2= 2AB，易得AB⊥AC，则AB,AC,AA 两两垂直，
1
以A为坐标原点，AB,AC,AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
·74·则B2,0,0
4
,D0,0,
3
,A 10,0,2 ,E0,1,2 ，
所以BE=-2,1,2
,A 1 E=0,1,0
4
,BD=-2,0, 3 ，
设平面BEA 1 的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1
m⋅BE=-2x +y +2z =0
，则 1 1 1 ，
m⋅A E=y =0
1 1
取z 1 =1，得m=1,0,1 ，
设平面BED的法向量为n=x 2 ,y 2 ,z 2 ，
n⋅BE=-2x
2
+y
2
+2z
2
=0
则 4 ，取z 2 =3，得n=2,-2,3
n⋅BD=-2x + z =0
2 3 2
，
m⋅n
则cosm,n=
m ⋅n
1×2+0×-2
=
+1×3
12+02+12× 22+-2
5 34
= ，
2+32 34
由题意可得二面角D-BE-A 为锐二面角，
1
5 34
所以二面角D-BE-A 的余弦值为 ．
1 34
17（. 15分）记S n 为数列a n 的前n项和，且满足S n =kna n +pa n +qn+rk,p,q,r∈R ．
1
(1)若p=r=0,k= 2 ，求证：数列a n 是等差数列；
(2)若k=q=0,p=2,r≠0，设b n =-1
S
n+1 r n，数列b n 的前n项和为T，若对任意的k∈N*，都有T n 2k-1
<λ0且a≠1.
(1)设gx
fx
=
+ex，讨论gx
x
的单调性；
(2)若a>1且fx 存在三个零点x ,x ,x . 1 2 3
1)求实数a的取值范围；
2e+1
2)设x .
1 2 3 1 2 3 e
答案 (1)答案见解析
2
(2)1)10,x2>0,gx 定义域为-∞,0 ∪0,+∞
当a>1时,lna>0,解g x
1
>0,得x> ,解g x
lna
1
<0,得00,得x< ,解g x
lna
1
<0,得0>x> ,x>0
lna
综上, 当a>1时, gx
1
增区间为 ,+∞
lna
,gx 减区间为-∞,0
1
,0,
lna
,
当01且fx 存在三个零点x ,x ,x . 1 2 3
所以ax-ex2=0有3个根
当x<0时, f-1 =a-1-e<0,f0 =a0>0,f x =axlna-2ex>0,
fx 在-∞,0 上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.
1+2lnx
当x>0,xlna=1+2lnx,即lna= 有两个根,
x
令tx
1+2lnx
= ,可转化为y=lna与tx
x
1+2lnx
= 有两个交点
x
·76·t x
2-1+2lnx
=
1-2lnx
= ,
x2 x2
可得x∈0, e ,t x >0,tx 是单调递增的, 可得x∈ e,+∞ ,t x <0,tx 是单调递减的,
1
其中t e =0,当x> e,tx >0,tx max =t e
2
= e
2
所以可得01且fx 存在三个零点x ,x ,x . 1 2 3
设x 0;①
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
由1)可知y=lna,与tx
1+2lnx
= 有两个交点x 0,t e
1
=0,所以x > ;② 2 e
1
e>x > ,x > e,
2 e 3
若x ≥2 e,则x +x >2 e
3 2 3
若 ex> e,2x>2 e,x>2 e-x,x3>2 e-x 3,
-22 e-x
所以
2 2x2
+ >0③
x 2 e-x
因为-21-2lnx 2 e-x +2x 1-2ln2 e-x =22lnx-1 2 e-x +2x 1-2ln2 e-x
1
又因为x> e,lnx> ,2 e-x< e,ln2 e-x
2
1
<
2
所以2lnx-1>0,2 e-x>0;1-2ln2 e-x >0,x> e>0
即得22lnx-1 2 e-x +2x 1-2ln2 e-x >0④
由③④可知m x >0, ,mx 在 e,2 e 上单调递增, x> e可得mx >m e =0
h x
mx
=
x2 2 e-x
,可知mx
2
与h x 同号
所以h x >0,
hx 在 e,2 e 上单调递增. hx >h e =t e -t e =0
tx -t2 e-x >0,tx 3 >t2 e-x 3 ,又由1)可知tx 2 =tx 3
所以tx 2 >t2 e-x 3 ,x 2 ∈0, e ,2 e-x 3 ∈0, e
x∈0, e ,t x >0,tx 是单调递增的,
所以x >2 e-x ,x +x >2 e⑤
2 3 2 3
2e+1
由①②⑤可知x +3x +x >
1 2 3 e
·77·x2 y2
19（. 17分）已知动直线l与椭圆C: 3 + 2 =1交于Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2 两个不同点，且ΔOPQ的面积S = ΔOPQ
6
,其中O为坐标原点.
2
(1)证明x2+x2和y2+y2均为定值;
1 2 1 2
(2)设线段PQ的中点为M，求OM ⋅PQ 的最大值；
6
(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S =S =S = ？若存在，判断△DEG的形状；若不存
△ODE △ODG △OEG 2
在，请说明理由.
答案 (1)x2+x2=3，y2+y2=2；
1 2 1 2
5
(2)
2
6
(3)椭圆C上不存在三点D、E、G，使得S =S =S =
△ODE △ODG △OEG 2
【分析】(1)根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O
到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x2+x2和y2+y2均为定值；
1 2 1 2
(2)由(I)可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；
6
(3)假设存在D(u，v)，E(x ，y ),G(x ，y )，满足S =S =S = ，由(1)得u2+x2=3，u2+x2=
1 1 2 2 △ODE △ODG △OEG 2 1 2
3，x2+x2=3，v2+y2=2，v2+y2=2 ，y2+y2=2，从而得到D、E、G的坐标，可以求出DE、DG、EG方程，从
1 2 1 2 1 2
而得出结论.
解析 (1)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x =x ，y =-y
1 2 1 2
∵P(x ，y )在椭圆上
1 1
x2 y2
∴ 1 + 1 =1 ①
3 2
6
又∵S = ，
△OPQ 2
∴x 1 y 1
6
= ② 2
由①②得x 1
6
= ，y 2 1 =1．此时x2+x2=3，y2+y2=2； 1 2 1 2
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m，m≠0
x2 y2
，将其代入 + =1得
3 2
3k2+2 x2+6kmx+3m2-2 =0
故Δ=36k2m2-123k2+2
m2-2
>0即3k2+2>m2
6km
3m2-2
又∵x +x =- ，x x =
1 2 3k2+2 1 2
3k2+2
∴PQ = 1+k2 x 1 +x 2
2 6 3k2+2-m2
2-4x x = 1+k2 1 2 3k2+2
|m|
∵点O到直线l的距离为d=
1+k2
1 2 6 3k2+2-m2 |m| 6|m| 3k2+2-m2
∴S = 1+k2 ⋅ =
△OPQ 2 3k2+2 1+k2 3k2+2
6
又∵S =
△OPQ 2
整理得3k2+2=2m2
此时x 1 2+x 2 2=x 1 +x 2
6km
2-2x x =- 1 2 3k2+2
2
3m2-2
-2×
=3 3k2+2
·78·2
y2+y2= 3-x2
1 2 3 1
2
+ 3-x2
3 2
2
=4- x2+x2
3 1 2
=2
综上所述x2+x2=3，y2+y2=2．结论成立．
1 2 1 2
(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，由(1)知
OM =x 1
6
= ，PQ 2 =2y 1 =2
因此OM ⋅PQ = 6．
x +x 3k y +y x +x -3k2+2m2 1
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，由(1)知 1 2 =- , 1 2 =k 1 2 +m= =
2 2m 2 2 2m m
x +x |OM|2= 1 2
2
2 + y 1 +y 2
2
2 9k2 1 6m2-2 1 1 = + = = 3-
4m2 m2 4m2 2 m2
|PQ|2=1+k2
243k2+2-m2
2+3k2
22m2-1
=
2
1
=22+
m2 m2
1 1
所以|OM|2|PQ|2= 3-
2 m2
1
×2×2+
m2
1
=3-
m2
1
2+
m2
1 1
3- +2+
m2 m2
≤
2
25
=
22 4
5 1 1
|OM|⋅|PQ|≤ ．当且仅当3- =2+ ，
2 m2 m2
即m=± 2时，等号成立．
5
综合(1)(2)得|OM|⋅|PQ|的最大值为 .
2
6
(3)椭圆C上不存在三点D、E、G，使得S =S =S =
△ODE △ODG △OEG 2
6
证明：假设存在D(u，v)，E(x ，y ),G(x ，y )，满足S =S =S =
1 1 2 2 △ODE △ODG △OEG 2
由(1)得u2+x2=3，u2+x2=3，x2+x2=3，v2+y2=2，v2+y2=2 ，y2+y2=2
1 2 1 2 1 2 1 2
3
解得：u2=x2=x2= ，v2=y2=y2=1.
1 2 2 1 2
6 6
因此u，x ，x 从集合 ，- 1 2 2 2 中选取，v，y ，y 从集合-1,1 1 2 中选取；
6
因此D、E、G只能从点集 ,1
2
6
，- ,1
2
6
， ,-1
2
6
，- ,-1
2
这四个点选取三个不同的点，
6
而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与S =S =S = 矛盾.
△ODE △ODG △OEG 2
6
所以椭圆C上不存在三点D、E、G，使得S =S =S =
△ODE △ODG △OEG 2
·79·河北省衡中同卷 2023 - 2024 学年高三 1 月考试
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A=x0≤x≤2 ,B=xx2-x>0 ，则图中的阴影部分表示的集合为 ( )
A. xx≤1 或 x>2 B. xx<0 或10 =xx>1 或 x<0 ，
则A∪B=R,A∩B=x12 .
故选：A.
2.函数fx
4cosx
=
x
的部分图象大致为 ( )
1
+ x2
2
A. B.
C. D.
答案 C
【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.
解析 由题可知，fx 的定义域为x∣x≠0 ，
4cos(-x)
又因为f(-x)=
-x
4cosx
=
1
+ ⋅(-x)2 x
2
=f(x)，
1
+ x2
2
·80·所以，fx 为偶函数．
π
当00，当 0.
故选：C．
x2 y2
3.椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的两焦点为F，F，以FF 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另 1 2 1 2
两条边，则椭圆的离心率为 ( )
1 3
A. B. C.4-2 3 D. 3-1
2 2
答案 D
【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得AF=AB=BF=c，∠FAF=90°，由此建立
1 2 1 2
a，c的齐次式，进而可得结果.
解析 设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，
易得AF 1 =AB =BF 2 =c，∠FAF=90°， 1 2
∴AF 2 = 3c，∴AF 1 +AF 2 = 3+1 c=2a，
c c
∴e= = = 3-1，
a 3+1
c
2
故选：D.
4.已知fx =Asinωx+φ A>0,ω>0,φ <π 的一段图像如图所示，则 ( )
A. fx
3π
=sin2x+
4
B. fx
π
的图像的一个对称中心为- ,0
5
C. fx
π 5π
的单调递增区间是 +kπ, +kπ
8 8
,k∈Z
D. fx
5π
的图像向左平移 个单位长度后得到的是一个奇函数的图象
8
答案 C
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
T π 3π
解析 由图可知A=1， = --
2 8 8
π 2π
= ，所以T=π= ，解得ω=2，
2 ω
·81·所以fx =sin2x+φ
3π
，又函数过点- ,1
8
，
3π
即f-
8
3π
=sin 2×-
8
+φ
3π
=1，所以2×-
8
π
+φ= +2kπ,k∈Z，
2
5π
解得φ= +2kπ,k∈Z，因为φ
4
3π
<π，所以φ=- ，所以fx
4
3π
=sin2x-
4
，故A错误；
π
因为f-
5
π
=sin 2×-
5
3π
-
4
23π
=sin-
20
≠0，故B错误；
π 3π π π 5π
令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z，解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
2 4 2 8 8
π 5π
故函数的单调递增区间为 +kπ, +kπ
8 8
,k∈Z，故C正确；
将函数fx
5π 5π
的图象向左平移 个单位得y=sin 2x+
8 8
3π
-
4
π
=sin2x+
2
=cos2x为偶函数，
故D错误；
故选：C
5.设a，b，c都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则c-a
⋅c-b 的最大值为 ( )
3 3 3 3 3 3
A. - B. + C. - 3 D. + 3
2 2 2 2 2 2
答案 D
【分析】按题意设出向量坐标，展开运算即可.
解析 设a=1,0
1 3
，b= ,
2 2
，c=x,y =cosθ,sinθ ，则x2+y2=1
所以c-a
·c-b =x-1,y
1 3
⋅x- ,y-
2 2
3 1 3
=x2- x+ +y2- y
2 2 2
3 3 1
= - 3 cosθ+ sinθ
2 2 2
3 π
= - 3sinθ+
2 3
3
≤ + 3
2
故选：D.
6.在数列{a n }中，a 1 =2，a 2 =1，a n+2 = a 2a n + , 2 n , 为 n为 偶 奇 数 数 ，则a n
n
的前20项和S = ( ) 20
A.621 B.622 C.1133 D.1134
答案 C
【分析】设b n =a 2n-1 ，c n =b 2n .根据已知可推得b n 为等差数列，c n 为等比数列，求出b ,c 的表达式.然 n n
后分组，根据等差数列以及等比数列前n项和公式求解，即可得出答案.
解析 设b =a ，c =b ，则b =a =2，c =a =1.
n 2n-1 n 2n 1 1 1 2
由已知可得，
a -a =2，即b -b =2，
2n+1 2n-1 n+1 n
所以b n 为以2为首项，2为公差的等差数列，b n =2+2n-1 =2n.
a =2a ，即c =2c ，
2n+2 2n n+1 n
所以c n 为以1为首项，2为公比的等比数列，c =1×2n-1=2n-1. n
所以，a n 的前20项和S 20 =b 1 +b 2 +⋯+b 10 +c 1 +c 2 +⋯+c 10 =2+4+⋯+20 +1+2+⋯+29 =
10×2+20 1×1-210
+
2
=1133.
1-2
故选：C.
7.设实数t>0，若te2tx-ln2x ≥0对x>0恒成立，则t的取值范围为 ( )
1
A. ,+∞
2e
1
B. ,+∞
e
1
C. 0,
e
1
D. 0,
2e
·82·答案 B
【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数t范围.
解析 由x∈0,+∞ ，则tx>0，te2tx>0，
1
当x∈0,
2
时，ln2x≤0，te2tx>ln2x 恒成立，
即任意t>0，te2tx-ln2x
1
≥0对x∈0,
2
恒成立；
1
当x∈ ,+∞
2
时，te2tx-ln2x ≥0⇔2txe2tx≥2xln2x ，
即2txe2tx≥ln2x eln2x ，其中2tx>0,ln(2x)>0，
构造函数F(x)=xex,x>0，则F(2tx)≥F(ln2x).
F(x)=(x+1)ex，因为x>0，所以F(x)>0，F(x)单调递增；
ln2x
则有2tx≥ln(2x)，则t≥ ,2x∈(1,+∞)，
2x
lnx
构造函数φ(x)= ,x∈(1,+∞)，
x
1-lnx
则φ(x)= ，令φ(x)=0，解得x=e，
x2
当x∈(1,e)时，φ(x)>0，φ(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，φ(x)<0，φ(x)单调递减，
1 e ln2x
则φ(x) =φ(e)= ，即当x= 时，
max e 2 2x
1
= ，
e
max
ln2x 1 1
故要使t≥ ,2x∈(1,+∞)恒成立，则t≥ ，即t的取值范围为 ,+∞
2x e e
.
故选：B.
【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关
键在于指对分离，构造“指幂-幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：xex与xlnx，x+lnx与x+
ex等.
x2 y2
8.已知F 1 ，F 2 是双曲线C 1 ： a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、右焦点，椭圆C 与双曲线C 的焦点相同，C 与 2 1 1
C 在第一象限的交点为P，若PF 的中点在双曲线C 的渐近线上，且PF ⊥PF ，则椭圆的离心率是
2 1 1 1 2
( )
1 3 5 5
A. B. C. D.
2 2 3 5
答案 C
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出PF,PF，利用中位线定理找到a ,a 的关系，再结合PF⊥PF，借
1 2 1 2 1 2
助勾股定理进行运算即可.
解析 根据题意:设m=PF 1 ,n=PF 2 ，设椭圆长半轴长为a ，短半轴长为b ，双曲线实半轴长为a ，虚半 1 1 2
m+n=2a m=a +a
轴长为b
2
，则由椭圆及双曲线定义可得：
m-n=2a
1,∴
n=a
1
-a
2，
2 1 2
又因为PF⊥PF，且O,M分别为PF，FF 的中点，所以FM⊥OM,
1 2 1 1 2 1
所以F 1 (-c,0)到渐近线b 2 x+a 2 y=0的距离为F 1 M =d= b 2 c =b ， a2+b2 2
2 2
所以PF 1 =m=2b 2 ，PF 2
m=a +a
=n=2a 2 ，结合 n=a 1 -a 2，可得：a 1 =3a 2 ⋯①
1 2
因为PF 1 ⊥PF 2 ，所以m2+n2=4c2,即a 1 +a 2 2+a 1 -a 2 2=4c2，
10 5
整理得：a2+a2=2c2，将①代入， a2=2c2，所以e= .
1 2 9 1 3
·83·故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.已知复数z 0 =1-i，z=x+yix,y∈R ，则下列结论正确的是 ( )
A.方程z-z 0 =2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B.方程z-z 0
+z-z 0 =2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C.方程z-z 0
-z-z 0 =1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
1
D.方程 z+ 2 z 0 +z 0 =z-z 0 表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线
答案 AC
【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可.
解析 由复数模的几何意义知，
z-z 0 =2表示复平面内点(x,y)与点(1,-1)之间的距离为定值2，
则z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
由复数模的几何意义知，
z-z 0
+z-z 0 =2表示复平面内点(x,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之和为2，
又2=z 0 -z 0 ，不满足椭圆的定义2a>F 1 F 2 ，故B不正确；
由复数模的几何意义知，
z-z 0
-z-z 0 =1表示复平面内点(x,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之差为1，
又2=z 0 -z 0 ，满足双曲线的定义2a<F 1 F 2 ，故C正确；
1
对于D，z+ 2 z 0 +z 0 =z-z 0 可化为z+1 =z-z 0 ，
表示复平面内点(x,y)到点(-1,0)和(1,-1)的距离相等，轨迹是直线，
故D不正确，
故选：AC.
10.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确
的是 ( )
A.圆锥SO的侧面积为2 2π
·84·8
B.三棱锥S-ABC体积的最大值为
3
π π
C.∠SAB的取值范围是 ,
4 3
D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2 3+1
答案 BD
【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，计算体
π 1
积最大值判断B；先用取极限的思想求出∠ASB的范围，再利用∠SAB= - ∠ASB求范围判断C；将
2 2
△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S AB，求出S C判断D作答.
1 1
解析 在Rt△SOC中，SC= SO2+OC2=2 2，则圆锥的母线长l=2 2，半径r=OC=2，
对于A，圆锥SO的侧面积为：πrl=4 2π，A错误；
1
对于B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S = ×4×2=4，
△ABC 2
1 1 8
则三棱锥S-ABC体积的最大值为： ×S ×SO= ×4×2= ，B正确；
3 △ABC 3 3
π
对于C，△SAB是等腰三角形，SA=SB，又因为SA2+SC2=16=AC2，则∠ASC= ，
2
π π 1 π π
依题意，0<∠ASB< ，而∠SAB= - ∠ASB，因此∠SAB∈ ,
2 2 2 4 2
，C错误；
π
对于D，由AB=BC,AC=4，∠ABC= ，得AB=BC=2 2，有△SAB为等边三角形，
2
π
将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面的位置，得到△S AB，则△S AB为等边三角形，∠S BA= ，如
1 1 1 3
图，
于是SE+CE
5π
=S C，因为S B=BC=2 2,∠S BC=∠S BA+∠ABC= ， min 1 1 1 1 6
5π
S C2=S B2+BC2-2S B⋅BC⋅cos =8+8+8 3=4( 3+1)2，
1 1 1 6
所以SE+CE min =S 1 C=2 3+1 ，D正确.
故选：BD
11.如图，曲线y= x下有一系列正三角形，设第n个正三角形Q PQ (Q 为坐标原点)的边长为a ，则
n-1 n n 0 n
( )
2 4
A.a = ,a =
1 3 2 3
B.记S n 为a n
a 3
的前n项和，则P 为S + n+1, a n+1 n 2 2 n+1
C.记S n 为数列a n
3 1
的前n项和，则S = a2 + a n 4 n+1 2 n+1
·85·D.数列a n
2n
的通项公式为a = n 3
答案 ABD
a 3a
【分析】A项，根据题意由正三角形求得点P 1, 1
1 2 2
a 3
和Pa + 2, a
2 1 2 2 2
，代入曲线y= x，即可求
a 3
解a ,a ；B项，由△Q PQ 为边长为a 的等边三角形，求得P S + n+1, a
1 2 n-1 n n n n+1 n 2 2 n+1
；C项，将P 坐标代
n+1
3 1 2
入曲线y= x，整理得S = a 2- a ；D项，结合a =S -S ，化简得到a -a = ，利用等差数列
n 4 n+1 2 n+1 n n n-1 n+1 n 3
的通项公式求解得a .
n
解析 选项A，由题意知△Q PQ 为边长为a 的等边三角形，如图OQ =a ，
0 1 1 1 1 1
a 3a
则P 1, 1
1 2 2
，
3 1 2
因为点P 在曲线y= x上，可得 a = a ，解得a = ，
1 2 1 2 1 1 3
又由题意知△Q PQ 为边长为a 的等边三角形，则Q Q =a ，
1 2 2 2 1 2 2
a 3
则Pa + 2, a
2 1 2 2 2
3 a 4
，可得 a = a + 2 ，解得a = ，故A正确；
2 2 1 2 2 3
选项B，由△Q PQ 为边长为a 的等边三角形，
n-1 n n n
a 3
可得P S + n+1, a
n+1 n 2 2 n+1
，故B正确；
3 a
选项C，由点P 在曲线y= x上，则 a = S + n+1 ，
n+1 2 n+1 n 2
3 1
整理得S = a2 - a ，
n 4 n+1 2 n+1
3 1 3 1
由a >0，可知S = a2 - a ≠ a2 + a ，故C错误；
n+1 n 4 n+1 2 n+1 4 n+1 2 n+1
3 1
选项D，当n≥2时，可得S = a2- a ，
n-1 4 n 2 n
3 1 3 1
所以a =S -S = a2 - a - a2- a
n n n-1 4 n+1 2 n+1 4 n 2 n
，
3
可化为 (a +a )(a -a )=a +a ，
2 n+1 n n+1 n n+1 n
2
因为a >0，则a +a >0，所以a -a = ,n≥2，
n n+1 n n+1 n 3
4 2 2 2 2
又因为a -a = - = ，a -a = ,n∈N∗，a = ，
2 1 3 3 3 n+1 n 3 1 3
2 2
即数列{a }是以 为首项， 为公差的等差数列，
n 3 3
所以数列a n
2 2 2n
的通项公式为a = +(n-1)× = ，故D正确． n 3 3 3
故选：ABD.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在等比数列a n 中，a 3 ，a 7 是函数fx
1
= x3-4x2+4x-1的极值点，则a = ． 3 5
答案 2
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得a a ，后利用等比中项性质可得答案.
3 7
解析 f x =x2-8x+4，
由题a ，a 是方程x2-8x+4=0的两个不等实根，
3 7
则由韦达定理a a =4>0,a +a =8>0，所以a >0,a >0
3 7 3 7 3 7
·86·又a 是a ，a 的等比中项且a 与a ，a 同号，则a2=4,a >0⇒a =2.
5 3 7 5 3 7 5 5 5
故答案为：2.
x2 y2
13.设双曲线Γ： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 和F，以Γ的实轴为直径的圆记为C，过点
a2 b2 1 2
3
F 作C的切线l，l与Γ的两支分别交于A，B两点，且cos∠FBF= ，则Γ的离心率的值为 .
1 1 2 5
13
答案
2
【分析】如图，设直线l与圆C的切点为P，过点F 2 作F 2 Q⊥AB于点Q，则F 1 Q =2PF 1 =2b,QF 2 =
2OP =2a，由题意求出sin∠F 1 BF 2 ，进而求出BF 2 、BQ ，结合双曲线的定义化简计算即可求解.
解析 设直线l与圆C的切点为P，则OP =a，OP⊥PF， 1
由OF 1 =c，得PF 1 = OF 1 2-OP 2= c2-a2=b，
过点F 作FQ⊥AB于点Q，则OP⎳FQ，
2 2 2
由O为F 1 F 2 的中点，得F 1 Q =2PF 1 =2b,QF 2 =2OP =2a，
3 4
因为cos∠FBF= ,∠FBF 为锐角，所以sin∠FBF= 1-cos2∠FBF = ，
1 2 5 1 2 1 2 1 2 5
有BF 2 = QF 2 2a 5a = = ，得BQ sin∠FBF 4 2
1 2
5
=BF 2 5a 3 3a cos∠FBF= × = ， 1 2 2 5 2
所以F 1 B =F 1 Q +BQ
3a
=2b+ ，由双曲线的定义知， 2
BF 1 -BF 2
3a 5a 3a
=2a，即2b+ - =2a，解得b= ， 2 2 2
13a c 13
又c2=a2+b2，所以c= ，所以双曲线的离心率为e= = .
2 a 2
13
故答案为： .
2
14.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的
点A,B恒有∠AOB≤α成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线
xex-1+1, x>0
G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=
1
(其中e是自然对数的底数)，点O为坐
x2+1, x≤0
16
标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则sinβ= .
·87·答案 1
【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.
xex-1+1, x>0
解析 函数y=
1
，
x2+1, x≤0
16
因为x>0,y=(x+1)ex-1>0，
所以该函数在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增.
过原点作y=xex-1+1的切线，设切点Ax ,x ex1-1+1
1 1
，
由y=x+1 ex-1，则切线OA的斜率为k 1 =x 1 +1 ex1-1，
直线OA:y-x ex1-1+1 1 =x 1 +1 ex1-1 x-x 1 过0,0 ，
∴-x ex1-1-1=-x2-x
1 1 1
ex1-1，∴x2ex1-1-1=0(x >0)，
1 1
即ex1-1=x-2，由函数y=ex-1与y=x-2的图象在(0,+∞)有且只有一个交点，
1
且当x =1时满足方程，故方程有唯一解x =1，则k =2；
1 1 1
1 1
过原点作y= x2+1的切线，设切点Bx , x2+1
16 2 16 2
，
1 1
由y= x，得切线OB的斜率k = x ，
8 2 8 2
1
则切线OB:y- x2+1 16 2
1
= 8 x 2x-x 2 过原点(0,0)，
1 1
则有- x2-1=- x2(x ≤0)，∴x =-4，
16 2 8 2 2 2
1
则k =- ，则有k k =-1，
2 2 1 2
∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，
π
则β= ，sinβ=1.
2
故答案为：1.
·88·四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）如图所示，在四棱维P-ABCD中，PA⊥面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD，且PA=AB=BC=
1
AD=2.
2
(1)求PB与CD所成的角；
(2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值.
答案 (1)60°
15
(2)
5
【分析】(1)利用向量的夹角的余弦值，求异面直线的夹角.
(2)建立空间直角坐标系，根据法向量与直线的方向向量的夹角来确定线面角的正弦值，再根据同角关
系求余弦值.
解析 (1)因为PA⊥面ABCD,AB⊥AD，所以PA,AB,AD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标
系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)
则PB=2,0,-2
,CD=-2,2,0
∴cosPB，CD
PB⋅CD =
PB
CD
1 = ，所以PB与CD所成的角为60°
2
(2)AP=0，0，2
，AC=2，2，0
，设平面PAC的法向量为m=x,y,z
∵m⊥AP,m⊥AC,∴
z=0 ，令y=-1，则m =1,-1,0
y+x=0
，
设直线PD与面PAC所成的角的为θ，又PD=0，4，-2 ，
∴sinθ=cosm，PD
m⋅PD
=
m
PD
10
= 5
·89·15
直线PD与面PAC所成的角的余弦值为 .
5
16（. 15分）已知数列a n 满足a =a +2，n∈N∗，且a ，a ，a 构成等比数列. n+1 n 2 5 14
(1)求数列a n 的通项公式；
(2)设b n =2na n+1 ，求数列b n 的前n项和S . n
答案 (1)a =2n-1；(2)S =(2n-1)⋅2n+1+2
n n
【分析】(1)根据a =a +2可得a -a =2，所以数列{a }是以2为公差的等差数列，再根据a ，a ，a
n+1 n n+1 n n 2 5 14
构成等比数列，得a2=a a ，即(a +8)2=(a +2)(a +26)，解出a 后利用等差数列通项公式即可求出数列
5 2 14 1 1 1 1
{a }的通项公式．
n
(2)易知b =2n⋅a =2n⋅(2n+1)，则利用错位相减求和法即可求出数列{b }的前n项和S ．
n n+1 n n
解析 解：(1)由a =a +2，得a -a =2，
n+1 n n+1 n
所以数列{a }是以2为公差的等差数列，
n
又a ，a ，a 构成等比数列，
2 5 14
得a2=a a ，即(a +8)2=(a +2)(a +26)，
5 2 14 1 1 1
整理解得a =1，
1
所以a =1+2(n-1)=2n-1．
n
(2)b =2n⋅a =2n⋅(2n+1)，
n n+1
则S =3×21+5×22+⋯+(2n+1)×2n，
n
2S =3×22+5×23++(2n+1)×2n+1，
n
两式相减得-S =3×2+2(22+23+⋯+2n)-(2n+1)⋅2n+1，
n
22(1-2n-1)
即-S =6+2× -(2n+1)⋅2n+1=6+2n+2-8-(2n+1)⋅2n+1=2n+1(1-2n)-2，
n 1-2
所以S =(2n-1)⋅2n+1+2．
n
4S
17（. 15分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，已知 =a2cosB+abcosA.
tanB
(1)求角B；
S
(2)若b=3,△ABC的周长为l，求 的最大值.
l
π
答案 (1)
3
3
(2)
4
【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；
S 3
(2)由余弦定理及三角形的面积公式得 = a+c-3
l 12
，再由基本不等式进行求解即可.
4S
解析 (1)因为 =a2cosB+abcosA，
tanB
1
4× acsinBcosB
2
所以 =a2cosB+abcosA，
sinB
即2ccosB=acosB+bcosA，
由正弦定理，得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sinA+B ，
因为A+B=π-C，
所以2sinCcosB=sinC，
因为C∈0,π
1
，所以sinC≠0，所以cosB= ，
2
·90·又B∈0,π
π
，所以B= .
3
(2)由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，即9=a2+c2-ac，
所以9=a+c
1
2-3ac，即ac= a+c
3
2-9 ，
1 3
因为S= acsinB= ac，l=a+c+3，
2 4
S 3ac
所以 =
l 4a+c+3
3 a+c
=
2-9
12a+c+3
，
S 3
所以 = a+c-3
l 12
，
a+c
又ac≤
2
(当且仅当a=c时取等号)，
4
所以9=a+c
a+c
2-3ac≥
2
(当且仅当a=c=3时取等号)，
4
所以a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)，
S 3
所以 = a+c-3
l 12
3
≤ ×6-3
12
3
= (当且仅当a=c=3时取等号)，
4
S 3
即 的最大值为 .
l 4
x2 y2
18（. 17分）已知椭圆E: + =1a2>7
a2 a2-7
3 3
经过点M-2,
2
.
(1)求E的标准方程；
(2)过点N0,6 的直线l交E于C,D两点(点C在点D的上方)，E的上､下顶点分别为A,B，直线AD与
直线BC交于点Q，证明：点Q在定直线上.
x2 y2
答案 (1) + =1
16 9
(2)证明见解析
【分析】(1)直接代点计算即可；
(2)设直线l的方程为y=kx+6,Cx 1 ,y 1 ，Dx 2 ,y 2 ，将直线和椭圆联立，消去y，然后表示出直线AD和
y -3
直线BC的方程，利用韦达定理计算 Q 的值为定值，则可求出y 的值即可证明.
y +3 Q
Q
4 27
解析 (1)因为E过点M，所以 +
a2 4a2-7
=1，整理得4a2-7 a2-16 =0.
因为a2>7，所以a2=16，
x2 y2
所以E的标准方程为 + =1；
16 9
(2)设直线l的方程为y=kx+6,Cx 1 ,y 1 ，Dx 2 ,y 2 ,A0,3 ,B0,-3 .
y=kx+6
联立
9x2+16y2=144
，整理得9+16k2
x2+192kx+432=0,Δ>0，
192k 432
x +x =- ,x x = ，
1 2 9+16k2 1 2 9+16k2
y -3
所以直线AD的方程为y= 2 x+3①，
x
2
y +3
直线BC的方程y= 1 x-3②，
x
1
解法一：
·91·由①②得 y Q -3 = y 2 -3
y +3 Q
x 1
x 2y 1 +3
= kx 2 +3 x 1
kx 1 +9 x 2
= kx 1 x 2 +3x 1 +x 2
432 576k -144k
k⋅ - -3x -3x
-3x 9+16k2 9+16k2 2 9+16k2 2 1 2 = = =- ，
kx x +9x 432 432k 3
1 2 2 k⋅ +9x +9x
9+16k2 2 9+16k2 2
3
所以y = .
Q 2
3
所以点Q在定直线y= 上运动，故点Q在定直线上.
2
解法二(和积转化)：
9
所以kx 1 x 2 =- 4 x 2 +x 2 ，
9
由①②得 y Q -3 = kx 1 x 2 +3x 1 = - 4 x 1 +x 2
y +3 kx x +9x
Q 1 1 2
+3x 1
9
- 4 x 1 +x 2
=
+9x 2
3x -9x 1 3
1 2 =- ，所以y = .
27x -9x 3 Q 2
2 1
3
所以点Q在直线y= 上运动，故点Q在定直线上.
2
解法三(点代平方差)：
x2 y2
因为D在E上，所以 2 + 2 =1，
16 9
所以 y 2 +3 y 2 -3 x2 =- 2 ，
9 16
y -3 9 x
即 2 =- ⋅ 2 ,
x 16 y +3
2 2
由①②得 y Q -3 = x 1 ⋅ y 2 -3 = x 1 ⋅- 9
y +3 y +3 x y +3 16 Q 1 2 1
x 9 x x 2 =- ⋅ 1 2
y 2 +3 16 kx 1 +9 kx 2 +9
9 x x
=- ⋅ 1 2
16 k2x 1 x 2 +9kx 1 +x 2
432
9 9+16k2 1
=- ⋅ =- ，
+81 16 k2⋅ 432 +9k⋅ -192k +81 3
9+16k2 9+16k2
3
所以y = .
Q 2
3
所以点Q在直线y= 上运动，故点Q在定直线上.
2
【点睛】方法点睛：在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似 y 2 -2 x 1
y 1 +2
为定值的情形，通过
x 2
直线代换可得： y 2 -2 x 1
y 1 +2
= kx 2 +2
x 2
x 1
kx 1 +6
kx x +2x = 1 2 1，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这
x kx x +6x 2 1 2 2
种式子一般称为“非对称韦达定理”，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x +x 和x ⋅x 之间的
1 2 1 2
关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法即可.
·92·19（. 17分）已知函数fx =x2-ax+2lnx，a∈R．
(1)讨论fx 的单调性；
(2)已知fx 有两个极值点x 1 ,x 2 ，且x 1 0，在Δ>0时，结合二次函数性质判断导数的正负，
从而确定函数的单调性；
(2)结合(1)可得00，即a<-4或a>4，
a- a2-16 a+ a2-16
若a>4，则方程2x2-ax+2=0的两根为x = ,x = ，
1 4 2 4
此时两根均为正数，且x 0，
此时fx
a- a2-16
在0,
4
a+ a2-16
， ,+∞
4
上均单调递增；
a- a2-16 a+ a2-16
x∈ ,
4 4
时，f(x)<0，此时fx
a- a2-16 a+ a2-16
在 ,
4 4
上单调递减；
若a<-4，则f(x)>0恒成立，fx 在(0,+∞)上单调递增；
故a≤4时，fx 在(0,+∞)上单调递增；
a>4时，fx
a- a2-16
在0,
4
a+ a2-16
， ,+∞
4
上均单调递增，
a- a2-16 a+ a2-16
在 ,
4 4
上单调递减；
(2)由(1)知，当a>4时，fx
a
x +x =
有2个极值点，满足 1 2 2 ，
x x =1
1 2
又x 1，则g x
x2
4 6 2x4-6x2+4
=2x+ - = ，
x3 x x3
2x4-3x2+2
=
2x2-1
=
x3
x2-2
x3
2x+1
=
x+ 2 x-1 x- 2
，
x3
·93·则当x∈1, 2 时，g x <0，gx 在1, 2 上单调递减，
当x∈ 2,+∞ 时，g x >0，gx 在 2,+∞ 上单调递增，
则gx =g 2 min = 2
2
2- 2 -6ln 2-2=-1-3ln2， 2
故2fx 1 -fx 2 ≥-1-3ln2.
【点睛】难点点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性以及证明不等式问题，综合性强，难度较大，难点
在于不等式的证明，解答时要求出2fx 1 -fx 2 的表达式，由此构造函数，利用导数判断函数的单调
性，从而求出其最小值，从而证明不等式.
·94·福建省名校联盟全国优质校 2024 届高三大联考
数学试卷
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A=x2x2-5x+2<0 ，B=xx>1 ，则A∩B= ( )
1
A. 0,
2
1
B. ,1
2
1
C. ,2
2
D. 1,2
答案 D
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
1 1
解析 解不等式2x2-5x+2<0，得 1 ，
所以A∩B={x|1b>0)分别交于A、B两点，若线段AB的中点
a2 b2
4
横坐标是 m，则该双曲线的离心率是 ( )
5
5 7
A. B. C.2 D. 2
2 2
答案 A
·95·【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.
4 3
解析 由线段AB的中点横坐标是 m，得线段AB的中点纵坐标是 m，设A(x ,y ),B(x ,y )，
5 5 1 1 2 2
x-3y+m=0
由
b2x2-a2y2=a2b2
消去x得(9b2-a2)y2-6b2my+b2(m2-a2)=0，
Δ=36b4m2-4b2(9b2-a2)(m2-a2)=4a2b2(9b2+m2-a2)>0，
6b2m 6m
因此y +y = = ，整理得a2=4b2，显然Δ>0成立，
1 2 9b2-a2 5
a2+b2 b2 5
所以该双曲线的离心率e= = 1+ = .
a a2 2
故选：A
5.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为Ix
(x-μ)2
-
=I e 2σ2 ，其中I 为输出信号功率最大值(单 0 0
位：mW)，x为频率(单位：Hz)，μ为输出信号功率的数学期望，σ2为输出信号的方差，3dB带宽是光通信
中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽
度。现已知输出信号功率为Ix
(x-2)2
-
=Ie 2 (如图所示)，则其3dB带宽为 ( ) 0
A. ln2 B.4 ln2 C.3 ln2 D.2 2ln2
答案 D
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.
1 - (x-2)2 - (x-2)2 1 (x-2)2
解析 依题意，由I(x)= I ，I(x)=Ie 2 ，得Ie 2 = I ，即e 2 =2，
2 0 0 0 2 0
则有(x-2)2=2ln2，解得x =2- 2ln2，x =2+ 2ln2，
1 2
所以3dB带宽为x -x =2 2ln2.
2 1
故选：D
6.已知a ,a ,a ,a ,a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则a 的最小值为 ( )
1 2 3 4 5 5
1 1
A.-32 B.-16 C. D.
32 16
答案 B
【分析】结合题意，a 取最小值时为负数，且a =8，利用等比数列的基本量运算即可求解.
5 4
解析 由题意，要使a 最小，则a ,a ,a 都是负数，
5 1 3 5
则a 2 和a 4 选择2和8，设等比数列的公比为q,q<0 ，
a 8
当a =8,a =2时，q2= 4 = =4，所以q=-2，所以a =-16；
4 2 a 2 5
2
a 2 1 1
当a =2,a =4时，q2= 4 = = ，所以q=- ，所以a =-1；
4 2 a 8 4 2 5
2
综上，a 的最小值为-16.
5
故选：B.
7.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC= 2,BA⊥BC,PA=PB=PC=2，点M是棱BC上一动点，则PM
+MA的取值范围是 ( )
·96·A. 6+2 7,4 B. 2+ 2,4
10+ 14
C. ,4
2
10+ 14
D. ,2+ 2
2
答案 A
【分析】把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，PM+MA最大；PM+MA的最小值为AP，利用余弦
定理即可求解.
解析 如图所示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，PM+MA=2+ 2<4；
当M与C重合时，PM+MA=2+2=4最大；
连结AP交BC于M ，由两点之间直线最短可知，当M位于M 时，PM+MA最小.
1 1
2
22-
2
此时，sin∠CBP=
2
14
= ，
2 4
π
所以cos∠ABP=cos +∠CBP
2
14
=-sin∠CBP=- .
4
由余弦定理得：AP= AB2+BP2-2AB⋅BP⋅cos∠ABP
14
= 22+22-2× 2×2×-
4
= 6+2 7.
所以PM+MA的取值范围为 6+2 7,4 .
故选：A.
2014π2
8.方程2cos2x cos2x-cos
x
=cos4x-1所有正根的和为 ( )
A.810π B.1008π C.1080π D.1800π
答案 C
2014π2
【分析】易得2cos2x cos2x-cos
x
2014π2
=cos4x-1=2cos22x-2，令a=cos2x,b=cos
x
，得
到a=1,b=1或a=-1,b=-1讨论求解.
2014π2
解析 解：2cos2x cos2x-cos
x
=cos4x-1=2cos22x-2，
2014π2
令a=cos2x,b=cos
x
，则2aa-b =2a2-2，即ab=1，
所以a=1,b=1或a=-1,b=-1，
·97·2014π2
当a=1,b=1时，即cos2x=1,cos
x
=1，
1007π
所以x=kπ,k∈Z,x= ,k ∈Z，
k 1
1
因为1007=1×19×53，所以x=π,19π,53π,1007π，
2014π2
当a=-1,b=-1时，即cos2x=-1,cos
x
=-1，
2k+1
则x=
π 2014π2
,k∈Z,x=
2 2k 1 +1
4028π
= ,k ∈Z，
π 2k +1 1 1
2
4028
因为2k+1是奇数，所以 也是奇数，不成立；
2k +1
1
所以方程所有正根的和为：π+19π+53π+1007π=1080π,
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是 ( )
A.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为r =0.97,r =-0.99，则A组数据比B组数据的相关性较
A B
强
B.若样本数据x ,x ,⋅⋅⋅,x 的方差为2，则数据2x -1,2x -1,⋅⋅⋅,2x -1的方差为8
1 2 6 1 2 6
C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于
原样本数据的22%分位数
D.某人解答5个问题，答对题数为X，若X∼B5,0.6 ，则EX =3
答案 BCD
【分析】对于A，由由相关系数的意义即可判断；对于B，由方程的性质即可判断；对于C，30×22%=6.6，
28×22%=6.16结合30个样本数据互不相同即可判断；对于D，由二项分布均值公式即可判断.
解析 对于A，因为r A =0.97<r B =0.99，即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，若样本数据x ,x ,⋅⋅⋅,x 的方差为s2=2，则数据2x -1,2x -1,⋅⋅⋅,2x -1的方差为s2=22s2=8，故B
1 2 6 1 2 6 1
正确；
对于C，将这原来的30个数从小大大排列为a ,a ,⋯,a ，则30×22%=6.6，所以原来的22%分位数为
1 2 30
a ，
7
若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为a ,⋯,a ，则28×22%=6.16，所以剩下28个数据的
2 29
22%分位数为a ，由于a ,a ,⋯,a 互不相同，所以C正确；
8 1 2 30
对于D，某人解答5个问题，答对题数为X，若X∼B5,0.6 ，则EX =5×0.6=3，故D正确.
故选：BCD.
10.对于函数fx
lnx
= ，下列说法正确的是 ( )
x
A. fx
1
在x=e处取得极大值 ； B. fx
e
有两个不同的零点；
C. f4 0 的切线l n ，切点为Q nx n ,y n ，点A n3n,n ，则下列说法正确的是 ( )
n 2n+1
A.n=1时，k = 3 B. y = +n
1 n n+1
1-x x
C. n < 2sin n 1+x y -n
n n
1
D. 2 M n A n +M n P n
3
的最小值是 n+1 2
答案 BCD
【分析】对于A，直接由直线与圆相切，列方程验算斜率即可；对于B，首先由直线与圆相切，联立方程组得
n 1-x
判别式为0，由此可得k = ，进一步解方程得切点坐标即可判断；对于C，首先得 n =
n 2n+1 1+x
n
x 1
n = ，通过构造函数fx y -n 2n+1
n
1
=x- 2sinx，结合导数即可判断；对于D，由 M A =M C 结合 2 n n n n
三角形三边关系即可求解.
解析 当n=1时，圆O 1 的方程为x-1 2+y-1 2=1，圆心为1,1 ，半径为1，
过点P 1-1,1 向圆O 引切线，根据题意可知，切线斜率存在， 1
设切线方程为y=kx+1 +1，即kx-y+k+1=0，
|k+k| 3
由点到直线的距离公式可得 =1，又因为k >0，所以k = ，故A不正确；
1+k2 n 1 3
设直线l n :y=k nx+1 +n，由 y=k nx+1 +n ， x2+y2-2nx-2ny+n2=0
得1+k n 2 x2+2k n 2-2n x+k2=0， n
由Δ=0，即2k n 2-2n 2-4k n 2 1+k n 2 =0，
n n-k2 n
又因为k >0，所以k = ，所以x = n = ，
n n 2n+1 n 1+k2 n+1
n
所以y n =k nx n +1
n n
+n= +1 2n+1 n+1
n 2n+1
+n= +n，故B正确； n+1
n
1-
因为 1-x n = n+1 = 1 , x n = 1 ，
1+x n 2n+1 y -n 2n+1
n 1+ n
n+1
令fx =x- 2sinx，f x =1- 2cosx，
π
当x∈0,
4
时，f x =1- 2cosx<0，所以fx
π
在0,
4
上单调递减，
1 1 π
因为0< ≤ < ，而f0
2n+1 3 4
=0，
1
所以f
2n+1
0)在区间0,π 恰有两个零点，则ω的取值范围是 ．
5 8
答案 ,
3 3
【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.
解析 由x∈0,π
π π π
，得ωx+ ∈ ,πω+
3 3 3
，
因为函数fx
π
=sinωx+
3
(ω>0)在区间0,π 恰有两个零点，
π 5 8
所以2π<πω+ ≤3π，解得 <ω≤ ，
3 3 3
5 8
所以ω的取值范围是 ,
3 3
.
5 8
故答案为： ,
3 3
.
14.如图，在△SBE中，SE=BE=1，在直角梯形BEDC中，BE⊥DE，CD∥BE，CD=2，DE= 3，DE⊥
π 2π
SE，记二面角S-DE-B的大小为θ，若θ∈ ,
3 3
，则直线SC与平面SDE所成角的正弦值的最大值
为 ．
答案 3-1
·100·【分析】根据题意以EB,ED和过点E垂直于平面BED的直线建立空间直角坐标系E-xyz，可知∠BES为
二面角S-DE-B的平面角，设出点S的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.
解析 如图，以EB,ED和过点E垂直于平面BED的直线建立空间直角坐标系E-xyz，
则B1,0,0 ,D0, 3,0 ,C2, 3,0 ,
由BE⊥DE，DE⊥SE，可知∠BES为二面角S-DE-B的平面角，
π 2π
又SE=1，θ∈ ,
3 3
，
设Sa,0, 1-a2
2π π
，a∈ cos ,cos
3 3
1 1
= - ,
2 2
，
则ES=a,0, 1-a2
,SC=2-a, 3,- 1-a2
,ED=0, 3,0 ，
设平面SDE的法向量为n=x,y,z
n⋅ED= 3y=0
，则 ，
n⋅ES=ax+ 1-a2z=0
-a -a
令x=1，则z= ,y=0，所以n=1,0,
1-a2 1-a2
，
设直线SC与平面SDE所成角为α，
则sinα=cosn,SC
n⋅SC
= n ⋅SC
2-a+a
= a2 1+ ⋅ 2-a
1-a2
2+3+1-a2
a2-1
= ， a-2
a2-1 3
其中 =a-2+ +4≤-2 a-2
a-2 a-2
3 5 3
+4=4-2 3，- ≤a-2≤- ，
a-2 2 2
3
当且仅当a-2= ，即a=2- 3时，取得最大值,
a-2
则sinα的最大值为 4-2 3= 3-1 2= 3-1.
故答案为： 3-1
【点睛】思路点睛：根据题意设出点S的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等
式求解最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）若数列a n 的前n项和S 满足S =2a +n-4． n n n
(1)证明：数列a -1
n
是等比数列；
(2)设b n =log 2a n+1 -1 ，求数列 b na n -1 的前n项和T． n
答案 (1)证明见解析；
(2)T=n⋅2n+1.
n
【分析】(1)利用a =S -S ,n≥2变形给定的递推公式，再利用等比数列的定义推理即得.
n n n-1
(2)由(1)求出b ，再利用错位相减法求和即得.
n
解析 (1)证明：数列a n 中，S =2a +n-4，当n≥2时，S =2a +n-5， n n n-1 n-1
两式相减得a =2a -2a +1，
n n n-1
·101·即a =2a -1，则a -1=2(a -1)，
n n-1 n n-1
又a =S =2a -3，则a =3，a -1=2≠0，
1 1 1 1 1
所以数列a -1
n
是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由(1)知a -1=2×2n-1=2n，b =log (a -1)=log 2n+1=n+1，
n n 2 n+1 2
b (a -1)=(n+1)⋅2n，
n n
则T=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)×2n，
n
于是2T=2×22+3×23+4×24+⋯+n×2n+(n+1)×2n+1，
n
2(1-2n)
两式相减得-T=2×2+(22+23+⋯+2n)-(n+1)×2n+1=2+ -(n+1)×2n+1=-n⋅2n+1，
n 1-2
所以T=n⋅2n+1.
n
16（. 15分）在三棱柱ABC-A B C 中，AA =13，在底面△ABC中，有AB⊥BC，且AB=8，BC=6，点D为
1 1 1 1
12
等腰三角形B AC的底边AC的中点，在△BB D中，有cos∠BB D= ．
1 1 1 13
(1)求证：BC⊥B D；
1
(2)求直线AB 与平面B BC所成角的正弦值．
1 1
答案 (1)证明见解析；
12 10
(2) .
65
【分析】(1)利用余弦定理求出B D，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、性质推理即得.
1
(2)以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦.
1
解析 (1)在三棱柱ABC-A B C 中，连接BD，由AB⊥BC，点D为AC的中点，得BD= AC=
1 1 1 2
1
AB2+BC2=5，
2
12
在△BB D中，BD2=B B2+B D2-2B B⋅B Dcos∠BB D，即52=132+B D2-2×13B D× ，
1 1 1 1 1 1 1 1 13
解得B D=12，由BD2+B D2=169=B B2，得∠B DB=90°，即B D⊥BD，
1 1 1 1 1
由B A=B C，点D为AC的中点，得B D⊥AC，而AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC，
1 1 1
因此B D⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
1
所以BC⊥B D.
1
·102·(2)在平面ABC内过点D分别作AB，BC的平行线，交AB，BC于点E，F，
由(1)知B D⊥平面ABC，AB⊥BC，显然直线DE,DF,DB 两两垂直，
1 1
以点D为坐标原点，直线DE,DF,DB 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
1
则D(0,0,0),A(3,-4,0),B(3,4,0),C(-3,4,0),B (0,0,12)，
1
AB =(-3,4,12),CB=(6,0,0),BB =(-3,-4,12)，设平面B BC的法向量n=(x,y,z)，
1 1 1
n⋅CB=6x=0
则 ，令z=1，得n=(0,3,1)，令直线AB 1 与平面B 1 BC所成的角为θ，
n⋅BB =-3x-4y+12z=0
1
|AB ⋅n| 24 12 10
因此sinθ=|cos‹AB 1 ,n›|= |A B 1 ||n | = 13× 10 = 65 ，
1
12 10
所以直线AB 与平面B BC所成角的正弦值是 .
1 1 65
17（. 15分）甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子
单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜
(后续项目不再进行比赛)．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率
均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不
影响．(注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．)
(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；
(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
答案 (1)甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为0.8；
(2)分布列见解析，X的数学期望为4.3．
【分析】(1)设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件A，利用A 表示事件甲俱乐部在男子双
i i
打项目中获胜，结合概率加法和乘法公式求解；
(2)确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可其分布列，再利用期望公式求其期望.
解析 (1)设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件A，i=1,2,3，
i
则PA 1 =PA 2 =PA 3 =0.7，
则事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜可表示为A A +A A A +A A A ，
1 2 1 2 3 1 2 3
所以事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为
PA A +A A A +A A A
1 2 1 2 3 1 2 3
=0.7×0.7+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7=0.784≈0.8，
(2)由(1)可得甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率约为0.8，
同理可得甲俱乐部在女子双打项目中获胜的概率约为0.8，
甲俱乐部在男子单打项目中获胜的概率约为0.8，
设事件甲俱乐部在女子单打项目中第i局获胜为事件B，i=1,2,3，
i
则PB 1 =PB 2 =PB 3 =0.2，
则事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜可表示为B B +B B B +B B B ，
1 2 1 2 3 1 2 3
所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率为
PB B +B B B +B B B
1 2 1 2 3 1 2 3
=0.2×0.2+0.2×0.8×0.2+0.8×0.2×0.2=0.104≈0.1，
所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率约为0.1，
同理可得事件甲俱乐部在混合双打项目中获胜的概率约为0.1，
由已知X的取值可能为3,4,5；
PX=3 =0.8×0.8×0.1+0.2×0.2×0.9=0.1，
·103·比赛进行了4个项目，甲俱乐部获胜的概率为0.8×0.8×0.9+0.8×0.2×0.1+0.2×0.8×0.1 ×0.8=
0.4864，
比赛进行了4个项目，乙俱乐部获胜的概率为0.2×0.2×0.1+0.2×0.8×0.9+0.8×0.2×0.9 ×0.2=
0.0584，
PX=4 =0.4864+0.0584=0.5448≈0.5，
PX=5 =0.8×0.8×0.9×0.2+0.8×0.2×0.1×0.2+0.8×0.2×0.9×0.8
+0.2×0.8×0.1×0.2+0.2×0.8×0.9×0.8+0.2×0.2×0.1×0.8=0.3552≈0.4，
所以X的分布列为
X 3 4 5
P 0.1 0.5 0.4
所以随机变量X的数学期望EX =3×0.1+4×0.5+5×0.4=4.3.
x2 y2
18（. 17分）已知椭圆E的方程为 + =1(a>b>0),A为E的左顶点，B为E的上顶点，E的离心率为
a2 b2
1
,△ABO的面积为 3．
2
(1)求E的方程；
(2)过点P-2,1 的直线交E于M、N两点，过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点H，证明：线段
MH的中点在定直线上．
x2 y2
答案 (1) + =1
4 3
(2)证明过程见解析
c 1 1
【分析】(1)由题意 = , ab= 3结合a,b,c的平方关系即可求解.
a 2 2
(2)由题意设直线MN方程为kx-y+2k+1=0，Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，联立椭圆方程，用韦达定理、直线交
2y
点坐标以及中点坐标表示出T的坐标，证明 T 为定值即可.
x +2
T
1 c 1 1
解析 (1)因为离心率为 ,△ABO的面积为 3，所以 = , ab= 3，
2 a 2 2
又因为a2=b2+c2，
x2 y2
所以a2=4,b2=3，即E的方程为 + =1.
4 3
(2)
由题意过点P-2,1 的直线斜率存在，设为kx-y+2k+1=0，
设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，
kx-y+2k+1=0
联立x2 y2 ，得4k2+3
+ =1
4 3
x2+8k2k+1 x+82k2+2k-1 =0，
·104·8k2k+1
x +x =-
1 2
可得
4k2+3
82k2+2k-1
x x =
1 2
，
4k2+3
所以y 1 +y 2 =kx 1 +2 +1+kx 1 +2 +1=kx 1 +x 2 +4k+2
8k2 2k+1
=-
4k+2
+
4k2+3
4k2+3 62k+1
=
4k2+3
，
4k2+3
且x 1 y 2 +x 2 y 1 =x 1 kx 2 +2 +1 +x 2 kx 1 +2 +1
=2kx 1 x 2 +2k+1 x 1 +x 2
16k2k2+2k-1
=
8k2k+1
- 4k2+3
2 -24k
= (*)， 4k2+3 3k2+4
Δ=64k2 2k+1 2-324k2+3 2k2+2k-1 =961-2k
1
>0⇒k< ，
2
y
直线AN:y= 2 x+2 x +2
2
和x=x 联立， 1
得H x , y 2x 1 +2
1
x +2
2
,T x , 1 y + y 2x 1 +2
1 2 1
x +2
2
，T为MH的中点，
令x=x 1 ∈-2,2 ,y= 1 y + y 2x 1 +2 2 1 x +2 2 = x 1 y 2 +x 2 y 1 +2y 1 +y 2 2x 2 +2 ，
此时 2y = x 1 y 2 +x 2 y 2 +2y 1 +y 2
x+2
x 2 +2 x 1 +2
，化简得 2y = x 1 y 2 +x 2 y 1 +2y 1 +y 2
x+2
x 1 x 2 +2x 1 +x 2
，
+4
2y -24k+122k+1
将(*)代入上式得 =
x+2
82k2+2k-1 -16k2k+1 +44k2+3
=3，
所以线段MH的中点T在定直线3x-2y+6=0上.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出T x , 1 y + y 2x 1 +2
1 2 1
x +2
2
2y ，再结合韦达定理证明 T 为定值即
x +2
T
可顺利得解.
19（. 17分）已知函数fx
a
=lnx- ．
x
(1)当a=-1时，求fx 的极值；
1
(2)若存在实数00
x
，则f x
1 1 x-1
= - = ，
x x2 x2
当01时，f(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1时，fx 取极小值为f1 =1，无极大值；
(2)由fx
a 1 a x+a
=lnx- ，则f(x)= + = ,x>0
x x x2 x2
，
若a≥0，则f(x)>0恒成立，函数f(x)单调递增，
若fx 0
x2
=f 0 1-x
0
x2 1
，则x = 0 ，解得x =0或x = ，与题意不符，所以a<0， 0 1-x 0 0 2
0
当0-a时，f(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=-a时，fx 取极小值为f-a =ln-a +1，
又00，
1-x
0
x2
所以x 0 > 1- 0 x ，而fx 0
0
x2
=f 0 1-x
0
x2
所以 0 <-a0，
2
1
所以g(x)为增函数，则g(x)0，gt
1
单调递增；当t∈ - ,+∞
2a
时，g t <0，gt 单调递减；
又g1 =0，当t→+∞时，gt →-∞，
所以一定存在t 0 ∈1,+∞ 使得gt 0
1
=0，满足题意，所以a∈- ,0 2 ；
所以fa2
1
=lna2- =2ln-a
a
1
- ，
a
令hx =2ln-x
1 1
- ,x∈- ,0
x 2
，
则h x
2x+1
= ,可知h x
x2
>0，所以h(x)为增函数，
1
且h-
2
1
=2ln
2
+2=2-2ln2,
则h(x)∈2-2ln2,+∞ ，即fa2 ∈2-2ln2,+∞ .
x2
【点睛】思路点睛：第(2)问中，根据条件，利用导数可分析出 0 <-a1}，
M∩N= x 10)的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为 ( )
a2 4
A. 6 B.2 6 C.2 2 D.4 2
答案 A
【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线方程求出a值，求出半焦距，判断选项.
x2 y2
解析 由ax+y=0是双曲线 - =1a>0
a2 4
的一条渐近线，
2
则 =a，解得a= 2
a
故c2=a2+b2=2+4=6,则c= 6，
故选：A
4.已知a,b是两个不共线的单位向量，向量c=λa+μb(λ,μ∈R)．“λ>0，且μ>0”是“c⋅(a+b)>0”的
·107·( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.
解析 当λ>0，且μ>0时，
c⋅a+b
=λa+μb
⋅a+b
2
=λa +λ+μ
2
a⋅b+μb =λ+μ+λ+μ
cosa,b
>λ+μ-λ+μ =0，充分性满足；
当c⋅(a+b)>0时，
c⋅a+b =λ+μ+λ+μ
cosa,b ，当λ>0，μ=0时，
c⋅a+b
=λ+λcosa,b 是可以大于零的，
即当c⋅(a+b)>0时，可能有λ>0，μ=0，必要性不满足，
故“λ>0，且μ>0”是“c⋅(a+b)>0”的充分而不必要条件.
故选：A.
5.函数fx =alnx
1
+ 的图象不可能是 ( )
x
A. B.
C. D.
答案 D
【分析】分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.
解析 ①当a=0时，fx
1
= ，此时A选项符合；
x
②当a>0时，fx =alnx
1
alnx+ , x>0
1 x
+ =
x
aln-x
，
1
+ , x<0
x
当x<0时，fx =aln-x
1
+ ，
x
因为函数y=aln-x
1
,y= 在-∞,0
x
上都是减函数，
所以函数fx 在在-∞,0 上是减函数，
如图，作出函数y=aln-x
1
,y=- 在-∞,0
x
上的图象，
·108·由图可知，函数y=aln-x
1
,y=- 的图象在-∞,0
x
上有一个交点，
即函数fx 在在-∞,0 上有一个零点，
当x>0时，fx
1
=alnx+ ，则f x
x
a 1 ax-1
= - = ，
x x2 x2
由f x
1
>0，得x> ，由f x
a
1
<0，得00
1 x
+ =
x
aln-x
，
1
+ , x<0
x
当x>0时，fx
1
=alnx+ ，
x
1
因为函数y=alnx,y= 在0,+∞
x
上都是减函数，
所以函数fx 在0,+∞ 上是减函数，
1
如图，作出函数y=alnx,y=- 在0,+∞
x
上的图象，
1
由图可知，函数y=alnx,y=- 的图象在0,+∞
x
上有一个交点，
即函数fx 在在0,+∞ 上有一个零点，
当x<0时，fx =aln-x
1
+ ，则f x
x
a 1 ax-1
= - = ，
x x2 x2
由f x
1
>0，得x< ，由f x
a
1
<0，得 0 ，直线l与圆C相交于A,B两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM、直线BN、直
线OP的斜率分别为k ,k ,k ，则 ( )
1 2 3
A.k +k =2k B.2k +k =k C.k +2k =k D.k +k =k
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
答案 A
【分析】根据圆C与x轴交于M,N两点，得到M,N的坐标，再根据直线l与圆C相交于A,B两点，得到坐
标，再根据联立斜率关系计算即可.
解析 如图，由题意得l AM :y=k 1x-2 ，与圆C:x-3 2+y2=1联立，
消y整理得x-2 1+k2 1 x-2k2+4 1 =0，
2k2+4
∴x =2，x = 1 ，
M A 1+k2
1
2k2+4 2k
∴A 1 , 1
1+k2 1+k2
1 1
4k2+2 -2k
，同理可得B 2 , 2
1+k2 1+k2
2 2
．
∵k =k ，
OA OB
2k -2k
1 2
1+k2 1+k2
∴ 2k2+4 1 = 4k2+2 2 ，即1+k 1 k 2
1 2
1+k2 1+k2
1 2
k 1 +2k 2 =0．
1
∵k k ≠-1，∴k =- k ，
1 2 2 2 1
设Px 0 ,y 0 ，∴ y 0 =k 1x 0 -2 , y 0 =k 2x 0 -4 ,
2k -4k
x = 1 2,
0 k -k 2k -4k -2k k
∴ 1 2 ∴P 1 2, 1 2
-2k k k -k k -k
y = 1 2, 1 2 1 2
0 k -k
1 2
8 2k
，即P , 1
3 3
，
·110·2k
1
3 1
∴k = = k ，
3 8 4 1
3
1
∴k +k = k =2k ，
1 2 2 1 3
故选：A．
8.已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，AB=BC=1，P为单位圆上除A外
的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则 ( )
A.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最小值
B.有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最小值
C.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最大值
D.有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值
答案 D
【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断．
解析 过A作AM⊥l于M，连接MB、MC，如图所示，
因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线l在平面内，且直线BC交单位圆于点A，
所以AC⊥l，AM,AC⊂平面AMC，AM∩AC=A，所以l⊥平面AMC，
MC,MB⊂平面AMC，所以l⊥MC，l⊥MB，
所以∠BMC是二面角B-l-C的平面角，
设∠BMC=θ，∠AMC=α，∠AMB=β，AM=t，则θ=α-β，
由已知得t∈0,2 ，AB=BC=1，
2 1
tanα= ，tanβ= ，tanθ=tanα-β
t t
2 1
-
tanα-tanβ t t t
= = = ，
1+tanα⋅tanβ 2 1 t2+2
1+ ⋅
t t
令ft
t
= ，则f t
t2+2
1⋅t2+2
=
-t2t
t2+2
2+t
=
2
2-t
t2+2
，
2
当t∈0, 2 时，f t >0，ft 单调递增，当t∈ 2,2 时，f t <0，ft 单调递减，
f2
1
= >f0
3
=0
·111·所以t∈0,2 ，当t= 2时，ft 取最大值，没有最小值，
即当t= 2时tanθ取最大值，从而θ取最大值，
由对称性知当t= 2时，对应P点有且仅有两个点，
所以有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，
从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，
C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则 ( )
A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立
答案 BCD
【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.
解析 不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，
共12种，
事件A=“13,14,23,24,31,41,32,42”；
事件B=“12,13,14,21,23,24”；
事件C=“12,21,31,41,32,42”；
事件D=“12,21,34,43”.
事件AD=∅，事件AB=“13,14,23,24”，
事件BD=“12,21,”，事件AC=“31,41,32,42”，
则PA
8 2
= = ,PB
12 3
6 1
= = ，PC
12 2
6 1
= = ，PD
12 2
4 1
= = ，
12 3
PAD =0，PAB
4 1
= = ，PBD
12 3
2 1
= = ，PAC
12 6
4 1
= = ，
12 3
所以PAD ≠PA PD ，所以A与D不相互独立；
PAB =PA PB ，所以A与B相互独立；
PBD =PB PD ，所以B与D相互独立；
PAC =PA PC ，所以A与C相互独立；
故选：BCD
10.已知函数fx ，gx 的定义域均为R，且fx +g2-x =5，gx -fx-4 =7．若x=2是gx 的对
称轴，且g2 =4，则下列结论正确的是 ( )
A. fx 是奇函数 B. 3,6 是gx 的对称中心
C.2是fx
22
的周期 D.gk
k=1
=130
答案 BD
【分析】根据对称性和已知条件得到fx =f-x ，判断A；结合已知条件变形得到g(2-x)+g(x+4)=
12，判断B；利用赋值法求得f2 ≠f0 ，判断C；根据条件得到的gx 周期为4，对称中心为3,6 ，从而
得到函数值即可求解，判断D.
解析 对于A，因为x=2是gx 的对称轴，所以g(2-x)=g(x+2)，
又因为fx +g2-x =5，所以f-x +g2+x =5，故fx =f-x ，
·112·即fx 为偶函数，故A错误；
对于B，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，
又因为f(x)+g(2-x)=5，联立得g(2-x)+g(x+4)=12，
所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，故B正确；
对于C，因为fx +g2-x =5，g2 =4，则f0 +4=5，即f0 =1；
因为gx -fx-4 =7，则4-f-2 =7，即f-2 =-3，则f2 =-f-2 =3；
显然f2 ≠f0 ，所以2不是fx 的周期，故C错误；
对于D，因为x=2是gx 的对称轴，所以g(6-x)=g(x-2)，
又因为g(2-x)+g(x+4)=12，即gx +g6-x =12，
则gx +gx-2 =12，所以gx+2 +gx =12，
所以gx+2 =gx-2 ，即gx =gx+4 ，所以gx 周期为4，
因为gx 周期为4，对称中心为3,6 ，所以g3 =6，
当x=4时，代入gx -fx-4 =7，即g4 -f0 =7，所以g4 =8，
所以g4 =g0 =8，又x=2是gx 的对称轴，所以g1 =g3 =6，
22
所以gk
k=1
=5×6+4+6+8 +6+4=130，故D正确，
故选：BD.
11.在平面直角坐标系中，将函数 f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0<α≤90°)后，所得曲线仍然是某
个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.那么 ( )
A.存在90°旋转函数 B.80°旋转函数一定是70°旋转函数
1 bx
C.若g(x)=ax+ 为45°旋转函数，则a=1 D.若h(x)= 为45°旋转函数，则-e2≤b≤0
x ex
答案 ACD
【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断
即可；对CD，将45°旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方
程，分析零点个数判断即可.
解析 对A，如y=x满足条件，故A正确；
对B，如倾斜角为20°的直线是80°旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；
1 1
对C，若g(x)=ax+ 为45°旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=ax+ 逆时针旋转45°后，不存
x x
在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45°的直线与g(x)=ax+
1
的函数图象有两个交点.即y=x+bb∈R
x
1
1 y=ax+
与g(x)=ax+ 至多1个交点.联立 x 可得
x
y=x+b
a-1 x2-bx+1=0.
当a=1时，-bx+1=0最多1个解，满足题意；
当a≠1时，a-1 x2-bx+1=0的判别式Δ=b2-4a-1 ，对任意的a，都存在b使得判别式大于0，不
满足题意，故a=1.故C正确；
bx
对D，同C，h(x)= 与y=x+aa∈R
ex
bx
的交点个数小于等于1，即对任意的a，a= -x至多1个解，
ex
故gx
bx
= -x为单调函数，即g x
ex
b1-x
=
-1为非正或非负函数.
ex
又g 1
b1-x
=-1，故
-1≤0，即ex≥-bx-1
ex
恒成立.
即y=ex图象在y=-bx-1 上方，故-b≥0，即b≤0.
·113·当y=ex与y=-bx-1 相切时，可设切点x 0 ,ex0 ，对y=ex求导有y=ex，故
ex0
=ex0，解得x =2，此 x -1 0
0
时b=-ex0=-e2，故-e2≤b≤0.故D正确.
故选：ACD
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
x
12.2+
y
x-2y 6的展开式中x4y2的系数为 ．(用数字作答)
答案 -40
【分析】由二项式定理得到x-2y
x
6的通项公式，结合2+ ，得到T,T，得到x4y2的系数. y 3 4
解析 x-2y 6的通项公式为T r+1 =C 6 rx6-r -2y r=C 6 r -2 rx6-ryr，
令r=2得，T 3 =C 6 2 -2 2x4y2=60x4y2，此时60x4y2⋅2=120x4y2，
令r=3得，T 4 =C 6 3 -2
x
3x3y3=-160x3y3，此时-160x3y3⋅ =-160x4y2， y
故x4y2的系数为120-160=-40
故答案为：-40
13.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线x=t与C交于A，B，AF与C的另一个交点为D，BF与C的另一
个交点为E.若△ABF与△DEF的面积之比为4:1，则t= .
答案 2
【分析】由题意可判断得t>1，写出点A，B的坐标，从而得AB =4 t，表示出直线AD的方程，与抛物线
联立方程组，从而求解出点D的横坐标，代入抛物线方程计算，即可得DE
4
= ，从而根据三角形面积
t
公式表示△ABF与△DEF的面积，再根据面积比列式计算可得t的值.
解析 如图，抛物线C:y2=4x的焦点为F1,0 ，可知t>1，
由题意，得At,2 t ,Bt,-2 t ，即AB =4 t
2 t
所以直线AD的方程为y= x-1
t-1
，
2 t
y= x-1 联立 t-1 ，化简得tx2-t2+1
y2=4x
x+t=0，
t2+1
∴x 1 +x 2 = t ，因为At,2 t
t2+1 1
，可得点D的横坐标为 -t= ， t t
2
代入抛物线方程可得，y=± ，所以DE
t
4
= ，
t
1
∴S △ABF = 2 ×4 t×t-1 =2 t⋅t-1
1 4 1
，S = × ×1- △DEF 2 t t
2t-1
=
t⋅ t
·114·∴ S △ABF = 2 t⋅t-1
S △DEF
2t-1
=t2=4，又t>1，所以t=2.
t⋅ t
故答案为：2
14.设严格递增的整数数列a ，a ，⋯，a 满足a =1，a =40.设f为a +a ，a +a ，⋯，a +a 这19个数中
1 2 20 1 20 1 2 2 3 19 20
被3整除的项的个数，则f的最大值为 ，使得f取到最大值的数列a n 的个数为 .
答案 1825270
【分析】第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，
一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一
个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论
即可得到结果.
解析 第一个空，设某个数除以a余数为b，则称该数模a余b(a，b均为整数，且b0；
3+ 7
综上，b的值为 .
2
π
17（. 15分）设02；
x-sinx
(3)若tanx+2sinx-ax>0，求实数a的取值范围.
1
答案 (1)
16
(2)证明见解析
(3)a≤3
【分析】(1)由二倍角公式及同角三角函数的商数关系计算即可；
(2)先利用导数证：x-sinx>0，再利用导数研究φx =tanx+2sinx-3x的单调性与最值即可；
(3)构造函数fx =tanx+2sinx-ax，利用换元法先判定f x 的单调性及值域，然后含参讨论结合隐零
点判定fx 的单调性及值域即可.
解析 (1)由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可知：
cos4x-4cos2x+3 2cos22x-4cos2x+2 cos2x-1
= =
cos4x+4cos2x+3 2cos22x+4cos2x+2 cos2x+1
2
-2sin2x
=
2cos2x
2
=-tan2x
1
2=
16
π
(2)证明：先证当00.
2
·118·令mx =x-sinx，则m x
π
=1-cosx>0在0m0 =0，
π
即当00.
2
tanx-x
要证 >2，只需证明tanx-x>2x-sinx
x-sinx
，即证tanx+2sinx-3x>0
令φx
π
=tanx+2sinx-3x，x∈0,
2
，
则φ x
1 2cos3x-3cos2x+1 cosx-1
= +2cosx-3= =
cos2x cos2x
2 2cosx+1
>0.
cos2x
1 3 1
(或 +2cosx-3≥3× ⋅cosx⋅cosx-3=0，当且仅当cosx=1时等号成立，)
cos2x cos2x
π
而x∈0,
2
，则00，
∴在φx
π
在0,
2
上单调递增，∴φx >φ0 =0，
即tanx+2sinx-3x>0
π tanx-x
∴当02.
2 x-sinx
(3)令fx
π
=tanx+2sinx-ax，x∈0,
2
，则f0 =0，f x
1
= +2cosx-a，
cos2x
π
令t=cosx，则t在x∈0,
2
上单调递减，t∈0,1 ，f x =gt
1
= +2t-a，
t2
而g t
2
=- +2<0，∴gt
t3
在t∈0,1 上递减，∴f x
π
在x∈0,
2
上递增
∴f x 的值域为3-a,+∞
(i)当3-a≥0，即a≤3时，f x ≥0恒成立，所以fx
π
在x∈0,
2
递增，
∴fx >0，∴a≤3符合题意；
(ii)当3-a<0，即a>3时，f 0 <0，
π
∴存在x ∈0, 0 2 使得f x 0 =0
∴当x∈0,x 0 时，f x <0，fx 递减，此时fx <0，不符题意.
综上知，a≤3.
18（. 17分）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为PX=a k =x k ，PY=a k =
n n
y ，x >0，y >0，k=1,2,⋯,n,x =y =1．指标D(X‖Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为
k k k k k
k=1 k=1
n x
D(X‖Y)=x ln k．设X~B(n,p),00，
p 1-p
令φp
1 1
= + -2ln2，则φ p
p 1-p
2p-1
=
p2 1-p
，
2
1
当00，φp 单调递增；
所以φp
1
>φ
2
1
=4-2ln2>0，则g(p)单调递增，而g
2
=0，
1
所以f(p)在0,
2
1
为负数，在 ,1
2
为正数，
1
则f(p)在0,
2
1
单调递减，在 ,1
2
单调递增，
3
所以D(X‖Y)的最小值为ln3- ln2.
2
(3)令hx =lnx-x+1，则h x
1 1-x
= -1= ，
x x
当00，hx 单调递增；
当x>1时，h x <0，hx 单调递减；
所以hx ≤h1 =0，即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时，等号成立，
1 1 1
则当x>0时，lnx≤x-1，所以ln ≤ -1，即lnx≥1- ，
x x x
n x n y
故D(X‖Y)=x ln k ≥ x 1- k k y k x
k=1 k k=1 k
n
= x k -y k
k=1
n n
=x -y =0， k k
k=1 k=1
当且仅当对所有的k,x =y 时等号成立.
k k
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义指标D(X‖Y)，熟练掌握对数的运算法则即可得解.
x2 y2 x2+4x y2
19（. 17分）已知椭圆C： + =1的左焦点为F，P为曲线E： + =0上的动点，且点P不在x
25 9 25 9
轴上，直线FP交C于A，B两点.
(1)证明：曲线E为椭圆，并求其离心率；
(2)证明：P为线段AB的中点；
(3)设过点A，B且与AB垂直的直线与C的另一个交点分别为M，N，求△PMN面积的取值范围.
·120·4
答案 (1)证明见解析，
5
(2)证明见解析
72
(3)0,
5
x+2
【分析】(1)整理得到
2 y2
+ =1，可以看出曲线E为椭圆，并求出离心率；
4 36
25
9
(2)设AB的中点为H，利用点差法得到k OH k AB =- 25 ，设Pm,n
n2 9
，得到k k = =- ，故P,H重 OP AB m2+4m 25
合，P为线段AB的中点；
1
(3)设直角梯形ABNM的面积为S，得到S = S，设直线AB的方程为x=-4+ky，联立椭圆方程，求
△PMN 2
出两根之和，两根之积，得到AB ，并求出AM ,BN
1620001+k2
，表达出S=
2 1+k2
25k2+9
25+9k2
，得到S∈
2
144
0,
5
，得到答案.
x2+4x y2 x+2
解析 (1)曲线E： + =0，整理得
25 9
2-4 y2
+ =0，
25 9
x+2 2 y2 4 x+2
+ = ，即
25 9 25
2 y2
+ =1，
4 36
25
x2 y2
故曲线E可由 + =1向左平移2个单位得到，故为椭圆，
4 36
25
8
36 8 c 5 4
其中a=2,c= 4- = ，离心率为 = = ；
25 5 a 2 5
(2)由题意得F- 25-9,0 ，即F-4,0 ，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，则
9x2
1
+25y2
1
=225
，两式相减得 9x2+25y2=225
2 2
9x 1 +x 2 x 1 -x 2 =-25y 1 +y 2 y 1 -y 2 ，
因为点P不在x轴上，故直线FP的斜率存在且不为0，
y +y y -y 9
故x ≠x ,x +x ≠0，所以 1 2 ⋅ 1 2 =- ，
1 2 1 2 x +x x -x 25
1 2 1 2
x +x y +y
设AB的中点为H，则H 1 2, 1 2
2 2
，
y +y
1 2
y +y 2 y -y 9
1 2 = =k , 1 2 =k，故k k =- ，
x +x x +x OH x -x l OH AB 25
1 2 1 2 1 2
2
设Pm,n
m2+4m n2
，则 + =0，
25 9
n n
则k = ，又k =k = ，
OP m AB FP m+4
n n n2 9
则k k = ⋅ = =- ，
OP AB m m+4 m2+4m 25
故k =k ，而直线AB不过原点，且H,P在直线AB上，
OH OP
即P,H重合，P为线段AB的中点；
(3)由题意得四边形ABNM为直角梯形，设直角梯形ABNM的面积为S，又P为AB的中点，
1
所以S △AMP +S △BNP = 2 AM ⋅AP
1
+ BN 2 ⋅BP
1
= AM 2 +BN ⋅AP
1 1
= S，则S = S， 2 △PMN 2
·121·设直线AB的方程为x=-4+ky，与9x2+25y2=225联立得：25+9k2
y2-72ky-81=0，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
72k -81
，则y +y = ,y y = ， 1 2 25+9k2 1 2 25+9k2
则AB = 1+k2 y 1 +y 2
72k
2-4y y = 1+k2 1 2 25+9k2
2 -81
-4⋅ 25+9k2
90 1+k2 901+k2
= 1+k2 =
25+9k2
，
25+9k2
直线AM方程为y-y 1 =-kx-x 1 ，联立9x2+25y2=225得：9x2+25 y 1 -kx-x 1 2=225，
即25k2+9 x2-50ky +50k2x
1 1
x+25y2-2ky x +k2x2
1 1 1 1
-225=0，
设Mx 3 ,y 3
50ky +50k2x 50ky +50k2x
，由图形可得x >x ，则x +x = 1 1，故x = 1 1 -x ， 3 1 1 3 25k2+9 3 25k2+9 1
故AM = 1+k2 x 3 -x 1
50ky +50k2x
= 1+k2⋅ 1 1 -2x 25k2+9 1
50ky -18x
= 1+k2⋅ 1 1， 25k2+9
同理可得BN
50ky -18x
= 1+k2 2 2，
25k2+9
故AM +BN
50ky -18x 50ky -18x
= 1+k2 1 1 + 1+k2 2 2
25k2+9 25k2+9
= 1+k2 50ky 1 +y 2 -18x 1 +x 2
25k2+9
，
又x 1 +x 2 =-8+ky 1 +y 2
72k2 -200
=-8+ = ， 25+9k2 25+9k2
故AM +BN
72k -200
50k⋅ -18⋅
25+9k2 25+9k2
= 1+k2
25k2+9
3600k2+3600
= 1+k2
25k2+9 25+9k2
，
1 901+k2
故S=
2
3600k2+3600
1+k2
25+9k2 25k2+9
25+9k2
1620001+k2
=
2 1+k2
25k2+9
25+9k2
，
2
由于分母最高次为6次，分子最高次为5次，且k2>0恒成立，
故随着k2的增大，S趋向于0，
144 144
当k=0时，S= ，故S∈0,
5 5
，
1 72
则S = S∈0,
△PMN 2 5
.
【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广：
x2 y2
椭圆 + =1与直线相交于A,B两点，弦AB的中点为M，其中原点为O，
a2 b2
b2
则k ⋅k =- ，
AB OM a2
x2 y2
推广：已知椭圆 a2 + b2 =1的两顶点分别为A 1-a,0 ,A 2a,0 ，则椭圆上一点P(除A ,A 两点)，满足 1 2
·122·b2
k ⋅k =- ；
A1P A2P a2
x2 y2
双曲线 - =1与直线相交于A,B两点，弦AB的中点为M，其中原点为O，
a2 b2
b2
则k ⋅k = ，
AB OM a2
x2 y2
推广：已知双曲线 a2 - b2 =1的两顶点分别为A 1-a,0 ,A 2a,0 ，则双曲线上一点P(除A ,A 两点)，满 1 2
b2
足k ⋅k = ；
A1P A2P a2
·123·2024 年 2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设复数z=1+i,w=3+2i，则z+w的虚部是 ( )
A.-3 B.3 C.-3i D.3i
答案 A
解析 注意到z+w=4+3i，那么z+w=4-3i，其虚部为-3.
2.如果可导曲线y=fx 在点 x 0 ,fx 0 的切线方程为x+eay-3=0，其中a∈R，则 ( )
A. f x 0 >0 B. f x 0 =0 C. f x 0 <0 D.无法确定
答案 C
1 3 1
解析 切线方程的斜截式为y=- ea x+ ea ，斜率- ea <0，所以f x 0 <0.
3.设锐角α满足tanα∈0,1 ，则数据sinα,cosα,sinπ-α ,cosα+π 的极差是 ( )
π
A.2sinα B.2cosα C. 2sinα-
4
π
D.- 2sinα-
4
答案 B
解析 因为tanα∈0,1 ，并且α是锐角，所以cosα>sinα>0，四个数据分别为sinα,cosα,sinα,-cosα，所
以极差为cosα--cosα =2cosα.
x2 x2
4.设焦距相同的椭圆C : +y2=1和双曲线C : -y2=1(a>0)相交于分别位于第一象限､第二象限的
1 4 2 a2
A,B两点，两圆锥曲线的公共左焦点为F，则|FA|2-|FB|2的值是 ( )
A. 2 B.2 2 C.4 2 D.8 2
答案 D
解析 椭圆的半焦距为 4-1= 3，所以有a2=( 3)2-1=2，所以a= 2，设右焦点F，则|FA|2-|FB|2
=|FA|2-FA 2= |FA|+FA FA -|FA| =2×2×2× 2=8 2.
5.已知公比q与首项a 1 均不为0的等比数列a n ，则“a n 单调递增”是“q>1”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 考虑a 1 =-1时，a n =-qn,a n 单调递增的充要条件是q<1，所以a n 单调递增”是“q>1”的既不
充分也不必要条件.
6.已知三棱锥P-ABC底面△ABC为边长为2的等边三角形，O是底面ABC上一点，三棱锥体积V =
P-ABC
3.则对∀μ,λ∈R,OP+μOA+λOB 的最小值是 ( )
3
A.1 B.3 C. 3 D.
3
·124·答案 B
1 π
解析 S = sin
△ABC 2 3
1
22,V = S h⇒h=3,OP+μOA+λOB
P-ABC 3 △ABC
表示P到平面ABC上任意一点的
距离，故最小值为h=3.
x2 y2
7.设椭圆 25 + 16 =1的左､右焦点为F 1 ,F 2 ，椭圆上一点P和平面一点F满足PF=4F 2 P，则F 1 F 的最大
值与最小值之和是 ( )
A.48 B.50 C.52 D.54
答案 B
解析 可以设P5cosθ,4sinθ ，因为F 1-3,0 ,F 23,0 ，得到F25cosθ-12,20sinθ
，所以FF= 1
25cosθ-9,20sinθ
，那么FF 1 2=(25cosθ-9)2+400sin2θ=225cos2θ-450cosθ+481∈256,1156 ，所
以FF 1 ∈16,34 ，最小值和最大值之和为16+34=50.
8.已知 fx 是定义在0,+∞ 上单调递增且图像连续不断的函数，且有 fx+y
fx
=
+fy
1+fx fy ，设x > 1
x >1，则下列说法正确的是 ( )
2
A. fx 1 +fx 2 x +x >f 1 2
2 2
>1 B.1> fx 1 +fx 2 x +x >f 1 2
2 2
x +x C. f 1 2
2
> fx 1 +fx 2 x +x >1 D.1>f 1 2
2 2
> fx 1 +fx 2
2
答案 D
解析 fx+0
fx
=
+f0
1+fx f0
得到f0 f2 x -1 =0，因为fx 单调递增，所以fx 不恒等于±1，
故f0 =0.因为fx 在0,+∞ 上单调递增，故fx ≥f0 =0.f2x
2fx
=
1+f2 x .若存在x 0 ,fx 0 =
1，则fx+x 0
fx
=
+1
1+fx =1，则fx 恒等于1，
与fx 单调递增矛盾，故fx ≠1,∀x∈0,+∞ .若存在x 1 ,fx 1 >1，因为fx 连续，fx 1 >1,f0
=0<1，故存在x 2 ,fx 2 =1，与上述第三条结论矛盾，故fx <1,∀x∈0,+∞ .对于本题，fx 1 +x 2 =
fx 1 +fx 2 1+fx 1 fx 2 ≥ fx 1 +fx 2 1+ fx 1 +fx 2
2
2 ，当且仅当fx 1 =fx 2 时取等，因为x 1 ≠x 2 ,fx 单调递增，故
不取等.fx 1 +x 2
x +x
2f 1 2
2
=
x +x 1+ f 1 2
2
.容易证明x∈0,1 2 时，gx
2x x +x
= 为增函数，g f 1 2 1+x2 2 >
g fx 1 +fx 2
2
x +x ，所以f 1 2
2
> fx 1 +fx 2 x +x .综上所述1>f 1 2
2 2
> fx 1 +fx 2 .
2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.对于一个随机试验，设Ω是样本空间，A是随机事件，ω是样本点，则下列说法正确的是 ( )
A. A∈Ω B. A⊆Ω C.ω∈Ω D.ω⊆Ω
答案 BC
解析 对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本
·125·事件，随机事件是样本空间的一个子集.所以有ω∈Ω和A⊆Ω.
10.设全集为U，设A,B是两个集合，定义集合TA,B = A∩∁ U B ∪ B∩∁ U A ，则下列说法正确的是
( )
A.TA,A =∅ B.T∅,A =A C.TA,U =A D.TA,B =TB,A
答案 ABD
解析 对TA,A 而言，A∩∁ U A=∅，所以TA,A =∅；因为∅∩∁ A=∅，且A∩∁ ∅=A∩A=A，所以 U U
T∅,A =∅∪A=A;A∩∁ U U=∅，且U∩∁ U A=∁ U A，所以TA,U =∁ U A;TA,B =B∩∁ U A ∪
A∩∁ U B =TB,A .
11.已知定义域为0,+∞ 的函数 fx =cosπx +sin πx x ，其中 x 代表不超过x的最大整数.设数列
a n 满足：a n 是fx 在2n,2n+2 上最大值，数列x n 满足：fx n =a n 且x n ∈2n,2n+2 ，则下列说法
正确的是 ( )
A. fx 最小值为-2 B. fx 在2n,2n+2 有4n+2个极值点
1
C. x ∈2n,2n+
n 4n
π
D.a >cos +1
n 4n
答案 BCD
解析 gx ≥-1，当且仅当x=2n+1时取等，此时hx >-1，故fx =gx +hx >-2，
不取等.x∈2n,2n+1 时令x=2n+t,t∈0,1 ,hx =sin2nπt ,gx =cosπt .f x =
π 2ncos2nπt -sinπt
k
.t= ,fx
n
kπ
=π2n-sin
n
2k+1
>π>0;t= ,fx
2n
=
2k+1
π -2n-sin
π
2n
<-π<0.计算可知fx 在2n,2n+1 上有2n个极值点，同理可算得
2n+1,2n+2
1
上有2n+1个极值点.x∈2n+1- ,2n+1
4n
时f x
1
>0,x∈2n+1,2n+1+
4n
时
f x <0，故x=2n+1是一个极值点.综上所述fx 在2n,2n+2 上有4n+2个极值点.x∈
1
2n,2n+1-
4n
1
时，因为cos x+
4n
π
f4n+2-x ⇔sin2nπx >
sin 2n4n+2-x π ⇔sin2nπx >sin-2nπx ⇔sin2nx >0成立，故fx
1
最大值在2n,2n+
4n
取
1
得，即x ∈2n,2b+
n 4n
1
⋅f2n+
4n
π 1
=cos +1,f2n+
4n 4n
π 1
=-πsin <0，故2n+ 不是
4n 4n
2n,2n+2 上的最大值点，a n 是2n,2n+2
1
上的最大值，故a >f2n+ n 4n
π
=cos +1. 4n
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
28 7
答案 π.
3
解析 边长为2的正六棱柱与其侧面均相切的球半径 3，若该球与其8个面均相切，则正六棱柱的高为
4 28 7
2 3.其外接球半径为 ( 3)2+22= 7，则其体积为V= π( 7)3= π.
3 3
·126·13.小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是
.如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式.
答案 16.
解析 在小鱼和A和相对位置确定后，B有四种选择，B的每种选择确定下C有两种选择，C确定的情
况下剩余两人有两种排列方式，故总坐法有4×2×2=16种.
m
14.如果X,Y是离散型随机变量，则X在Y=y事件下的期望满足E(X∣Y=y)=x i PX=x i ∣Y=y
i=1
其中
x ,x ,⋯,x
1 2 m
是X所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为p，进行n次试验，求第n次
试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数X的数学期望是 .
n
答案 .
2
解析 设随机变量X,Y分别代表第一､第二次成功对应的试验次数，则PX=x
i
,Y=n)=p2(1-p)n-2，以
及PY=n =n-1 p(1-p)n-2p=n-1 p2(1-p)n-2，所以
PX=x i ∣Y=n = PX=x i ,Y=n PY=n 1 n-1 1 n-1 = ，所以E(X∣Y=n)=iP(X=i∣Y=n)= i= n-1 n-1
i=1 i=1
1 n(n-1) n
⋅ = .
n-1 2 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
设数列a n ,b n 满足：a =2,b =3，且4a -b =a -3b ,4b -2b =2a -3a 对n∈N*成立. 1 1 n+1 n n n+1 n+1 n n n+1
(1)证明：a +b
n n
是等比数列；
(2)求a n 和b n 的通项公式.
解析 (1)移项得到4a +3b =a +b ,4b +3a =2a +2b
n+1 n+1 n n n+1 n+1 n n
3
相加得a n+1 +b n+1 = 7 a n +b n
a +b 3
所以 n+1 n+1 =
a +b 7
n n
因为a +b =5≠0，所以a +b
1 1 n n
3
是首项为5，公比为 的等比数列
7
5⋅3n-1
(2)根据(1)的结论，得到a +b =
n n 7n-1
5⋅3n-1 5⋅3n-2
另外有b -a =a +b = ，所以b -a = 对n≥2成立
n+1 n+1 n n 7n-1 n n 7n-2
10 3
所以a =- ⋅
n 7 7
n-2 25 3
,b = ⋅
n 7 7
n-2
对n≥2成立
2,n=1,
所以通项公式为a = 10 3 n - ⋅
7 7
3,n=1,
n-2 ,n≥2, 和b n = 25 ⋅ 3
7 7
n-2 . ,n≥2,
16.(15分)
在四面体PABC中，M为AB中点，O为PABC外接球的球心，且AC⊥BC,|AP|2+|BP|2=2,|PC|=1.
(1)证明：PO⊥CM；
(2)若PO =1，求四面体PCOM体积的最大值.
解析 (1)因为AC⊥BC，所以M是△ABC的外心，又因为O是四面体的外接球球心，有OM⊥CM.
·127·|AM|2+|PM|2-|AP|2 |BM|2+|PM|2-|BP|2
在△PAB中，M为AB中点，△PMA,△PMB互补，所以 = ，
2|AM|⋅|PM| 2|BM|⋅|PM|
1
所以|PM|2+|BM|2= |PA|2+|PB|2
2
=1.
因为M是斜边中点，有|BM|2=|CM|2
所以|PM|2+|CM|2=|PM|2+|BM|2=1=|PC|2
根据勾股定理的逆定理，PM⊥CM
所以CM⊥平面OPM，又因为OP⊂平面OPM，有CM⊥OP
1
(2)因为CM⊥平面OPM，有V PCOM =V C-POM = 3 CM ⋅S △OPM
设CM =t，根据PO =1，得到CO =PO =1,OM⊥MC，所以OM = OC|2- CM|2= 1-t2，同
理PM = 1-t2
作MH⊥OP，根据OM =MP ，得到OH =HP
1
= ，所以MH 2
3 1 3
= -t2，所以S = -t2， 4 △OMP 2 4
1 3 1 3
所以V = t -t2= t2 -t2
PCOM 6 4 6 4
1
≤
16
当CM
6
=t= 时等号成立.
4
【备注】OM 和PM 的长度用t表示，写出一个得1分，写出两个得3分.
17.(15分)
1
设△ABC的外接圆半径是 ,A,C均为锐角，且|AC|=|AB|2+|BC|2.
2
(1)证明：△ABC不是锐角三角形；
(2)证明：在△ABC的外接圆上存在唯一的一点D，满足对平面上任意一点P，有|PA|2-|PB|2=|PD|2
-|PC|2.
a b c
解析 (1)记在△ABC中，A,B,C所对的边分别长度为a,b,c.根据正弦定理，有 = = =
sinA sinB sinC
2R，所以a=sinA,b=sinB,c=sinC.
π
根据b=c2+a2，有1≥sinB=sin2A+sin2C，得到sin2C≤1-sin2A=cos2A=sin2 -A
2
因为A,C都是锐角，根据fx
π π π
=sin2x的单调性得到C≤ -A，所以A+C≤ ，所以B≥ ，所以
2 2 2
△ABC不是锐角三角形
(2)因为sin2A+sin2C=sinB≥sin2B，所以a2+c2-b2≥0
a2+c2-b2 π π
所以cosB= ≥0，所以B≥ ，得到B=
2ac 2 2
设△ABC外接圆圆心为O，则有PA2-PB2=PD2-PC2⇔(PO+OA)2-(PO+OB)2=(PO+OD)2-(PO+
OC)2
得到2PO⋅OA-OB-OC+OD
=0对平面上所有P成立，必须有OA-OB-OC+OD=0，
根据B是直角和平面几何知识(必须有，否则扣2分)得到D在△ABC外接圆上，并且根据平面向量基本
定理得到D唯一
【备注】在外接圆上和唯一性的证明，少一个扣2分.
18.(17分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,F关于原点的对称点是M,⊙M为M为圆心，OM =1为半径的
圆.直线l是过⊙M上异于原点的一点A的C的切线，切点为T.
(1)求FT 的最大值；
·128·FA
(2)求
FT
的最大值.
解析 (1)根据题意，可以很快求出p=2
设Ax 0 ,y 0
y2
,T 1,y 4 1 ，根据对称性，不妨设y 1 >0，则FT
y2
= 1 +1，因为T在曲线C :y=2 x上，C 在T 4 1 1
1 2 y2
处导数为 = ，所以AT的方程是yy =2x+ 1
y4
1
y
1
1 2
4
存在A使得AM =1等价于AT到M-1,0
y2
2 1 -1
4
的距离不大于1，所以d=
≤1，解得y2≤12，所以 y2+4 1
1
FT
y2 12
= 1 +1≤ +1=4
4 4
y2
(2)设过点A的另一条切线与C相切于P 2,y
4 2
，由(1)同理可得AP:y y=2x+2x ，又因为A分别在
2 2
AT,PT上，所以TP:yy 0 =2x+x 0
先证明|AF|2=FT ⋅FP ，有|AF|2=x 0 -1 2+y2 0 ,FT ⋅FP
y2
= 1 +1 4
y2
2 +1 4
y2y2+4y2+y2
= 1 2 1 2
+16
. 16
联立TP和C，得到y ,y 是方程y2-2y y+4x 的两根，根据根与系数的关系，y y =4x ,y +y =2y ，代入
1 2 0 0 1 2 0 1 2 0
得到FT ⋅FP
|AF|2 TF
=|AF|2，所以 =
|TF|2
⋅FP FP
=
|TF|2
FT
FP 又因为
FT
FT +
FP
y2+4 y2+4 = 1 + 2 =2+y2-y2
y2+4 y2+4 1 2
2 1
1 1 -
y2+4 y2+4
2 1
=2+ y 1 -y 2 2 y 1 +y 2 2
16FT ⋅FP
=2+
y 1 -y 2 2 y 1 +y 2 2 y2 y2-4x =2+ 0 0 0
16|FA|2
≤3
1-4x
0
|FA|2 |FT|2 FA
所以 + ≤3，所以
|FT|2 |FA|2
FT
1+ 5
≤ ，y2=1时等号成立.
2 0
19.(17分)
请在下列题目中任选一题作答，将选择题目的序号(粗体大写英文字母)写在答题卡醒目位置.如果选择
多题，则按所选择的第一题计分.
(A)．
称I⊆Z是Z的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：(1)任意a,b∈I，a+b∈I；(2)任意a∈I
和c∈Z，有ca∈I.任取a ,a ,⋯,a ∈Z，称包含a ,a ,⋯,a 的最小向往集合称为a ,a ,⋯,a 的生成向往集
1 2 n 1 2 n 1 2 n
合，记为a 1 ,a 2 ,⋯,a n .
(1)求满足6,8 =x 的正整数x的值；
(2)对两个向往集合I 1 ,I 2 ，定义集合SI 1 ,I 2 =a+b∣a∈I,b∈I 1 2 ,PI 1 ,I 2 =
a b +a b +⋯+a b ∣a ,a ,⋯,a ∈I,b ,b ,⋯,b ∈I,n=1,2,⋯
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 1 2 n 2
.
(i)证明：P 4,6 ,3 仍然是向往集合，并求正整数x，满足P 4,6 ,3 =x ；
(ii)证明：如果SI 1 ,I 2 =Z，则I 1 ∩I 2 =PI 1 ,I 2 .
解析 (1)设I=6,8 .注意到-1∈Z，所以-6∈I，又8∈I，所以2∈I
注意到集合6x+8y∣x,y∈Z ⊆I，并且6x+8y∣x,y∈Z 是向往集合，根据生成向往集合的最小性，
有I=6x+8y∣x,y∈Z
·129·因为2∈I，所以2 ⊆I，另一方面，容易证明2 =2k∣k∈Z ，因为I中全都是2的倍数，所以I⊆2 ，
综上所述I=2
(2)(i)用和(1)类似的方法可以得到4,6 =2 ，且3 =3k∣k∈Z .
所以P 4,6 ,3 =P 2 ,3 =6k k'+6k k'+⋯+6k k'∣k ,k ,⋯,k ,k',k',⋯,k'∈Z,n=1,2,⋯} 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
所以P 2 ,3 ⊆6 ，又因为生成向往集合的最小性，有P 2 ,3 =6
下面证明P 2 ,3 是向往集合.任取a,b∈P 2 ,3 ，写出a,b表示成有限和的形式，则a+b也可以
写成有限和的形式，容易证明a+b∈P 2 ,3
其次，任意取c∈Z，只需要把P 2 ,3 中的k,k替换为ck,ck即可，综上所述P 2 ,3 是向往集合
(ii)因为SI 1 ,I 2 ∈Z，因为1∈Z，所以存在a∈I,b∈I ，有a+b=1 1 2
任取x∈I,y∈I ，有xy∈I 和xy∈I ，所以xy∈I∩I
1 2 1 2 1 2
进而根据向往集合的性质(1)，有PI 1 ,I 2 ⊆I∩I 1 2
任意取z∈I 1 ∩I 2 ，有z=za+b =za+zb=az+zb，因为z∈I,a∈I,z∈I,b∈I ，有z∈I I ，所以I∩I 2 1 1 2 1 2 1 2
=PI 1 ,I 2
(B)．
对三次函数fx
b
=ax2+bx2+cx+d,a≠0，如果其存在三个实根x ,x ,x ，则有x +x +x =- ,x x +x x 1 2 3 1 2 3 a 1 2 2 3
c d
+x x = ,x x x =- .称为三次方程根与系数关系.
3 1 a 1 2 3 a
(1)对三次函数fx =ax2+bx2+cx+d，设gx =f x ，存在x 0 ∈R，满足0=fx 0 =gx 0 ≠g x 0 .证
明：存在x 1 ≠x 0 ，使得fx =ax-x 1 x-x 0 2；
(2)称fx 是m,M 上的广义正弦函数当且仅当fx 存在极值点x 1 ,x 2 ∈m,M ，使得 fx 1 ,fx 2 =
fm ,fM .在平面直角坐标系xOy中，Aa,b 是第一象限上一点，设fx =xa-x
b
+ ,gx
x
=
x(a-x)2-4b.已知gx 在0,a 上有两根x 27b；
(ii)求点A组成的点集，满足fx 是x 0 ,x 3 上的广义正弦函数.
答案 本题为全卷最难一题，为了增加解析的神秘感，以及吸引更多的人观看试卷讲解，这里略去其解
析和评分标准，也与2023年8月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题卷一脉相承，相关答案和解析
请期待讲评现场.
(C)．
设有两个集合A,B，如果对任意a∈A，存在唯一的b∈B，满足fa =b，那么称f是一个A→B的函数.
设fa 是A→B的函数，gb 是B→C的函数，那么g fa 是A→C的函数，称为g和f的复合，记为g
∘f.如果两个A→B的函数f,g对任意a∈A，都有fa =ga ，则称f=g.
(1)对fx =ex2，分别求一个gx ,hx ，使得g∘f x =x=f∘h x 对全体x≥1恒成立；
(2)设集合A,B,C和A→C的函数α以及B→C的函数β.
(i)对E= a,b ∣a∈A,b∈B,αa =βb ，构造E→A的函数p以及E→B的函数q，满足α∘p=β∘q；
(ii)对E= a,b ∣a∈A,b∈B,αa =βb ，构造E→A的函数p以及E→B的函数q，满足α∘p=β∘q，
并且如果存在其它的集合E满足存在E→A的函数p以及E→B的函数q，满足α∘p=β∘q，则存在唯
一的E→E的函数ψ满足p∘ψ=p,q∘ψ=q.
·130·解析 (1)显然有gx = lnx,hx = lnx对所有x≥1成立
(2)(i)考虑pa,b =a以及qa,b =b两个函数
对任意a,b ∈E，因为αa =βb ，所以α∘p=β∘q
(ii)我们可以继续使用(i)的构造
任意取e∈E，因为α∘p=β∘q，所以α p e =β q e
所以 p e ,q e ∈E，因此存在ψe = p e ,q e 满足条件
如果存在两个ψ,ψ，则p e =p ψ e ,q e =q ψ e
根据p,q的定义得到ψ e = p e ,q e
【备注】gx ,hx 写出一个得2分，写出两个得3分.
(D)．
对集合E，定义其特征函数X Ex
1,x∈E,
= 0,x∉E. 考虑集合E 1 ,E 2 ,⋯,E n 和正实数a 1 ,a 2 ,⋯,a n ，定义S a,E (x)=
n
a i X Ei (x)为L和式函数.设E i =m i ,M i
i=1
，则E ,E ,⋯,E 为闭区间列；如果集合E ,E ,⋯,E 对任意1≤i 1 2 n 1 2 n
200
1-3lg2 0.1
所以 n> = =2.5, 因此超过 200 万元的年份是 2026 年.答案选 C.
lg1.1 0.04
5.已知e是单位向量, 且|2e-a|= 10,a+2e在e上的投影向量为5e, 则a与e的夹角为 ( )
π π π 5π
A. B. C. D.
6 4 3 12
答案 B
a+2e
解析 a+2e 在 e 上的投影向量为
⋅e
e=a⋅e+2
e
e, 所以 a⋅e=3,因为 2e-a= 10∴4
2
-4e⋅a+a =10∴a=3 2
2 π
所以: a 与 e 夹角的余弦值为 , 所以夹角为 . 答案选 B.
2 4
2x-8x
6.已知函数f(x)= (a>0且a≠1)是偶函数, 则a= ( )
x⋅ax
1 1
A. B. C.2 D.4
2 4
·132·答案 D
解析 因为 fx
2x-8x 2x-8x 2-x-8-x
= (a>0 且 a≠1) 是偶函数, 所以 =
x⋅ax x⋅ax -x
2x-8x -8x+2x
,∴ =ax
⋅a-x ax 2x⋅8x
因此: a2x=2x⋅8x∴a2=16,a=4 (舍负), 因此答案选 D.
3
7.已知圆C:x2+y2-2x=0, 过圆C外一点P作圆的两条切找, 切点分别为A,B, 三角形PAB的面积为 ,
12
则PC的长为 ( )
3 2 3
A. B. C. 3 D.2
3 3
答案 B
1
解析 设 ∠APC=α,S
△PAB
=
2
PA 2sin2α
1 1 1 3 1 tanα 3
直角三角形 APC,PA= , 所以 sin2α= ∴ ⋅ =
tanα 2 tan2α 12 tan2α 1+tan2α 12
π
整理可得: tan3α+tanα-4 3=0∴tanα= 3,α=
3
1 2 3
因此 PC= = , 答案选 B (本题带选项验算也可以).
sinα 3
8. 已知数列 a n 是等比数列, 则 存在正整数 k, 对于 ∀t∈N*,a t >a t+k 恒成立”是: a n 为递减数列”
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 取两种特殊情况说明: k=1 时显然成立; 当 k=4 时, 理由如下
因为 a n 是等比数列, 设公比为 qq≠0 , 则 a ≠0, n
当 ∀t∈N,a t >a t+4 时, a t >a t q4, 即 a tq2-1 q2+1 <0,
若 a>0, 则 -11, ,
t
注意到, 当 q<-1 时, a =aq>0, 与假设矛盾, 舍去,
t+1 t
故 q>1, 此时 a t+1 =a t qa t+4 时, a n 为递减数列, 即充分性成立;
当 a n 为递减数列时, a>a >a >a >a , 即 ∀t∈N,a>a 成立, 即必要性成立; t t+1 t+2 t+3 t+4 t t+4
故选: C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为 曲池”的几何体, 该几何体是上、下底面均为扇环
形的柱体 (扇环是指圆环被扇形截得的部分) . 现有一个如图所示的曲池, AA 垂直于底面, AA =5, 底
1 1
π
面扇环所对的圆心角为 , 弧 AD 的长度是弧 BC 长度的 3 倍, CD=2, 则下列说法正确的是
2
( )
·133·3 10π
A.弧 AD 长度为 π B.曲池的体积为
2 3
C.曲池的表面积为 20+14π D.三棱锥 A-CC D 的体积为 5
1
答案 ACD
解析 设弧 AD 所在圆的半径为 R, 弧 BC 所在圆的半径为 r, 弧 AD 的长度是弧 BC 长度的 3 倍,
π π 3
∴ R=3× r, 即 R=3r,∴CD=R-r=2r=2,∴r=1,R=3, 所以 弧 AD 的长度为 π; 曲池 的体
2 2 2
1 1
积为 V= πR2- πr2
4 4
×AA =10π;
1
1 1
曲池的表面积为 πR2- πr2
4 4
1 1
×2+ πR+ πr
2 2
×5+2×5×2=20+14π ；
1
三棱锥 A-CC D 的体积为 ×3×5=5. 答案选: ACD.
1 3
3
10.设函数f(x)=log x3-3ax(a>0且a≠1)在区间 ,2
a 2
上单调递减, 则a的取值可以为 ( )
2 3 4
A. B. C. D.3
2 2 3
答案 AC
3
解析 当 a>1 时, y=x3-3ax 在区间 ,2
2
上单调递减, 因为函数 y=x3-3ax 在 x>0 上的单
调递减区间为 a, 3a
a>1
3 4 9
, 所以 a≤ , 因此 ≤a≤ ; 2 3 4
3a≥2
3
当 00 上的单调递
增区间为 0, a , 3a,+∞
0b>0) 长轴的左右顶点分别为 A ,A , 短轴的上下顶点分别为
a2 b2 1 2
3
B ,B , 四边形 A B A B 面积为 4 , 椭圆 C 的离心率是 .
1 2 1 1 2 2 2
y
B
1
T
P
x
A 1 O Q A 2 M
B N
2
(1)求C 的方程;
(2)过点T(2,1)的直线交 C 于 P,Q两点, 直线 B P,B Q与直线 y=-1的交点分別为 M,N, 证明:线段
1 1
MN 的中点为定点.
S A1B1A2B2 =2ab=4 a=2
a2=b2+c2
解析 (1) 由题意可得 , 解得 b=1 ,
c 3
e= = c= 3
a 2
x2
所以椭圆方程为 +y2=1
4
(2) 由题意可知: 直线 PQ 的斜率存在, 设 PQ:y=kx-2 +1,Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 ,
y=kx-2
联立方程
+1
x2 , 消去 y 得: 4k2+1
+y2=1
4
x2+8k1-2k x+16k2-k =0,
则 Δ>0, 解得 k>0,
8k1-2k
可得 x +x =-
1 2
16k2-k
,x x =
4k2+1 1 2
,
4k2+1
因为 B 10,1
y -1
, 则直线 B P:y= 1 x+1, 1 x
1
2x -2x
令 y =- 1 , 解 得 x = 1 , 即 M 1,-1
y -1 y -1
1 1
-2x
, 同 理 可 得 M 2,-1
y -1
2
,
= x 1kx 2 -2k +x 2kx 1 -2k
kx 1 -2k kx 2 -2k
= 2kx 1 x 2 -2kx 1 +x 2
k2x 1 x 2 -2k2 x 1 +x 2
-16k2 = =-4
+4k2 4k2
所以线段 MN 的中点是定点 4,-1 .
ex
19（. 17分）函数f(x)= x -a图像与x轴的两交点为Ax 1 ,0 ,Bx 2 ,0 x 2 >x 1
(1)令h(x)=f(x)-lnx+x, 若h(x)有两个零点, 求实数a的取值范围；
(2)证明:x x <1:
1 2
·139·3
(3)证明:当a≥5时, 以AB为直径的圆与直线y= (x+1)恒有公共点．
4
(参考数据：e0.25≈1.3,e2.5≈12.2)
解析 (1) 定义域为 x∈0,+∞ ,h x
x-1
=
ex+x
x2
所以函数 hx 在 0,1 上单调递减, 1,+∞ 上单调递增,
hx 的最小值为 h1 =e+1-a, x→0+时, hx →+∞;x→+∞,hx →+∞
hx 有两个零点, 只需要 h1 =e+1-a<0, 即 a>e+1
实数 a 的取值范围为 e+1,+∞
ex1 ex2 x -x
(2) 因为 a= = , 取对数可得: x -lnx =x -lnx ∴ 2 1 =1 .
x x 1 1 2 2 lnx -lnx
1 2 2 1
x -x x x -x x x x 1
下证: x x < 2 1 即证明: ln 2 < 2 1 = 2 - 1 令 t= 2 >1, 即证: 2lnt0 1 2
由 (2) 可知 x x <1, 所以
1 2
16x 1 +x 2 2-12x 1 +x 2 -12-76x 1 x 2 >16x 1 +x 2 2-12x 1 +x 2 -88>0
即4 4x 1 +x 2 -11 x 1 +x 2 +2 >0
11
下面证明: x +x > 成立即可
1 2 4
因为 f x
ex x-1
=
,x∈-∞,0
x2
∪0,+∞ , 因此 fx 的单调递增区间为 1,+∞ , 单调递减区间
为 -∞,0 ,0,1 ,
所以 01∴x +x = t+1
x x x 1 t-1 2 t-1 1 2
1 1 2
lnt
t-1
令 φt
t+1
=
lnt
,φ t
t-1
1
-2lnt-t+
t
=
t-1 2
令 gt
1
=2lnt-t+ ,g1
t
=0,g t
-t2+2t-1
= <0
t2
所以 gt 在 1,+∞ 上单调递减, gt 0 恒成立, φt 单调递增;
当 a 越大时, t 越大, 因此 x +x 的值越大
1 2
1
当 a=5 时, 因为 f
4
=4e0.25-5>0,f2.5 =0.4e2.5-5<0,
11
所以 1>x >0.25,x >2.5,∴x +x > ,
1 2 1 2 4
11
所以 a≥5 是, x +x >
1 2 4
·140·安徽省部分学校 2023 - 2024 学年高三下学期春季阶段性检测
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合M=xx2-4>0 和N=x-30 =(-∞,-2)∪(2,+∞)，所以∁ R M=-2,2 ，
所以∁ R M ∩N=-2,1 .
故选：C
5i
2.复数z= 在复平面内对应的点位于 ( )
1-2i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 B
【分析】根据复数的除法运算求得z得答案.
5i 5i1+2i
解析 z= =
1-2i
1-2i 1+2i
5-2+i
=
=-2+i，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象
5
限.
故选：B
3.已知非零向量a，b满足a⊥b，设甲：a
=b
，乙：2a-b
=2b+a ，则 ( )
A.甲是乙的充要条件 B.甲是乙的充分条件但不是必要条件
C.甲是乙的必要条件但不是充分条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 A
【分析】将2a-b
=2b+a
平方转化为数量积，根据a⊥b可得乙等价于|a|=|b|，即甲、乙互为充要条
件.
解析 乙:2a-b
=2b+a
等价于(2a-b)2=(2b+a)2，
即4a 2 -4a ⋅b +b 2 =4b 2 +4a ⋅b +a 2，
因为a ⊥b ，所以a ⋅b =0，所以乙等价于a 2 =b 2，即|a |=|b |，
所以甲、乙互为充要条件.
故选：A
4.某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r(r>0)、劳累程度T(02时，a =a -a ，则a = ( ) 1 15 n n-1 n-2 2
A.-4 B.-3 C.3 D.4
答案 D
【分析】利用a n =a n-1 -a n-2 ，得出数列a n 为周期数列，且周期为6，从而得到a =3，即可求出结果. 3
解析 因为a =a -a ①，所以a =a -a ②，
n n-1 n-2 n+1 n n-1
①+②得a =-a (n>2)，即有a =-a (n∈N∗)，所以a =-a =a (n∈N∗)，
n+1 n-2 n+3 n n+6 n+3 n
即数列a n 为周期数列，且周期为6，又a =a =3，a =1， 15 3 1
所以a =a -a ，得到a =4，
3 2 1 2
故选：D.
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 13c，D为边BC上一点，CD=2BD=2，AD=
3，则△ABC的面积为 ( )
3 3 3 3 3 3
A. B. C. D.
4 4 4 2
答案 C
1
【分析】设∠ADB=θ，在△ACD与△ABD中，由余弦定理求出b2,c2，根据b= 13c求出sinθ= ，进而求
2
得△ABC的面积.
解析 设∠ADB=θ，在△ACD中，b2=4+3-2×2× 3cosπ-θ =7+4 3cosθ，
在△ABD中，c2=1+3-2× 3cosθ=4-2 3cosθ，
b2 7+4 3cosθ 3
所以 = =13，解得cosθ= ，
c2 4-2 3cosθ 2
因为θ∈0,π
1
，所以sinθ= ，
2
1
所以△ABC的面积为 ×BD+DC
2
1 1 3 3
×AD×sinθ= ×3× 3× = .
2 2 4
故选：C
π
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过C的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为
3
4
W，|FW|= ，则p= ( )
3
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
【分析】设Wx 0 ,y 0 ,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，代入抛物线方程两式相减可得y 1 +y 2 k =2p，进而求得 AB
5p 3p
W ,
6 3
4
，由|FW|= 求得p值.
3
解析 设Wx 0 ,y 0 ,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
则 y y 2 1 2 = = 2 2 p p x x 1 , , 两式相减，可得y 1 +y 2
2 2
y 1 -y 2 =2px 1 -x 2 ，
·142·所以y 1 +y 2
y -y
x 1 -x 2 =2p，即y 1 +y 2
1 2
k =2p， AB
3p
所以2 3y =2p，所以y = ，
0 0 3
p
代入直线AB:y= 3x-
2
5p
，得x = ，
0 6
5p 3p
所以W ,
6 3
5p p
，所以|FW|= -
6 2
2 p2 2p 4
+ = = ，解得p=2.
3 3 3
故选：B
1
8.设a=ln1.01，b= ，c=tan0.01，则 ( )
101
A.a0)，h(x)=lnx+ -1(x>
x
1)，利用导数与函数的单调性间的关系，分别求出函数的单调区间，利用单调性即可比较出函数值的大
小，从而求出结果.
π
解析 令f(x)=tanx-x00在区间0,
cos2x cos2x 2
上恒成
立，
π
即f(x)=tanx-x在区间0,
2
上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，即tanx>x，
1 1
所以c=tan0.01>0.01= > =b，
100 101
1 x
令g(x)=x-ln(1+x)(x>0)，则g(x)=1- = >0在区间0,+∞
1+x 1+x
上恒成立，
即g(x)=x-ln(1+x)在区间0,+∞ 上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即x>ln(x+1)(x>0)，
所以0.01>ln(0.01+1)=ln1.01=a，所以c>a，
1 1 1 x-1
令h(x)=lnx+ -1(x>1)，则h(x)= - = >0在区间1,+∞
x x x2 x2
上恒成立，
1
即h(x)=lnx+ -1在在区间1,+∞
x
1
上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即lnx>1- ，
x
1 1
所以a=ln1.01>1- = =b，
1.01 101
综上，c>a>b，
故选：D.
π
【点睛】关键点点晴：通过构造函数f(x)=tanx-x00)，h(x)=lnx
1
+ -1(x>1)，将比较大小转化成函数值的大小，再对函数进行求导，利用导数与函数单调性间的关
x
系，求出函数的单调区间，利用单调性即可解决问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.某专业饲料市场研究机构统计得到2023年1-9月和2022年同期的豆粕价格走势图如图所示，则
( )
·143·A.2023年1-9月的豆粕价格仅有4个月低于2022年同期
B.从极差来看，2022年1-9月的豆粕价格比2023年同期波动范围更大
C.2023年1-9月的豆粕价格的中位数为2.30
D.2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30
答案 BD
【分析】根据给定的折线图，结合极差、中位数、平均数的意义逐项判断即得.
解析 对于A，2023年3月、4月、5月、6月、7月的豆粕价格低于2022年同期，A错误；
对于B，2022年的极差约为0.6，2023年的极差约为0.4，B正确；
对于C，2023年1-9月的豆粕价格的中位数是3月的数据，小于2.30，C错误；
对于D，2022年3月、4月、9月的豆粕价格均高于2.30，且与2.30的差不大于0.2，
而其余月份豆粕价格均低于2.30，且1月、2月的豆粕价格与2.30的差分别大于0.4，0.2，
因此2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30，D正确.
故选：BD
10.如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABB A ，△A AB是
1 1 1 1 1 1 1
边长为2的等边三角形，M,N分别是线段A B，DB 的中点，则 ( )
1 1
A. A B⊥B D B.MN⎳平面ABCD
1 1
6 3
C. B C与A B所成角的余弦值为 D. B D与平面ABCD所成角的正弦值为
1 1 4 1 4
答案 ABD
【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，利用向量法对选项A、C和D逐一分析判断即可得出结果，对于
选项B，通过条件得到MN⎳AD，再利用线面平行的判定定理即可得出结果.
解析 如图，取AB中点O，CD中点H，连接OA ,OH，
1
因为△A AB是边长为2的等边三角形，所以A O⊥AB，
1 1
又平面ABCD⊥平面ABB A ，平面ABCD∩平面ABB A =AB，A O⊂平面ABB A ，所以A O⊥平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABCD，
·144·易知OH⊥AB，故可建立如图所示的空间直角坐系，
又棱长均为2，A O= 3，
1
则A(1,0,0),B(-1,0,0),D(1,2,0),A (0,0, 3),C(-1,2,0)，
1
所以AA =(-1,0, 3)，又BB =AA ，所以B (-2,0, 3)，
1 1 1 1
对于选项A，因为A B=(-1,0,- 3),B D=(3,2,- 3)，得A B⋅B D=-3+3=0，
1 1 1 1
所以A B⊥B D，即有A B⊥B D，故选项A正确，
1 1 1 1
对于选项B，因为N是线段DB 的中点，又M是AB 与A B的交点，则M为AB 的中点，
1 1 1 1
所以MN⎳AD，又AD⊂面ABCD，MN⊄面ABCD，所以MN⎳平面ABCD，故选项B正确，
对于选项C，因为B C=(1,2,- 3)，A B=(-1,0,- 3)，
1 1
设B C与A B所成的角为θ，则cosθ=cosB C,A B
1 1 1 1
B C⋅A B 1 1 =
B C
1
⋅A B
1
2 2 = = ，
2×2 2 4
故选项C错误，
对于选项D，易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，又B D=(3,2,- 3)，
1
设B D与平面ABCD所成的角为φ，
1
则sinφ=cosn,B D 1
n⋅B D 1
=
n
⋅B D
1
3
= ，故选项D正确， 4
故选：ABD.
x2 y2
11.已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是
a2 b2 1 2
E上异于A，B的一个动点，若 AF 1
BF 1
=7-4 3，则 ( )
3 1
A. E的离心率为 B.直线PA与PB的斜率之积为-
2 2
C.满足PF ⋅PF =0的点P有4个 D.|PD|<2 2b
1 2
答案 ACD
【分析】根据 AF 1
BF 1
=7-4 3求得离心率，根据a,b关系求得k ⋅k 判断B，根据b,c关系判断C，设P
PA PB
(2bcosθ,bsinθ)(θ∈[0,2π)),D(0,b)，计算|PD|的范围判断D.
解析 对于A，设椭圆E的半焦距为c(c>0)，离心率为e，
因为 AF 1
BF 1
a-c =7-4 3，所以 =7-4 3，
a+c
1-e 3
左边分子分母同时除以a，得 =7-4 3，解得e= ，故A正确;
1+e 2
对于B，设Px 0 ,y 0 x 0 ≠±a ,A(-a,0),B(a,0)，
a2-b2 3
因为e= = ，所以a=2b,c= 3b，
a2 2
·145·x2
b21- 0
y y y2 a2
则k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 =
PA PB x +a x -a x2-a
0 0 0
b2 1
=- =- ，故B错误;
x2-a a2 4
0
对于C，因为bb>0)的左、右顶点分别为A，B，P是E上异于A，B的一个动
a2 b2
b2
点，则k ⋅k =- .
PA PB a2
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若f(x)=x3+(a-1)cosx+asinx为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 .
答案 y=x
【分析】根据条件得到a=1，从而有f(x)=x3+sinx，再利用导数的几何意义，即可求出结果.
解析 因为f(x)=x3+(a-1)cosx+asinx为奇函数，且定义域为R，
所以f(0)=a-1=0，得到a=1，
当a=1时，f(x)=x3+sinx，f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-f(x)，
所以a=1满足意义，故f(x)=x3+sinx，所以f(x)=3x2+cosx，
故f(0)=cos0=1，又f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x，
故答案为：y=x.
13.某商场搞抽奖活动，将30副甲品牌耳机和20副乙品牌耳机放入抽奖箱中，让顾客从中随机抽1副，两个
品牌的耳机外包装相同，耳机的颜色都只有黑色和白色，记事件A=“抽到白色耳机”，B=“抽到乙品牌
3 3
耳机”，若P(A∣B)= ，P(B∣A)= ，则抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有 副.
4 7
答案 10
3
【分析】根据P(A∣B)= 求出乙品牌耳机中白色耳机的数目，通过设出甲品牌的黑色耳机x副，根据P
4
3
(B∣A)= 表示出(45-x)副白色耳机中15副乙品牌耳机所占的比例，求解方程即得.
7
解析 设抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有x副，则白色耳机有(30-x)副.
3 3
因P(A∣B)= ，而乙品牌耳机共有20副，故乙品牌耳机中白色耳机有20× =15副，
4 4
3 15 3
于是抽奖箱里共有白色耳机(30-x)+15=(45-x)副，又P(B∣A)= ，则 = ，解得：x=10.
7 45-x 7
故答案为：10.
14.若正四面体ABCD的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB,
AD交于点E,F，则空间四边形BCFE的四条边长之和的最小值为 .
答案 4+ 3/ 3+4
【分析】根据条件求出正四面体ABCD的棱长为2，设AF=λAD(0<λ<1)，利用几何关系得到空间四边
·146·1
形BCFE的四条边长之和L=4+2 λ-
2
2 3
+ ，即可求出结果.
4
解析 如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，
设正四面体ABCD的棱长为 2a，所以正方体的边长为a，
DH 3a
易知正方体的外接球直径为体对角线DH的长，又DH= 3a，所以正四面体的半径R= = ，
2 2
依题有4πR2=3πa2=6π，得到a= 2，即正四面体ABCD的棱长为2，
因为BD⎳面CEF，面ABD∩面CEF=EF，BD⊂面ABD，所以EF⎳BD，
设AF=λAD(0<λ<1)
因为AB=AD=BD=2，则AF=AE=2λ，BE=DF=2-2λ，
π
在△EAF中，因为∠EAF= ，所以EF=2λ，
3
π π
在△FDC中，∠FDC= ，DC=2，则FC= (2-2λ)2+4-2×(2-2λ)×2×cos =2 λ2-λ+1，
3 3
所以空间四边形BCFE的四条边长之和L=2λ+2-2λ+2+2 λ2-λ+1=4+2 λ2-λ+1=4+
1
2 λ-
2
2 3
+ ，
4
1
又0<λ<1，当λ= 时，L =4+ 3，
2 min
故答案为：4+ 3.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出AF=λAD(0<λ<1)后，利用几何关系得出FC=
2 λ2-λ+1，EF=2λ，BE=2-2λ，从而得出空间四边形BCFE的四条边长之和L=4+
1
2 λ-
2
2 3
+ ，转化成求L的最小值来解决问题.
4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）某大棚种植户通过长期观察统计，发现去年本地市场中黄瓜每天的收购价格X(元/kg)服从正态
分布N(4,1)，规定收购价格在(3,6)内的为“合理价格”.
(1)从去年随机抽取10天，记这10天中黄瓜的收购价格是“合理价格”的天数为Y，求E(Y)；
(2)该大棚种植户为家乡的农产品做了5次直播带货，成交额y(万元)如下表所示：
第x次直播带货 1 2 3 4 5
成交额y(万元) 9 12 17 21 27
若用最小二乘法得到的y关于x的线性回归方程为y=bx+3.7，预计该大棚种植户第7次直播带货的成
交额为多少万元.
附：若X~Nμ,σ2 ，则P(μ-σ0，b>0)的左顶点为A(-2,0)，过点H(4,0)的动直线l交C于P，
a2 b2
Q两点(均不与A重合)，当l与x轴垂直时，|PQ|=6.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线x=-4交于点M和N，证明：MH⋅NH为定值.
x2 y2
答案 (1)C: - =1
4 3
(2)MH⋅NH为定值63，证明过程见解析
【分析】(1)由题意得a=2，并代入x=4求出y=± 3b，根据|PQ|=6求出b= 3，得到答案；
y
(2)直线l的方程x=4+my，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线AP:y= 1 x+2
x +2
1
，
-2y
求出M-4, 1
x +2
1
-2y
，同理得到N-4, 2
x +2
2
，结合平面向量数量积公式，代入两根之和，两根之积得到
MH⋅NH=63.
x2 y2
解析 (1)由题意得a=2，故C: - =1，
4 b2
16 y2
令x=4得 - =1，解得y=± 3b，
4 b2
由于|PQ|=6，故2 3b=6，解得b= 3，
x2 y2
所以C的方程为C: - =1；
4 3
(2)直线l交C于P，Q两点(均不与A重合)，故直线l的斜率不为0，
x2 y2
设直线l方程为x=4+my，联立C: - =1得3m2-4
4 3
y2+24my+36=0，
设Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 ，则3m2-4≠0且Δ=576m2-1443m2-4 >0，
2 3
解得m≠± ，
3
-24m 36
y +y = ,y y = ，
1 2 3m2-4 1 2 3m2-4
y
直线AP:y= 1 x+2 x +2
1
-2y
，令x=-4得y = 1， M x +2
1
-2y -2y
同理可得y = 2，故M-4, 1
N x +2 x +2
2 1
-2y
,N-4, 2
x +2
2
，
2y
则MH⋅NH=8, 1
x +2 1
2y
⋅8, 2
x +2 2
4y y
=64+ 1 2
x 1 +2 x 2 +2
·150·4y y
=64+ 1 2
6+my 1 6+my 2
4y y
=64+ 1 2
36+6my 1 +y 2 +m2y y 1 2
144
3m2-4
=64+ =64-1=63.
-24m 36m2
36+6m⋅ +
3m2-4 3m2-4
MH⋅NH为定值.
【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19（. 17分）已知函数f(x)=(x+a)ex+x-a.
(1)若a=1，分析f(x)的单调性；
(2)若a<-2，证明：f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
答案 (1)f(x)在R上单调递增
(2)证明见解析
【分析】(1)判断f(x)的符号得f(x)的单调性；
(2)分析f(x)的单调性得f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)内各恰有一个零点，设x 为函数f(x)在(0,+∞)内的
0
零点，证明-x 也是f(x)的零点即可.
0
解析 (1)若a=1，则f(x)=(x+1)ex+x-1,f(x)=xex+2ex+1.
设g(x)=xex+2ex+1，则g(x)=(x+3)ex，令g(x)=0，得x=-3，
当x<-3时，g(x)<0，则g(x)在(-∞,-3)上单调递减，
当x>-3时，g(x)>0，则g(x)在(-3,+∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(-3)=-3e-3+2e-3+1=-e-3+1>0，
所以f(x)>0，所以f(x)在R上单调递增.
(2)f(x)=(x+a+1)ex+1.
设φ(x)=f(x)，则φ(x)=(x+a+2)ex，
令φ(x)>0，解得x>-a-2，令φ(x)<0，解得x<-a-2，
则φ(x)在(-∞,-a-2)上单调递减，在(-a-2,+∞)上单调递增.
若a<-2，即-a-2>0，则φ(x) =φ(-a-2)=-e-a-2+1<0，
min
又φ(0)=a+2<0，当x→-∞时，φ(x)→1，当x→+∞时，φ(x)→+∞，
所以φ(x)在(-∞,0),(0,+∞)内各恰有一个零点，设为x 1 ,x 2x 1 <0<-a-2x 时，φ(x)>0,f(x)单调递增，当x f(0)=0,fx 2 2}，则A∩B= ( )
A.{x∣-12} D.{x∣x<0或22}，
所以A∩B={x∣-1=cos= ，
5
3
所以a⋅b夹角的余弦值为 .
5
故选：B.
4.已知复数z满足z-3i 2-i =5；则z = ( )
A.2 2 B.2 5 C.8 D.20
答案 B
【分析】利用复数的运算法则可得z，再利用模的计算公式可得结果.
解析 由z-3i 2-i
5 52+i
=5，得z= +3i=
2-i
2-i 2+i
+3i=2+i+3i=2+4i，所以z =
22+42=2 5.
·153·故选：B.
5.若直线l:y=2x+4与抛物线C:y2=2px(p>0)只有1个公共点，则C的焦点F到l的距离为 ( )
A. 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5
答案 D
【分析】联立l与C的方程并消去x，由题意可知Δ=0，则可求出p的值，从而可求出焦点F的坐标，然后
利用点到直线的距离公式可求得结果.
y=2x+4
解析 由
y2=2px
，得y2-py+4p=0.
因为l与C只有1个公共点，
所以Δ=(-p)2-16p=0，结合p>0，解得p=16，
所以F8,0
2×8-0+4
，所以F到l的距离d=
=4 5.
22+(-1)2
故选：D.
1
6.已知 x+
2 x
n
的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是
( )
35 1 7 35
A. x2 B.7x2 C. x2 D.7x2
8 8
答案 C
【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出n的值，由二项式系数的性质求
出答案.
1 解析 展开式中的第r+1项为T =Crxn-r
r+1 n 2 x
r 1 =
2
r Crx n-3 2 r ，
n
1 1
所以前三项的系数依次为C0, C1, C2，
n 2 n 4 n
1 1 nn-1
依题意，有C0+ C2=C1，即1+ ×
n 4 n n 4
=n，
2
整理得n2-9n+8=0，解得n=1(舍去)或n=8.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
1 即T=
5 2
4 C4x 8-3 2 ×4 = 35 x2.
8 8
故选：C.
7.函数fx
π
=2 cos -3x
4
的单调递减区间是 ( )
π 2kπ π 2kπ
A. - + , +
4 3 12 3
k∈Z
π 2kπ 5π 2kπ
B. + , +
12 3 12 3
k∈Z
π 2kπ π 2kπ
C. - + , +
12 3 12 3
k∈Z
π 2kπ π 2kπ
D. + , +
12 3 4 3
k∈Z
答案 D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.
解析 fx
π
=2 cos -3x
4
π
=2 cos3x-
4
，
π
由题意y=cos3x-
4
π
单调递减，且cos3x-
4
≥0，
π π π 2kπ π 2kπ
则2kπ≤3x- ≤ +2kπ,k∈Z，解得 + ≤x≤ + ，k∈Z，
4 2 12 3 4 3
·154·所以fx
π 2kπ π 2kπ
的单调递减区间是 + , +
12 3 4 3
k∈Z .
故选：D.
8.已知 fx 是定义域为R的偶函数，且在-∞,0 上单调递减，a= fln1.04 ,b= f1.04 ,c= fe0.04 ，则
( )
A.a0时，h x =ex-1>0，则hx 单调递增，
所以h0.04 =e0.04-0.04+1 =e0.04-1.04>h0 =0，
即e0.04>1.04，
所以e0.04>1.04>ln1.04.
而fx 在0,+∞ 上单调递增，
故有fln1.04 a =
3 2
2
+2>4，
·155·2 3 2 25
当n=1时，a + = + +2= >4，D错误.
2 3 2 3 6
故选：BC.
10.已知函数fx
x+1
=
3
x
-
3
(x∈R，其中 x 表示不大于x的最大整数)，则 ( )
A. fx 是奇函数 B. fx 是周期函数
C. fx 在0,2 上单调递增 D. fx 的值域为0,1
答案 BD
【分析】通过计算∀x∈R,fx+3 =fx 可判断B；求出x∈0,2 和x∈2,3 时的fx 可判断D；通过
举反例来判断AC.
解析 由题意， x 表示不大于x的最大整数，则x+1 =x +1，
所以∀x∈R,fx+3
x+3+1
=
3
x+3
-
3
x+1
= +1
3
x
- +1
3
x+1
=
3
x
+1-
3
+1 =
x+1
3
x
-
3
=fx ，则函数fx 是以3为周期的函数，
当x∈0,2 时，fx
x+1
=
3
x
-
3
=0-0=0，
当x∈2,3 时，fx
x+1
=
3
x
-
3
=1-0=1，
则fx 0,x∈0,2 =
1,x∈2,3
，
又fx 是以3为周期的函数，则fx 的值域为0,1 ,B和D均正确；f-1 =f2 =1,f1 =0，所以
f-1 ≠-f1 ，故fx 不是奇函数，A错误；
当x∈0,2 时，fx =0，故fx 在0,2 上无单调性，C错误.
故选：BD.
11.已知正四面体ABCD的棱长为4，点P是棱AC上的动点(不包括端点)，过点P作平面β平行于AD､BC，
与棱AB､BD､CD交于Q,S,T，则 ( )
A.该正四面体可以放在半径为 7的球内
8 3
B.该正四面体的外接球与以A点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 π
3
C.四边形PQST为矩形
128 3
D.四棱锥C-PQST体积的最大值为
81
答案 AC
【分析】选项A，将正四面体放置到正方体中，通过求正方体的外接球半径得出正四面体外接球半径为
6，即可判断出选项A的正误；选项B，根据条件，求出两球相交圆的半径即可判断选项B的正误；选项
C，取BC的中点M，连接AM,DM，根据条件可得BC⊥平面ADM，从而得到BC⊥AD，再利用β平行
于AD､BC，可得出四边形PQST为平行四边形，即可判断出选项C的正误，选项D，取AD中点N，连接
32 2
MN，交平面PQST于点I，设AP=λAC(0<λ<1)，根据条件得出V = λ3-2λ2+λ
C-PQST 3
，构造函数
fλ =λ3-2λ2+λ，利用导数与函数的单调性间关系，求出fλ 的最值，即可解决问题.
解析 对于选项A，如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，
因为正四面体ABCD的棱长为4，所以正方体的边长为2 2，
DE
易知正方体的外接球直径为体对角线DE的长，又DE=2 6，所以正四面体的外接球半径R= =
2
6< 7，
·156·所以该正四面体可以放入半径为 7的球内，故选项A正确，
对于B，由选项A可知四面体外接球的半径R= 6，
AE2+AO2-EO2 22+( 6)2-( 6)2 6 30
如图，在△AEO中，cos∠EAO= = = ，所以sin∠EAO= ，
2AE⋅AO 2×2× 6 6 6
易知两个球面的交线为圆，设AO与圆面的交点为O ，
2
30 30
在Rt△EO A中，EO =EAsin∠EAO =2× = ，
2 2 2 6 3
30 2 30
所以两个球面的交线的周长为2π× = π，故选项B错误，
3 3
对于选项C，取BC的中点M，连接AM,DM，
易知DM⊥BC,AM⊥BC，又DM∩AM=M，DM,AM⊂面ADM，
所以BC⊥平面ADM，又AD⊂面ADM，所以BC⊥AD，
又AD⎳平面β，平面β∩平面ABD=QS，AD⊂平面ABD，所以AD⎳QS，
同理AD⎳PT，所以QS⎳PT，
同理可得PQ⎳BC⎳ST，所以四边形PQST为平行四边形，
又∠QST是AD与BC所成的角，所以∠QST=90°，故四边形PQST为矩形，所以选项C正确，
PQ AP
对于D，设AP=λAC(0<λ<1)，由选项C知PQ⎳BC，所以 = ，
BC AC
又BC=4，得到QP=4λ，同理可得QS=41-λ ，
取AD中点N，连接MN，交平面PQST于点I.
易知MA=MD，所以MN⊥AD，又由选项C知，MN⊥BC，
又BC⎳ST，AD⎳QS，QS∩ST=S，QS,ST⊂面PQST，
所以MN⊥平面PQST，因为平面PQST与AD,BC都平行，
MI PC
所以可得 = =1-λ，又易知MN=2 2，所以MI=2 21-λ
MN AC
，
即C到平面PQST的距离为2 21-λ ，
1
所以V C-PQST = 3 4λ⋅4-4λ ⋅2 21-λ
32 2
= λ3-2λ2+λ 3 ，
令fλ =λ3-2λ2+λ，则f λ =3λ2-4λ+1=3λ-1 λ-1 ，
由f λ
1
>0，得到0<λ< ，由f λ
3
1
<0，得到 <λ<1，
3
·157·1
所以f(λ) =f
max 3
4
= ，所以V
27 C-PQST
128 2
= ，故选项D错误，
max 81
故选：AC.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项D，取AD中点N，连接MN，交平面PQST于点I，通过证明MN⊥
平面PQST，从而得出C到平面PQST的距离为NI，设AP=λAC(0<λ<1)，再利用几何关系即可得出
32 2
V = λ3-2λ2+λ C-PQST 3 ，通过构造函数fλ =λ3-2λ2+λ，将问题转化成求函数的最值，即可解决问
题.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛
阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，
且不去同一景点的概率为 .
6
答案 /0.24
25
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
解析 小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有5×5=25种可能，
5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有3×2=6种，
6
故所求概率P= .
25
6
故答案为： .
25
x2 y2
13.已知F,F 分别是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左､右焦点，过点F 且垂直x轴的直线与C交于
1 2 a2 b2 2
2 5
A,B两点，且tan∠AF 1 F 2 = 5 ，若圆(x-2)2+y2=4与C的一条渐近线交于M,N两点，则 MN =
.
4 5 4
答案 / 5
5 5
【分析】由题意可求出双曲线渐近线，利用直线与圆相交的弦长公式即可求.
·158·解析
设F 1-c,0 ,F 2c,0 c= a2+b2 ，
解得F 2 A = b2 ,tan∠AFF= AF 2 a 1 2 F 1 F 2
b2
a b2 2 5 = = = ， 2c 2ac 5
c b
解得 = 5，所以 =2，
a a
所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，
由双曲线的对称性，不妨取y=2x，
又(x-2)2+y2=4的圆心为2,0 ，半径为r=2，
所以圆心2,0
4
到直线的距离为d= ，
5
所以弦长MN
16 4 5
=2 r2-d2=2 4- = .
5 5
4 5
故答案为：
5
14.若圆锥SO的母线长为3，则圆锥SO体积的最大值为 .
答案 2 3π
【分析】设底面半径为r，根据圆锥的体积公式将体积用表示体积V，再利用导数求出最大值即可.
解析 设底面半径为r，则圆锥的高h=SO= 9-r2，
1 1 1
体积V= πr2h= πr2 9-r2= π 9-r2
3 3 3
r4.
令t=r2∈0,9 ,ft =9-t t2，则f t =-3t2+18t=-3tt-6 ，
当t∈0,6 时，ft 单调递增，当t∈6,9 时，ft 单调递减；
所以当t=6，即r= 6，h= 9-6= 3时，ft 取最大值，V取最大值，
1 π
此时V = πr2h= ×6× 3=2 3π.
max 3 3
故答案为：2 3π.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ccosB-cosC =c-b cosC.
(1)若A≠2C，证明：△ABC是等腰三角形；
(2)若b=2c=4，求a的值.
答案 (1)证明见解析
(2)a=2 3
【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，再利用三角恒等变换公式化简变形可证得结论；
·159·(2)由(1)可得A=2C，则sinA=sin2C=2sinCcosC，再利用正余弦定理化简可求得结果.
解析 (1)证明：由ccosB-cosC =c-b cosC，及正弦定理，得
cosCsinB-sinC +sinCcosB-cosC =0，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosC，
即sinB+C =sin2C.
因为A+C+B=π，所以sinπ-A =sin2C，
即sinA=sin2C.
因为A∈0,π ,2C∈0,2π ，
所以A=2C或A+2C=π.
因为A≠2C，所以A+2C=π，
又A+C+B=π，所以B=C.
故△ABC是等腰三角形.
(2)解：因为b=4,c=2，即b≠c，则B≠C.
由(1)可得A=2C.
因为sinA=sin2C，
所以sinA=2sinCcosC.
由正弦定理，得a=2ccosC.
a2+b2-c2 a2+b2-c2
因为cosC= ，所以a=2c× .
2ab 2ab
因为b=2c=4，
a2+16-4
所以a=4× ，整理得a2=12，
8a
因为a>0，所以a=2 3.
16（. 15分）2022年日本17岁男性的平均身高为170.8cm，同样的数据1994年是170.9cm，近30年日本的平
均身高不仅没有增长，反而降低了0.1cm.反观中国近30年，男性平均身高增长了约9cm.某课题组从中
国随机抽取了400名成年男性，记录他们的身高，将数据分成八组：155,160 ,160,165 ,⋯，190,195 ；
同时从日本随机抽取了200名成年男性，记录他们的身高，将数据分成五组：160,165 ,165,170 ,⋯,
180,185 ，整理得到如下频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的75%分位数；
(2)为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联，课题组调查样本中的600人得到如下列联表：
蛋白质摄入量
身高 合计
丰富 不丰富
·160·低于
108
175cm
不低于
100
175cm
合计 600
结合频率分布直方图补充上面的列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断成年男性身高与
蛋白质摄入量之间是否有关联？
n(ad-bc)2
附：χ2=
a+b c+d a+c b+d
,n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.70
x 3.841 6.635 7.879 10.828
α
6
答案 (1)176.25cm
(2)列联表见解析，有关联
【分析】(1)由频率和为1解得x，利用75%分位数位定义可得答案；
(2)由频率分布直方图计算出样本中身高低于175cm的中国成年男性人数、日本成年男性人数可完成表
格，零假设H ：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2×2列联表数据可得χ2，依据α=0.001
0
的独立性检验，可得答案.
解析 (1)由频率分布直方图可知5×0.01+0.07+x+0.04+0.02 =1，解得x=0.06.
因为0.01+0.07+0.06 ×5=0.7 0.75,0.01+0.07+0.06+0.04 ×5=0.9 0.75，
所以75%分位数位于175,180 ，设为m，
则有0.7+m-175 ×0.04=0.75，解得m=176.25cm ，
故日本成年男性身高的75%分位数为176.25cm；
(2)由频率分布直方图知，样本中身高低于175cm的中国成年男性人数是0.008+0.016+0.04+0.04
×5×400=208(人)，
样本中身高低于175cm的日本成年男性人数是0.01+0.07+0.06 ×5×200=140(人)，
故样本中身高低于175cm的共有348人，可得下表：
蛋白质摄入量
身高 合计
丰富 不丰富
低于
108 240 348
175cm
不低于
152 100 252
175cm
合计 260 340 600
零假设H ：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2×2列联表数据可得：
0
600×(108×100-240×152)2
χ2= ≈51.040>x =10.828，
348×252×340×260 0.001
依据α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，
0
即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.
·161·17（. 15分）如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F分别为棱AB,CC 的中点.
1 1 1 1 1
(1)请在正方体的表面完整作出过点E,F,D 的截面，并写出作图过程；(不用证明)
1
(2)求点B 到平面EFD 的距离.
1 1
答案 (1)截面，作图过程见解析
10 29
(2)
29
【分析】(1)根据截面定义及平面的性质作图即可；
(2)以D为原点，棱DA,DC,DD 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面D EF的法向
1 1
量，由点到平面的距离的向量公式求得答案.
解析 (1)连接D F并延长交DC延长线于点I，连接IE并延长交BC于点H，交DA延长线于点J，连接
1
JD 交AA 于点G，则截面D GEHF即为所求.
1 1 1
(2)如图，以D为原点，棱DA,DC,DD 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
1
因为正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，
1 1 1 1
所以D 10,0,2 ,E2,1,0 ,F0,2,1 ,B 12,2,2 .
D 1 E=2,1,-2
,D 1 F=0,2,-1
,D 1 B 1 =2,2,0 .
设平面D 1 EF的法向量为m=x,y,z ，
则 m ⋅D 1 E =0, 即 2x+y-2z=0,
m⋅D F=0, 2y-z=0,
1
·162·
取y=2，得平面D 1 EF的法向量为m=3,2,4 .
m⋅D B 1 1
设点B 到平面EFD 的距离为d，则d=
1 1
m
2×3+2×2+0×4
=
10 29
= ，
32+22+42 29
10 29
故点B 到平面EFD 的距离为 .
1 1 29
x2 y2
18（. 17分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为e，点A1,e
a2 b2
在C上，C的长轴长为4e.
(1)求C的方程；
(2)已知原点为O，点P在C上，OP的中点为Q，过点Q的直线与C交于点M,N，且线段MN恰好被点Q
平分，判断OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.
x2
答案 (1) +y2=1
2
3
(2)是定值
2
a a
【分析】(1)由已知得e= ，则可得4b2=4a2-a4，A1,
2 2
，再将点A的坐标代入椭圆方程化简，再结合
前面的式可求出a2,b2，从而可求出椭圆方程；
(2)方法一：设Px 0 ,y 0 ,Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2
x =x +x
，则可得 0 1 2，代入椭圆方程化简，再结合M,N在C上， y =y +y
0 1 2
3
可得x2y2+x2y2-2x x y y = ，然后化简OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2即可；方法二：当MN⊥x轴且MN在y
1 2 2 1 1 2 1 2 2
轴右侧时，或当MN⊥x轴且MN在y轴左侧时，可求出M,N的坐标，从而可求出OM2⋅ON2-(OM ⋅
ON)2，当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根
与系数的关系，再结合题意表示出点P的坐标，代入椭圆方程化简，再计算OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2即可.
a
解析 (1)因为C的长轴长为4e，所以2a=4e,e= ，
2
c a2-b2 a2-b2 a2
由e= = 得 = ,4b2=4a2-a4，
a a2 a2 4
a
把A1,
2
1 a2 1 1
代入C的方程得 + =1，即 + =1，
a2 4b2 a2 4-a2
解得a2=2，所以4b2=4a2-a4=4，解得b2=1，
x2
所以C的方程为 +y2=1.
2
(2)法一：设Px 0 ,y 0 ,Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，
由题意可知，点Q既是OP的中点，又是MN的中点，
x x +x
所以
2
0 = 1
2
2
，即 x 0 =x 1 +x 2，
y y +y y =y +y
0 = 1 2 0 1 2
2 2
因为点P在C上，所以 x 1 +x 2 2 2 +y 1 +y 2 2=1，
x2 x2
整理得 1 +y2+ 2 +y2+x x +2y y =1，
2 1 2 2 1 2 1 2
x2 x2
因为M,N在C上，所以 1 +y2=1, 2 +y2=1，
2 1 2 2
所以x x +2y y =-1，
1 2 1 2
将x x +2y y =-1两边平方，得x2x2+4y2y2=1-4x x y y ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
·163·又x2+2y2
1 1
x2+2y2
2 2
=4，展开，得x2x2+4y2y2+2x2y2+2x2y2=4，
1 2 1 2 1 2 2 1
所以1-4x x y y +2x2y2+2x2y2=4，
1 2 1 2 1 2 2 1
3
所以x2y2+x2y2-2x x y y = ，
1 2 2 1 1 2 1 2 2
又OM ⋅ON2-(OM ⋅ON)2=x2+y2 1 1 x2+y2 2 2 -x 1 x 2 +y 1 y 2 2
3
=x2y2+x2y2-2x x y y = .
1 2 2 1 1 2 1 2 2
3
所以OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2为定值 .
2
法二(通性通法)：当MN⊥x轴且MN在y轴右侧时，
显然P 2,0
2
,Q ,0
2
2 3
,M ,
2 2
2 3
,N ,-
2 2
，
5 5 2 3 则OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2= × - -
4 4 4 4
2 3 = ;
2
3
同理，当MN⊥x轴且MN在y轴左侧时，OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2= .
2
当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m.
y=kx+m
由
x2+2y2=2
，得2k2+1
x2+4kmx+2m2-2=0，
则Δ=16k2m2-42k2+1
2m2-2
>0，化简，得2k2+1>m2.
设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2
-4km 2m2-2
，则x +x = ,x x = . 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
设Qx 0 ,y 0
-2km m
，则x = ,y =kx +m= ， 0 2k2+1 0 0 2k2+1
-4km 2m
所以P ,
2k2+1 2k2+1
-4km
，代入x2+2y2=2，得
2k2+1
2 2m
+2
2k2+1
2
=2，
化简，得4m2=2k2+1，适合2k2+1>m2.
OM2⋅ON2-(OM ⋅ON)2=x2+y2 1 1 x2+y2 2 2 -x 1 x 2 +y 1 y 2 2=x2y2+x2y2-2x x y y 1 2 2 1 1 2 1 2
=x 1 y 2 -x 2 y 1 2= x 1kx 2 +m -x 2kx 1 +m 2=m2 x 1 -x 2 2=m2 x 1 +x 2 2-4x x 1 2
-4km =m2
2k2+1
2 2m2-2 -4×
2k2+1
8m2 2k2+1-m2
=
2k2+1
8m2 4m2-m2
=
2
4m2
3
= .
2 2
3
综上，OM ⋅ON2-(OM ⋅ON)2为定值 .
2
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解
题的关键是设出直线方程，将其代入椭圆方程化简，再利用根与系数关系，结合中点坐标公式，化简OM
⋅ON2-(OM ⋅ON)2，考查计算能力，属于难题.
19（. 17分）已知函数fx
ax+1
=
+lnxa∈R
ex
.
(1)若fx 在0,+∞ 上单调递增，求a的取值范围；
(2)若fx 有2个极值点x 1 ,x 2x 1 >x 2 >0 ，求证：ax2+x2 1 2 >2 e.
·164·e2
答案 (1)-∞,
4
(2)证明见解析
【分析】(1)将fx 在0,+∞ 上单调递增转化为f x ≥0恒成立问题，通过参变分离求解最值即可；
ex
(2)通过x ,x 是方程 -a=0的两个不同正根将证明ax2+x2
1 2 x2 1 2
x1+x2 ex1
>2e 2 转化为x +x >1，然后通过
1 2 x2
1
ex2
= 消参构造函数来求解证明.
x2
2
解析 (1)法一：因为fx 在0,+∞ 上单调递增，
所以x>0时f x
ax 1 ex
=- + ≥0，即a≤ ，
ex x x2
设gx
ex
= (x>0)，则g x
x2
x-2
=
ex
，
x3
所以x∈0,2 时g x <0,gx 单调递减，x∈2,+∞ 时g x >0,gx 单调递增，
所以gx ≥g2
e2
= ，
4
e2 e2
所以a≤ ，即a的取值范围是-∞,
4 4
；
法二：因为fx
ax+1
=
+lnx，
ex
所以f x
ax 1 x ex
=- + = -a
ex x ex x2
(x>0)，
若a≤0，则f x >0,fx 在0,+∞ 上单调递增；
若a>0，令gx
ex
= -a，则g x
x2
ex x-2
=
，
x3
x∈0,2 时g x <0,gx 单调递减；x∈2,+∞ 时g x >0,gx 单调递增，
所以x=2是gx 的极小值点，所以gx ≥g2
e2
= -a，
4
e2 e2
所以当 -a≥0，即02e
x1+
2
x2
，
下面证明x +x >1.
1 2
由
ex1
=
ex2
，得ex1-x2=
x2
1，
x2 x2 x2
1 2 2
两边取对数，得x 1 -x 2 =2lnx 1 -lnx 2
lnx -lnx 1
，即 1 2 = ， x -x 2
1 2
x
1 +1
x +x x x x
则x +x =2× 1 2ln 1 =2× 2 ln 1，
1 2 x -x x x x
1 2 2 1 -1 2
x
2
x t+1
设 1 =t，则t>1，则要证x +x >1，即证2× lnt>1，
x 1 2 t-1
2
2
即证2lnt-1+ >0.
t+1
·165·设ht
2
=2lnt-1+ (t>1)，则h t
t+1
2 2
2t2+t+1
= - =
t (t+1)2
>0，
t(t+1)2
所以ht 在1,+∞ 上单调递增，从而ht >h1 =0，
于是x +x >1成立，
1 2
故ax2+x2
1 2
>2 e.
x x
【点睛】方法点睛：对于含双变量x ,x 的问题，通常经过变形，产生 1 的结构，然后通过换元令 1 =t，将
1 2 x x
2 2
式子转化为单变量的的问题，进而构造函数来解决问题.
·166·广东省衡水金卷 2024 届高三年级 2 月份大联考
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A=x∈Z∣x2≤5
1
,B=-3,-2,-1,0, ,1 2 , 则A∪B中元素的个数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 D【解析】因为A=x∈Z∣x2≤5 ={x∈Z∣- 5 ≤x≤ 5}={-2,-1,0,1,2},B={-3,-2,-1,
1
0, ,1
2
1
, 所以A∪B=-3,-2,-1,0, ,1,2
2
中元素的个数为7. 故选D.
5
2.已知在△ABC中, AB=2,AC=1,cosA= , 则BC= ( )
6
5 5 15
A.1 B. C. D.
2 3 3
5 5 15
答案 D【解析】由余弦定理得BC2=22+12-2×2×1× = , 所以BC= . 故选D.
6 3 3
3.若a-2b 20=x a20+x a19b+x a18b2+⋯+x ab19+x b20, 则x = ( ) 0 1 2 19 20 19
A.-20 B.-20×219 C.-219 D.20×219
答案 B【解析】x 19 =C 2 1 0 9 -2 19=-20×219, 所以B正确. 故选B.
3 3π π
4.若sinα=- ,α∈- ,-
2 2 2
, 则α= ( )
2π 3π 5π 4π
A.- B.- C.- D.-
3 4 4 3
3 4π 5π
答案 A【解析】因为sinα=- , 所以α=2kπ+ 或α=2kπ+ k∈Z
2 3 3
3π π
, 因为α∈- ,-
2 2
,
2π
所以α=- . 故选A.
3
5.若定义在R上的函数fx 满足fx2 =-f-x2 , 则下列结论一定正确的为 ( )
A. fx 的图象关于原点对称 B. fx 的图象关于y轴对称
C. fx 的图象关于点1,0 对称 D. fx 的图象关于直线x=1对称
答案 A【解析】若∀t∈R, 当t>0时, 令t=x2, 因为fx2 =-f-x2 , 所以ft =-f-t , 即f-t =
-ft ;当t=0时, 令t=x2=0, 因为fx2 =-f-x2 , 所以f0 =-f-0 , 即f0 =0;当t<0时, 令
t=-x2, 因为fx2 =-f-x2 , 所以f-t =-ft , 综上, ∀t∈R, f-t =-ft , 所以fx 是奇函数,
所以A正确;若fx =x, 则fx2 =-f-x2 成立, 但B、C、D都不成立. 故选A.
x2 y2
6.已知点P是曲线Γ: - =1在第一象限内的一点, A为Γ的左顶点, R为PA的中点, F为Γ的右焦
4 4
点. 若直线OR(O为原点)的斜率为 5, 则△PAF的面积为 ( )
·167·A. 10+ 5 B. 10- 5 C.3 2+3 D.3 2-3
答案 A【解析】设Px 0 ,y 0
x -2 y
,x >0,y >0, 所以R 0 , 0 0 0 2 2 ,x2-y2=4, 因为直线OR的斜率为 5, 所以 0 0
y
x - 0 2 = 5, 化简得, y 0 = 5x 0 -2
0
, 与x2-y2=4联立解得, x =2或3,其中x =2舍去,所 0 0 0 0
以P点的坐标为3, 5 , 又F2 2,0
2 2--2
, 所以△PAF的面积为
× 5= 10+ 5. 故选A.
2
7.在某电路上有C、D两个独立工作的元件, 每次通电后, 需要更换C元件的概率为0.2,需要更换D元件
的概率为0.1 , 则在某次通电后C、D有且只有一个需要更换的条件下, C需要更换的概率是 ( )
3 1 9 3
A. B. C. D.
10 50 13 4
答案 C【解析】记事件E:在某次通电后C、D有且只有一个需要更换, 事件F:C需要更换, 则PE =
0.2×1-0.1 +1-0.2 ×0.1=0.26,PEF =0.2×1-0.1 =0.18, 由条件概率公式可得PF∣E =
PEF
PE
0.18 9
= = . 故选C.
0.26 13
8.在各棱长都为2的正四棱锥V-ABCD中, 侧棱VA在平面VBC上的射影长度为 ( )
2 6 2 3
A. B. C. 3 D.2
3 3
答案 B【解析】把正四棱锥V-ABCD放人正四棱柱ABCD-A B C D 中, 则V是上底面的中心, 取A
1 1 1 1 1
B 的中点E,C D 的中点F, 连接EF,BE,CF, 由图可知, 过A作AG⊥BE, 垂足为G, 在正四棱柱
1 1 1
ABCD-A B C D 中, BC⊥平面ABB A ,AG⊂平面ABB A , 所以BC⊥AG,BC∩BE=B,BC,BE⊂平
1 1 1 1 1 4 1 1
面EFCB, 所以AG⊥平面EFCB, 所以侧棱VA在平面VBC上的射影为VG, 由已知得, AA = 2, EB=
1
AB AA2+
1 2
2 = 3, 所以 1 ×2× 2 = 1 × 3 ⋅AG, 所以AG= 2 2 , 所以VG= VA2-AG2 =
2 2 3
2 2
22-
3
2 2 3
= . 故选B.
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.若z满足z+z=6,z=z-2i, 则 ( )
A. z的实部为3 B. z的虚部为1
z 1-3i
C. = D. z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3
3-i 2
答案 AB【解析】设z=a+bi，因为z+z=6,所以2a=6, 所以a=3.z=z-2i⇒ a2+b2=
·168·a2+b-2
z 3+i 3+i
2, 解得b=1, 所以z=3+i, 所以A,B正确; = =
3-i 3-i
2
3-i 3+i
8+6i
= =
10
4+3i
,所以C错误;因为z对应的向量坐标为3,1
5
, 所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为
1
, 所以D错误. 故选AB.
3
10.已知a=2,1 ,b=1,-1 ,c=x,2 , 则 ( )
A.若x=0, 则存在唯一的实数p,q, 使得a=pb+qc
B.若x=1, 则a⊥c
C.若x=4, 则a⎳c
1 1
D.若x=1, 则c在b上的投影向量为- ,
2 2
答案 ACD【解析】A:当x=0时, b=1,-1
,c= 0,2
不共线,所以b,c可以作为一组基向量,由平面
向量基本定理得, 存在唯一的实数p,q使得a=pb+qc, 所以A正确;B:若x=1, 则a⋅c=2,1 ⋅ 1,2
=4≠0, 所以a⊥c不成立, 所以B错误;C:若x=4,a=2,1
,c=4,2
1
, 则a= c, 所以a⎳c,所以C
2
正确;D:若x=1, 则c=1,2
c⋅b -1
, 所以c在b上的投影向量为 ⋅b= ⋅1,-1
2 2
b
1 1
= - ,
2 2
, 所以D
正确. 故选ACD.
11.若过点a,b 可作曲线fx =x2lnx的n条切线n∈N , 则 ( )
A.若a≤0, 则n≤2 B.若0e
-3
2时, ge
-3
2
2
<00时, gx 有1个零点, 即b<0, D正确. 故选ABD.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如图是一个正四棱台ABCD-A B C D , 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6,体积为
1 1 1 1
·169·104 2
, 则侧面积为 ．
3
h
答案 32 3【解析】设该正四棱台的高、斜高分别为h, h, 由已知得, 22+62+2×6
3
104 2
= , 所以
3
6-2 h = 2 2,h= h2+
2
2 = 2 2 6-2 2+
2
2 = 2 3, 所以正四棱台侧面积为 S = 4 ×
2+6 ×2 3
=32 3. 故答案为32 3.
2
13.在数列a n 中, a 1 =3, 且a n+1 =3a n +4n-6n∈N* , 则a n 的通项公式为 ．
答案 a n = 3n-2n-1 【解析】因为 a n+1 = 3a n +4n - 6 n∈N* ,a +2n = 3a +4n - 6 + 2n = n+1 n
3 a n +2n-1 , 因为a 1 =3, 所以a 1 +2× 1-1 =3, 所以a n +2n-1 =3⋅3n-1=3n, 所以a =3n n
-2n-1 . 故答案为a n =3n-2n-1 .
x2 ∠ACB
14.若圆C与抛物线Γ:y= 在公共点B处有相同的切线, 且C与y轴切于Γ的焦点A,则sin =
6 2
．
3 x2 3
答案 【解析】抛物线Γ:y= 的焦点为A0,
2 6 2
3
,准线l为y=- , 依题意不妨令C在第一象限,
2
3 Ca, 2 1 , 则圆C的半径r=a, 设Bx , x2 0 6 0 x 0 > 0), 则圆C的方程为x-a 3 2+y- 2 2 =a2, 由y=
1 1 x x2
x2, 则y= x, 所以抛物线在点B处的切线m的斜率k= 0, 因为圆C与抛物线Γ:y= 在公
6 3 3 6
1 3
x2-
6 0 2 x 1 1
共点B处有相同的切线, 所以直线CB与m垂直.所以 ⋅ 0 =-1, 则a= x + x3 (1),又
x -a 3 2 0 18 0
0
点 B 在圆 C 上, 所以 x 0 -a 1 3 2+ x2- 6 0 2 2 = a2, 则 x2-2ax + 1 x2- 3 0 0 6 0 2 2 = 0 (2), 所以 x2 0
1 1 -2 x + x3
2 0 18 0
1 3 x + x2-
0 6 0 2
2 =0, 整理可得x4+6x2-27=0, 解得, x2=3或x2=-9(舍去), 所以r=a
0 0 0 0
AB
1 1 2 1 1 ∠ACB 2 1 3
=
2
x
0
+
18
x3
0
=
3
,y
B
=
6
x2
0
=
2
,所以AB=2, 所以sin
2
=
AC
=
2
=
2
. 故答案为
3
3
.
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）某小区在2024年的元旦举办了联欢会, 现场来了1000位居民. 联欢会临近结束时,物业公司从
现场随机抽取了20位幸运居民进人摸奖环节,这20位幸运居民的年龄用随机变量 X表示,且X∼
N45,225 .
(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五人取整数);
·170·(2)奖品分为一等奖和二等奖,已知每个人摸到一等奖的概率为40%, 摸到二等奖的概率为60%, 每个人
摸奖相互独立, 设恰好有n0≤n≤20 个人摸到一等奖的概率为Pn , 求当Pn 取得最大值时n的值.
附:若X∼Nμ,σ2 , 则PX-μ<σ =0.6827,PX-μ<2σ =0.9545.
答案 解:(1)因为X∼N45,225 , 所以σ=15, (1分)则PX≥60 =PX≥μ+σ
1-0.6827
= =
2
0.15865, (4分)所以现场年龄不低于60岁的人数大约为1000×0.15865≈159(人). (6分)(2)依题意可
得, Pn Pn =Cn 0.4n×0.620-n, (7分)设 20 ≥Pn+1 Pn ≥Pn-1 Cn0.4n×0.620-n≥Cn+10.4n+1×0.619-n ,所以 20 20 , (9 Cn0.4n×0.620-n≥Cn-10.4n-1×0.621-n
20 20
20-n 0.4
n+1
⋅
0.6
≤1,
37 42
分)所以 (11分)所以 ≤n≤ , (12分)n为整数, 所以n=8,
21-n 0.4 5 5
⋅ ≥1,
n 0.6
所以当Pn 取得最大值时n的值为8 .
16（. 15分）如图,在圆雉SO中, 若轴截面SAB是正三角形, C为底面圆周上一点, F为线段OA上一点, D
(不与S重合)为母线上一点, 过D作DE垂直底面于E, 连接OE,EF,DF,CF, CD, 且∠COF=∠EFO.
(1)求证:平面SCO⎳平面DEF;
(2) 若 △EFO 为正三角形, 且 F 为 AO 的中点, 求平面 CDF 与平面 DEF 夹角的余弦值.
答案 解:(1)因为∠COF=∠EFO, 所以EF⎳CO, (1分)因为EF⊄平面SCO,CO⊂平面SCO,
所以EF⎳平面SCO,
(2分)
因为DE垂直底面于E,SO垂直底面于O, 所以DE⎳SO,
同理DE⎳平面SCO,
(3分)
因为DE∩EF=E, 且EF⎳平面SCO,DE⎳平面SCO, 所以平面SCO⎳平面DEF.
(2)设圆锥的底面半径为2 ,
因为轴截面SAB是正三角形,所以SO=2 3,
如图,设平面SDEO与底面圆周交于G,
因为△EFO为正三角形, 且F为AO的中点,
所以OF=FE=EO=1, 所以E为OG的中点,
1
所以DE为△SOG的中位线, 所以DE= SO= 3,
2
(7分)
如图, 在底面圆周上取一点H, 使得OH⊥OB, 以直线OH,OB,OS为x,y,z轴建立空间坐标系, (8分)
·171·由已知得, C- 3,-1,0
3 1
,D ,- , 3
2 2
3 1
, E ,- ,0
2 2
,F0,-1,0 ,
(9分)
3 3
设EF的中点为M, 则平面DEF的法向量为n = OM = ,- ,0
1 4 4
,
(11分)
所以CF= 3,0,0
3 3 1
,CD= , , 3
2 2
.
设平面CDF的一个法向量为n 2 =x,y,z .
3x=0,
所以
3 3 1
,
x+ y+ 3z=0
2 2
3
x=0, 令y=2, 则z=- ,
3
3
则n =0,2,-
2 3
.
(13分)
3
所以平面CDF与平面DEF夹角的余弦值为 n 1 ⋅n 2 = 2 = 3 13 .
n 1n 2 3
×
13 13
2 3
17（. 15分）设函数fx =lnx+ax-1 x-2 , 其中a为实数.
(1)当a=1时,求fx 的单调区间;
(2)当fx 在定义域内有两个不同的极值点x 1 ,x 2 时, 证明:fx 1 +fx 2
5 9
> +ln . 9 16
答案 解:(1)fx 的定义域为0,+∞ ,f x
1
= +
x
2x-3
2x2-3x+1
= ,
x
(2分)
令f x
1
=0, 得x= 或x=1,
2
·172·1
x∈0,
2
∪1,+∞ ,f x
1
>0;x∈ ,1
2
. f x <0,
所以fx
1
的单调递增区间为0,
2
,1,+∞
1
,单调递减区间为 ,1
2
.
(2)f x
2ax2-3ax+1
= ,
x
由fx 在0,+∞ 上有两个不同的极值点x ,x 1 2
得, 2ax2-3ax+1=0有两个不同的正根,
2a≠0
3
x +x = >0
1 2 2 8
则 , 解得a> ,
1 9
x x = >0
1 2 2a
Δ=9a2-8a>0
因为fx 1 +fx 2 =lnx 1 x 2 +ax2+x2 1 2 -
3ax 1 +x 2 +4a=lnx 1 x 2 +a x 1 +x 2 2- 2x x 1 2 -3ax 1 +x 2 +4a=-ln2a
7
+ a-1, 4
(9分)
设ga =-ln2a
7 8
+ a-1,a> ，
4 9
则g a
7 1 7a-4
= - = >0,
4 a 4a
故ga
8
在 ,+∞
9
上单调递增,
(12分)
又ga
8
>g
9
16 5 5 9
=-ln + = +ln ,
9 9 9 16
故fx 1 +fx 2
5 9
> +ln . 9 16
18（. 17分）在直角坐标系xOy中, 已知C 1-1,0 ,C 21,0 ,Px,y
,4C P⋅C P=3x2. 1 2
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴, l与C交于A、B两点, 点Mx 0 ,y 0 x 0 ,y 0 ≠0 为弦AB的中
点. 过点M作l的垂线交C于D、E,N为弦DE的中点.
①证明:l与ON相交;
②已知l与直线ON交于T, 若ON=λNTλ>0 , 求λ的最大值.
答案 解:(1)因为C 1-1,0 ,C 21,0 ,Px,y
,4C P 1
- C P=3x2,
2
所以4x+1,y ⋅x-1,y =3x2,
(1分)
所以4x2-1+y2
x2
=3x2, 化简得 +y2=1,
4
x2
所以P的轨迹C的标准方程为 +y2=1. (3分)
4
(2)①因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴,
所以x y ≠0.
0 0
设点Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,
x +x y +y
所以x = 1 2,y = 1 2.
0 2 0 2
·173·
x2
1 +y2=1
4 1
由题意得, ,
x2
2 +y2=1
4 2
x2-x2
相减得 1 2 +y2-y2=0,
4 1 2
所以 x 1 +x 2 x 1 -x 2 4 +y 1 +y 2 y 1 -y 2 =0,
y -y y +y y -y 2y 1
所以 1 2 ⋅ 1 2 = 1 2 ⋅ 0 =- ,
x -x x +x x -x 2x 4
1 2 1 2 1 2 0
1
所以k ⋅k =- .
AB CMI 4
1 x
所以k=k =- =- 0 ,
l AB 4k 4y
OM 0
(5分)
1 1
同理得, k ⋅k =- , 又k ⋅k =- ,
ON DE 4 AB OM 4
1
相乘得, k ⋅k ⋅k ⋅k =-
O N DE AB OM 4
2
, (6分)
y x
因为k ⋅k =-1,k = 0, 所以k =- 0 ,
DE AB OM x ON 16y
0 0
(7分)
x x
因为x ≠0. 所以- 0 ≠- 0 , 所以k≠k ,
0 4y 16y l ON
0 0
(8分)
所以l与ON相交.
(9分)
x
②l的方程为y-y 0 =- 4y 0 x-x 0
0
4y
, 直线DE的方程为y-y 0 = x 0 x-x 0
0
,
x
直线ON的方程为y=- 0 x,
16y
0
x2+4y2 -3x2y
联立得, y =- 0 0,y = 0 0 , (11分)
T 12y N x2+64y2
0 0 0
∣ON ON 1
故λ= = = ,
NT OT-ON OT
-1
ON
(12分)
x2+4y2
- 0 0
OT y 12y
又 = T = 0
ON y -3x2y
N 0 0
x2+64y2
0 0
1
x2+4y2
= ⋅ 0 0
36
x2+64y2
0 0
x2y2
0 0
y2
1+4 0
1 x2
= ⋅ 0
36
y2
1+64 0
x2
0
y2
0
x2
0
1 y2 x2
= 256 0 + 0 +68
36 x2 y2
0 0
25
≥ ,
9
(14分)
当且仅当x2=16y2即x =±4y 时取等号,
0 0 0 0
·174·x =±4y ,
x2 0 0
又 4 0 +y2 0 <1, 即当且仅当 - 5 b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b
答案 D
【分析】利用正弦函数的单调性可得a>c，利用导数可证不等式lnx1)成立，故可判断bsin = =c，
5 6 2
设fx =lnx+1-x,x>1 ，则f x
1-x
= <0，
x
故fx 在1,+∞ 上为减函数，故fx 1)，
3 3
所以b=ln < -1=c，故a>c>b，
2 2
故选：D.
π
4.已知2sinα=3+2 3cosα，则sin2α-
6
= ( )
1 7 3 7
A.- B.- C. D.
8 8 4 8
答案 A
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.
·177·1 3 3 π
解析 由2sinα=3+2 3cosα，得 sinα- cosα= ，即sinα-
2 2 4 3
3
= ，
4
π 所以sin2α-
6
π =sin 2α-
3
π +
2
π =cos2α-
3
π =1-2sin2α-
3
3 =1-2×
4
2 1 =- .
8
故选：A
x2 y2
5.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F、F，点M为F 关于渐近线的对称点．若
a2 b2 1 2 1
MF 1
MF 2
=2，且△MFF 的面积为8，则C的方程为 ( )
1 2
y2 x2 x2 y2 x2 y2
A. x2- =1 B. -y2=1 C. - =1 D. - =1
4 4 2 8 4 16
答案 C
【分析】利用点到直线的距离公式、勾股定理结合三角形面积公式可解.
解析 记FM与渐近线bx+ay=0相交于点N，
1
由题可知，ON为△MFF 的中位线，且ON⊥FM，
1 2 1
所以FM⊥FM，
2 1
因为焦点F 1-c,0 到渐近线bx+ay=0的距离F 1 N
-bc
=
=b， b2+a2
所以F 1 M =2b，F 2 M =2ON =2 FO2-FN2=2a， 1 1
1
则S △F1F2M = 2 MF 1 MF 2 =2ab=8，
又 MF 1
MF 2
=2，即b=2a，
2ab=8
联立
解得a2=2,b2=8，
b=2a
x2 y2
所以C的方程为 - =1.
2 8
故选：C
6.如图，正六边形的边长为2 2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运
动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值范围为 ( )
A. 4,5 B. 5,7 C. 4,6 D. 5,8
·178·答案 B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得MA⋅MB=MO
2-1，再由MO 的范围，即可得到
结果.
解析 由题意可得，MA⋅MB=MO+OA
⋅MO+OB
=MO+OA
⋅MO-OA
=MO
2-OA
2=MO 2-1，
当OM与正六边形的边垂直时，MO = 6，
min
当点M运动到正六边形的顶点时，MO =2 2，
max
所以MO ∈ 6,2 2
，则MO 2∈6,8
，即MA⋅MB= MO 2-1 ∈5,7 .
故选：B
7.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在
2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘
扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循
环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠
前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队
1
胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概
3
率为 ( )
1 5 4 8
A. B. C. D.
9 27 81 243
答案 D
【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢(丙的第一场对手若为甲)分类
讨论后可得正确的选项.
1
解析 三队中选一队与丙比赛，丙输，C1× ，例如是丙甲，
3 3
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，
这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，
在甲输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.
1
若丙全赢(概率是
3
2
)时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，
这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，
1 (1)若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是C1
2 3
2 ，
·179·2
如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是 ，
3
1
(2)若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是
3
2
，
乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
1
(3)若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是
3
2
，
1
乙丁这场比赛只能平，概率是 .
3
1 1 综上，概率为C1× ×
3 3 3
2 × C1× 1
2 3
2 2 1 × +
3 3
2 1 +
3
2 × 1
3
8 = ，D正确．
35
故选：D.
8.已知函数fx 及其导函数f x 定义域均为R，记gx =f x+1 ，且f(2+x)-f(2-x)=4x，g3+x
为偶函数，则g 7 +g17 = ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
【分析】对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.
解析 因为g3+x 为偶函数，gx =f x+1 ，
所以f x+4 =f -x+4 ，
对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导，得f(2+x)+f(2-x)=4，所以有
f(4+x)+f(-x)=4⇒f(4-x)+f(-x)=4⇒f(4+x)+f(x)=4⇒f(8+x)=f(x),所以函数f x
的周期为8，
在f(2+x)+f(2-x)=4中，令x=0，所以f(2)=2，
因此g17 =f 18 =f 2 =2，
因为g3+x 为偶函数，
所以有g3+x =g3-x ⇒g 3+x =-g 3-x ⇒g 7 =-g -1 1 ，
f(8+x)=f(x)⇒g7+x =gx-1 ⇒g 7+x =g x-1 ⇒g 7 =g -1 2 ，
由1 ,2 可得：g 7 =0，
所以g 7 +g17 =2，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导，再利用赋值法进行求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是 ( )
A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2
B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D.若样本数据x ，x ，⋯，x 的标准差为8，则数据2x -1，2x -1，⋯，2x -1的标准差为16
1 2 10 1 2 10
答案 AD
【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得m的值，然后利用方差公式求解即可判断B；根据百分
位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.
·180·1
解析 对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为 ，
50
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
1 1
则指定的某个个体被抽到的概率为 ×10= =0.2 ，故A正确；
50 5
对于B，∵数据1，2，m，6，7的平均数是4，m=4×5-1-2-6-7=4，
1
这组数据的方差是s2= 1-4
5
2+2-4 2+4-4 2+6-4 2+7-4 2
26
= ，故B错误；
5
17+19
对于C，8个数据50百分为8×50%=4，第50百分位数为 =18，故C错误；
2
对于D，依题意，Dx =82，则D2x-1 =22×Dx =162，
所以数据2x -1,2x -1,⋯,2x -1的标准差为16，D正确；
1 2 10
故选：AD.
10.已知函数 fx =ex-1+e1-x+x2-2x，若不等式 f(2-a)< fx2+3 对任意的x∈R恒成立，则实数a的取
值可能是 ( )
1
A.-4 B.- C.1 D.2
2
答案 BCD
【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.
解析 因为fx =ex-1+e1-x+x2-2x，
所以f2-x =e1-x+ex-1+2-x 2-22-x =fx ，
即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
当x>1时，y=x2-2x=x-1
2-1为增函数；
令gx =ex-1+e1-x，则g x =ex-1-e1-x，
x>1时，ex-1>1，e1-x<1，所以g(x)>0，所以gx
=ex-1+e1-x为增函数，
所以当x>1时，f(x)为增函数.
由对称性可知，当x<1时，f(x)为减函数.
因为f(2-a)0，
9y2-405 -3y2+135
∵-3x = M ，∴x = M ，
1 45+y2 1 45+y2
M M
y 30y -3y2+135 30y
又y = M(x +3)，∴y = M ，∴C M , M
1 9 1 1 45+y2 45+y2 45+y2
M M M
，
3y2-15 -10y
同理可得点D的坐标为 M , M
5+y2 5+y2
M M
，
-3y2+135 3y2-15
(i)当直线CD垂直于x轴时，x =x ，即 M = M ，∴y2=15，
C D 45+y2 5+y2 M
M M
3 3
∴x =x = ，此时直线CD的方程为x= ；
C D 2 2
(ii)当直线CD不垂直于x轴时，
30y 10y
M + M
45+y2 5+y2 20y3+300y
k = M M = M M ，
CD -3y2+135 3y2-15 -3y4+675
M - M M
45+y2 5+y2
M M
10y 20y3+300y 3y2-15
故直线CD的方程为y+ M = M M x- M
5+y2 -3y4+675 5+y2
M M M
，
·187·1 2y2+30 3y2-15
令y=0，则 = M x- M
5+y2 -3y4+675 5+y2
M M M
，
3y4+60y2+225 3 3
整理得x= M M = ，此时直线CD经过定点 ,0
2y4+40y2+150 2 2
M M
3
综上，直线CD经过定点 ,0
2
.
y y
解法二：由k = M ，k = M 得k =3k ，
AC 9 BM 3 BM AC
y y 5 5
又k ⋅k = 1 ⋅ 1 =- ，∴k ⋅k =3k ⋅k =- ，
AC BC x +3 x -3 9 BC BD BC AC 3
1 1
由题可得直线CD显然不与x轴平行，
设直线CD的方程为：x=my+n(n≠±3)，C(x ,y )，D(x ,y )，
1 1 2 2
x=my+n
由
5x2+9y2=45
得(5m2+9)y2+10mny+5n2-45=0，
10mn
y +y =-
1 2 5m2+9
由Δ>0得 ，
5n2-45
y ⋅y =
1 2 5m2+9
y y y ⋅y
又k ⋅k = 1 ⋅ 2 = 1 2
BC BD x -3 x -3 (my +n-3)(my +n-3)
1 2 1 2
y ⋅y 5n2-45
= 1 2 = ，
m2y y +mn(y +y )-3m(y +y )+n2-6n+9 9n2-54n+81
1 2 1 2 1 2
5n2-45 5 3
由 =- 得n= 或n=3(舍去)，
9n2-54n+81 3 2
3 3
∴直线CD：x=my+ ，∴直线CD经过定点 ,0
2 2
.
18.(17分)设X,Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为a,b i j ，其中i,j∈N*，令p = ij
PX=a,Y=b i j ，称p i,j∈N* ij 是二维离散型随机变量X,Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们
也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；
X,Y b b b ⋅⋅⋅
1 2 3
a p p p ⋅⋅⋅
1 11 12 13
a p p p ⋅⋅⋅
2 21 22 23
a p p p ⋅⋅⋅
3 31 32 33
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
现有nn∈N* 个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X，落
入第2号盒子中的球的个数为Y．
·188·(1)当n=2时，求X,Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；
n
(2)设p k = PX=k,Y=m
m=0
n
,k∈N且k≤n，求kp 的值． k
k=0
(参考公式：若X~Bn,p
n
，则kC n kpk 1-p
k=0
n-k=np)
答案 (1)答案见解析
n
(2)
3
【分析】(1)X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，分别计算概率即可；
1 (2)计算得p =Ck
k n 3
k 2
3
n-k ，则 n kp = n kCk 1
k n 3
k=0 k=0
k 2
3
n-k
，最后利用二项分布的期望公式即可得
到答案.
解析 (1)若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，
则PX=0,Y=0
1 1
= = ，
32 9
PX=0,Y=1
1 1 2
=C1× × = ， 2 3 3 9
PX=0,Y=2
1 1
= = ，PX=1,Y=0 32 9
1 1 2
=C1× × = ， 2 3 3 9
PX=1,Y=1
1 1 2
=C 2 1× 3 × 3 = 9 ，PX=2,Y=0
1 1
= = ， 32 9
PX=1,Y=2 =PX=2,Y=1 =PX=2,Y=2 =0，
故X,Y 的联合分布列为
X,Y 0 1 2
1 2 1
0
9 9 9
2 2
1 0
9 9
1
2 0 0
9
(2)当k+m>n时，PX=k,Y=m =0，
n
故p k = PX=k,Y=m
m=0
n-k
= PX=k,Y=m
m=0
n-k 1
= PCkCm ⋅ n n-k 3n
m=0
Ck n-k Ck 1 = n Cm = n2n-k=Ck
3n n-k 3n n 3
m=0
k 2
3
n-k
n n 1 所以kp = kCk
k n 3
k=0 k=0
k 2
3
n-k
n n ，由二项分布的期望公式可得kp = ．
k 3
k=0
19.(17分)已知函数fx =xlnx-a2x2+1 (a∈R).
(1)若a=-1，求fx 的图象在x=1处的切线方程；
(2)若fx 有两个极值点x ，x (x -2.
2 1 a
答案 (1)5x-y-2=0
·189·1
(2)①0,
4
；②证明见解析
【分析】(1)利用切点和导数几何意义即可求解；
(2)①令gx =f x =lnx-4ax+1，由题意可知，gx 在0,+∞ 有两个不相等的实数根，根据gx 的
单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；
1 1 x -x ②由①分析得x 2 -x 1 > 4a -1， 4a = lnx 1 -ln 2 x ，令hx
1 2
2x-1 =lnx- ，可得hx x+1 在0,1 上单调递
x x
增，因为 1 <1，所以h 1
x x
2 2
0，则gx 在0,+∞ 上单调递增，
所以gx 在0,+∞ 上至多有一个零点，不符合题意；
若a>0，令g x
1 1
=0，解得x= ，所以当00，
1
当x> 时，g x
4a
<0，所以gx
1
在0,
4a
1
上单调递增，在 ,+∞
4a
上单调递减.
1
所以x= 时，gx 4a
1
取得极大值，即最大值为g 4a =-ln4a ，
1
所以g
4a
=-ln4a
1
>0，解得00，又g
e
-4a 1
= <0，所以g
e 4a
1
⋅g
e
<0，
1 1
由零点存在性定理知：存在唯一的x ∈ , 1 e 4a ，使得gx 1 =0.
1
又g
a2
1 1 4
=ln -4a⋅ +1=-2lna- +1，令μx
a2 a2 a
4
=-2lnx- +1，
x
所以μ x
2 4 4-2x
=- + = ，所以当00，当x>2时，μ x <0，
所以μx 在0,2 上单调递增，在2,+∞ 上单调递减，
所以μa
4
=-2lna- +1≤μ2
a
=-2ln2-1<0，
1
所以g
a2
1
<0，所以g
4a
1
⋅g
a2
<0，
1 1
由零点存在性定理知：存在唯一的x ∈ , 2 4a a2 ，使得gx 2 =0.
1
所以当01，
4 1 4a 2 4a
因为gx
1
在0, 4a 上为增函数，及g1 =1-4a>0，所以x <1， 1
1 1
又x > ，所以x -x > -1.
2 4a 2 1 4a
因为gx 1 =0，gx 2 =0，所以lnx -4ax +1=0，lnx -4ax +1=0， 1 1 2 2
·190·所以lnx 1 -lnx 2 =4ax 1 -x 2
1 x -x
，所以 = 1 2 . 4a lnx -lnx
1 2
令hx
2x-1
=lnx-
(00，所以hx
2
在0,1 上单调递增，
x x
因为x .
4a lnx -lnx 2 1 2 2a
1 2
所以3x 2 -x 1 =x 1 +x 2 +2x 2 -x 1
1 1 1
> + -2= -2. 2a 2a a
【点睛】本题证明的关键在于构造函数hx 2x-1 =lnx- 1 x -x x +x ，进而求证 = 1 2 < 1 2，再运
x+1 4a lnx -lnx 2
1 2
用不等式性质即可证明.
·191·江西省上进联盟 2023-2024 学年高三下学期一轮总复习（开学
考）验收考试数学试卷
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合M=x|x(x-3)<4 ,N=y|y<3 ，则M∩N= ( )
A.∅ B. x|-40,- <φ<
2 2 2
，其导函数为 f x .且 f0 ⋅ f 0 =0，fx 在
区间0,2π 上恰有4个不同的实数x ii=1,2,3,4 ，使得对任意x都满足fx +f2x 1 -x)=1，且对任意
角α,fx
π
在区间α,α+
2
上均不是单调函数.则ω的取值范围是 ( )
19 25
A. ,
12 12
25
B. 2,
12
19
C. ,2
12
25
D. ,+∞
12
答案 B
解析 ∵fx =sinωx+φ
1
+ ,∴f x
2
=ωcosωx+φ ,∴f0 ⋅f 0
1
=sinφ+
2
π
ωcosφ=0,∵-
2
·193·π 1 π
<φ< ,∴sinφ=- ,φ=- ,∴fx 2 2 6
π
=sinωx- 6
1
+ ，由fx 2 +f2x i -x =1可得fx 的图象关
1
于点x, i 2
π
对称，∴sinωx- i 6
1 1 π
+ = ，即sinωx- 2 2 i 6 =0，当x∈0,2π
π
时，ωx- ∈ 6
π π
- ,2ωπ-
6 6
π
，函数y=sinx在- ,+∞
6
π
上的前5个零点依次为0,π,2π,3π,4π，可得3π<2ωπ-
6
19 25
≤4π，解得 <ω≤ ，又∵fx
12 12
π
在α,α+
2
T π π
上不是单调函数，∴ = < ，解得ω>2，综上2
2 ω 2
25
<ω≤ .故选B.
12
8.142857被称为世界上最神秘的数字，142857×1=142857,142857×2=285714,142857×3=428571,
142857×4=571428,142857×5=714285,142857×6=857142，所得结果是这些数字反复出现，若a=
ln1.285714
e0.142857,b= +1,c= 1.285714，则 ( )
2
A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b
答案 D
解析 记fx =ex-x-1(x>0)，当x∈0,+∞ 时，f x >0,fx 单调递增，所以fx =ex-x-1>
f0 =0，所以ex>x+1(x>0)，因为x2+2x+1>1+2x(x>0)，所以x+1> 1+2x(x>0)，所以ex>
1+2x(x>0)，所以e0.142857> 1+2×0.142857，即a>c；由ex>x+1(x>0)，易得x>lnx+1(x>1)，
ln1.285714
所以 1.285714>ln 1.285714+1= +1，即c>b.综上a>c>b.故选D.
2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.已知平面向量a,b在由正方形组成的网格中位置如图所示(网格中面积最小的正方形边长为1)，则
( )
A. b
= 2 B.存在实数λ，使得b=λa.
C. a+2b
1
⋅b=7. D.向量b在a方向上的投影向量为- a
3
答案 AC(每选对1个得3分)
解析 b
= 12+12= 2，A正确；由图可知，向量a,b不共线，故不存在实数λ，使得b=λa,B错误；设网
格中方向向右､向上的单位向量分别为e ,e ，且e ⊥e ，则a=3e ,b=e +e ，所以a+2b
1 2 1 2 1 1 2
⋅b=
5e +2e
1 2
⋅e +e
1 2
=7,C正确；由图可知，向量b在a方向上的投影向量方向向右､模长为1，所以向量b
1
在a方向上的投影向量为 a，D错误.故选AC.
3
10.化学中经常碰到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如六氟化硫(化学式SF)､
6
金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体(如图1)，已知正八面体E-
ABCD-F的(如图2)棱长为2，则 ( )
·194·8π
A.正八面体E-ABCD-F的内切球表而积为
3
8π
B.正八面体E-ABCD-F的外接球体积为
3
C.若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为2 3
2 2
D.若点Q为棱AF上的动点，则四棱锥E-QBC的体积为定值
3
答案 ACD(每选对一个得2分)
1 1
解析 设该正八面体内切球的半径为r，由内切球的性质可知正八面体的体积V=8× × ×2×2×
3 2
1 6 6
sin60°⋅r=2× ×2×2× 22-( 2)2，解得r= ，故它的内切球表面积为4π×
3 3 3
2 8π
= ，故A正
3
确；设该正八面体外接球的半径为R，易知EF为正八面体外接球的直径，2R=2 2，解得R= 2，所以正
8 2π
八面体外接球的体积为 ，故B错误；当P为EB的中点时，AP⊥EB,CP⊥EB，此时AP+CP取得
3
最小值为2 3，故C正确；易知AF∥EC，因为AF⊄平面EBC,EC⊂平面EBC，所以AF∥平面EBC，所
1 1 2 2
以V =V =V =V = × ×2×2× 2= ，故D正确.故选ACD.
三棱锥E-QBC 三棱锥Q-EBC 三棱锥A-EBC 三棱锥E-ABC 3 2 3
11.已知数列a n
1
的前n项和为S ,a =1，且9a a =a -4a ，数列 n 1 n n+1 n n+1 a
n
与数列4na n a n+1 的前n项和分别
为R ,T，则 ( )
n n
a 1 1 43
A. n+1 > B.T< C.S < D. R ≥6n2-5n
a 4 n 3 n 39 n
n
答案 BCD(每选对一个得2分)
1 4 1 1
解析 将9a a =a -4a 两边同时除以a a ，得9= - ,∴ +3=4 +3
n n+1 n n+1 n n+1 a a a a
n+1 n n+1 n
，故数列
1
+3
a
n
1 1 1
是以 +3=4为首项､4为公比的等比数列，∴ +3=4n，即a = .对于A,∵a =
a a n 4n-3 n
1 n
1
>0,∴9a a =a
4n-3 n n+1 n
a 1 4n
-4a >0,∴4a 0,b>0)的左､右焦点分别为F,F，过点F 且斜率为1的直线l与C的右
a2 b2 1 2 2
支交于A,B两点，若△FAB的内心恰好在它的一条高线上，则C的离心率为 .
1
- 2+ 14
答案
2
解析 三角形的内心必在该三角形的角平分线上，又内心在一条高线上，则这条高线与该三角形的一条
角平分线重合，于是可知该三角形为等腰三角形.设F 2c,0
x2
，故直线l为y=x-c，代入C的方程可得
a2
(x-c)2
- =1，即b2-a2 b2 x2+2a2cx-a2 c2+b2 =0，设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
-a2 c2+b2
，故x x = 1 2
>0，故b2 b2-a2
-a2<0即c2-2a2<0，所以e2-2<0，结合e>1可得1 2，舍去；②当BF 1 =
AB 时，n+2a=m+n，即2a=m，故AF 1 =4a,AF 2
π
=2a，因为直线l的斜率为1，所以倾斜角为 ，即 4
3π
∠AFF= ，在△AFF 中，
2 1 4 2 1
由余弦定理可得AF 1 2=AF 2 2+F 1 F 2 2-2AF 2 ⋅F 1 F 2
2
⋅cos∠AFF，即16a2=4a2+4c2+2×2a⋅2c⋅ ，所 2 1 2
- 2+ 14 - 2+ 14
以c2+ 2ac-3a2=0，所以e2+ 2e-3=0，解得e= ，因为 - 2=
2 2
-3 2+ 14 - 18+ 14 - 2+ 14
= <0,
2 2 2
2 2+14-4 7 - 2+ 14
= =4- 7>1，所以1<
4 2
< 2，满足题意；③当BF 1 =AF 1 时，直线l垂直于x轴，与题意矛盾，故舍去.综上，C的离心率为
·196·- 2+ 14
.
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3cosA acosC ccosA
15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 - = .
3 2b 2b
(1)求A；
(2)若a2+c2-b2=ac，点D在边AB上，BD=2AD,CD= 13.求△ABC的面积.
3cosA acosC ccosA
解析 解：(1)由 - = ，
3 2b 2b
得2bcosA- 3acosC= 3ccosA.
由正弦定理得2sinBcosA= 3sinAcosC+ 3sinCcosA= 3sinA+C = 3sinB，
3
∵00，
y 1 y 2 =kx 1 -2 ⋅kx 2 -2 =k2 x 1 x 2 -2x 1 +x 2 +4
8k2-6 16k2 8k2+4
=k2 - + 2k2+1 2k2+1 2k2+1
-2k2
= ， 2k2+1
8k2-6 8mk2 2m2k2+m2 2k2 2k2 m2-4m+3
所以QA⋅QB= - + - =
2k2+1 2k2+1 2k2+1 2k2+1
+m2-6
为定值，
2k2+1
9
所以m2-4m+3=m2-6，解得m= ，
4
9
∴存在定点Q ,0
4
15
，使得QA⋅QB为定值- ；
16
当直线l的斜率不存在时，易得A2,1 ,B2,-1
15
满足QA⋅QB为定值- .(16分)
16
9
综上，存在定点Q ,0
4
，使得QA⋅QB为定值.
19.(17分)已知函数gx
a
=1-2lnx- (a>0)，且gx x2 的极值点为x . 0
(1)求x ；
0
(2)证明：2gx 0
2
+2≤ ； a
(3)若函数gx
1 1
有两个不同的零点x 1 ,x 2 ，证明： x2 + x2 >2gx 0
1 2
+2.
解析 (1)解：由gx
a
=1-2lnx- ，则g x
x2
-2x2-a
=
-2x- a
=
x3
x+ a
，
x3
所以当x∈0, a 时，g x >0,gx 单调递增，
当x∈ a,+∞ 时，g x <0,gx 单调递减，
所以x= a为gx 的极大值点，即x = a. 0
(2)证明：由题意g a =-lna(a>0)，
要证2gx 0
2 1
+2≤ ，只需证 +lna-1≥0， a a
令hx
1
=lnx+ -1(x>0)，则h x
x
1 1 x-1
= - = ，
x x2 x2
当x∈0,1 时，h x <0,hx 单调递减；
当x∈1,+∞ 时，h x >0,hx 单调递增，
·200·所以hx ≥h1
1
=0，即lnx+ x -1≥0，所以2gx 0
2
+2≤ . a
(3)证明：因为x 1 ,x 2 是gx 的两个不同的零点，
所以gx 1
a
=1-2lnx 1 - x2 =0,gx 2
1
a
=1-2lnx - =0， 2 x2
2
2 x2-x2
两式相减并整理得 = 2 1 .
a x
x2x2ln 2
1 2 x
1
设x 2 >x 1 >0，由(2)知2gx 0
2
+2≤ ， a
1 1
所以要证 x2 + x2 >2gx 0
1 2
x2
2 -1
1 1 x2-x2 x x2
+2，只需证 + > 2 1 ，即证ln 2 > 1 . x2 x2 x x x2
1 2 x2x2ln 2 1 2 +1
1 2 x
1
x2
1
x
设 2 =t∈1,+∞
x
1
t2-1
，下面就只需证lnt> (t>1)，
t2+1
设St
t2-1
=lnt- (t>1)，则S t
t2+1
1 4t
= -
t t2+1
t2-1
=
2
2
tt2+1
>0，
2
所以St 在1,+∞ 上单调递增，从而St >S1 =0，
t2-1 1 1
所以lnt> t2+1 (t>1)成立，从而 x2 + x2 >2gx 0
1 2
+2.
·201·重庆市缙云教育联盟 2024 届高三下学期 2 月月度质量检测
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同
植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量
检测；上述两项调查应采用的抽样方法是 ( )
A.①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B.①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C.①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D.①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
答案 C
【分析】根据简单随机抽样和分层随机抽样的特点进行判断即可.
解析 ①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；
②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；
故选：C.
2.下列函数既是奇函数，又在0,+∞ 上单调递增的函数是 ( )
1
A. y=x+ B. y=2x+2-x C. y=lnx D. y=x3
x
答案 D
【分析】根据奇函数的判定方法及函数在0,+∞ 上单调递增，逐项求解即可判断.
解析 对A：令fx
1
=x+ ，定义域为-∞,0
x
∪0,+∞ ，f-x
1 1
=-x- =-x+
x x
=-fx ，
所以fx 为奇函数，又因为f3
1 1
=3+ =f
3 3
，所以fx 在0,+∞ 上不是增函数，故A错误；
对B：令gx =2x+2-x，定义域为R，g-x =2-x+2x=gx ，所以gx 为偶函数，故B错误；
对C：令hx =lnx，定义域为0,+∞ ，所以hx 不是奇函数，故C错误；
对D：令mx =x3，定义域为R，m-x =-x3=-mx ，所以mx 为奇函数，
由幂函数性质可知mx =x3在0,+∞ 上单调递增，故D正确.
故选：D.
3.已知a n 是公比为2的等比数列，若a +a =25，则a = ( ) 1 3 5
A.100 B.80 C.50 D.40
答案 B
【分析】由题意q=2,a +a =a 1+q2 1 3 1 =5a =25，解得a ，然后由a =a q4即可得解. 1 1 5 1
解析 设a n 的公比为q，则q=2,a +a =a 1+q2 1 3 1 =5a =25， 1
所以a =5，所以a =a q4=5×16=80.
1 5 1
故选：B.
5π
4.若sin +α
12
5 π
= ，则cos2α-
13 6
= ( )
·202·119 50 119 50
A.- B.- C. D.
169 169 169 169
答案 A
【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.
5π 解析 cos2α+
6
5π =1-2sin2α+
12
5 =1-2×
13
2 119 = ，
169
π
cos2α-
6
5π
=cos2α+ -π
6
5π
=-cos2α+
6
119
=- .
169
故选：A
5.已知圆C:x2+2x+y2-1=0，直线mx+ny-1 =0与圆C交于A，B两点.若△ABC为直角三角形，则
( )
A.mn=0 B.m-n=0 C.m+n=0 D.m2-3n2=0
答案 A
【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =2 r2-d2进行求解即可.
解析 因为圆C:x2+2x+y2-1=0，圆心为C-1,0 ，半径为r= 2，即CA =CB = 2
因为△ABC为直角三角形，所以AB = CB 2+CA 2=2,
设圆心C-1,0 到直线mx+ny-1
-m-n
=0的距离为d，d=
m+n
=
m2+n2
m2+n2
由弦长公式AB
m+n
=2 r2-d2得d=1，所以
=1，化简得mn=0.
m2+n2
故选：A.
6.已知数列a n
i 5 13
满足a =i，a =i+ ，若a = + i，则正整数k的值是 ( ) 1 n+1 a k 8 10
n
A.8 B.12 C.16 D.20
答案 B
【分析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k值即可.
解析 解：由题意结合递推关系式可得：
1 3 3 6
a =i,a =1+i,a = + i,a = + i，
1 2 3 2 2 4 5 5
2 4 3 13 26 53 53 111
a = + i,a = + i,a = + i,a = + i，
5 3 3 6 5 10 7 41 41 8 85 85
111 231 77 160 480 1000 5 13
a = + i,a = + i,a = + i,a = + i，
9 178 178 10 123 123 11 769 769 12 8 10
2080 4329 333 693 1001 2083 4591 8843
a = + i,a = + i,a = + i,a = + i，
13 3329 3329 14 533 533 15 1602 1602 16 7348 6801
4195 9389 18640 6864 9409 4846 3727 14473
a = + i,a = + i,a = + i,a = + i.
17 6714 7221 18 29833 5279 19 15059 3727 20 5965 11131
故选：B.
x2 y2
7.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点F，O为坐标原点，点P在椭圆上且不在x轴上，点Q在直线
a2 b2 1
a2 FP
x= 上，若PQ=2FO，F Q=λ 1
c 1 1 FP
1
FO
+ 1
FO
1
(λ>0)，则椭圆的离心率为 ( )
1 3 3-1 5-1
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 D
【分析】由题意首先根据已知条件得出四边形PFFQ为菱形，且将P,Q的坐标表示出来，利用PF⊥QF，
1 2 2 1
·203·得出k ⋅k =-1进一步将其化为关于离心率的齐次式即可求解.
PF2 QF1
解析
因为PQ=2FO，所以PQ∥x轴，
1
a2 a2
则P点横坐标为 -2c，Q点横坐标为 ，
c c
a2
-2c
c
所以y2=y2=b2-b2⋅
P Q
2
，
a2
FP
因为F Q=λ 1
1
FP
1
FO
+ 1
FO
1
(λ>0)，
则点Q在∠PFO角平分线上，
1
所以四边形PFFQ为菱形，
1 2
y y
则PF⊥QF，所以k ⋅k =-1，即 P ⋅ Q =-1，
2 1 PF2 QF1 a2 a2
-2c-c +c
c c
a2
-2c
c
所以b2-b2
2
a2
=- -2c-c
a2 c
a2
+c
c
，
将b2=a2-c2代入整理得，a4-3a2c2+c4=0，
3± 5
则e4-3e2+1=0，解得e2= ，
2
5-1
因为00)，若p:ω≤2，且p是q的必要条件，则q可能为 ( )
A. fx
π
的最小正周期为π B. x= 是fx
4
图象的一条对称轴
C. fx
π
在 0,
4
上单调递增 D. fx
π π
在 ,
4 2
上没有零点
答案 AC
【分析】将各项作为条件q，应用正弦型函数的性质求参数，再由必要性定义判断是否满足题设即可.
解析 A：q为fx
2π
的最小正周期为π，则ω= =2，此时p是q的必要条件，符合；
T
π
B：q为x= 是fx
4
π
图象的一条对称轴，则f
4
ωπ π
=sin +
4 4
=±1，
ωπ π π
所以 + = +kπ,k∈Z且ω>0，则ω=1+4k,k∈N，此时p不是q的必要条件，不符合；
4 4 2
C：q为fx
π
在 0,
4
π π ωπ π
上单调递增，则t=ωx+ ∈ , +
4 4 4 4
有y=sint递增，
ωπ π π
所以 + ≤ ⇒ω≤1，即0<ω≤1，此时p是q的必要条件，符合；
4 4 2
D：q为fx
π π
在 ,
4 2
π ωπ π ωπ π
上没有零点，则t=ωx+ ∈ + , +
4 4 4 2 4
有y=sint没有零点，
ωπ π
4 + 4 >kπ ω>4k-1 3 7
所以 ⇒ 3 且ω>0，则0<ω< 或3<ω< ，此时p不是q的必要
ωπ π ω<2k+ 2 2
+ <(k+1)π 2
2 4
条件，不符合；
故选：AC
10.设奇函数fx 与偶函数gx 的定义域均为R，且在区间I上都是单调增函数，则 ( )
A. fx +gx 不具有奇偶性，且在区间I上是单调增函数
B. fx -gx 不具有奇偶性，且在区间I上的单调性不能确定
C. fx gx 是奇函数，且在区间I上是单调增函数
D. f gx 是偶函数，且在区间I上的单调性不能确定
答案 ABD
【分析】根据fx ，gx 的单调性和奇偶性逐项判断即可.
解析 fx ，gx 在区间I上都是单调增函数，fx +gx 单调增，fx -gx 单调性没有办法确定，
C错.
因为fx 为奇函数，gx 为偶函数，所以fx ±gx 不具有奇偶性，A，B正确.
f g-x =f gx ，所以f gx 为偶函数，
令h(x)=f gx ，设任意x 1 v-u
答案 ABC
【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，根据曲边梯形与梯形面积大小判断C，取特殊值判断D.
解析 由题意L(1,x)=-L(x,1)=lnx，所以L(x,1)=-lnx，
当u>1时，L(u,v)=L(1,v)-L(1,u)=lnv-lnu；
当v<1时，L(u,v)=L(u,1)-L(v,1)=L(1,v)-L(1,u)=lnv-lnu；
当u<1 ，则tanα+β
2
1 1
<0， <
tanβ tanα+β
不成立，
π
若0<α+β< ，则tanα+β
2
1 1
>tanβ，故 >
tanβ tanα+β
，
1 1
故 <
tanβ tanα+β
x = 2
1
也不成立，故 2 ，
x =
2 3
1 1
所以x +x = -
1 2 tanβ tanα+β
4 2 1 1-tanαtanβ 4 2
= ，则 - = ，
3 tanβ tanα+tanβ 3
则tanα+tanβ-1-tanαtanβ
4 2
tanβ= tanα+tanβ
3
⋅tanβ，
化简可得
4 2
tanα-
3
4 2
tan2β- tanαtanβ+tanα=0，由方程有解，可知：
3
32 4 2
Δ= tan2α-4tanαtanα-
9 3
≥0，即tan2α-12 2tanα≤0.
解得：0≤tanα≤12 2，
则tanα的最大值为12 2.
·208·故答案为：12 2.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球(小球除颜色不同，其余完全相同)，某抽球试
验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某
轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球(与盒中小球除颜色不同，其余
完全相同)放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验(若第三轮不成功，也停止试验)，记甲进行的试验轮数为随机变
量X，求X的分布列和数学期望；
(2)若规定试验者乙至多可进行nn∈N* 轮试验(若第n轮不成功，也停止试验)，记乙在第
kk∈N*,k≤n
n
轮使得试验成功的概率为P k ，则乙能试验成功的概率为P(n)=P k ，证明：Pn
k=1
1
< . 3
49
答案 (1)分布列见解析，
18
(2)证明见解析
【分析】(1)由条件确定的X取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；
(2)由(1)中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解.
解析 (1)由题意得，X的可能取值为1,2,3，
1
在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为 ，
3
∴PX=1
1
=
3
2 1
= ，
9
1
依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为 ，PX=2
4
=
1
1-
9
1
×
4
2 1
= ，
18
易知PX=3 =1- PX=1 +PX=2
5
= ，
6
∴X的分布列为：
X 1 2 3
1 1 5
P
9 18 6
∴X的数学期望EX
1 1 5 49
=1× +2× +3× = .
9 18 6 18
1
(2)证明：当k≥2时，不难知道P=1-
k 32
1
1-
42
1
⋯ 1-
(k+1)2
1
⋅ ，
(k+2)2
1
∵1-
32
1
1-
42
1
⋯ 1-
(k+1)2
1
⋅
(k+2)2
2×4 3×5 k×k+2
= ⋅ ⋯
32 42
1 2 1
⋅ = ×
(k+1)2 (k+2)2 3 k+1 k+2
，
2 1
∴P= × k 3 k+1 k+2
2 1 1
= - 3 k+1 k+2 k≥2 ，
1 1 2 1 1
由(1)可知P= ，又P= = -
1 9 1 9 3 1+1 1+2
，
2 1
∴P= ×
k 3 k+1 k+2
2 1 1
= -
3 k+1 k+2
k∈N* ，
·209·n 2 1 1 1 1 1 1
∴P(n)=P = - + - +⋯+ -
k 3 2 3 3 4 n+1 n+2
k=1
1 2 1
= - < .
3 3(n+2) 3
即Pn
1
< .
3
1
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是得到P=1-
k 32
1
1-
42
1
⋯ 1-
(k+1)2
1
⋅ ，再利用裂
(k+2)2
项求和即可证明出不等式.
16（. 15分）如图，AB是半球O的直径，AB=4,M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，P是半球面上一
点，且∠PON=60°．
(1)证明：PB⊥平面PAM：
(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．
答案 (1)证明见解析
10
(2)
5
1
【分析】(1)连接OM,MN,BM，可证Q为BM的中点且PQ= BM，可得PB⊥PM，又PB⊥PA，由线面
2
垂直的判定可证；
(2)以点Q为坐标原点，QM，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.
解析 (1)连接OM,MN,BM，因为M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，
所以有∠MON=∠NOB=60°，又因为OM=ON=OB=2，
所以△MON,△NOB都为正三角形，
所以MN=NB=BO=OM，四边形OMNB是菱形，
记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，
因为∠PON=60°,OP=ON，
所以三角形OPN为正三角形，
1
所以PQ= 3= BM，所以PB⊥PM，
2
因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥PA，
因为PM∩PA=P，PM,PA⊂平面PAM，
·210·所以PB⊥平面PAM．
(2)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，
由(1)知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，
所以PQ⊥底面ABM，
因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，
即MB、ON、PQ两两互相垂直，
以点Q为坐标原点，QM，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz，如图所示，
则O0,-1,0 ,M 3,0,0 ,B- 3,0,0 ,N0,1,0 ,P0,0, 3 ，
所以PM = 3,0,- 3
，OP=0,1, 3
，OB=- 3,1,0 ，
设平面PAB的一个法向量为m=x,y,z ，
则 m ⋅O P =0 ，所以 y+ 3z=0 ，
m⋅OB=0 - 3x+y=0
取x=1，则m=1, 3,-1 ，
设直线PM与平面PAB的所成角为θ，
所以sinθ=cosPM,m
3+ 3
=
6× 5
10
= ，
5
10
故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为 ．
5
17（. 15分）设a∈R，函数fx
π
=sin2x-cosx-a，x∈ ,π
2
.
(1)讨论函数fx 的零点个数；
(2)若函数fx
1
有两个零点x ，x ，试证明： ≤tanx tanx -3. 1 2 1-tanx tanx 1 2
1 2
答案 (1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用分离参数法分类讨论函数fx 的零点个数；
3π
(2)利用根与系数关系和三角函数单调性证明π 时，t2+t=-a+1无解；
4 4
1 5
当-a+1=- 时，即a= 时，t2+t=-a+1仅有一解；
4 4
·211·1 5
当- <-a+1<0即1 时，fx
4
5
无零点；a= 时，fx
4
5
有一个零点；10，
1 2
3π
所以cos2x +cos2x <1，所以cos2x cos -x
1 2 2
，
π
由y=cosx在 ,π
2
3π
递减，可得x < -x ，
1 2 2
3π
所以π0，满足直线与抛物线有两个交点，
所以直线BD的方程为x=-y+2，即x+y-2=0．
(2)当直线AB,AD的斜率为0或不存在时，均不满足题意．
y=x-4 x=2 x=8
由 y2=2x 得 y=-2 或 y=4 (舍去)，故A2,-2 ．
方法一：当直线AB,AD的斜率存在且不为0时，设直线AB:x-2=ty+2 ．
x-2=ty+2 联立 y2=2x 得y2-2ty-4t-4=0，所以y A +y B =2t．
所以B2t2+4t+2,2t+2
2 4 2
．同理得D - +2,- +2
t2 t t
．
由BD的中点在直线y=x-4上，
1 2 4
得 2t2+4t+2+ - +2
2 t2 t
1 2
-4= 2t+2- +2
2 t
，
1 1
即t2+ +t-
t2 t
-4=0．
1
令t- =p，则p2+p-2=0，解得p=-2或p=1．
t
2
2t+2-- +2
t
当p=1时，直线BD的斜率k =
BD
2 4
2t2+4t+2- - +2
t2 t
1 1
= = ；
1 3
t- +2
t
当p=-2时，直线BD的斜率不存在．
1
所以直线BD的斜率为 ．
3
方法二：设Bx 1 ,y 1 ,Dx 2 ,y 2 ，线段BD的中点Ma,a-4 ，
则x 1 +x 2 =2a,y 1 +y 2 =2a-4 ．
y +2 y +2 y +2 y +2
由AB⊥AD，得 1 ⋅ 2 =-1，即 1 ⋅ 2 =-1．
x -2 x -2 y2 y2
1 2 1 -2 2 -2
2 2
所以y 1 y 2 -2y 1 +y 2 +8=0．
1
又y 1 y 2 = 2 y 1 +y 2 2-y2+y2 1 2
1
= 4a-4 2 2-2x 1 +x 2
1
= 4a-4
2
2-4a =2a2-18a+32，
故y 1 y 2 -2y 1 +y 2 +8=0可转化为2a2-18a+32-4a-4 +8=0，
即a2-11a+28=0．解得a=7或a=4．
y -y y -y 2 1
所以直线BD的斜率k = 2 1 = 2 1 = = ．
BD x -x y2 y2 y +y a-4
2 1 2 - 1 2 1
2 2
1
当a=4时，斜率不存在；当a=7时，斜率k = ．
BD 3
·213·1
所以直线BD的斜率为 ．
3
【点睛】关键点点睛：垂直关系的转化，包括了菱形的几何性质、矩形的几何性质，菱形的对角线相互垂
直，矩形的邻边相互垂直，利用垂直关系转化已知条件，列出等量关系式，从而对问题进行求解.
19（. 17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链
cec x +e - c x
线”方程y=
ex+e-x
，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数coshx= ，类似地我们可以
2 2
ex-e-x
定义双曲正弦函数sinhx= .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
2
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x= .(只写出即可，
不要求证明)；
(2)∀x∈[-1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0恒成立，求实数m的取值范围；
π 3π
(3)若x∈ ,
4 2
，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.
答案 (1)2sinhx coshx ；
(2)m≥-1；
(3)cosh(sinx)>sinh(cosx).
【分析】(1)利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.
(2)根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.
(3)作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
解析 (1)sinh2x
e2x-e-2x (ex-e-x)(ex+e-x)
= = =2sinhx
2 2
coshx .
e2x+e-2x ex+e-x
(2)依题意，∀x∈[-1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0⇔ +m⋅ ≥0，
2 2
1
函数u=ex在[-1,1]上单调递增，u∈[e-1,e]，令t=ex+e-x=u+ ，
u
1
显然函数t=u+ 在[e-1,1]上单调递减，在[1,e]上单调递增，t∈[2,e-1+e]，
u
t2-2 mt
又e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2=t2-2，于是∀x∈[-1,1]，cosh2x+mcoshx≥0⇔ + ≥0，
2 2
2 2
因此∀t∈[2,e-1+e]，m≥ -t，显然函数y= -t在[2,e-1+e]上单调递减，
t t
当t=2时，y =-1，从而m≥-1，
max
所以实数m的取值范围是m≥-1.
π 3π
(3)∀x∈ ,
4 2
，cosh(sinx)>sinh(cosx).
π 3π
依题意，x∈ ,
4 2
esinx+e-sinx ecosx-e-cosx
，cosh(sinx)-sinh(cosx)= -
2 2
1
= (esinx-ecosx+e-sinx+e-cosx)，
2
·214·π 5π
当x∈ ,
4 4
π π
时，x- ∈[0,π]，sinx-cosx= 2sinx-
4 4
≥0，即sinx≥cosx，
于是esinx-ecosx≥0，而e-sinx+e-cosx>0，因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0，
5π 3π
当x∈ ,
4 2
时，cosx≤0，则-cosx≥cosx，ecosx≤e-cosx，
即ecosx-e-cosx≤0，而esinx+e-sinx>0，因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0，
π 3π
于是∀x∈ ,
4 2
，cosh(sinx)-sinh(cosx)>0，所以cosh(sinx)>sinh(cosx).
【点睛】结论点睛：函数y=fx 的定义区间为D，①若∀x∈D，总有mf(x)成立，则m>f(x) ；③若∃x∈D，使得mf(x)成立，则m>f(x) .
min
·215·湖南省名校教育联盟 2024 届高三下学期入学摸底考试
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1
1.设复数z满足 =-i，则z
1-z
= ( )
1 2
A. B. C.1 D. 2
2 2
答案 D
【分析】根据题意，得到z=1-i，结合复数模的计算公式，即可求解.
1
解析 由复数 =-i，解得z=1-i，所以|z
1-z
= 2.
故选：D．
2.已知集合A= x log x≥1 1
2
，B= y 1 y= 2 x ,x≥2 ，则A∩B= ( )
1
A. 0,
4
1
B. 0,
2
1 1
C. ,
4 2
1
D. ,+∞
2
答案 A
【分析】由题意解对数不等式结合指数函数值域、交集的概念即可得解.
1 1
解析 由log x≥1，得00，所以a =1，
7 5
因为q∈(0,1)，所以T 有最大值T=T；
n 5 4
T≥T a ≤1
若T n 有最大值T 5 ，则 T 5 ≥T 6，因为T n >0，所以 1 6 ≤a ，所以不一定有a 5 =1.
5 4 5
故选：A．
π
6.若cos -α
6
1 π
= ，则sin2α+
3 6
= ( )
·217·4 2 4 2 7 7
A. B.- C. D.-
9 9 9 9
答案 D
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.
π
解析 因为cos -α
6
1
= ，
3
π 则sin2α+
6
π =cos -2α
3
π =cos2 -α
6
π =2cos2 -α
6
1 -1=2×
3
2 7 -1=- .
9
故选：D．
7.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线与C交于A,B两点，若D为C的准线上一点，且|AF|=
|AD|=3，则△ABD的面积为 ( )
15 15 9 2
A. B. C. D.9 2
4 2 2
答案 C
【分析】根据抛物线的定义，得到直线AD与抛物线的准线垂直，再由AF =3，得到点A，D的坐标，再由
1
A，F，B三点共线得到点B的坐标，再由S = |AD||x -x |求解．
△ABD 2 A B
解析 解：如图所示：
不妨设点Ax A ,y A 在第一象限，
由题设及抛物线定义知，直线AD与抛物线的准线垂直．
因为AF =3，
所以y A +1=3,x A =2 2，即A2 2,2 ,D2 2,-1 ，
又焦点F(1，0)，
1
由A，F，B三点共线可得x =- 2，B- 2,
B 2
，
1 1 9 2
故S = |AD||x -x |= ×3×3 2= ．
△ABD 2 A B 2 2
故选：C．
f(x )-f(x )
8.已知函数f(x)=xlnx-x，若∀x >0,x >0，且x ≠x ，恒有 1 2 <1，则正实数t的取值范围为
1 2 1 2 etx1-etx2
( )
1
A.[e,+∞) B. ,+∞
e
C. 0,e
1
D. 0,
e
答案 B
【分析】设0f(x 2 )-etx2恒成立，构造函数gx =fx -etx，通过其
lnx
单调性将问题转化为t≥ 成立，继续构造函数求最值即可.
x
解析 不妨设00，则tx etx1-etx2，即f(x )-etx1>f(x )-etx2恒成立，
1 2 1 2
故gx =fx -etx单调递减，则g x =lnx-tetx≤0恒成立，
即xlnx≤txetx=etxlnetx．当x∈0,1
时，xlnx≤00，故hx 单调递增，
由hetx ≥hx
lnx
得etx≥x恒成立，即t≥ 成立．
x
设Hx
lnx
= ，H x
x
1-lnx
= ，
x2
则x∈0,e 时，H x >0，当x∈e,+∞ 时，H x <0，
即Hx 在0,e 单调递增，在e,+∞ 单调递减，
Hx ≤he
1 1
= ，所以t≥ .
e e
故选：B．
【点睛】关键点点睛：通过tx=lnetx将不等式转化为xlnx≤etxlnetx，进而可以构造函数来解决问题，常见的
变形有x=lnex,x=elnx.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 ( )
A. B. C. D.
答案 ACD
【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案.
解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得C；
当截面过正方体的体对角线时可得D；
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A；
但无论如何都不能截得B．
故选：ACD
10.如图，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且AB
3
= ，过点A任作一条直线与
2
圆O:x2+y2=1相交于M，N两点，则 ( )
A.圆C的方程为x-1 5 2+y-
4
2 25 =
16
B.圆C与圆O的相交弦所在直线方程为4x+5y+4=0
|MA| |NB| 5
C. + =
|MB| |NA| 2
|MA| |NB| 3
D. - =
|MB| |NA| 2
·219·答案 AC
【分析】根据点在圆上待定系数法求解判断A选项,根据两圆作差判断B选项,应用两点间距离公式计算
判断C,D选项.
解析 由圆C与x轴相切于点T(1，0)，可设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=b2，
3 所以b2=12+
4
2 5 =
4
2 ，所以圆C的方程为(x-1)2+y- 5
4
2 25 = ，故A正确；
16
圆C与圆O的方程相减得4x+5y-4=0，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；
设Px,y
1 x2+ y-
|PA| 2
为圆O上任意一点，则 =
|PB|
2 5 -y
4 1
= = ，
x2+(y-2)2 5-4y 2
|MA| |NA| 1 |MA| |NB| 3 |NB| |MA| 5
所以 = = ，所以 - =- ， + = ，
|MB| |NB| 2 |MB| |NA| 2 |NA| |MB| 2
故C正确，D错误，
故选:AC．
π π
11.已知函数f(x)=cos(ωx-φ)(ω>0)在 - ,
3 6
π
上单调，且f
6
4π
=f
3
π
=-f-
3
，则ω的取值可
能为 ( )
3 7 9 12
A. B. C. D.
5 5 5 7
答案 ACD
【分析】根据fx 的单调性、对称性求得T的范围以及fx
π
的一个零点，根据f
6
4π
=f
3
以及图象
进行分类讨论，由此求得ω的可能取值.
解析 因为fx
π π
在 - ,
3 6
π
上单调，f
6
π
=-f-
3
，
T π π
所以 ≥ --
2 6 3
π
= ⇒T≥π，
2
π π
- +
3 6 π π
因为 =- ，所以f-
2 12 12
π
=0，又f
6
4π
=f
3
，
4π
如下图依次讨论x= 对应为点C,A,D,E四种情况，
3
4π π
若 --
3 3
T π 3
= = ，则ω= ，满足T≥π；
2 ω 5
4π π 2π 12
若 - =T= ，则ω= ，满足T≥π；
3 6 ω 7
4π π
+
3 6 3π 3π π
由 = ，若 --
2 4 4 12
3 3π 9
= T= ，则ω= ，满足T≥π；
4 2ω 5
4π π 4π 24
若 - =2T= ，则ω= ，不满足T≥π，其它情况均不符合.
3 6 ω 7
故选：ACD
【点睛】方法点睛：三角函数fx =Asinωx+φ 或gx =Acosωx+φ ，如果函数在某个区间上单调，
则这个区间的长度不大于半周期.形如fx 1 =fx 2 的条件，可以考虑对称性或周期性.形如fx 1 =
-fx 2 的条件，可以考虑对称性(零点).
·220·第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第
4名，则这4个人名次排列的可能情况共有 种．
答案 14
【分析】先分类，考虑乙是第1名和不是第1名两种情况讨论，再由特殊元素优先分步计数.
解析 直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有A3=6种排法；
3
当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有A1⋅A1⋅A2=8种排法，
2 2 2
所以这4个人名次排列共有14种．
间接法：这4个人名次排列的可能情况共有A4-2A3+A2=14种．
4 3 2
故答案为：14
13.若数列a n
a
满足a =8，a = a +n，则 n 的最小值是 ． 1 n+1 n n
7
答案 /3.5
2
a
【分析】利用累加法求得a ，利用基本不等式求得 n 的最小值.
n n
解析 由已知a -a =1，a -a =2，⋯，a -a =n-1，n≥2，
2 1 3 2 n n-1
所以a =a +(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a )
n 1 2 1 3 2 n n-1
n2-n+16
=8+1+2+⋯+(n-1)= ,n≥2，
2
a n2-n+16 n 8 1 7
又a =8也满足上式，所以 n = = + - ≥ ，当且仅当n=4时取等号，
1 n 2n 2 n 2 2
a 7
所以 n 的最小值是 ．
n 2
7
故答案为：
2
x2 y2
14.已知△ABC的三个顶点都在椭圆Γ: + =1(a>b>0)上，其中A，B分别为Γ的左顶点和上顶点，
a2 b2
若以B为顶角的等腰△ABC恰好有3个，则直线AB的斜率的取值范围为 ．
3
答案 0,
3
【分析】根据已知条件，△ABC的第三个顶点C在以B为圆心，以AB= a2+b2为半径的圆上,结合题意
x2 y2 c2
将问题转化为椭圆 + =1与圆x2(y-b)2=a2+b2有四个公共点，联立方程可得- y2=2by，结合
a2 b2 b2
2b3 b 3
已知条件确定y=- >-b，进而求得0< < 取值范围为即可.
c2 a 3
·221·解析
由题意知△ABC的第三个顶点C在以B为圆心，以AB= a2+b2为半径的圆上，
要使以B为顶角的等腰△ABC恰好有3个，
x2 y2
则需要满足椭圆 + =1与圆x2(y-b)2=a2+b2有四个公共点；
a2 b2
x2 y2
+ =1
由 a2 b2
x2+y-b
c2 2b3
，得- y2=2by，所以y=0或y=- ；
b2 c2
2=a2+b2
当y=0时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当C位于右顶点处满足条件；
2b3 2b3
当y=- 时，要满足椭圆与圆有两个不同交点C ,C ，需要y=- >-b，
c2 2 3 c2
b 3
即2b23b2，且a>0，b>0，解得0< < ，
a 3
因为A-a,0 ，B0,b
b-0
，所以k = AB 0--a
b
= ， a
3
所以直线AB的斜率的取值范围为0,
3
．
3
故答案为：0,
3
x2 y2
【点睛】关键点点睛：根据已知条件，将问题转化为求椭圆 + =1与圆x2(y-b)2=a2+b2有四个公共
a2 b2
点去解决.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C
15（. 13分）在△ABC中，已知3tan =2sin(A+B)．
2
(1)求角C的大小；
(2)若AB=3AD，CD=2AD，试判断△ABC的形状并说明理由．
π
答案 (1)C=
3
(2)直角三角形，理由见解析
C 3
【分析】(1)已知等式，由同角三角函数的商数关系和诱导公式倍角公式化简得cos = ，可求角C的
2 2
大小；
π
(2)设∠ACD=θ0<θ<
3
π π
，则B=∠BCD= -θ，A= +θ，△ACD中，由正弦定理得sinA=
3 3
π
2sinθ，由sin +θ
3
3 1 3
= cosθ+ sinθ=2sinθ，化简得tanθ= ，
2 2 3
π π
得θ= ，A= ．
6 2
·222·C
3sin
C 2 C C
解析 (1)因为3tan =2sin(A+B)，所以 =2sin(π-C)=2sinC=4sin cos ，
2 C 2 2
cos
2
C π C C
由00，
2 2 2 2
C 3 C π π
所以cos = ，得 = ，故C= ．
2 2 2 6 3
(2)由AB=3AD,CD=2AD，可知CD=BD=2AD．
π
设∠ACD=θ0<θ<
3
π π
，则B=∠BCD= -θ，A= +θ．
3 3
在△ACD中，CD=2AD，由正弦定理得sinA=2sinθ，
π
即sin +θ
3
3 1 3
= cosθ+ sinθ=2sinθ，化简得 3cosθ=3sinθ，即tanθ= ，
2 2 3
π π π
因为0<θ< ，所以θ= ，所以sinA=1，A= ．
3 6 2
故△ABC是直角三角形．
16（. 15分）如图，三棱柱ABC-A B C 中，侧面AA B B是边长为2的正方形，D，E分别为AB，BB 的中点，
1 1 1 1 1 1
若AE⊥A C，平面ABC⊥平面AA B B．
1 1 1
(1)求证：CD⊥平面AA B B；
1 1
(2)若三棱柱ABC-A B C 的体积为4，求直线AE与平面A BC所成角的正弦值．
1 1 1 1
答案 (1)证明见解析
2 5
(2) ．
5
【分析】(1)根据面面空间垂直性质定理及线面垂直判定定理证明即可；
(2)空间向量法求解线面角即可.
解析 (1)因为D，E分别为AB，BB 的中点，AA B B是正方形，所以AE⊥A D，
1 1 1 1
因为AE⊥A C，A D∩A C=A ，A D⊂平面A CD,A C⊂平面A CD,所以AE⊥平面A CD，故AE⊥
1 1 1 1 1 1 1 1 1
CD．
因为平面ABC⊥平面AA B B，平面ABC∩平面AA B B=AB，且AA ⊥AB,AA ⊂平面AA B B，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以AA ⊥平面ABC，CD⊂平面ABC,故AA ⊥CD．
1 1
因为AA ∩AE=A，AA ⊂平面AA B B，AE⊂平面AA B B,所以CD⊥平面AA B B．
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)由三棱柱ABC-A B C 中的体积为4可得CD=2．
1 1 1
以DA所在直线为x轴，过D作AB的垂线为y轴，DC所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
·223·则A(1，0，0)，B(-1，0，0)，C(0，0，2)，A 11,2,0 ，E(-1，1，0)，
AE=-2,1,0
,BA 1 =2,2,0
,BC=1,0,2 ．
设平面A 1 BC的法向量为m=x,y,z ，
由 m ⋅B A 1 =0 得 2x+2y=0, 取m =2,-2,-1
m⋅BC=0 x+2z=0.
．
m⋅AE
设直线AE与平面A BC所成角为θ，则sinθ= 1
m⋅
AE
2 5
= ． 5
2 5
故直线AE平面A BC所成角的正弦值为 ．
1 5
17（. 15分）某电视台综艺节目邀请甲、乙两位好友参加了“心有灵犀、竟猜谜语”活动：即从5个谜语中随机
抽取3个，让甲负责比划，乙负责猜谜语．已知甲会比划其中3个谜语，这3个谜语乙猜对的概率都为
2
，另外2个不会比划的谜语乙无法猜对．
3
(1)求甲、乙配合猜对1个谜语的概率；
(2)设甲、乙配合猜对谜语个数为X，求X的分布列和数学期望．
22
答案 (1)
45
6
(2)分布列见解析，
5
【分析】(1)根据抽中甲会比划的谜语的个数进行分类讨论，根据概率计算公式求得正确答案.
(2)X的可能取值为0,1,2,3，由此根据概率计算公式求得分布列，并求得数学期望.
解析 (1)设“抽中甲会比划的谜语的个数为ii=1,2,3 ”为事件A， i
“乙猜对的谜语的个数为jj=0,1,2,3 ”为事件B ， j
“甲乙配合猜对1个谜语”为事件C．
甲乙配合猜对1个谜语，则PC =PA 3 B 1 +PA 2 B 1 +PA 1 B 1
C3C0 2 1 = 3 2 ⋅C1× ×
C3 3 3 3
5
2 + C 3 2C 2 1 ⋅C1× 2 × 1 + C 3 1C 2 2 × 2 = 22 ，
C3 2 3 3 C3 3 45
5 5
22
所以甲乙配合对1个谜语的概率为 ．
45
(2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
C3C0 1 P(X=0)=P(A B )+P(A B )+P(A B )= 3 2 ×
3 0 2 0 1 0 C3 3
5
3 + C 3 2C 2 1 × 1
C3 3
5
2 + C 3 1C 2 2 × 1 = 23 ，
C3 3 135
5
22
P(X=1)=P(C)=P(A B )+P(A B )+P(A B )= ，
3 1 2 1 1 1 45
C3C0 2 P(X=2)=P(A B )+P(A B )= 3 2 ⋅C2×
3 2 2 2 C3 3 3
5
2 × 1 + C 3 2C 2 1 × 2
3 C3 3
5
2 14 = ，
45
C3C0 2 P(X=3)=P(A B )= 3 2 ×
3 3 C3 3
5
3 4 = ．
135
·224·所以X的分布列为
X 0 1 2 3
23 22 14 4
P
135 45 45 135
数学期望EX
23 22 14 4 6
= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= ．
135 45 45 135 5
18（. 17分）设动点Mx,y 与定点F 2 2,0
2
的距离和它到定直线l:x= 的距离之比等于 2，记点M的轨
2
迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设F(- 2,0)过点F 的直线与C的右支相交于A，B两点，I是△FAB内一点，且满足|FB|⋅IA+
1 2 1 1
|BA|⋅IF +|AF|⋅IB=0，试判断点I是否在直线l上，并说明理由．
1 1
答案 (1)x2-y2=1
(2)点I在直线l上，理由见解析
x- 2
【分析】(1)根据题意，列出方程
2+y2
2
x-
2
= 2，化简即可得到曲线C的方程；
(2)由F 1 B x 1 -x,y 1 -y +BA - 2-x,-y +AF 1 x 2 -x,y 2 -y =0,0 ，求得x=
F 1 B x 1 +F 1 A x 2 - 2AB
F 1 B +AB +AF 1
，分AB⊥x和AB与x轴不垂直，两种情况讨论，设直线AB:y=kx- 2 ，联立
方程组求得F 1 A
2
=1+ 2x ，进而求得x= ，即可求解. 1 2
解析 (1)由动点M(x,y)与定点F 2 2,0
2
的距离和它到定直线l:x= 的距离之比等于 2，
2
x- 2
可得
2+y2
2
x-
2
= 2，化简得x2-y2=1，
故所求曲线C的方程为x2-y2=1．
(2)点I在直线l上．
因为F 1- 2,0 ，设点I,A,B的坐标分别是x,y ,x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 ，
由题设得F 1 B x 1 -x,y 1 -y +BA - 2-x,-y +AF 1 x 2 -x,y 2 -y =0,0 ，
解得x= F 1 B x 1 +F 1 A x 2 - 2AB
F 1 B +AB +AF 1
，
当AB⊥x轴时，x 1 =x 2 = 2，F 1 B =F 1 A =3,AB =2，
6 2-2 2 2
代入有x= = ，所以点I在直线l上，
8 2
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=kx- 2 ，
因为曲线C的渐近线的斜率为±1，且直线AB与曲线C的右支相交于两点，所以k >1，
y=kx- 2 联立方程组
x2-y2=1
，整理得1-k2 x2+2 2k2x-2k2+1 =0，
-2 2k2 -2k2-1
此时Δ>0，可得x +x = ,x x = ，
1 2 1-k2 1 2 1-k2
则F 1 A = x 1 + 2 2+y2 1 = x 1 + 2 2+x2-1=1+ 2x ， 1 1
同理F 1 B =1+ 2x 2 ,AB =-1+ 2x 1 +-1+ 2x 2 =-2+ 2x 1 +x 2 ．
·225·于是F 1 B +AB +AF 1 =2 2x 1 +x 2
-2 2k2 8k2
=2 2⋅ = ， 1-k2 k2-1
F 1 B x 1 +F 1 A x 2 - 2AB =1+ 2x 2 x 1 +1+ 2x 1 x 2 - 2 -2+ 2x 1 +x 2
=x 1 +x 2 +2 2x 1 x 2 +2 2-2x 1 +x 2 =2 2x 1 x 2 -x 1 +x 2 +2 2
-2k2+1
=2 2⋅
2 2k2 2k2+1 -k2
+ +2 2=2 2 + +1
1-k2 1-k2 k2-1 k2-1
4 2k2
= ，
k2-1
4 2k2
k2-1 2
所以x= = ，所以点I在直线l上．
8k2 2
k2-1
.
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中
核心变量(通常为变量k)；②利用条件找到k过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系，得到关于k与x,y的
等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
19（. 17分）已知函数f(x)=x2-1-axlnx,a∈R．
(1)若fx 是单调递增函数，求a的取值范围；
(2)若fx
7
存在三个零点x ,x ,x ，且x +x +x < ，求a的取值范围． 1 2 3 1 2 3 2
答案 (1)0,2
3
(2)2,
2ln2
．
【分析】(1)依题意f x ≥0,x∈0,+∞ 恒成立，分a<0、a=0、a>0三种情况讨论，当a>0时求出f
x min ，由f x ≥0求出参数的取值范围； min
(2)由f1 =0可得1为函数fx 的一个零点，若tt≠1 是函数fx
1
的零点，推出 也是函数fx
t
的
a
零点，结合(1)可得a>2，从而得到存在x ∈ ,4a2 0 2 ，使得f x 0 =0，即可得到fx 的单调性，结合零
点存在性定理得到fx 在x 0 ,+∞ 上存在唯一零点，即可得到fx 有三个零点，不妨设x 0且x→0，f x →-∞，不符合题意；
若a=0，则f x =2x>0，满足题意；
若a>0，令mx =f x =2x-alnx+1 ,x∈0,+∞ ，则m x
a
=2- ，令m x
x
a
=0，得x= ．
2
a
当x∈0,
2
时m x <0，则mx 即f x
a
单调递减，x∈ ,+∞
2
时m x >0，
则mx 即f x 单调递增，
·226·故f x
a
的最小值为f
2
a
=-aln ．
2
a
由题设知f
2
a
=-aln ≥0，即00，fx 单调递增，
因此fx >f1 =0，即fx 在1,+∞ 上不存在零点，
此时fx 也只有一个零点1，不符合题意；
令hx =lnx-x+1，则h x
1 1-x
= -1= ，所以当00，当x>1时h x <0，
所以hx 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，
所以hx max =h1 =0，即lnx-x+1≤0恒成立，当且仅当x=1时取等号，
即lnx≤x-1恒成立，当且仅当x=1时取等号，
a
当a>2时，由(1)可知x∈0,
2
时，f x
a
单调递减，x∈ ,+∞
2
时，f x 单调递增，
a
且f
2
a
=-aln <0，f 1
2
=2-a<0，
f 4a2 =8a2-a1+ln4a2 =a8a-1-2ln2a >a8a-1-2(2a-1 =a4a+1 >0，
a
因此存在x ∈ ,4a2 0 2 ，使得f x 0 =0，
当x∈1,x 0 时f x <0，fx 单调递减，当x∈x 0 ,+∞ 时f x 0 >0，fx 单调递增，因此fx 0 <
f1 =0，
f4a2 =16a4-1-4a3ln4a2=16a4-1-8a3ln2a>16a4-1-8a3 2a-1 =8a3-1>0，
因此，fx 在x 0 ,+∞ 上存在唯一零点，此时fx 有三个零点x ,x ,x ， 1 2 3
设x 1 ，则A∩B= ( )
A. 0 B. -1 C. -1,0,1 D. -1,0,1,2
答案 B
【分析】解不等式得到B=-∞,0 ∪2,+∞ ，利用交集的概念求出答案.
解析 x-1 >1，解得x-1>1或x-1<-1，解得x>2或x<0，
故B=-∞,0 ∪2,+∞ ，
又A=-1,0,1,2 ，故A∩B=-1 .
故选：B
2.3+2i 2-2i = ( )
A.-10+2i B.-10-2i C.10+2i D.10-2i
答案 D
【分析】根据复数的运算求解即可.
解析 3+2i 2-2i =6-6i+4i-4i2=10-2i.
故选：D
3.已知f2x =x，则f3 = ( )
A.8 B.9 C.log 3 D.log 2
2 3
答案 C
【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案.
解析 令2x=3，可得x=log 2 3，则f3 =log 3. 2
故选：C
4.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是 ( )
农村居民消费水平 × 农村人口数+城镇居民消费水平 × 城镇人口数
(居民消费水平： )
农村人口数+城镇人口数
·228·A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元
D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
答案 D
【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利用百分位数的概念
y 12188
进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为x，城镇人口数为y，则可列出方程，得到 = >
x 6571
3
，故D正确.
2
解析 A选项，2019年的居民消费水平为27504元，2020年的居民消费水平为27439元，
2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；
B选项，2019年的城镇居民消费水平为34900元，2020年的城镇居民消费水平为34043元，
2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；
C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为25245,27439,27504,31013,31718，
由于5×60%=3，
故2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为从小到大第3个和第4个数据的平均数，
27504+31013
即 =29258.5元，C错误.
2
19530x+38289y
D选项，设2022年我国农村人口数为x，城镇人口数为y，则31718= ，
x+y
y 12188 3
化简得 = > ，
x 6571 2
所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.
故选：D
π
5.已知sinα-
4
π
+cosα-
4
π
=sinα，则tanα-
4
= ( )
2
A.0 B.1 C.-1 D.
2
答案 C
π
【分析】根据辅助角公式得到sinα-
4
π
+cosα-
4
= 2sinα，从而得到 2sinα=sinα，求出sinα=
0，故α=kπ,k∈Z，结合诱导公式求出答案.
π
解析 因为sinα-
4
π
+cosα-
4
π π
= 2sinα- +
4 4
= 2sinα，
所以 2sinα=sinα，则sinα=0，即α=kπ,k∈Z，
π
所以tanα-
4
π
=tankπ-
4
=-1.
故选：C
6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的
侧面，在它的轴截面 ABCD中 ，AB= AD=10cm，CD=15cm，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为
( )
·229·π π π π
A. B. C. D.
3 2 4 6
答案 B
【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为α，小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r
+10，再根据弧长公式即可得解.
解析 由题意图1中小扇形的弧长为10π，大扇形的弧长为15π，
设扇形的圆心角为α，小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r+10，
αr=10π 所以
αr+10
r=20
，解得 π ，
=15π α=
2
π
所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为 .
2
故选：B.
7.过原点O的直线l:y=kx与圆M:x2-6x+y2-6y+16=0交于A,B两点，且OA =AB ，则k= ( )
1
A.1 B.2 C. D. 2
2
答案 A
【分析】设圆心M到直线l:y=kx的距离为d，且AB的中点为C，根据题意得到OC =3AC ，结合圆的性
质和弦长公式，列出方程，求得d=0，利用斜率公式，即可求解.
解析 由圆M:x2-6x+y2-6y+16=0，即圆(x-3)2+(y-3)2=2，圆心为M3,3 ，
设圆心M到直线l:y=kx的距离为d，且AB的中点为C，
因为OA =AB ，所以OC =3AC ，
又因为OM = 32+32=3 2，所以OC = |OM|2-d2= 18-d2，
因为AC = 2-d2，所以 18-d2=3 2-d2，解得d=0，
所以直线l经过圆心M3,3
3-0
，所以k= =1.
3-0
故选：A.
8.已知函数 f x =sinωx+φ (ω>0)，若任意φ∈ R,f x
π
在 0,
2
上有零点，则ω的取值范围为
( )
·230·A. 0,+∞ B. 1,+∞ C. 2,+∞ D. 3,+∞
答案 C
πω
【分析】令t=ωx+φ，转化为sint=0在φ, +φ
2
上有解，结合三角函数的性质，即可求解.
π
解析 由x∈0,
2
πω
，可得ωx+φ∈φ, +φ
2
，
令t=ωx+φ，因为任意φ∈R,fx
π
在0,
2
上有零点，
πω
则sint=0在φ, +φ
2
上有解，
又因为sint=0在a,b 内有解的最短区间长度为b-a=π，
πω
所以 +φ-φ>π，解得ω>2.
2
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
x2 y2
9.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F,F,O为坐标原点，直线y=b与双曲线C
a2 b2 1 2
的渐近线交于点A,B(A在第二象限，B在第一象限)，下列结论正确的是 ( )
A. BF⊥BF
1 2
B. BF∥AO
2
C.若△OAB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为4
D.若△OAB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为8
答案 AC
【分析】根据OB =c=OF 1 =OF 2 即可判断A,根据两直线的斜率即可判断B，根据面积关系，结合不
等式即可求解CD.
b
解析 由于双曲线的渐近线方程为y=± x，所以Ba,b
a
，A-a,b ,
故OB =c=OF 1 =OF 2 ，点B在以O为圆心，OF 1 为半径的圆上，所以BF⊥BF，A正确. 1 2
F 2c,0
b b
，直线BF 的斜率为- ，直线AO的斜率为- , 2 c-a a
b b
由于- 与- 不一定相等，所以直线BF 与直线AO不一定平行，B错误.
c-a a 2
1
△OAB的面积为 ⋅2a⋅b=ab=2，双曲线C的焦距为
2
2c=2 a2+b2≥2 2ab=2 4=4，当且仅当a=b= 2时，等号成立，
所以双曲线C的焦距的最小值为4,C正确，D错误.
故选：AC
·231·10.
如图，三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,⋯排列而成，按照此规律，下列结论正确的是 ( )
A.数阵中前7行所有数的和为1190 B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137 D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
答案 ACD
【分析】设等差数列2,5,8,11,14,⋯的通项公式为b =3n-1，根据等差数列求和公式判断A，令b =101
n n
求出n，即可判断B，记每一行的第1个数组成数列a n ，则a n -a n-1 =3×n-1 ，利用累加法求出a n 的
通项，即可判断C、D.
解析 设等差数列2,5,8,11,14,⋯的通项公式为b =3n-1.
n
数阵中前7行共1+2+3+⋯+7=28个数，
28×27×3
所以数阵中前7行所有数的和为2×28+ =1190，故A正确.
2
令b =3n-1=101，解得n=34，前7行共28个数，第8行有8个数，
n
所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，故B错误.
记每一行的第1个数组成数列a n ，
则a 1 =2,a 2 -a 1 =3,a 3 -a 2 =6=3×2,a 4 -a 3 =9=3×3,⋯,a n -a n-1 =3×n-1 ，
累加得a n -a 1 =3×1+2+3+⋯+n-1
3nn-1
=
， 2
3n2-3n+4
所以a = ，则a =137，故C正确.
n 2 10
数阵中第10行从左至右的第4个数是137+4-1 ×3=146，故D正确.
故选：ACD
11.已知定义在R上的函数fx 满足fx × fx -fx-y =fxy ，当x∈-∞,0 ∪0,+∞ ，时，fx
≠0.下列结论正确的是 ( )
1
A. f
2
1
= B. f10
2
=1 C. fx 是奇函数 D. fx 在R上单调递增
答案 ACD
【分析】利用赋值法得到fx =-f-x ，由此判断出fx 的奇偶性.利用赋值法求得f0 ,f1 ，进而求
得f10
1
,f 2 ，根据函数单调性的定义，计算fx 1 -fx 2 的符号来判断函数fx 的单调性.
解析 令x=y=0，可得f0 =0.
令x=y=1，可得 f1 2=f1 .因为当x>0时，fx ≠0，所以f1 =1.
令x=y，可得 fx 2=fx2 ≥0.
因为x2≥0，所以当x≥0时，fx ≥0.
又因为当x>0时，fx ≠0，所以当x>0时，fx >0.
令y=1，可得fx × fx -fx-1 =fx ，①
所以fx -fx-1 =1,fx+1 -fx =1，两式相加可得fx+1 -fx-1 =2.
令y=-1，可得fx × fx -fx+1 =f-x .②
①-②可得fx × fx+1 -fx-1 =fx -f-x ，
化简可得fx =-f-x ，所以fx 是奇函数，C正确.
由fx -fx-1 =1，可得：
·232·f2 =f1 +1=2,f3 =f2 +1=3,f4 =f3 +1=4,⋯,f10 =10，B错误.
fx+1 由 -fx =1 fx =-f-x
1
f
可得 2
1
-f-
2
=1
1 f
2
1 =-f-
2
1 解得f 2 1 = ，A正确. 2
令x=x 1 ,y=x 1 -x 2 ，可得fx 1 -fx 2 = f x 1x 1 -x 2 fx 1 .
令00,x 1x 1 -x 2 >0.
因为当x>0时，fx >0，所以fx 1 >0,f x 1x 1 -x 2 >0，
所以fx 1 -fx 2 = f x 1x 1 -x 2 fx 1 >0，即fx 1 >fx 2 ，
所以fx 在0,+∞ 上单调递增.
因为fx 为奇函数，所以fx 在R上单调递增，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取
两个数x 1 ,x 2 ，且x 1 0，则fx 在给定区间内单调递减.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
p
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P ,a
4
在抛物线C上，且PF =3，则p= .
答案 4
【分析】根据弦长公式得到PF
p p
= + =3，计算得到答案.
4 2
p
解析 点P ,a
4
在抛物线C上，PF
p p
= + =3，解得p=4.
4 2
故答案为：4.
13.甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的
3
概率为 ，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为 ，本次比赛甲获胜
5
的概率为 .
12 81
答案 /0.48 /0.648
25 125
【分析】空1：根据独立事件的乘法公式求解本次比赛到第3局才分出胜负的概率；
空2：利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲获胜的概率即可.
3 2 2 3 12
解析 到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率为 × + × = .
5 5 5 5 25
3 3 9
若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为 × = ，
5 5 25
3 2 3 2 3 3 36
②前两局甲､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为 × × + × × = .
5 5 5 5 5 5 125
9 36 81
故甲获胜的概率为 + = .
25 125 125
12 81
故答案为： ，
25 125
14.如图，将正四棱柱ABCD-A B C D 斜立在平面α上，顶点C 在平面α内，AC ⊥平面α,AA =2AB=6.
1 1 1 1 1 1 1
点P在平面α内，且PC = 3.若将该正四棱柱绕AC 旋转，PC的最大值为 .
1 1
·233·答案 51
【分析】过点C作CE⊥AC ，垂足为E，连接AC，过点C作CC⊥平面α，垂足为C，当C,C ,P三点共线，
1 1
且CP=CC +C P时，PC取得最大值，进而可得出答案.
1 1
解析 过点C作CE⊥AC ，垂足为E，连接AC，
1
因为AC ⊥平面α，所以CE⎳平面α，
1
所以点C到平面α的距离为C E.AC=3 2,AC = AC2+CC2=3 6，
1 1 1
AC⋅CC
CE= 1 =2 3,C E= CC2-CE2=2 6，
AC 1 1
1
过点C作CC⊥平面α，垂足为C，
当C,C ,P三点共线，且CP=CC +C P时，PC取得最大值，
1 1 1
最大值为 C 1 E2+CC 1 +C 1 P 2= C 1 E2+CE+C 1 P 2= 51.
故答案为： 51.
【点睛】关键点点睛：过点C作CC⊥平面α，垂足为C，由C,C ,P三点共线，且CP=CC +C P时，PC
1 1 1
取得最大值，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知正项等比数列a n 满足a +a =6,a a =a . 1 2 1 3 1
(1)求a n 的通项公式；
(2)记a n
M +m
的前n项中最大值为M n ，最小值为m n (规定：M 1 =m 1 =a 1 )，令b n = n 2 n，求数列b n 的前n
项和S .
n
答案 (1)a =2n
n
(2)S =2n+n-1
n
【分析】(1)设等比数列a n 的公比为q，根据题意，列出方程组，求得a 1 ,q的值，进而求得a n 的通项公
式；
(2)由数列a n
M +m
是递增数列，得到b = n n =2n-1+1，结合等比数列的求和公式，即可求解. n 2
解析 (1)解：设等比数列a n 的公比为q，其中q>0，
a +a q=6
因为a 1 +a 2 =6,a 1 a 3 =a 1 ，可得 a 1 ⋅a q 1 2=a q3 ，解得a 1 =q=2或q=-3(舍去)，
1 1 1
所以a n 的通项公式为a =2n. n
(2)解：由a n 的前n项中最大值为M ，最小值为m ， n n
·234·因为a n 是递增数列，所以M =2n,m =2， n n
M +m 2n+2 1-2n
可得b = n n = =2n-1+1，所以S = -n=2n+n-1.
n 2 2 n 1-2
16（. 15分）将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字
从左到右依次变大.
(1)求数字2填在第2个空格中的概率；
(2)记数字2填在第x个空格中的概率为Px ，求Px 的最大值.
1
答案 (1)
1617
49
(2)
3201
【分析】(1)由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率；
(2)由题意可得2≤x≤98，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可.
解析 (1)由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个，
C1 1
所有可能的情况有C3 种，故数字2填在第2个空格中的概率为 97 = .
99 C3 1617
99
(2)由题意可得2≤x≤98，且x∈N ，1填在第x个空格的前x-1格中1格，3填在第x个空格的后99
+
-x格中1格.
故Px = C x 1 -1 C 9 1 9-x = x-1
C3
99
99-x .
C3
99
当x=50时，Px
492 49
取得最大值，最大值为 =
C3 3201
99
17（. 15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥AC,BD⊥PC,PA=AB.
(1)证明：PA⊥平面ABCD.
(2)若PC=4PE,∠ABC=60°，求二面角A-BD-E的余弦值.
答案 (1)证明见解析
10
(2)
10
【分析】(1)由BD⊥AC且BD⊥PC，证得BD⊥平面PAC，得BD⊥PA，又PA⊥AC，可证得PA⊥平
面ABCD.
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
·235·解析 (1)证明：记AC∩BD=O，因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又BD⊥PC，PC,AC⊂平面PAC，AC∩PC=C，所以BD⊥平面PAC.
因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA.
又PA⊥AC，AC,BD⊂平面ABCD，且AC∩BD=O，所以PA⊥平面ABCD.
(2)以O为坐标原点，分别以OC,OD的方向为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=4，PA=AB，PC=4PE，∠ABC=60°，
则C2,0,0 ,B0,-2 3,0 ,D0,2 3,0 ,A-2,0,0 ,P-2,0,4 ,E-1,0,3 ，
BD=0,4 3,0
，BE=-1,2 3,3 ，
设平面BDE的一个法向量为m=x,y,z
m⋅BD=4 3y=0.
，则
m⋅BE=-x+2 3y+3z=0,
令x=3，有y=0,z=1，得m=3,0,1 .
平面ABD的一个法向量为n=0,0,1 .
cosn,m
n⋅m
=
n m
1 10
= = ，
10 10
10
易得二面角A-BD-E为锐角，故二面角A-BD-E的余弦值为 .
10
x2 y2
18（. 17分）已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为F1,0
a2 b2
1
，且离心率为
2
(1)求椭圆C的方程；
3 (2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，证明:圆x-
4
2 +y2= 25 恒与以弦AB为直径的圆相切.
16
x2 y2
答案 (1) + =1
4 3
(2)证明见解析
【分析】(1)结合题意，利用离心率及焦点等知识计算即可；
1
(2)设出直线l，借助韦达定理、弦长、距离等知识验证两圆的圆心距为两圆的半径差，即证明 AB
2
-
MN
5
= 成立即可.
4
c 1
解析 (1)由题意得椭圆C的半焦距c=1，且e= = ，所以a=2.
a 2
x2 y2
又因为b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)当直线l的斜率为0时，直线l的方程为x=0
此时AB为椭圆C的长轴，以弦AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，该圆的半径为2.
3 圆x-
4
2 +y2= 25 的半径为 5 ，两圆的圆心距为2- 5 = 3 .
16 4 4 4
·236·3 满足圆x-
4
2 +y2= 25 恒与以弦AB为直径的圆相切.
16
当直线l的斜率不为0时，
设直线l的方程为x=ty+1,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,AB的中点为Mx 0 ,y 0 ，
x=ty+1,
联立x2 y2 得3t2+4
+ =1,
4 3
y2+6ty-9=0，
6t 9
所以y +y =- ,y y =- ，
1 2 3t2+4 1 2 3t2+4
y +y 3t 4
y = 1 2 =- ,x =ty +1= .
0 2 3t2+4 0 0 3t2+4
AB = 1+t2 y 1 +y 2
12t2+1
2-4y y = 1 2
. 3t2+4
3 记圆x-
4
2 +y2= 25 的圆心为N 3 ,0
16 4
，
MN
4 3
= -
3t2+4 4
2 3t
+-
3t2+4
2 9t2+4
=
43t2+4
.
1
AB
2
-MN
6t2+1
=
9t2+4
-
3t2+4 43t2+4
53t2+4
=
43t2+4
5
= .
4
3 满足圆x-
4
2 +y2= 25 恒与以弦AB为直径的圆相切.
16
3 综上，圆x-
4
2 +y2= 25 恒与以弦AB为直径的圆相切.
16
1
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将两圆内切问题转化为 AB
2
-MN
5
= 是否成立,设出直
4
线，借助韦达定理、弦长等知识即可证明.
19（. 17分）已知函数fx = 2x-a.
(1)若曲线y=fx 在点 a,fa 处的切线过点4,2 ，求a的值；
(2)若fx ≤aex-1恒成立，求a的取值范围.
答案 (1)4
(2)1,+∞
【分析】(1)求得f x
1
= ，得到fa
2x-a
= a且f a
1
= ，求得切线方程，将点4,2
a
代入切线方
程，即可求解；
(2)转化为a2e2x-2≥2x-a，令gx =a2e2x-2-2x+a，求得g x =2a2e2x-2-1 ，令hx =a2e2x-2-1，求得
hx 是增函数，得到x=1-lna，再令ua
a
=1-lna- ，求得ua
2
是减函数，结合u1 >0,u2 <0，
得到存在a 0 ∈1,2
a
，使得1-lna> 2 ，再分a∈a 0 ,+∞ 和a∈0,a 0 ，两种情况讨论，得到g(x) = min
2lna+a-1，令va =2lna+a-1，所以va 是增函数，进而结合g(x) >0，即可求解. min
·237·解析 (1)解：由函数fx = 2x-a，可得f x
1
= ，
2x-a
则fa = a且f a
1
= ，
a
曲线y=fx 在点 a,fa
1
处的切线方程为y- a= x-a
a
.
因为该直线过点4,2
1
，所以2- a= 4-a
a
，解得a=4.
(2)解：因为fx
a
= 2x-a≤aex-1，所以a>0，且x> ，
2
两边平方可得a2e2x-2≥2x-a，
令函数gx
a
=a2e2x-2-2x+ax>
2
，可得g x =2a2e2x-2-1 ，
令函数hx =a2e2x-2-1，可得h x =2a2e2x-2>0，所以hx 是增函数，
令g x =2a2e2x-2-1 =0，可得x=1-lna，
a
下面比较1-lna与 的大小：
2
令函数ua
a
=1-lna- ，u a
2
a+2
=- <0，ua
2a
是减函数，
因为u1
1
= >0,u2
2
=-ln2<0，
所以存在a 0 ∈1,2 ，使得当a∈0,a 0 时，ua
a
>0，即1-lna> ， 2
若a∈a 0 ,+∞ ，可得ua
a
≤0，即1-lna≤ . 2
若a∈0,a 0
a
，当x∈ ,1-lna 2 时，hx <0，即g x <0；
当x∈1-lna,+∞ 时，hx >0，即g x >0，
所以gx
a
在 ,1-lna
2
上单调递减，在1-lna,+∞ 上单调递增，
且g(x) min =g1-lna =a2e-2lna-21-lna +a=2lna+a-1，
令函数va =2lna+a-1,v a
2
= +1>0，所以va
a
是增函数，
由题意可得g(x) min =2lna+a-1≥0，又因为v1 =0，所以1≤a0，符合题意.
综上可得，实数a的取值范围为1,+∞ .
·238·山东省齐鲁名校联盟 2024 届高三下学期开学质量检测
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A=x x-1<3 ,B=x5≤x≤12 ，则A∩B= ( )
A. 5,10 B. 1,12 C. 5,10 D. 1,12
答案 C
【分析】解不等式得到A=x1≤x<10 ，根据交集的概念求出答案.
解析 A=x x-1<3 =x1≤x<10 ，故A∩B=x5≤x<10 =5,10 .
故选：C
2.已知复数z=-1+i,z-az=-6+bia,b∈R ，则b= ( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-1
答案 B
【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.
解析 -1+i -a-1-i =-6+bi，故a-1+1+a i=-6+bi，
a-1=-6 a=-5
所以
，解得
.
1+a=b b=-4
故选：B
x2 y2
3.“311-m>0，解得7c>b B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a
答案 B
【分析】根据对数函数的单调性结合中间量法求解即可.
解析 因为a=log 7=log 49>log 36=b，
3 9 9
1
c=
2
-0.5 3 3
= 2< =log 92=log 27b>c.
故选：B.
π
6.已知θ∈ ,π
2
12 sin2θ-cos2θ
,tan2θ= ，则 = ( )
5 cos2θ+4sin2θ
16 1 1 16
A.- B.- C. D.
31 7 7 31
答案 A
π
【分析】由正切二倍角公式及θ∈ ,π
2
3
，求出tanθ=- ，结合二倍角公式和齐次化化弦为切，代入求值
2
即可.
2tanθ 12
解析 tan2θ= = ，
1-tan2θ 5
2 3
故10tanθ=12-12tan2θ，解得tanθ= 或tanθ=- ，
3 2
π
因为θ∈ ,π
2
3
，所以tanθ<0，故tanθ=- ，
2
sin2θ-cos2θ 2sinθcosθ-cos2θ 2sinθcosθ-cos2θ
= =
cos2θ+4sin2θ cos2θ-sin2θ+4sin2θ cos2θ+3sin2θ
3
2×-
2tanθ-1 2
= =
1+3tan2θ
-1
3
1+3×-
2
-4 16
= =- .
2 27 31
1+
4
故选：A
7.已知向量a,b,c满足a
=b
=2，a-b
=2，2a-c
= 3，则c-b 的最大值为 ( )
A. 3 B.2 3 C.3 3 D.4 3
答案 C
·240·【分析】利用向量运算的几何意义，数形结合求最大值.
解析 因为a
=b
=a-b =2，所以可以构造如图正△OAB：
使得：OA=a，OB=b，延长OA到D，使得OD=2a，
以D为圆心， 3为半径作圆，
因为2a-c
= 3，所以OC的终点C在这个圆上.
所以c-b=OC-OB=BC
所以BC ≤BD +DC ，
而BD = AD 2+AB 2-2AB ·AD cos120°=2 3，CD = 3.
所以c-b ≤3 3.
故选：C
8.已知函数f(x)=mx2-xlnx存在极小值点x ，且f(x )<-e3，则实数m的取值范围为 ( )
0 0
1
A. 0,
e2
2
B. 0,
e2
1
C. 0,
e3
2
D. 0,
e3
答案 D
【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出 f(x )
0
<-e3的解集，再利用导数求出m的范围.
解析 函数f(x)=mx2-xlnx的定义域为(0,+∞)，求导得f(x)=2mx-1-lnx，
当m≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(1)=2m-1<0，
f(e2m-1)=2me2m-1-1-(2m-1)=2m(e2m-1-1)>0，则存在x ∈(0,1)，使得f(x )=0，
1 1
当x∈(0,x )时，f(x)>0，f(x)递增，当x∈(x ,+∞)时，f(x)<0，f(x)递减，
1 1
函数f(x)在x=x 取得极大值，无极小值，不符合题意；
1
1
当m>0时，令g(x)=f(x)=2mx-1-lnx，求导得g(x)=2m- ，显然g(x)在(0,+∞)上单调递增，
x
1
当x∈0,
2m
1
时，g(x)<0，函数f(x)递减，当x∈ ,+∞
2m
时，g(x)>0，函数f(x)递增，
1
于是f(x) =f
min 2m
=ln2m，
1
当2m≥1，即m≥ 时，f(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)无极值，
2
1 1
当00，
e e e
1
存在x ∈0,
2 2m
，使得f(x )=0，当x∈(0,x )时，f(x)>0，函数f(x)递增，
2 2
·241·1
当x∈x ,
2 2m
时，f(x)<0，函数f(x)递减，函数f(x)在x=x 取得极大值，
2
1
又f
m2
2 2 1 2 2
= -1+2lnm，令h(x)= -1+2lnx,0h
2
1
=3-2ln2>0，则f
m2
>0，
1
存在x ∈ ,+∞
3 2m
1
，使得f(x )=0，当x∈ ,x
3 2m 3
时，f(x)<0，函数f(x)递减，
当x∈(x ,+∞)时，f(x)>0，函数f(x)递增，函数f(x)在x=x 取得极小值，因此x =x ，
3 3 3 0
1+lnx x -x lnx
由f(x )=0，得mx = 0，f(x )=mx2-x lnx = 0 0 0 <-e3，
0 0 2 0 0 0 0 2
即有x -x lnx +2e-3<0，令φ(x)=x-xlnx+2e3,x>1，求导得φ(x)=-lnx<0，
0 0 0
函数φ(x)在(1,+∞)上单调递减，而φ(e3)=0，即有φ(x )<φ(e3)，于是x >e3，
0 0
1+lnx 1+lnx -lnx
显然m= 0，令u(x)= ,x>e3，求导得u(x)= <0，即函数u(x)在(e3,+∞)上单调递
2x 2x 2x2
0
减
2 2 2 1 2
因此u(x)0,ω>0,- <φ<
2 2
的部分图象如图所示，则 ( )
·242·π
A.φ=
4
B. fx
kπ 3π
图象的对称中心为 + ,0
2 8
,k∈Z
C. fx
π
在 ,π
2
上的值域为-2 2,2
D.将fx
5π
的图象向左平移 个单位长度后得gx
8
=-2 2sin2x的图象
答案 BC
【分析】由函数的图象确定函数的解析式，逐一判断各选项的准确性.
解析 根据函数的图象，可设：fx
π
=2 2cos ωx-
8
，
由f0
ωπ 2 ωπ π
=2得：cos = ⇒ =2kπ± ⇒ω=16k±2，k∈Z.
8 2 8 4
T π 2π π
又 > ⇒ =T> ⇒0<ω<4.
4 8 ω 2
所以ω=2.
所以fx
π
=2 2cos2x-
4
.
π
所以φ=- ，A错误；
4
π π kπ 3π kπ 3π
由2x- =kπ+ ⇒x= + ，k∈Z，得函数的对称中心为： + ,0
4 2 2 8 2 8
，k∈Z，故B对；
π 3π π 7π π
由 ≤x≤π⇒ ≤2x- ≤ ⇒-1≤cos2x-
2 4 4 4 4
2 π
≤ ⇒-2 2≤2 2cos2x-
2 4
≤2，
即fx
π
在 ,π
2
上的值域为-2 2,2 ，故C对；
将fx
5π 5π
的图象向左平移 个单位后得：y=2 2cos 2x+
8 8
π
-
4
=2 2cos2x+π =-2 2cos2x，
故D错；
故选：BC
11.在四棱锥S-ABCD中，ABCD是矩形，AD⊥SD,∠SDC=120°,SD=CD=2BC=2,P为棱SB上一点，
则下列结论正确的是 ( )
A.点C到平面SAD的距离为 3
3
B.若SP=PB，则过点A,D,P的平面α截此四棱锥所得截面的面积为
2
C.四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π
3
D.直线AP与平面SCD所成角的正切值的最大值为
3
答案 ACD
【分析】对于A，首先证明AD⊥面SDC，由此即可进一步通过解三角形验算；对于B，准确画出截面，得截
·243·面四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，由此即可验算；对于C，得出r=2，其
CD 中r为△SCD外接圆半径，结合R= r2+
2
2 可得外接球半径，进而即可验算；对于D，由直线AP与
平面SCD所成角为∠APD，即可判断.
解析 如图，
对于A，因为AD⊥SD,AD⊥DC，又SD∩DC=D,SD,DC⊂面SDC，
所以AD⊥面SDC，
所以点A到平面SDC的距离为AD=BC=1，
又因为∠SDC=120°,SD=CD=2，
3
所以点C到平面SAD的距离为 ×2= 3，故A正确；
2
对于B，因为SP=PB，所以点P为棱SB的中点，
取SC中点为Q，连接PQ,DQ，可得平面APQD即平面α截此四棱锥所得截面，
且由于Q是SC的中点，点P为棱SB的中点，
1 1
所以在△SBC中，PQ是△SBC的中位线，则PQ= BC= ，PQ⎳BC，
2 2
又因为四边形ABCD是矩形，则BC⎳AD，所以PQ/AD，
因为AD⊥面SDC，
AD⊄面SDC，QC⊂面SDC，
所以四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，
因为SD=CD=2，在等腰三角形SCD中，QD⊥BC，且QD平分∠ADC，
1 1
则QD=CD⋅cos ∠SDC=2× =1，
2 2
1 1
则平面α截此四棱锥所得截面的面积为 ×1+
2 2
3
×1= ，故B错误；
4
对于C，又因为∠SDC=120°,SD=CD=2，所以SC=2cos30°+2cos30°=2 3，
SC 2 3
所以2r= = =4，即r=2，其中r为△SCD外接圆半径，
sin∠SDC 3
2
因为AD⊥面SDC，
CD 所以四棱锥S-ABCD外接球的半径为R= r2+
2
2 = 22+ 1
2
2 17 = ，
2
所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π，故C正确；
对于D，因为AD⊥面SDC，所以直线AP与平面SCD所成角为∠APD，
所以当点P与点B重合时，∠APD最大，积tan∠APD
3
= ，故D正确. max 3
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：C选项的关键是得到r=2，其中r为△SCD外接圆半径，由此即可顺利得解.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知等比数列a n 中，a a a =-8,a =64，则a = ． 3 4 5 9 5
·244·答案 4
【分析】由等比数列性质、基本量的计算依次得a =-2，q=-2，由此即可求解.
4
a 64
解析 由题意a a a =a3=-8,a =64，所以a =-2，q5= 9 = =-32，所以公比q=-2，
3 4 5 4 9 4 a -2
4
所以a =-2a =4.
5 4
故答案为：4.
13.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为
4%，乙生产线的次品率为7%，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中
任取一件，则取到合格品的概率为 ．
19
答案 0.95/
20
【分析】由全概率公式即可求解.
2
解析 由题意取到合格品的概率为p= ×1-4%
2+1
1
+ ×1-7%
2+1
=0.95.
故答案为：0.95.
14.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点A,B在直线l上的射影
分别为A 1 ,B 1 两点，以线段A 1 B 1 为直径的圆C与y轴交于M,N两点，且MN
4
= AB 5 ，则直线AB的斜率
为 ．
答案 ±2
【分析】设AB:x=my+1,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 y 2 ，联立方程利用韦达定理求AB 和圆C的圆心和半径，根据垂
径定理求MN ，结合题意列式求解即可.
解析 由题意可知：F1,0 ,l:x=-1，且直线AB与抛物线y2=4x必相交，
设AB:x=my+1,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 y 2 ，则A 1-1,y 1 ,B 1-1,y 2 ，
x=my+1
联立方程
y2=4x
，消去x可得y2-4my-4=0，
则y +y =4m,y y =-4，可得y -y
1 2 1 2 1 2
= 16m2+16=4 m2+1，
可知AB = 1+m2 y -y 1 2 =4m2+1 ，圆C的圆心C-1,2m
1
，半径r= y -y 2 1 2 =2 m2+1，
可得MN =2 r2-1=2 4m2+3，
因为MN
4
= AB
5
4
，即2 4m2+3= ×4m2+1
5
1 11
，解得m2= 或m2=- (舍去)，
4 16
1 1
即m=± ，所以直线AB的斜率为 =±2.
2 m
故答案为：±2.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 ；
·245·(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x +x 、x x (或y +y 、y y )的形式；
1 2 1 2 1 2 1 2
(5)代入韦达定理求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）记数列a n 的前n项和为S ，已知a =3,na =2S +3n． n 1 n+1 n
(1)证明：a +a =2a ；
n+2 n n+1
b 1
(2)若 a n = 3n+1 ，求数列b n
n
的前n项和T． n
答案 (1)证明见解析
n+1
(2)T=1-
n 3n
【分析】(1)根据题意结合a n ,S n 之间的关系可得a n+2 +a n =2a n+1n≥2 ，并检验n=1；
2n-1
(2)由(1)结合等差数列通项公式可得b = ，利用错位相减法法求和.
n 3n
解析 (1)因为na =2S +3n，
n+1 n
当n≥2时，n-1 a n =2S n-1 +3n-1 ，
两式相减，得na n+1 -n+1 a n =3①，则n+1 a n+2 -n+2 a =3②， n+1
②-①得n+1 a n+2 +n+1 a n =2n+2 a ， n+1
所以a n+2 +a n =2a n+1n≥2 ．
当n=1时，a =2S +3=2a +3=9，
2 1 1
当n=2时，2a =2S +6=24+6=30,a =15．
3 2 3
所以a +a =2a ，所以a +a =2a ．
3 1 2 n+2 n n+1
(2)由(1)可知：a n 是首项为3，公差为6的等差数列，
可得a n =3+6n-1
a 2n-1
=6n-3，b = n = ， n 3n+1 3n
1 3 5 2n-1
则T= + + +⋯+ ，
n 3 32 33 3n
1 1 3 5 2n-1
T= + + +⋯+ ，
3 n 32 33 34 3n+1
2 1 2 2 2 2 2n-1
两式相减可得 T= + + + +⋯+ -
3 n 3 32 33 34 3n 3n+1
2 1
1-
1 9 3n-1
= +
3
2n-1 1 1 1
- = + 1-
1 3n+1 3 3 3n-1
1-
3
2n-1 2 2n+2
- = - ，
3n+1 3 3n+1
n+1
所以T=1- ．
n 3n
16（. 15分）如图，在三棱锥ABC-A B C 中，D,E分別是梭BC,AA 的中点．
1 1 1 1
·246·(1)在棱BB 上找一点F，使得平面DEF⎳平面A B C，并证明你的结论；
1 1 1
(2)若AA = 3,△ABC是边长为2的等边三角形，A D=AD,BC⊥DE，求二面角B -A C-C 的正弦
1 1 1 1 1
值．
答案 (1)F为棱B B的中点，证明见解析
1
8 91
(2)
91
【分析】(1)F为棱B B的中点，根据面面平行的判定定理证明即可.
1
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面A B C和平面A C C法向量后结合平方关系可求二面角
1 1 1 1
的正弦值.
解析 (1)
存在F为棱B B的中点，使平面DEF⎳平面A B C．
1 1 1
证明如下：如图，连接EF,DF．
因为E,F分别是棱AA ,BB 的中点，所以A B ⎳EF，
1 1 1 1
因为EF⊄平面A B C,A B ⊂平面A B C，所以EF⎳平面A B C．
1 1 1 1 1 1 1 1
因为D,F分别是棱BC,BB 的中点，所以DF⎳B C，
1 1
因为DF⊄平面A B C,B C⊂平面A B C，所以DF⎳平面A B C．
1 1 1 1 1 1 1
因为EF∩DF=F，EF,DF⊂面DEF，所以平面DEF⎳平面A B C，得证，．
1 1
(2)取AD的中点O，连接OA ．
1
由△ABC为等边三角形，D为棱BC的中点，可得AD⊥BC，
因为BC⊥DE,AD∩DE=D，AD,DE⊂面ADE，所以BC⊥平面ADE，
又A O⊂平面ADE，所以BC⊥A O．
1 1
因为AA = 3,A D=AD= 3，所以△AA D为等边三角形，所以A O⊥AD．
1 1 1 1
又AD∩BC=D，所以A O⊥平面ABC．
1
以O为坐标原点，过点O作CB的平行线作为x轴，以OD,OA 所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空
1
间直角坐标系，
3
则A0,- ,0
2
3
,B1, ,0
2
3
,C-1, ,0
2
3
,A 0,0,
1 2
，
所以A 1 B 1 =AB=1, 3,0
3 3
,A C=-1, ,- 1 2 2
3 3
,AA =0, , 1 2 2
,A 1 C 1 =AC=-1, 3,0 ．
设平面A 1 B 1 C的法向量为n=x 1 ,y 1 ,z 1 ，
n⋅A
1
B
1
=x
1
+ 3y
1
=0,
则 3 3 取n=- 3,1, 3
n⋅A C=-x + y - z =0,
1 1 2 1 2 1
．
设平面A 1 C 1 C的法向量为m=x 2 ,y 2 ,z 2 ，
3 3
m⋅A C=-x + y - z =0, 3
则
1
2 2 2 2 2 取m= 3,1,-
3
m⋅A C =-x + 3y =0,
1 1 2 2
．
·247·
n⋅m
所以cos‹n,m›=
n
⋅m
-3+1-1 3 3
= =- ，
1 91 3+1+3× 3+1+
3
27 8 91
则二面角B -A C-C 的正弦值为 1- = ．
1 1 1 91 91
17（. 15分）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引
进的数量y(单位：万人)，并根据统计数据绘制了如图所示的散点图(x表示年份代码，年份代码1-6分
别代表2018-2023年)．
(1)根据散点图判断y=blnx+a与y=ec+dx(a,b,c,d均为常数)哪一个适合作为y关于x的回归方程类
型；(给出结论即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量；
(3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
6
y w ∑ x-x
i i=1
6
∑
2 i=1
x-x i
y-y i
6
∑
i=1
x-x i
w-w
i
5.15 1.55 17.5 20.95 3.85
1 6
其中w= w,w=lny,e2.44≈11.47,e2.54≈12.68．
6 i i i
i=1
参考公式：对于一组数据u 1 ,v 1 ,u 2 ,v 2 ,⋯,u n ,v n ，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计
n
∑ u-u
i
分别为：β= i=1
v-v
i
n
∑ u-u
i
i=1
,α=v-βu．
2
答案 (1)选择y=ec+dx更合适．
(2)y=e0.22x+0.78，12.68万人
(3)分布列见解析，2
【分析】(1)观察散点图结合增长速度情况即可求解；
(2)两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程；
(3)X的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期
望.
·248·解析 (1)根据散点图可知，选择y=ec+dx更合适．
(2)因为y=ec+dx，所以两边同时取常用对数，得lny=c+dx．
设w=lny，则w=c+dx，先求w关于x的线性回归方程．
1+2+3+4+5+6
因为x= =3.5，
6
6
x-x
i
d= i=1
w-w
i
6
x-x
i
i=1
3.85
= =0.22，
17.5
2
c=w-0.22x=1.55-0.22×3.5=0.78，
所以y=e0.22x+0.78．
把x=8代入上式，得y=e2.54≈12.68，
故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人．
(3)这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以X的所有可能取值为1，2，3．
PX=1
C1C3 1
= 3 3 = ,PX=2
C4 5
6
C2C2 3
= 3 3 = ,PX=3
C4 5
6
C3C1 1
= 3 3 = ，
C4 5
6
所以X的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
所以EX
4×3
= =2．
6
x2 y2 5
18（. 17分）已知双曲线C: a2 - b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2 ，左、右顶点分别为A 1 ,A 2 ，点B0,1 ，且
△A BA 的面积为2．
1 2
(1)求C的方程；
(2)若过点B的直线l与C的左、右两支分别交于M,N两点，直线A M,A N交于点P，直线l与x轴交于
1 2
点Q,O为坐标原点，证明：OP⋅OQ为定值．
x2
答案 (1) -y2=1
4
(2)证明见解析
【分析】(1)根据已知条件，可确定a，b的值，写出双曲线的标准方程.
(2)设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，利用一元二次方程根与系数的关系，确定x +x ，x x ，
1 2 1 2
再分别表示直线A M，A N的方程，求出交点P的坐标以及l与x轴的交点Q的坐标，探索OP·OQ的值.
1 2
a2+b2 5
解析 (1)由题意知离心率为 = ，
a 2
1
因为△A BA 的面积为2，所以 ×2a×1=2，得a=2，
1 2 2
4+b2 5
所以 = ，b=1，
2 2
x2
故C的方程为 -y2=1．
4
(2)如图：
·249·由题意知A 1-2,0 ,A 22,0 ，设直线l:y=kx+1，因为l与C的左、右两支分别相交，与x轴也有交点，
1 1 1
C的渐近线方程为y=± x，所以- 0， x 1 +2 <0，所以 x+2 = y 2x 1 +2
1 2 x -2 x-2 2
y 1x 2 -2
<0，
x+2 2k-1
综上， = ，解得x=-4k．
x-2 2k+1
所以P-4k,y P ．
1
在y=kx+1中，令y=0，得Q- ,0
k
，
所以OP⋅OQ=-4k
1
×-
k
=4．
【点睛】关键点点睛：本题中因为Q点在x轴上，其纵坐标为0，也就是OQ的纵坐标为0，所以OP的纵坐
标不用求，这样可以省下很多的计算量.
19（. 17分）已知函数fx =mx2-x+1 e-x．
(1)当m≥0时，求fx 的单调区间；
(2)若函数gx =ex+fx ex-2恰有两个零点，求实数m的取值范围．
答案 (1)答案见解析
1
(2)-∞,-
2
1
∪- ,0
2
．
1 1 1
【分析】(1)求定义域，求导后因式分解，分m=0，0 ，求出单调区间；
2 2 2
·250·(2)gx =ex+mx2-x-1，二次求导，分m≥0，m<0，结合特殊点的函数值和隐零点，得到实数m的取值
范围.
解析 (1)fx =mx2-x+1 e-x定义域为0,+∞ ，
f x =-mx2+x-1 e-x+2mx-1 e-x=-mx-1 x-2 e-x．
①当m=0时，令f x >0，得x>2，令f x <0，得x<2，
所以fx 在-∞,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增；
1
②当00，得2 ，
m
所以fx
1
在区间2,
m
上单调递增，在区间-∞,2
1
和 ,+∞
m
上单调递减；
1
③当m= 时，f x
2
≤0,fx 在R上单调递减；
1
④当m> 时，令f x
2
1
>0，得 2，
m
所以fx
1
在区间 ,2
m
1
上单调递增，在区间-∞,
m
和2,+∞ 上单调递减；
综上，当m=0时，fx 的单调递增区间为2,+∞ ，单调递减区间为-∞,2 ；
1
当0 时，fx
2
1
的单调递增区间为 ,2
m
1
，单调递减区间为-∞,
m
和2,+∞ .
(2)由题意知gx =ex+fx ex-2=ex+mx2-x-1，则g x =ex+2mx-1．
令hx =ex+2mx-1，则h x =ex+2m．
若m≥0，则h x >0恒成立，hx 在R上单调递增．
因为h0 =0，所以当x∈-∞,0 时，g x =hx <0,gx 单调递减，
当x∈0,+∞ 时，g x =hx >0,gx 单调递增，
则g(x) min =g0 =0，即gx 有且仅有一个零点，不符合题意．
若m<0，则由h x =0，解得x=ln-2m ，
当x∈ -∞,ln-2m 时，h x <0,hx 单调递减，
当x∈ ln-2m ,+∞ 时，h x >0,hx 单调递增，
则h(x) min =h ln-2m =-2m+2mln-2m -1．
令φx =-2x+2xln-2x -1，则φ x =-2+2ln-2x +2=2ln-2x ，
1
当x∈-∞,-
2
时，φ x >0,φx 单调递增，
1
当x∈- ,0
2
时，φ x <0,φx 单调递减，
1
则φ(x) =φ-
max 2
=0．
1
若m=- ，则g x
2
=hx ≥0恒成立，gx 在R上单调递增，不可能有两个零点，
不符合题意．
1
若m<- ，则ln-2m
2
>0,h ln-2m <0，
显然当x→+∞时，hx →+∞，故∃x 0 ∈ ln-2m ,+∞ ，使得hx 0 =0．
又h0 =0，所以当x∈-∞,0 和x 0 ,+∞ 时，g x =hx >0,gx 单调递增，
当x∈0,x 0 时，g x =hx <0,gx 单调递减，
因为g0 =0，当x→+∞时，gx →+∞，
所以∃x 1 ∈x 0 ,+∞ ，使得gx 1 =0，则gx 恰有两个零点，符合题意．
·251·1
若- 0,gx 单调递增，
当x∈x 2 ,0 时，g x =hx <0,gx 单调递减，
因为g0 =0，当x→-∞时，gx →-∞，所以∃x 3 ∈-∞,x 2 ，使得gx 3 =0，
则gx 恰有两个零点，符合题意．
1
综上所述，m的取值范围为-∞,-
2
1
∪- ,0
2
．
【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的
区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替
换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
·252·浙江省名校协作体 2023-2024 学年高三下学期开学联考
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集U=R,A=x∣x≥0 ,B={x∣-11,b>0，若 a+log a=b+log b，则 ( )
2 2
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a0,b>0)的左､右焦点，P是圆x2+y2=c2与C的渐近线的一
1 2 a2 b2
个交点，若2∠PFF=∠PFF，则双曲线C的离心率为 .
1 2 2 1
·254·答案 2
14.已知函数fx
xlnx,x>0,
= 1 若函数gx
-x,x<0,
x
=f fx -afx +1有唯一零点，则实数a的取值范围是
.
5
答案 a=- 或-1≤a<1
4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a=2bcosC.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC周长的最大值.
解析 (1)因为a=2bcosC，所以sinA=2sinBcosC，
所以sinB+C =2sinBcosC，
所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
所以sinBcosC-cosBsinC=0，即sinB-C =0，
因为B-C∈-π,π ，所以B=C；
所以△ABC为等腰三角形；
(2)由题意可知a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC=2sinB，
所以△ABC的周长为：
a+b+c=2sinA+4sinB=2sinπ-2B +4sinB=2sin2B+4sinB，
设fB
π
=2sin2B+4sinB,B∈0,
2
，
则f B =4cos2B+4cosB=8cos2B+4cosB-4=4cosB+1 2cosB-1 ，
π
所以当B∈0,
3
1
时，cosB> ,f B
2
>0,fB 单调递增；
π π
当B∈ ,
3 2
1
时，cosB< ,f B
2
<0,fB 单调递减；
π
所以当B= 时，fB
3
取到最大值3 3，
所以周长的最大值为3 3.
16（. 15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4，将△RAD沿AD折
起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD.
(1)若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；
2
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为 ，求线段
3
BE的长.
解析 (1)取PB中点N，连接AN,MN，
·255·1
则MN∥BC，且MN= BC，
2
因为A,D分别为RB,RC的中点，
1
所以AD∥BC，且AD= BC，
2
所以AD∥MN且AD=MN，
所以四边形ADMN为平行四边形，
所以DM∥AN，
又AN⊂平面PAB,DM⊄平面PAB，
所以DM∥平面PAB.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，又PA⊥AD，所以AB,AD,AP两两垂直.
如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴建系，
设BE=t，则P0,0,2 ,D0,2,0 ,E2,t,0 ，
所以PD=0,2,-2
,DE=2,t-2,0 ，
设n=x,y,z 为平面PDE的法向量，则
n⋅PD=0 2y-2z=0
，即
n⋅DE=0 2x+t-2
，
y=0
令y=2得n=2-t,2,2 .
易知平面ABED的法向量为m=0,0,1 ，
设平面PDE与平面ABED的夹角为θ，
则cosθ= cosn,m
2 2
= = ，
(2-t)2+4+4 3
解得t=1或t=3，故BE=1或3.
17（. 15分）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前
根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一
场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p ，甲与丙
1
比赛时，甲获胜的概率为p ，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p .
2 3
(1)若p =p =p =0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望；
1 2 3
(2)若p +p >1，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
1 3
解析 (1)由题意可知，X的取值可能为4,6,8.
Px=4 =0.5×0.5×2=0.5;
Px=6 =0.5×0.5×0.5×2=0.25;
Px=8 =0.5×0.5×0.5×2=0.25;
所以三人总积分X的分布列为
·256·X 4 6 8
P 0.5 0.25 0.25
所以EX=0.5×4+0.25×6+0.25×8=5.5.
(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C为“第一
局甲对丙而最终乙获胜”，则有：
PA =p 31-p 1 +p 3 p 11-p 2 p 3 +1-p 3 p 21-p 1 p ; 3
PB =1-p 1 p 3 +1-p 1 1-p 3 p 21-p 1 +p 11-p 2 p 31-p 1 ;
PC =p 21-p 1 p 3 +1-p 2 p 31-p 1 =p 31-p 1 ;
显然PB >PC ;
PA -PB =p 3 p 11-p 2 p 3 +1-p 3 p 21-p 1 p 3 -1-p 1 1-p 3 p 21-p 1 -p 11-p 2 p 31-p 1
=p 1 +p 3 -1 p 11-p 2 p 3 +p 1 +p 3 -1 1-p 3 p 21-p 1
=p 1 +p 3 -1 p 11-p 2 p 3 +1-p 3 p 21-p 1 >0
所以PA >PB ；
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局.
18（. 17分）已知过点1,0 的直线与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点，O为坐标原点，当直线AB垂直
于x轴时，△AOB的面积为 2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)若O为△ABC的重心，直线AC,BC分别交y轴于点M,N，记△MCN,△AOB的面积分别为S ,S ，求
1 2
S
1 的取值范围.
S
2
1
解析 (1)由题意可知，S = ×1×2 2p= 2，
△AOB 2
所以p=1，
所以抛物线E的方程为y2=2x
(2)设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,Cx 3 ,y 3 ，
因为O为△ABC的重心，
所以x +x +x =0,S =S =S ；
1 2 3 △AOB △AOC △BOC
因为 S △MOC = MC
S △AOC
AC
= -x 3 , S △NOC = NC
x -x S 1 3 △BOC
BC
-x = 3 ，
x -x 2 3
且S +S =S ,S =S =S ；
△MOC △NOC 1 △AOC △BOC 2
所以 S 1 = -x 3 + -x 3 = x 1 +x 2 + x 1 +x 2 = 3x 1 +x 2
S x -x x -x 2x +x x +2x 2 1 3 2 3 1 2 1 2
2
2x 1 +x 2 x 1 +2x 2
= 3x 1 +x 2 2
2x 1 +x 2
；
2+x x 1 2
设AB:x=ty+1，与y2=2x联立得：y2-2ty-2=0，所以y y =-2，
1 2
所以x x = y 1 y 2
1 2
2 =1，则x +x ≥2 x x =2；
4 1 2 1 2
S 3
所以 1 =
S 1
2 2+
x 1 +x 2
4 3
∈ ,
3 2
2
；
S 4 3
所以 1 的取值范围为 ,
S 3 2
2
19（. 17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A=1,2,⋯,n ,n∈N 的函数称为n次置换.满
+
足对任意i∈A,fi =i的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作S n .对于fi ∈S ，我们可用 n
·257·列表法表示此置换：fi
1 2 ⋯ n
=
f1 f2 ⋯ fn
，记fi =f1 i ,f fi =f2 i ,f f2 i =f3 i ,
⋯,f fk-1 i =fk i ,i∈A,k∈N . +
(1)若fi ∈S 4 ,fi
1 2 3 4
= 4 2 1 3 ，计算f3 i ；
(2)证明：对任意fi ∈S 4 ，存在k∈N + ，使得fk i 为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张
变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原
来的牌型？请说明理由.
解析 (1)由题意可知f2 i
1 2 3 4
=
3 2 4 1
,f3 i
1 2 3 4
=
1 2 3 4
；
(2)【解法一】
①若fi
1 2 3 4
=
1 2 3 4
，则f1 i 为恒等置换；
②若存在两个不同的i，使得fi =i，不妨设i=1,2，则fi
1 2 3 4
=
1 2 4 3
.
所以f2 i
1 2 3 4
=
1 2 3 4
，即f2 i 为恒等置换；
③若存在唯一的i，使得fi =i，不妨设i=2，则fi
12 3 4
=
3 2 4 1
或fi
1 2 3 4
=
4 2 1 3
.
当fi
1 2 3 4
=
4 2 1 3
时，由(1)可知f3 i 为恒等置换；
同理可知，当fi
1 2 3 4
=
3 2 4 1
时，f3 i 也是恒等置换；
④若对任意的i,fi ≠i，
则情形一：fi
1 2 3 4
=
2 1 4 3
或fi
1 2 3 4
=
3 4 1 2
或fi
1 2 3 4
=
4 3 2 1
；
情形二：fi
1 2 3 4
=
2 3 4 1
或fi
1 2 3 4
=
2 4 1 3
或fi
1 2 3 4
=
3 1 4 2
或fi
1 2 3 4
=
3 4 2 1
或fi
1 2 3 4
=
4 1 2 3
或fi
1 2 3 4
=
4 3 1 2
；
对于情形一：f2 i 为恒等置换；
对于情形二：f4 i 为恒等置换；
综上，对任意fi ∈S 4 ，存在k∈N + ，使得fk i 为恒等置换；
【解法二】
对于任意i∈1,2,3,4 ，都有f1 i ,f2 i ,f3 i ,f4 i ∈1,2,3,4 ，
所以f1 i ,f2 i ,f3 i ,f4 i 中，至少有一个满足fk i =i，
即使得fk i =i的k的取值可能为1,2,3,4.
当i分别取1,2,3,4时，记使得fk i =i的k值分别为k ,k ,k ,k ， 1 2 3 4
只需取k为k ,k ,k ,k 的最小公倍数即可.
1 2 3 4
所以对任意fi ∈S 4 ，存在k∈N + ，使得fk i 为恒等置换；
(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对1,2,⋯,52 作一次如下置换：
·258·fi
1 2 3 4 5 ⋯ 52
=
1 27 2 28 3 ⋯ 52
，即fi
k,i=2k-1,
=
26+k,i=2k,
其中k=1,2,⋯,26.
注意到各编号在置换中的如下变化：
f f f f f f f f f f f f f f f f f
1→1,2→27→14→33→17→9→5→3→2,4→28→40→46→49→25→13→7→4
f f f f f f f f f f f f f f f f
6→29→15→8→30→41→21→11→,10→31→16→34→43→22→37→19→10，
f f f f f f f f f f
12→32→42→47→24→38→45→23→12,18→35→18，
f f f f f f f f f
20→36→44→48→50→51→26→39→20,52→52;
所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最
小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.
·259·湖南省、贵州省 2023-2024 学年高三下学期 2 月开学金太阳联考
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. 已知a∈R, 若1+i 2-ai 为纯虚数, 则a= ( )
A.-1 B.2 C.-2 D.1
答案 C
解析 因为 1+i 2-ai =2+a +2-a
2+a=0,
i, 所以 解得 a=-2.
2-a≠0,
2. 已知集合A= x∣xx-2 >0 ,B={x∈Z∣10 ”是“向量a与b的夹角为锐角”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若 a⎳b, 则 x2=4, 解得 x=±2. 若向量 a 与 b 的夹角为锐角, 则 a⋅b>0 且 cos⟨a,b⟩≠ 1 ,
所以 4x+x>0 且 x≠2, 解得 x∈0,2 ∪2,+∞ . 故“ x>0 ”是“向量 a 与 b 的夹角为锐角”的
必要不充分条件.
5. 有一组样本数据由5个连续的正整数x ,x ,⋯,x 组成, 其中x 是最小值, x 是最大值, 若在原数据的基
1 2 5 1 5
础上增加两个数据x -1,x +1, 组成一组新的样本数据x -1,x ,x ,⋯,x ,x +1, 则 ( )
1 5 1 1 2 5 5
A.新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数
B.新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数
C.新样本数据的方差等于原样本数据的方差
D.新样本数据的方差大于原样本数据的方差
答案 D
解析 新样本数据的平均数等于原样本数据的平均数, A, B 错误. 数据的波动越大, 方差越大, C 错
误, D 正确.
·260·6. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上, 游回产地产卵. 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表
O
示为v=klog , 其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数. 若一条鲑鱼游速为0.5 m/s时耗氧量的单位数
3100
为300 , 则一条鲑鱼游速为2 m/s时耗氧量的单位数为 ( )
A.100 B.900 C.1200 D.8100
答案 D
1 300 1 1 O 1 O
解析 由题意可得 =klog , 解得 k= , 所以 v= log . 令 2= log , 解得 O=
2 3100 2 2 3100 2 3100
8100.
7.现准备给一半径为6 cm的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒, 要使制成的包装盒能装下
该球体玩具, 且该包装盒的下底面是半径为4 cm的圆, 则制成的包装盒的容积最小为 ( )
A.532πcm3 B.399πcm3 C.266πcm3 D.133πcm3
答案 A
解析 要使制成的包装盒的容积最小, 则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切.作该圆台型
包装盒的轴截面, 且 AG⊥BC,EF⊥BC.
易知 AB=BF+AE,BG=BF-AE. 因为 AB2=AG2+BG2, 所以 BF+4 2 =122+BF-4 2, 解得 BF
1
=9. 此时该包装盒的容积 V= π⋅EF⋅ BF2 +BF⋅AE+AE2
3
1
= ×π×12× 92+9×4+42
3
=
532πcm3.
8. 已知函数fx
x-a
=
ex
的定义域为0,4
x+1
, 若fx 是单调函数, 且fx 有零点, 则a的取值范围是
A. 0,4 B.(0,3] C. 0,2 D.(0,e]
答案 B
解析 因为 fx 有零点, 所以方程 fx =0 有解, 即 x-a=0 在 0,4 上有解, 所以 a∈0,4 . f
x
x2+1-a
=
x+1
x+1
ex. 因为 fx
2
是单调函数, 所以函数 gx =x2+1-a x+1≥0 在 0,4 上恒
成立或 gx =x2+1-a x+1≤0 在 0,4 上恒成立. 因为 g0 =1>0, 所以 gx =x2+1-a x+
1≤0 在 0,4 上不可能恒成立.
函数 gx =x2+1-a x+1≥0 在 0,4
1
上恒成立, 即 x+ +1-a≥0 在 0,4
x
上恒成立.
1
因为 x+ +1-a≥3-a (当且仅当 x=1 时, 等号成立), 所以 3-a≥0, 解得 a≤3.
x
综上, a 的取值范围是 (0,3].
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
·261·的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 已知数列a n 的前n项和为S ,a =1,a =a a , 下列结论正确的是 ( ) n 2 m+n m n
A.a =1 B.a =1
2024 2023
C.若S =2024, 则a =1 D.若S =-1, 则a =-1
2024 1 2023 1
答案 ACD
解析 令 m=n=1, 则 a =a2, 解得 a =±1. 令 n=2, 则 a =a a =a , 所以 a =a =1, a =a
2 1 1 m+2 m 2 m 2024 2 2023 1
=±1, A 正确, B 错误. 若 S =2024, 则 a =1, 若 S =-1, 则 a =-1, C, D 均正确.
2024 1 2023 1
10. 已知函数fx
sinxcosx
= , 则下列结论正确的是 ( )
sinx+cosx
A. fx
π
的图象关于直线x= 对称 B. fx
2
3π
的图象关于点 ,0
4
中心对称
C. fx 的最小正周期是2π D. fx
π 3π
在- ,
4 4
2
上有最大值, 且最大值为
4
答案 BCD
π
解析 由 sinx+cosx= 2sinx+
4
π
≠0, 解得 x≠- +kπ,k∈Z, 所以 fx
4
的定义域为
π
x∈R x≠- +kπ,k∈Z 4
π
.令 sinx+cosx= 2sinx+ 4
t2-1
=t, 则 sinxcosx= , 令函数 gt 2 =
t2-1 1 1
= t-
2t 2 t
.
π 3π π
当 - 0, 且函数 y= 2sinx+
4
π π
在 - ,
4 4
π 3π
上单调递增, 在 ,
4 4
上单调递减.
又因为 gt 在 0,+∞ 上单调递增, 所以 fx
π π
在 - ,
4 4
π 3π
上单调递增, 在 ,
4 4
上单调递减,
所以 fx
π
的图象不关于直线 x= 对称, A 错误.
2
fx
π 3π
在 - ,
4 4
π
上有最大值, 且最大值为 f
4
2
= , D 正确.
4
fx
sinxcosx 2sin2x
= =
sinx+cosx π
2sinx+
4
,
3π
f +x
4
3π
+f -x
4
3π
2sin2 +x
4
=
3π π 2sin +x+
4 4
3π
2sin2 -x
4
+
3π π 2sin -x+
4 4
3π
2sin +2x
2
=
2sinπ+x
+
3π
2sin -2x
2
2sinπ-x
2 -cos2x -cos2x
= +
2 -sinx sinx
=0, 所以 fx
3π
的图象关于点 ,0
4
中心对称, B 正确.
由对称性可得 fx
3π 5π
在 ,
4 4
5π 7π
上单调递减, 在 ,
4 4
上单调递增, 所以 fx
π 7π
在 - ,
4 4
上
不具有周期性.
又因为 fx+2π
sinx+2π
=
cosx+2π
sinx+2π +cosx+2π
sinxcosx
= = fx
sinx+cosx
, 所以 fx 的最小正周期为 2π,C
正确.
11. 已知O为坐标原点, P,Q为抛物线C:x2=2pyp>0 上两点, F为C的焦点, 若F到准线的距离为2,则
下列结论正确的是 ( )
A.若M1,3 , 则△PMF周长的最小值为2+ 5
·262·1
B.若直线PQ过点F, 则直线OP,OQ的斜率之积为-
4
C.若N0,-1
QN
, 则 的取值范围是1, 2
QF
9π
D.若△POF的外接圆与准线l相切,则该外接圆的面积为
4
答案 BCD
解析 由题意可知, p=2, 所以 x2=4y,F0,1 .
作 PB⊥l, 垂足为 B,△PMF 的周长为 PF+PM+MF=PB+PM+MF≥4 +MF=4+ 5,
A 错误.
y=kx+1,
若直线 PQ 过点 F, 可设直线 PQ 的方程为 y=kx+1, 由 得 x2-4kx-4=0. 设
x2=4y,
Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 , 则 x 1 +x 2 =4k,x 1 x 2 =-4, 则 y 1 y 2 =kx 1 +1 kx 2 +1 =k2x 1 x 2 + kx 1 +x 2 +1=1, 所以
y y 1
直线 OP,OQ 的斜率之积为 1 ⋅ 2 =- , B 正确.
x x 4
1 2
若 N0,-1 , 则 QN = x2 2 +y 2 +1 QF 2 = 4y 2 +y 2 +1 y +1
2
2 1 QN , 令 t=y +1≥1,0< ≤1,所以 = y
2
+1 2 t QF
t2+4t-4 t2+4t-4 1 1
= = -4 -
t t2 t 2
2 QN
+2, 可得 ∈1, 2
QF
, C 正确.若 △POF 的外接圆与
0+1 1
准线 l 相切, 设 △POF 的圆心为 D, 则 DF=DO, 所以圆心 D 的纵坐标 y= = , 则其半径
2 2
1 3 9π
r= +1= , 面积为 , D 正确.
2 2 4
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 甲、乙等7名同学随机站成一排,则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有 种
答案 1200
解析 先确定甲的位置, 再确定乙的位置及其他同学的位置, 则有 5 A2 A5=1200 种不同的排列方式.
2 5
x2 y2
13. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的右支上有一点A, 点A关于坐标原点对称的点为B,F为双曲
π
线C的左焦点, 且满足AF⊥BF, 当∠BAF= 时, 双曲线C的离心率为
12
答案 2
解析 如图, 设 F 为双曲线 C 的右焦点, 连接 AF,BF. 由 AF⊥BF及双曲线的对称性得四边形
π
AFBF 是矩形, AB=FF=2c, 则 AF =AB⋅cos∠BAF=2ccos ,AF=BF=AB⋅sin∠BAF= 2c⋅
12
π π π
sin , 由双曲线定义得 AF - AF = 2c cos -sin
12 12 12
= 2c ・
π π
2cos +
12 4
c
=2a, 即 2c=2a, 所以离心率 e= = 2.
a
14. 如图, 在三棱锥P-ABC中, 平面PAB⊥平面ABC,PA=2,PB= 7,AB=3,M为棱AB上靠近点B的
·263·三等分点, 且CM为∠ACB的角平分线, 则二面角P-AC-B的平面角的正切值的最小值为 ．
答案 2 3
解析 如图 1, 过点 P 作 PQ⊥AB, 垂足为 Q, 过点 Q 作 QH⊥AC, 垂足为 H, 连接 PH.因为平面
PAB⊥ 平面 ABC, 所以 PQ⊥ 平面 ABC,PQ⊥HQ, PQ⊥AC.
因为 QH⊥AC, 所以 AC⊥ 平面 PQH,AC⊥PH,
所以 ∠PHQ 为二面角 P-AC-B 的平面角.
AP2+AB2-PB2 1
在 △PAB 中, cos∠PAB= = ,
2AP⋅AB 2
所以 ∠PAB=60°,
图 1
则 PQ=AP⋅sin∠PAB= 3,AQ=AP⋅cos∠PAB=1.
PQ 3
在 △ABC 中, HQ=AQ⋅sin∠BAC=sin∠BAC, 所以 tan∠PHQ= = .
QH sin∠BAC
如图 2, 在平面 ABC 内, 过点 C 作 CN⊥CM 交直线 AB 于点 N, 所以点 C 在以 MN 为直径的圆上
运动. 设 MN 的中点为 O,连接 OC. 因为 ∠CAN=∠NMC-∠ACM,∠BCO=∠MCO-A ∠MCB, 所
OB OC OC-1
以 ∠CAN=∠BCO. 因为 ∠AOC=∠COB, 所以 △AOC∼△COB, 所以 = , 即 =
OC OA OC
OC
, 解得 OC =2,OA=4.
OC+2
图 2
当直线 AC 与圆 O 相切时, ∠BAC 最大,因此 tan∠PHQ 最小.
sin∠BAC
OC 1
max = OA = 2 ,tan∠PHQ =2 3. 故二面角 P-AC-B 的平面角的正切值的最小值为 min
2 3.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知公差不为0的等差数列a n 满足a +a =a +2, 且a ,a ,a 成等比数列. 1 2 3 1 3 7
(1)求a n 的通项公式;
·264·(2)记a n
1
的前n项和为S n ,c n = S +2 , 求数列c n
n
的前n项和T. n
解析 (1) 设等差数列 a n 的公差为 d,
a +a +d=a +2d+2,
由题意可得 1 1 1
a 1 +2d 2=a 1a 1 +6d
2 分
,
解得 d=2 或 d=0 (舍去), a =4,所以 a =2n+2.
1 n
(2) 根据等差数列的前 n 项和公式可得 S =n2+3n,
n
1 1 1
所以 c = = =
n S n +2 n2+3n+2 n+1 n+2
1 1
= - ,
n+1 n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以 T= - + - + - +⋯+ - = - =
n 2 3 3 4 4 5 n+1 n+2 2 n+2 2n+2
.
x2 y2
16（. 15分）已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的右顶点为A2,0
1
, 离心率为 .
2
(1)求椭圆C的方程;
12 2
(2)过点A的直线l与椭圆C交于另一点B, 若AB= , 求直线l的方程.
7
解析 (1) 由题意可得, a=2.
c 1
因为 e= = , 所以 c=1,b= a2-c2= 3.
a 2
x2 y2
故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3
(2) 由题意可知, 直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx-2 .
x2 y2
+ =1,
联立 4 3
y=kx-2
得 4k2+3
,
x2-16k2x+16k2-12=0,
易知 Δ>0. 设 Bx 2 ,y 2
16k2-12 8k2-6 -12k
, 则 2x = , 所以 x = ,y = . 2 4k2+3 2 4k2+3 2 4k2+3
因为 AB 2=x 2 -2
12 2
2+y2= 2 7
2 8k2-6
, 所以 -2 4k2+3
2 -12k
+ 4k2+3
2 12 2
= 7
2
,
即 k2-1 32k2+31 =0, 解得 k=±1,
所以直线 l 的方程为 y=±x-2 , 即 x±y-2=0.
7
17（. 15分）如图, 在三棱锥F-ABC中, △ABC是边长为2的等边三角形, FA=FC= , 直线BF与平面
2
ABC所成的角为30°.
(1)证明:BF⊥平面ACF.
(2)求AF与平面BCF所成角的正弦值.
解析 (1) 证明: 取 AC 的中点 E, 连接 EF,EB, 过点 F 作 FG⊥EB, 垂足为点 G. 1 分因为 △ABC
是等边三角形, FA=FC, 所以 AC⊥BE,AC⊥EF.
因为 BE∩EF=E, 所以 AC⊥ 平面 BEF, 所以 AC⊥FG.
因为 AC∩EB=E, 所以 FG⊥ 平面 ABC,
·265·1
所以 ∠FBE 为直线 BF 与平面 ABC 所成的角, 则 ∠FBE=30°, 3 分则 AE= AC=1,BE= 3,EF
2
3
= AF2-AE2= .
2
3 3
在 △BEF 中, EF2=BE2+BF2-2BE⋅BFcos∠FBE,即 =3+BF2-2 3BFcos30°, 解得 BF= .⋯5
4 2
分因为 AF2+BF2=AB2,CF2+BF2=BC2,
所以 AF⊥BF,CF⊥BF.
因为 AF∩CF=F, 所以 BF⊥ 平面 ACF. 7 分
(2) 解: 以 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1,0,0 ,C-1,0,0 ,B0, 3,0 ,
3 3
F0, ,
4 4
,
3 3
所以 AF=-1, ,
4 4
3 3
,CF=1, ,
4 4
,CB=1, 3,0 .设平面 BCF 的法向量为 n=x,y,z ,
3 3
n⋅CF=x+ y+ z=0,
则 4 4 取 y= 3, 则 n=-3, 3,3
n⋅CB=x+ 3y=0,
3 9
n⋅AF 3+ 4 + 4 4 3
所以 cos⟨n,AF⟩= = = .
nAF
9+3+9× 1+
3
+
9 7
16 16
π
设 AF 与平面 BCF 所成的角为 θ0≤θ≤
2
4 3
, 则 sinθ=cos⟨n,AF⟩= ,
7
4 3
所以 AF 与平面 BCF 所成角的正弦值为 .
7
18（. 17分）某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤, 其均有止咳润肺的功效. 某同学
2
每天中午都会在两种汤中选择一种, 已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 , 若前一天选择冰糖雪
3
1
梨汤, 后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 , 而前一天选择苹果百合汤, 后一天继续选择苹果百合汤
3
1
的概率为 , 如此往复.
2
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
3
(2)记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为P, 证明: P-
n n 7
为等比数列.
(3)求从第1天到第10天中,该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.
解析 (1) 解: 设 A 表示第一天中午选择冰糖雪梨汤, A 表示第二天中午选择冰糖雪梨汤, 则 A 表
1 2 1
示第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得 PA 1
2
= ,PA 3 1
1
= 3 ,PA 2 ∣A 1
1
= ,PA ∣A 3 2 1
1 1
=1- 2 = 2 .⋯⋯⋯2 分 PA 2 =
PA 1 PA 2 ∣A 1
+PA 1
PA ∣A 2 1
2 1 1 1 7
= × + × = . 5 分 (2)证明: 设 A 表示第 n 天中午选择 3 3 3 2 18 n
冰榶雪梨汤, 则 P n =PA n
,PA n =1-P n ,根据题意得 PA n+1 ∣A n
1
= ,PA ∣A 3 n+1 n
1 1
=1- = . 2 2
·266·由全概率公式得 PA n+1 =PA n PA n+1 ∣A n
+PA n
PA ∣A n+1 n
1 1
= 3 P n + 2 1-P n
1 1
= - P+ , 即 6 n 2
1 1 1
P n+1 =- 6 P n + 2 . 8 分不妨设 P n+1 +λ=- 6 P n +λ
1 1 1 1
, 即 P =- P- λ-λ,所以 - λ-λ= , 解得 n+1 6 n 6 6 2
3 3 1 3
λ=- ,则 P - =- P- 7 n+1 7 6 n 7
3 5 3
, 又 P- = ≠0,所以 P- 1 7 21 n 7
5 1
是以 为首项, - 为公比 21 6
3 5 1
的等比数列. 12 分 (3) 解: 由 (2) 得, P= + ×-
n 7 21 6
n-1
.由题意, 只需 P>1-P, 即 P>
n n n
1
n=1,2,⋯,10
2
3 5 1
,则 + ×-
7 21 6
n-1 1 1
> , 即 -
2 6
n-1 3
> n=1,2,⋯,10
10
. 14 分显然 n 必为奇
数,偶数不成立.
1
当 n=1,3,5,7,9 时, 有 -
6
n-1 1
=
6
n-1 3 1
> . 15 分当 n=1 时,显然成立.当 n=3 时,
10 6
2 3
-
10
<0, 所以当 n=3 时不成立.
1
因为 y=
6
n-1
单调递减, 所以 n=5,7,9 也不成立.
综上,该同学只有 1 天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
19（. 17分）已知函数fx =2ex+ax.
(1)讨论fx 的单调性;
(2)若方程fx =m有两个不相等的根x 1 ,x 2 , 且00 在 R 上恒成立, 即 fx 在 R 上单调递增.
当 a<0 时, 由 f x
a
>0, 得 x>ln-
2
, 由 f x
a
<0, 得 xln- 2 2
a
,2ln- 2
a
-x >ln- 1 2 , 而 fx
a
在 ln- 2 ,+∞ 上单调递增,
·267·a
所以 x <2ln-
2 2
a
-x , 即 x +x <2ln-
1 1 2 2
,
故 f x 1 x 2 <0.
·268·河北省 2024 届高三年级大数据应用调研联合测评 (V)
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知复数z满足1-2i
⋅z=i2024(i为虚数单位)，则z= ( )
1+2i 1-2i 1+2i 2i-1
A. B. C.- D.
5 5 5 5
答案 B
解析 由1-2i
1 1+2i 1-2i
⋅z=i2024，得z= = ，所以z= ，故选B，
1-2i 5 5
2.已知a,b为平面向量，其中|a|=1,|b|=2,a⋅b=1，则b-2a = ( )
A.1 B.2 C.2 3 D.4
答案 B
解析 由|a|=1,|b|=2,a⋅b=1可知b-2a = |b -2a |2= b 2 -4a ⋅b +4a 2 = 4-4+4=2，故选B.
3.德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共
元素 ，则称集合 A ､ B 互为正交集合. 规定空集是任何集合的正交集合. 若全集 U =
x∣10)满足对于任意x∈R都有 fx
π
≤ f
3
.若函数 fx 在区间
·269·π π
,
8 2
上有且仅有一个零点，则ω的最大值为 ( )
21 15
A.3 B. C. D.5
4 4
答案 A
解析 由题意可知函数fx
π π π π
的图象关于直线x= 对称，且 ∈ ,
3 3 8 2
，设fx 的最小正周期为T，
则函数fx
π π
在区间 ,
8 2
π π T π π π π 5π
上有且仅有一个零点当且仅当 - ≤ < - ，即 ≤ < ，
2 3 4 3 8 6 2ω 24
12
所以 <ω≤3，所以ω的最大值为3.故选A.
5
1 3 2 3
6.已知a､b均为正实数，且满足 + =2，则 + 的最小值为 ( )
a b 2a-1 2b-3
A.2 B.2 2 C.2 3 D.2 6
答案 B
1 3 2 3 6a+4b-9
解析 由 + =2，得3a+b=2ab，所以 + =
a b 2a-1 2b-3 2a-1 2b-3
=
6a+4b-9 6a+4b-9 1
，又6a+4b= 6a+4b
4ab-6a-2b+3 3 2
1 3
+
a b
1 4b 18a
= 18+ +
2 a b
≥9+6 2，当
4b 18a
= ,
a b
且仅当 即
1 3
+ =2,
a b
1+ 2
a= , 2
=
32+ 2
b=
2 3
时取等号.所以 + ≥2 2，故选B.
2a-1 2b-3
4
7.陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名
录.陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠.其中木质件的形状为上部是底面半
径为2.2cm，高为1.63cm的圆柱，下部为上底半径为2.2cm，下底半径为0.21cm，高为0.78cm的圆台.若
陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为 ( )
A.2.21cm B.2.22cm C.2.23cm D.2 2cm
答案 A
解析 由题意可知当本质件几何体内接于球形原料时，所用原料的半径最小，此时取几何体的轴截面，
得到如图所示的图形.则O O =1.63+0.78=2.41=OO +OO ,O F=2.2cm,O D=0.21cm，设外，
1 2 1 2 1 2
接球半径为R,OO
1
=xcm因为
O
O
1 F
D
2
2
+
+
O
O
O
O
2 1
2
=
=
R
R
2
2
，所以
0
2
.
.
2
2
1
2+
2+
x2
(
=
2.
R
41
2,
-
①
x)2=R2,②
由①-②得x=0.21
2 2
代入①得R=2.21cm，故选A.
·270·8.已知圆C :x2+y2=4上有一动点P，圆C :(x-2)2+(y-3)2=1上有一动点Q，直线l:x-y+3=0上有一
1 2
动点M，直线PM与圆C 1 相切，直线QM与圆C 2 相切，则PM +QM 的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.2 6 D. 14+ 2
答案 D
解析 由已知得C 10,0 ,C 22,3 ，设直线l : :x-y+3=0上动点Mx 0 ,x 0 +3 ，则PM = C M2-4= 1
2x2 0 +6x 0 +5,QM = C 2 M2-1= 2x2 0 -4x 0 +3，则PM +QM = 2x2+6x +5+ 2x2-4x +3= 0 0 0 0
5 3 2 x2+3x + + x2-2x + 0 0 2 0 0 2 3 = 2 x + 0 2 2 1 +0- 2 2 + x 0 -1 2 2+0+ 2 2 .设
3 1
A- , 2 2
2
,B1,- 2 ,Nx 0 ,0 ，则PM +QM = 2 AN +BN ≥ 2AB = 14+ 2，当且仅当A
､B､N三点共线时取等号，故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
π
9.已知α,β∈0,
2
,cosα+β
5
= ,sinα-β
13
3
= ，则 ( )
5
A.sinα+β
12
= B.cosα-β
13
4 63 tanα 33
=- C.sin2α= D. =
5 65 tanβ 7
答案 ACD
π π π π
解析 因为0<α< ,0<β< ，所以0<α+β<π,- <α-β< ，
2 2 2 2
因为cosα+β
5
= ，所以sinα+β
13
= 1-cos2 α+β
12
= ，故A正确；
13
因为sinα-β
3
= ，所以cosα-β
5
= 1-sin2 α-β
4
= ，故B错误；
5
sin2α=sin α+β +α-β =sinα+β cosα-β +cosα+β sinα-β
12 4 5 3
= × + × =
13 5 13 5
63
，故
65
C正确；
sinα+β
12
=sinαcosβ+cosαsinβ= ，①sinα-β
13
3
=sinαcosβ-cosαsinβ= ，②
5
99 21
①+②得2sinαcosβ= ，②-①得2sinβcosα= ，
65 65
99
2sinαcosβ 65 33 tanα 33
上述两式相除即可得 = = ，则 = ，故D正确.故选ACD.
2sinβcosα 21 7 tanβ 7
65
10.双曲抛物面又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学､建筑学､美学中有着广泛的应用.在
空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑
·271·x2
动(两条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为
a2
y2
- =2z(a>0,b>0)，则下列说法正确的是 ( )
b2
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为1,0,0 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为1,1,0 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
答案 AB
解析 平行于xOy平面的面中z为常数，不妨设为z 0z 0 ≠0
x2 y2
，得 - =2z ，故所得轨迹是双曲线，A a2 b2 0
正确；法向量为1,0,0
b2x2
的平面中x为常数，不妨设为x ，则y2=-2b2z+ 0，为抛物线方程，故B正确； 0 a2
a2y2
垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为y ，则x2=2a2z+ 0，为抛物线方程，故C不正确；设平面上的
0 b2
点坐标为Ax,y,z
，因为平面过原点且法向量为n=1,1,0
，由OA⋅n=0，得x+y=0，故y=-x，代入马
1 1
鞍面标准方程，得 -
a2 b2
x2=2z，当a=b时，方程为z=0，不是抛物线.故D不正确.故选AB.
11.已知函数fx 是定义在R上的连续可导函数，且满足①f2-x -fx =2x3-6x2+12x-8；②fx 为
奇函数，令gx =fx +x3，则下列说法正确的是 ( )
A. gx 的图象关于x=1对称 B. f 1 =-3
C. f2024 =20243 D. f 2023 =-3×20232
答案 ABD
解析 由gx =fx +x3，则g2-x =f2-x +(2-x)3，所以g2-x -gx =f2-x -
fx +(2-x)3-x4=f2-x -fx -2x3+6x2-12x+8=0.所以g2-x =gx .所以gx 的图象关
于x=1对称.又因为fx 是奇函数.故gx 为奇函数.所以gx 为周期为4的周期函数.
对于A.由上面分析得gx 的图象关于x=1对称.A正确：对于B.因为gx 的图象关于x=1对称.故g
1 =0.因为g x =f x +3x2.故f 1 =g 1 -3=-3.B正确：对于C.g2024 =g0 =0=f2024
+20243，故f2024 =-20243.C错误.对于D.因为gx 为周期为4的奇函数.故g x 为周期为4的偶函
数，g 2023 =g -1 =g 1 =0=f 2023 +3×20232，故f 2023 =-3×20232，D正确.故选ABD.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知(x+2)4 2x2+3x =a +a x+a x2+⋯+a x6，则a = .
0 1 2 6 4
·272·答案 72
解析 (x+2)4的展开式的通项为T =Crx4-r⋅2r，则T=C1x3⋅2=8x3,T=C2x2⋅22=24x2，则a =24×2+
r+1 4 2 4 2 4 4
8×3=72.
x2 y2
13.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左､右焦点分别为F ､F，点P为第一象限内椭圆上一点，△FPF 的
a2 b2 1 2 1 2
内心为I1, 3 ，且∠FPI=30°，则椭圆的离心率为 . 1
3 5-1
答案
11
解析 设内切圆I与x轴､PF 1 ､PF 2 分别切于点A､B､C，故点A的坐标为1,0 ，则由切线长定理可知
AF 1 =F 1 B =c+1,BP =CP ,AF 2 =CF 2 =c-1，且内切圆半径r= 3.在Rt△BPI中，∠FPI=30°, 1
BI =r= 3，故BP =CP =3，所以PF 1 =c+4,PF 2 =c+2,△FPF 的周长为4c+6.由等面积法可 1 2
1
知 2 PF 1 +PF 2 +F 1 F 2
1
⋅r= 2 PF 1 ⋅PF 2
1
⋅sin60°.即 4c+6 2
3
⋅ 3= c+4 4 c+2 ，整理得c2
-2c-4=0，解得c=1+ 5或c=1- 5(合).由椭圆的定义得PF 1 +PF 2 =2a=2c+6.所以a=c+
c 1+ 5 3 5-1
3=4+ 5.所以e= = = .
a 4+ 5 11
14.已知数列a n
1 1
满足a 1 =2，且a n+1 =a2 n +4a n +2，则a n = ；令b n = a +3 + a +1 ，若b n
n n+1
的前n项和
为S ，则S = .
n n
1 1
答案 22n-2(2分) - (3分)
3 22n+1-1
解析 由a n+1 =a2 n +4a n +2，可得a n+1 +2=a2 n +4a n +4，即a n+1 +2=a n +2 2.两边取以4为底的对数得log 4
a n+1 +2 =2log 4a n +2 ，则数列 log 4a n +2 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以log 4a n +2 =
2n-1.所以a n =42n-1-2=22n-2.由a n+1 =a2 n +4a n +2，得a n+1 +1=a2 n +4a n +3=a n +1 a n +3
1
，则 = a +1
n+1
1
a n +1 a n +3
1 1 1
= -
2 a +1 a +3 n n
2 1 1 1 1 1
，得 = - ，故b = + = -
a +1 a +1 a +3 n a +3 a +1 a +1 n+1 n n n n+1 n
1 1 1 1 1
.所以S = - = - .
a
n+1
+1 n a
1
+1 a
n+1
+1 3 22n+1-1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）已知函数fx
m 1
=lnx+ - (m>0).
x2 2
(1)当m=1时，求曲线y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)若fx
1
≥ 恒成立，求实数m的取值范围.
2
解析 (1)f x
1 2m x2-2m
= - = (x>0)，
x x3 x3
当m=1时.f 1 =-1，
f1
1 1
=1- = .
2 2
所以曲线y=fx
1
在点(1,f(1))处的切线方程为y- =-x-1
2
.
3
即x+y- =0.
2
(2)由(1)得f x
1 2m x2-2m
= - = (x>0).
x x4 x4
因为m>0.所以由f x =0，得x= 2m，
所以当x∈0, 2m 时，f x <0,fx 单调递诚；
当x∈ 2m,+∞ 时.f x >0,fx 单调递增.
·273·所以f(x) =f 2m
min
=ln 2m.10分
由fx
1 1
≥ ，得f(x) =ln 2m≥ ， 2 min 2
e
解得m≥ .
2
e
所以实数m的取估范围为 ,+∞
2
.
x2 y2
16（. 15分）已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上
a2 b2
任意一点M到F的距离的最小值为2+ 3.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线l:y=kx+1交C于A､B两点，O为坐标原点，若OA⋅OB=10，求直线l的斜率k的值.
x2 y2 b
解析 (1)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x，故右焦点Fc,0
a2 b2 a
到直线y
b bc
= x的距离为
a
=b.所以b=1.
a2+b2
由题意知a+c=2+ 3.
故 b=1, ⇒ c2-a2=1, ⇒ c-a=2- 3 ⇒ c=2,
a+c=2+ 3 a+c=2+ 3 c+a=2+ 3 a= 3
x2
因此双曲线C: -y2=1.
3
(2)设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 .
y=kx+1
将了线l与双曲线C的方程联立得x2 ，
-y2=1
3
消去y整理得3k2-1
x2+6kx+6=0，
3k2-1≠0,
△=36k2-243k2-1
解得k2< 2 ，且k2≠ 1 ，
>0, 3 3
6 3k2+5
∴OA⋅OB=x x +1= +1= =10.
1 2 3k2-1 3k2-1
5
解得k2= ，满足题意.
9
5
所以k=± .
3
17（. 15分）已知在多面体PQABCD中，平面PADQ⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，四边
形PADQ为矩形，其中M和N分别为AD和AP的中点，AB= 7,BC=5,AD=DC=2.
(1)证明：平面BMN⊥平面QDC；
5
(2)若二面角N-BM-C的余弦值为- ，求直线BQ与平面BMN所成角的正弦值.
5
解析 (1)证明：∵四边形PADQ为矩形，∴DQ⊥AD，又∵平面PADQ⊥平面ABCD.平面PADQ∩平
面ABCD=AD,∴DQ⊥平面ABCD,∴DQ⊥BM.
·274·在BC边上取点E，使CE=AD=2，连接AE，又∵AD∥CE,∴四边形AECD为平行四边形.∴AE=2.
AE2+BE2-AB2 4+9-7 1
在△ABE中，BE=BC-CE=3，由余弦定理知.cos∠AEB= = = ，故∠AEB
2AE⋅BE 2×2×3 2
=60°.过点A作AF⊥BC于F，在Rt△AEF中.AF=AE⋅sin∠AEB= 3,EF=AE.cos∠AEB=1.故BF=
BE-EF=2.
以AF､AD､AP所在组线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以B 3,-2,0 ，
M0,1,0 ,D0,2⋅0 ,C 3,3,0
,∴BM =- 3,3,0
,DC= 3,1,0
,∴BM ⋅DC=- 3× 3+
3×1+0=0,∴BM⊥CD.
又∵CD∩DQ=D.∴BM⊥平面QDC，又∵BM⊂平面BMN，
∴平面BMN⊥平面QDC.
(2)平面BMC的一个法向量为m=0,0,1 ，
设N0,0,h
(h>0)，则MN=0,-1,h ，
设平面BMN的法向量为n=x,y,z .
则 n ⋅B M =0, 即 - 3x+3y=0 .取z=1.则x= 3h⋅y=h.
n⋅MN=0. -y+hz=0
∴平面BMN的一个法向量为n= 3h,h,1 .
设二面角N-BM-C的平面角为α.
则cosα
= cosm,n
m⋅n
=
m⋅ n
1 5
= = ，解得h=1. 3h2+h2+1 5
∴平面BMN的一个法向量为n= 3⋅1⋅1 ，
∴Q0.2,2
,∴BQ=- 3,4.2 .
设BQ与平面BMN所成角为θ.
则sinθ= cosn⋅BQ
n⋅BQ
=
n⋅
BQ
3 115
= . 115
18（. 17分）现有红､绿､蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，
4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球.所有球的大小､形状､质量完全相同.第一次
从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取
一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第k+1次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，
记录颜色后放回去.记第n次取出的球是红球的概率为P，
n
(1)求第3次取出的球是蓝球的概率；
(2)求P 的解析式
n
解析 (1)设第n次取出的球是绿球､蓝球的概率分别为a ､b .
n n
·275·1 1 1
显然P= ,a = ,b = .
1 2 1 4 1 4
1 1 1 3 1 1 1 5 1 1 1 5
则P= P+ a + b = ,a = P+ a + b = ,b = P+ a + b = .
2 2 1 4 1 4 1 8 2 4 1 2 1 4 1 16 2 4 1 4 1 2 1 16
1 1 1 21
故b = P+ a + b = .
3 4 2 4 2 2 2 64
(2)由上述规律可知
1 1 1
P= P + a + b ①
n 2 n-1 4 n-1 4 n-1
1 1 1
a = P + a + b ②
n 4 n-1 2 n-1 4 n-1
b = 1 P + 1 a + 1 b .③
n 4 n-1 4 n-1 2 n-1
1
将②-③得a n -b n = 4 a n-1 -b n-1 .
1
∵a =b = ,∴a =b .
1 1 4 n n
1 1
代入①得P= P + a ，
n 2 n-1 2 n-1
1-P
又∵P+a +b =1,∴P+2a =1,∴a = n，
n n n n n n 2
1 1
∴P= P + .
n 4 n-1 4
1 1 1
∴P- = P -
n 3 4 n-1 3
，
1 1
又∵P- = ，
1 3 6
1
∴数列P-
n 3
1 1
是首项为 ，公比为 的等比数列，
6 4
1 1 1
∴P- = ⋅
n 3 6 4
n-1
，
1 1
∴P= ⋅
n 6 4
n-1 1
+ .
3
19（. 17分）设a,b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡
bmodm .
(1)求证：233+1≡65mod7 ；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则np-1≡1modp ，这个定理称之为费马小定理.应用费马
小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有x13-x≡0mod546 ；
②求方程x9+x7-x3-x≡0mod35 的正整数解的个数.
解析 (1)证明：因为233=811=(7+1)11=C11711+C11710+⋯+C17+1，
11 11 11
所以233被7除所得的余数为1，
所以233+1被7除所得的余数为2，
又65被7除所得的余数为2.
所以233+1≡65mod7 .
(2)①证明：由费马小定理得x13-x≡0mod13 ，
又x13-x=xx12-1 =x x6 2-1 =xx6+1 x6-1 ，
所以x13-x≡0mod7 ，
同理：x13-x≡0mod2 ,x13-x≡0mod3 ，
因为2,3,7,13都为素数.2×3×7×13=546，
·276·所以x13-x≡0mod546 .
②易得x9+x7-x3-x=xx2+1 x6-1 =x2+1 x7-x ，
由费马小定理知道对于任意正整数x都有x7-x≡0mod7 ，
即x9+x7-x3-x≡0mod7 .
x9+x7-x3-x=xx2+1 x6-1 =xx2+1 x2-1 x4+x2+1 =x5-x x4+x2+1 ，
由费马小定理知道对于任意正整数x都有x5-x≡0mod5 ，
即x9+x7-x3-x≡0mod5 .
因为5和7互为质数.所以对于任意的正整数x都有x9+x7-x3-x≡0mod35 .
于是方程x9+x7-x3-x≡0mod35 的正整数解的个数为35.
·277·安徽省 1 号卷 A10 联盟 2024 届高三开年考
数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知向量a=(m,2),b=(1,-4)，若a⎳b，则实数m的值为 ( )
1
A.- B.-2 C.-1 D.8
2
答案 A
【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
1
解析 由向量a=(m,2),b=(1,-4)，因为a⎳b，可得-4m-2=0，解得m=- .
2
故选：A.
3
2.复数z=i+ 在复平面内对应的点位于 ( )
1-i3
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四像限
答案 D
【分析】利用复数的四则运算化简复数z，由几何意义得复平面内对应的点所在象限.
3 3 31-i
解析 z=i+ =i+ =i+
1-i3 1+i
3 1
= - i，
2 2 2
3 1
则在复平面内对应的点为 ,-
2 2
，位于第四象限.
故选：D．
3.已知直线l与曲线fx =ex+sinx在点 0,f0 处的切线垂直，则直线l的斜率为 ( )
1
A.-1 B.1 C.- D.2
2
答案 C
【分析】可得f x =ex+cosx，得到f 0 =2，进而求得直线l的斜率，得到答案.
解析 由函数fx =ex+sinx，可得f x =ex+cosx，
则f 0
1
=2，所以直线l的斜率为- .
2
故选：C．
4.已知正项数列a n
n+1 a
满足a = a ，则 8 = ( ) n+1 2n n a
4
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 8 4 2
答案 B
a
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列 n
n
的特性即可得解.
a 1 a a 解析 依题意， n+1 = ⋅ n，则数列 n n+1 2 n n 1 a a 1 是以 为公比的等比数列，因此 8 = 4 ⋅ 2 8 4 2 4 ，
a 1
所以 8 = .
a 8
4
·278·故选：B
5.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线为y=-2，点P,Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为-2,4 ，则直
线PQ的方程为 ( )
A. x+2y-6=0 B. x+3y-10=0 C.2x+y=0 D.2x+3y-8=0
答案 A
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为x2=8y，再利用点差法，即可求解.
p
解析 由抛物线C:x2=2py的准线为y=-2，可得- =-2，可得p=4，所以x2=8y，
2
设Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 ，可得 x x 2 1 2 = = 8 8 y y 1，且x 1 +x 2 =-4，
2 2
两式相减，可得x2-x2=(x -x )(x +x )=8(y -y )，
2 1 2 1 2 1 2 1
y -y x +x 1 1
可得k PQ = x 2 -x 1 = 2 8 1 =- 2 ，所以直线PQ的方程为y-4=- 2 x+2
2 1
，
即x+2y-6=0.
故选：A．
6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进
世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不
同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ( )
A.240 B.420 C.540 D.900
答案 C
【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为1:2:3或1:1:4或2:2:2，结合排列、组合数的计算公式，
即可求解.
解析 若三个景点安排的人数之比为1:2:3，则有C1C2A3=360种安排方法；
6 5 3
C1C1
若三个景点安排的人数之比为1:1:4，则有 6 5 ⋅A3=90种安排方法；
A2 3
2
C2C2
若三个景点安排的人数之比为2:2:2，则有 6 4 ⋅A3=90种安排方法，
A3 3
3
故不同的安排方法种数是360+90+90=540．
故选：C．
7.如图，AB为圆锥SO底面圆的一条直径，点C为线段SA的中点，现沿SA将圆锥SO的侧面展开，所得的
平面图形中△ABC为直角三角形，若SA=4，则圆锥SO的表面积为 ( )
32π 16π
A. B. C.8π D.12π
9 9
答案 B
·279·2π
【分析】根据题意，得到BC⊥SA，由SC=CA，求得∠ASA= ，结合圆锥的侧面积公式和圆的面积公
3
式，即可求解.
解析 如图所示，作出展开图，可得∠CAB,∠CBA为锐角，故BC⊥SA，
2π
由SC=CA，可得BS=BA，即△ASB为等边三角形，所以∠ASA= ，
3
2π
4×
则圆锥的侧面积为 1 × 2π ×16= 16π ，底面积π× 3
2 3 3 2π
2
16π = ，
9
16π
所以圆锥SO的表面积为 .
9
故选：B．
8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，则A,B两点间的曼
哈顿距离dA,B =x 1 -x 2 +y -y 1 2 ，已知M4,6 ，点N在圆C:x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足
d(M,P)=2，则PN 的最大值为 ( )
17 2
A.7 3+ 13 B. + 13 C. 145+ 13 D. 149+ 13
2
答案 D
【分析】求得圆心C，半径r= 13，设P(x 0 ,y 0 )，则x 0 -4 +y -6 0 =2，可得点P的轨迹为正方形，结合圆
的性质，即可求解.
解析 如图所示，由圆C:x2+y2+6x+4y=0，可得(x+3)2+(y+2)2=13，
则圆心C(-3,-2)，半径r= 13，
设P(x 0 ,y 0 )，则x 0 -4 +y -6 0 =2，可得点P的轨迹为如下所示的正方形，
其中A(4,8),B(6,6)，则AC = 149,BC = 145，
则PN ≤AC +r= 149+ 13，所以PN 的最大值为 149+ 13.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.已知函数fx
1 π
=2sin x-
3 4
，则 ( )
9π
A.直线x= 为fx
4
图象的一条对称轴
·280·3π
B.点- ,0
4
为fx 图象的一个对称中心
C.将fx
3π
的图象向右平移 个单位长度后关于y轴对称
4
D. fx 在π,3π 上单调递增
答案 AC
【分析】由正弦函数的对称轴，对称中心，平移，单调性性质逐一判断选项即可.
9π
解析 A：f
4
1 9π π
=2sin × -
3 4 4
=2，故A正确；
3π
B：f-
4
1 3π π
=2sin- × -
3 4 4
=-2，故B错误；
C：将函数fx
3π 3π
的图象向右平移 个单位长度后，得到fx-
4 4
1 3π
=2sin x-
3 4
π
-
4
=
x
-2cos ，偶函数，故C正确；
3
D：因为x∈π,3π
1 π π 3π
，所以 x- ∈ ,
3 4 12 4
，则函数fx 在π,3π 上先增后减，故D错误．
故选：AC．
10.已知棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中，动点M在棱DD 上，记平面BC M截正方体所得的截面图
1 1 1 1 1 1
形为Ω，则 ( )
A.平面A BC⊥平面B C D B.不存在点M，使得直线CM⎳平面BA C
1 1 1 1 1
C. B M+CM的最小值为2 4+2 2 D.Ω的周长随着线段DM长度的增大而增大
1
答案 ACD
【分析】根据几何体特征判断A选项,根据线面平行的判定定理判断B选项,结合距离和最小判断C选
项,根据导数结合函数单调性判断D选项.
解析 由于正方体的对角面相互垂直，故A正确；
当点M与D 重合时，直线CM⎳平面BA C ，故B错误；
1 1 1
将四边形DCC 1 D 1 翻折至与四边形BB 1 D 1 D共面，则B 1 M+CM≥B 1 C= 2 2+2 2+22=2 4+2 2，
故C正确；
当DM=0时，Ω为△BC D，且△BC D的周长为6 2．
1 1
当DM=2时，Ω为四边形ABC D ，且四边形ABC D 的周长为4+4 2．
1 1 1 1
当00，解得0b>0)的左､右焦点分别为F ,F ，过F 的直线与C交于M,N两点，若
a2 b2 1 2 1
3S =7S ，且∠FFN=∠FNF，则C的离心率为 ．
△MNF2 △MF1F2 2 1 2 1
5
答案
7
【分析】作F 2 E⊥MN，分别求得MF 1
3
= (a-c)，ME 2
5
= 2 (a-c)，MF 2
a+3c
= ，在直角△MFE中， 2 2
利用勾股定理，列出关于离心率e的方程，结合离心率的定义，即可求解.
解析 如图所示，作FE⊥MN，垂足为E，
2
因为∠F 2 F 1 N=∠F 2 NF 1 ，所以F 1 F 2 =F 2 N =2c，点E为FN的中点， 1
所以F 1 N =2a-2c,F 1 E =a-c，
因为3S =7S ，所以 MF 1
△MNF2 △MF1F2
MN
3 = ，
7
所以MF 1
3
= 4 NF 1
3 3
= ⋅2(a-c)= (a-c)， 4 2
所以ME =MF 1 +F 1 E
3 5
= (a-c)+(a-c)= (a-c)， 2 2
所以MF 2 =2a-MF 1
3 a+3c
=2a- (a-c)= ， 2 2
5 在直角△MFE中，由勾股定理可得 (a-c)
2 2
2 +(2c)2-(a-c)2= a+3c
2
2 ，
整理得到5a2-12ac+7c2=0，即7e2-12e+5=0，
5
因为e∈(0,1)，解得e= .
7
5
故答案为： .
7
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（. 13分）2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷
爱好者的热议，为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取了
200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示．
购车意愿
性别 合计
愿意购置该款汽车 不愿购置该款汽车
男性 100 20 120
女性 50 30 80
合计 150 50 200
(1)请根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否有关；
(2)用频率估计概率，随机抽取两名车迷作深度访谈，记其中愿意购置该款汽车的人数为X，求X的分布
·283·列与期望．
n(ad-bc)2
参考公式：χ2=
a+b c+d a+c b+d
，其中n=a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.70
x 3.841 6.635 7.879 10.828
α
6
答案 (1)认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．
3
(2)分布列见解析，数学期望为 ．
2
【分析】(1)由题中公式计算χ2，得出结果；
3
(2)由题意得到二项分布X∼B2,
4
，求出相应的概率，列出分布列，用公式求出数学期望即可.
解析 (1)零假设为H ：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关．
0
200×100×30-50×20
根据表中数据可得χ2=
2
≈11.111>10.828，
120×80×150×50
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，
0
即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．
150 3
(2)由题意得，随机抽取到1名愿意购置该款汽车的车迷的概率为 = ，
200 4
3
故X∼B2,
4
，
所以PX=0 3 =C01- 2 4 2 1 = ,PX=1 16 3 3 =C1× ×1- 2 4 4 3 = ， 8
PX=2 3 =C2 2 4 2 9 = ， 16
故X的分布列为
X 0 1 2
1 3 9
P
16 8 16
EX
1 3 9 3
=0× +1× +2× = .(或EX
16 8 16 2
3 3
=2× = )
4 2
16（. 15分）如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=AB= 2，点O是AC的中点，点P在棱SD上(异于端点)．
(1)若点P是棱SD的中点，求证：平面SAD⊥平面PAC；
5
(2)若二面角S-AC-P的余弦值为 ，求线段SP的长．
5
答案 (1)证明见解析
2 2
(2)
3
·284·【分析】(1)由线面垂直证明面面垂直，先证明SD⊥平面PAC，即可得出平面SAD⊥平面PAC.
(2)分别以OB,OC,OS为x轴､y轴､z轴正方向建系，设SP=λSD,0<λ<1，则SP=-λ,0,-λ 进而表
示出AP=-λ,1,1-λ
，求出平面PAC的一个法向量为n=1-λ,0,λ ，再利用二面角S-AC-P的余
5 2
弦值为 求出λ= ，最后得出结果.
5 3
解析 (1)由题意得，正四棱锥所有棱长均为 2，
因为P是SD的中点，所以CP⊥SD,AP⊥SD，
因为AP∩CP=P，且AP,CP⊂平面PAC，所以SD⊥平面PAC，
又因为SD⊂平面SAD，所以平面SAD⊥平面PAC．
(2)如图，连接OB，易知OB,OC,OS两两垂直，分别以OB,OC,OS为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所
示的空间直角坐标系Oxyz，
则A0,-1,0 ,C0,1,0 ,S0,0,1 ,D-1,0,0 ，
所以AC=0,2,0
,SD=-1,0,-1 ．
设SP=λSD,0<λ<1，则SP=-λ,0,-λ ，
所以P-λ,0,1-λ
，所以AP=-λ,1,1-λ ．
设平面PAC的法向量为n=x,y,z
n⋅AP=-λx+y+1-λ
，则
z=0
，
n⋅AC=2y=0
令z=λ，则x=1-λ，所以平面PAC的一个法向量为n=1-λ,0,λ ．
易知平面SAC的法向量为OB=1,0,0 ，
设二面角S-AC-P的平面角为θ，
则cosθ=cosOB,n
OB⋅n
=
OB n
1-λ
=
1-λ
5
= ， 2+λ2×1 5
2
即3λ2-8λ+4=0，解得λ= 或λ=2(不合题意，舍去)，
3
2 2 2
此时SP= SD= ．
3 3
x2 y2
17（. 15分）已知双曲线C: a2 - b2 =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F 1 ,F 2 ，点A- 6, 2 在C上，且
△AFF 的面积为 6．
1 2
(1)求双曲线C的方程；
1
(2)记点A在x轴上的射影为点B，过点B的直线l与C交于M,N两点．探究：
BM
1
+
2 BN
是否为定
2
值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
x2
答案 (1) -y2=1
2
·285·1
(2)
BM
1
+
2 BN
=1，为定值．
2
1
【分析】(1)根据△AFF 的面积为 6，表示为 ⋅2c⋅ 2= 6，结合双曲线方程，即可得到答案；
1 2 2
(2)首先设直线l的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示BM 和BN ，并利用韦达定理表示，即可化简
求解.
解析 (1)设双曲线的焦距为2c(c>0)，
1
⋅2c⋅ 2= 6
2
由题意得，a2+b2=c2 ，
6 2
- =1
a2 b2
a= 2
x2
解得b=1 ，故双曲线C的方程为 -y2=1．
2
c= 3
(2)
由题意得，B- 6,0 ，
1
当直线MN的斜率为零时，则
BM
1 1
+ =
2 |BN|2 2+ 6
1
+
2 6- 2
2+ 6
=
2
2+ 2- 6 2
2-6 2
16
= =1．
16
当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为x=my- 6，点Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，
x2
-y2=1
联立 2 ，整理得m2-2
x=my- 6
y2-2 6my+4=0，
m2-2≠0
则
Δ=24m2-16m2-2
，解得m≠ 2且m≠- 2，
>0
2 6m 4
所以y +y = ,y y = ，
1 2 m2-2 1 2 m2-2
1
所以
BM
1
+
2 BN
1
=
2 1+m2
1
+
y2 1+m2 1
1 y2+y2
= ⋅ 1 2
y2 1+m2 y2y2 2 1 2
= 1 ⋅ y 1 +y 2
1+m2
2 6m
2-2y y 1 m2-2 1 2 = ⋅
y2y2 1+m2
1 2
2 4
-2⋅
m2-2
4
m2-2
1 16m2+16 = ⋅ =1．
2 1+m2 16
1
综上，
BM
1
+
2 BN
=1，为定值．
2
18（. 17分）已知函数fx =xk+1 lnx-λx ，其中k,λ∈R．
(1)若k=-1，讨论fx 在1,4 上的单调性；
·286·(2)若存在正数k，使得∀x 1 ,x 2 ∈0,+∞ ，且x ≠x 时， fx 1 1 2 -fx 2 <0，求λ的取值范围． x -x
1 2
答案 (1)答案见解析.
1
(2) ,+∞
e
【分析】(1)求导f x
1-λx 1
= ，讨论λ的正负及 与1和4的大小关系判断单调性；
x λ
(2)先转化为f x ≤0，构造新函数得Fx ≤0，求导分类讨论判断Fx 单调性，当λ>0分离参数求得
范围.
解析 (1)由题意得，fx =lnx-λx,x∈1,4 ,f x
1 1-λx
= -λ= ．
x x
若λ≤0，则f x >0，此时fx 在1,4 上单调递增；
1
若0<λ≤ ，则f x
4
≥0，此时fx 在1,4 上单调递增；
若λ≥1，则f x ≤0，此时fx 在1,4 上单调递减；
1 1
若 <λ<1，则当x∈ 1,
4 λ
时，f x
1
>0，当x∈ ,4
λ
时，f x <0，
故fx
1
在 1,
λ
1
上单调递增，在 ,4
λ
上单调递减．
1
综上所述，当λ≤ 时，fx
4
在1,4 上单调递增；
1
当 <λ<1时，fx
4
1
在 1,
λ
1
上单调递增，在 ,4
λ
上单调递减；
当λ≥1时，fx 在1,4 上单调递减．
(2)由题意得，∃k∈0,+∞ ，使得函数fx 在0,+∞ 上单调递减，
f x =k+1 xk lnx-λx
1
+xk+1 -λ
x
=xk k+1 lnx-λk+2 x+1 ．
令Fx =k+1 lnx-λk+2 x+1，
问题即转化为：∃k∈0,+∞ ,∀x∈0,+∞ ,Fx ≤0．
①当λ≤0时，F x
k+1
= -λk+2
x
>0，且单调递增，
易知x→+∞,Fx →+∞，不合题意，舍去．
②当λ>0时，因为F x
k+1
= -λk+2
x
，
∴Fx
k+1
在 0,
λk+2
k+1
上单调递增，在
λk+2
,+∞ 上单调递减，
∴Fx
k+1
=F max λk+2 =k+1
k+1
ln λk+2 -k≤0．
即∃k∈0,+∞
k+1 k
，使得lnλ≥ln - ．
k+2 k+1
令Gk
k+1 k
=ln - =lnk+1
k+2 k+1
-lnk+2
1
+ -1，
k+1
故G k
1 1 1
= - -
k+1 k+2 k+1
-1
=
2 k+2 k+1
<0，
2
∴Gk 在0,+∞ 上单调递减，且当k→+∞时，Gk
1
=ln1-
k+2
1
+ -1→-1，
k+1
1
∴lnλ>-1,∴λ> ．
e
1
综上所述，实数λ的取值范围为 ,+∞
e
．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性及恒成立问题，注意第二问双变量k,x的处理，先看做x的恒成
立问题，再对k有解.
·287·19（. 17分）基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a ,a ,⋯,a ，它们的算术平均不小于它们的几
1 2 n
a +a +⋯+a
何平均，即 1 2 n n ≥ na 1 a 2 ⋯a n ，当且仅当a 1 =a 2 =⋯=a n 时，等号成立．若无穷正项数列a n 同
时满足下列两个性质：①∃M>0,a n 0,证明②；
n 2n-1 n 2n-1
(3)结合二项式定理及n元基本不等式求解.
n n 4 3 n n 4 n 4
解析 (1)∵a = + + ≥3 ⋅ ⋅ =3，当且仅当 = ，即n=2时，等号成立，
n 2 2 n2 2 2 n2 2 n2
∴数列a n
4
的最小项为a =2+ =3． 2 22
(2)数列S n 具有性质P．
1 1 1
∵b = = ≤ ，
n 2n-1 2n-1+2n-1-1 2n-1
1
1-
i=1 i=1 1 1 1 1 2n 1
∴S =∑b≤∑ =1+ + +⋯+ = =21-
n n i n 2i-1 21 22 2n-1 1- 1 2n
2
<2,，
∴数列S n 满足条件①．
1
∵b n = 2n-1 >0,∴S n 1，等号取不到)
n
·288·1
n+1+ ⋅n
=
n
n+1
n+1
1
=1+
n+1
n+1
=c ,
n+1
∴c n 为单调递增数列，∴数列c n 满足条件②．
综上，数列c n 具有性质P.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.
·289·黑龙江省“六校联盟” 2023 - 2024 学年高三下学期联合性适应
测试数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合P=1,2 ，Q=2,3 ，若M=xx∈P,x∉Q ，则M= ( )
A. 1 B. 2 C. 1,3 D. 1,2,3
答案 A
【分析】根据集合M的定义可得集合M.
解析 因为集合P=1,2 ，Q=2,3 ，则M=xx∈P,x∉Q =1 .
故选：A.
2.在正项等比数列a n 中，S 为其前n项和，若S =10，S =30，则S 的值为 ( ) n 10 20 30
A.50 B.70 C.90 D.110
答案 B
【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.
解析 由等比数列的片段和性质得S ，S -S ，S -S 成等比数列
10 20 10 30 20
所以S 20 -S 10 2=S 10S 30 -S 20
所以30-10 2=10S 30 -30 ，
解得S =70.
30
故选：B.
π
3.已知α∈0,
2
π
，且cosα-
4
= 3cos2α，则sin2α= ( )
5 1 1 5
A.- B.- C. D.
6 6 6 6
答案 D
【分析】由两角差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可得出cosα-sinα的值，再利用cosα-sinα 2
=1-sin2α可求得sin2α的值.
π
解析 因为α∈0,
2
，则sinα>0，cosα>0，所以，sinα+cosα>0，
π
由cosα-
4
2
= 3cos2α可得 cosα+sinα
2
= 3cos2α-sin2α = 3cosα+sinα cosα-sinα ，
6
所以，cosα-sinα= ，
6
所以，cosα-sinα
6
2=1-2sinαcosα=1-sin2α=
6
2 1 5
= ，故sin2α= .
6 6
故选：D.
4.已知a、b为单位向量，且a-2b
=a+b
，则a、b的夹角为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 B
·290·
【分析】设a、b的夹角为θ，则0≤θ≤π，利用平面向量数量积的运算性质可得出cosθ的值，即可得出角
θ的值.
解析 设a、b的夹角为θ，则0≤θ≤π，由已知可得a
=b
=1，a-2b
=a+b ，
所以，a-2b 2 =a+b 2，即a 2 -4a ⋅b +4b 2 =a 2 +2a ⋅b +b 2，
即a 2 -4a ⋅b cosθ+4b 2 =a 2 +2a ⋅b cosθ+b 2，即5-4cosθ=2+2cosθ，
1 π
解得cosθ= ，故θ= ，
2 3
故选：B.
5.已知F为抛物线C:y2=2pxp>0 的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A,B两点，若FA ⋅FB =2，
则p= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
【分析】写出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算求解即可.
p
解析 由已知得F ,0 2
p
，则过F且斜率为1的直线为y=x- 2 ，设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
p
y=x- p2
联立 2 ，消去y得x2-3px+ =0，
4
y2=2px
p2
则x +x =3p,x x = ，Δ=9p2-p2=8p2>0，
1 2 1 2 4
FA ⋅FB
p
=x + 1 2
p
x + 2 2
p
=x 1 x 2 + 2 x 1 +x 2
p2 p2 p p2
+ = + ×3p+ =2， 4 4 2 4
解得p=1.
故选：A.
6.“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，
即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离是在南北方向
上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得距离(简称欧氏距离)”是指平面上两点的直线
距离，如图a所表示的就是曼哈顿距离，b所表示的就是欧氏距离，若Ax 1 ,y 1 、Bx 2 ,y 2 ，则两点的曼哈
顿距离DA,B =x 1 -x 2 +y -y 1 2 ，而两点的欧氏距离为dA,B = x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2，设点O0,0 ，在
平面内满足dM,O ≤1的点组成的图形面积记为S 1 ，DM,O ≤1的点组成的图形面积记为S ，则 2
S 1 -S 2 = ( )
A.0 B.π-2 C.π-1 D.4-π
答案 B
【分析】设点Mx,y ，分析dM,O =1，DM,O =1所表示的图形，求出S 、S ，即可得解. 1 2
解析 设点Mx,y ，则dM,O = x2+y2≤1，可得x2+y2≤1，
·291·方程x2+y2=1表示以原点为圆心，半径为1的圆，则S =π×12=π，
1
DM,O =x +y ≤1，对于方程x +y =1，
当x≥0、y≥0时，则有x+y=1；
当x≤0、y≥0时，则有-x+y=1，即x-y=-1；
当x≤0、y≤0时，则有-x-y=1，即x+y=-1；
当x≥0、y≤0时，则有x-y=1.
作出方程x +y =1表示的图形如下图所示：
所以，方程x +y =1表示的图形是边长为 2的正方形，则S 2 = 2 2=2，
故S 1 -S 2 =π-2.
故选：B.
7.已知a=20232022，b=20242023，c=20252024，则 ( )
A.a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a
答案 C
【分析】构造函数fx
lnx
= ，其中x>e2，利用导数分析函数fx
x+1
的单调性，再由函数fx 的单调性
结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
解析 构造函数fx
lnx
= ，其中x>e2，则f x
x+1
1
x+1 x
=
-lnx
x+1
1
1+ -lnx x
=
2 x+1
<0，
2
令gx
1
=1+ -lnx，则g x
x
1 1
=- - <0对任意的x>e2恒成立，
x2 x
当x>e2时，gx f2023 >f2024 ，
即lna>lnb>lnc，故a>b>c.
故选：C.
8.以正方体ABCD-A B C D 的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取
1 1 1 1
一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
58 29 29 29
答案 B
·292·【分析】找出各面都不是直角三角形的三棱锥，并求出全部三棱锥的个数，结合古典概型的概率公式可求
得所求事件的概率.
解析 如下图所示：
三棱锥C -A BD各面都是等边三角形，这样的三棱锥还有三棱锥A-CB D ，共2个，
1 1 1 1
从正方体ABCD-A B C D 的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，
1 1 1 1
从8个顶点中任取三点不共线，若取4个点，若这四点共面，则四点所在的面是正方体的侧面或底面，
或者是正方体的对角面，如面AA C C，对角面的个数为6个，
1 1
所以，从正方体ABCD-A B C D 的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，
1 1 1 1
不同的三棱锥的个数为C4-12=70-12=58，
8
2 1
因此，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为 = .
58 29
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
π
9.已知直线x= 是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，则 ( )
8
π
A. fx+
8
3π
是偶函数 B. x= 是f(x)图象的一条对称轴
8
π π
C. f(x)在 ,
8 2
π
上单调递减 D.当x= 时，函数f(x)取得最小值
2
答案 AC
π π π
【分析】根据x= 为图象的对称轴，求出φ= ，从而得到fx+
8 4 8
=cos2x，得到A正确；整体法求解
π π
函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在 ,
8 2
π
上单调递减；代入x= 求出
2
π π
sin2× +
2 4
2
=- ，D错误.
2
π
解析 因为直线x= 是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，
8
π π
所以2× +φ=kπ+ ，k∈Z，
8 2
π
又0<φ<π，所以φ= ，所以fx
4
π
=sin2x+
4
．
π
fx+
8
π
=sin2x+
2
=cos2x，是偶函数，故A正确；
π π kπ π
令2x+ =kπ+ (k∈Z)，解得:x= + (k∈Z)，
4 2 2 8
kπ π 3π
所以f(x)图象的对称轴方程为x= + (k∈Z)，而x= 不能满足上式，故B错误；
2 8 8
·293·π π
当x∈ ,
8 2
π π 5π
时，2x+ ∈ ,
4 2 4
，此时函数f(x)单调递减，故C正确；
π π
显然函数f(x)的最小值为-1，当x= 时，f
2 2
π π
=sin2× +
2 4
2
=- ，故D错误．
2
故选：AC．
10.已知A2,0 、B4,1 ，点Mx,y 为曲线C上动点，则下列结论正确的是 ( )
A.若C为抛物线y2=8x，则 MA +MB =2+ 17 min
x2 y2
B.若C为椭圆 + =1，则 MA 25 21 +MB =10- 37 min
y2
C.若C为双曲线x2- =1，则 MA 3 +MB = 37-2 min
1
D.若C为圆x2+y2=1，则 MA
2
+MB
53
=
2
min
答案 BCD
【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用椭圆的定义以及数形结合可判断B选项；利
用双曲线的定义以及数形结合可判断C选项；利用圆的方程以及数形结合可判断D选项.
解析 对于A选项，如下图所示：
抛物线y2=8x的焦点为A2,0 ，准线方程为x=-2，
设点M在直线x=-2上的射影点为E，由抛物线的定义可得ME =MA ，
所以，MA +MB =ME +MB ，
由图可知，当E、M、B三点共线时，MA +MB =ME +MB 取最小值，
且其最小值为点B到直线x=-2的距离，即 MA +MB =6，A错； min
对于B选项，如下图所示：
x2 y2
对于椭圆 + =1，a=5，b= 21，则c= a2-b2= 25-21=2，
25 21
x2 y2
则点A为椭圆 + =1的右焦点，取D-2,0
25 21
为该椭圆的左焦点，
由椭圆的定义可得MA =2a-MD =10-MD ，
所以，MA +MB =10+MB -MD ≥10-BD =10- 4+2 2+1=10- 37，
当且仅当M为射线DB与椭圆的交点时，MA +MB 取最小值10- 37，B对；
·294·y2
对于C选项，对于双曲线x2- =1，a=1，b= 3，则c= a2+b2= 1+3=2，
3
所以，点A2,0
y2
为双曲线x2- =1的右焦点，
3
取D-2,0
y2
为双曲线x2- =1的右焦点，如下图所示：
3
当点M在双曲线的右支时，由双曲线的定义可得MD -MA =2a=2，则MA =MD -2，
所以，MA +MB =MD +MB -2≥BD -2= 37-2，
当且仅当M为线段BD与双曲线右支的交点时，等号成立；
当点M在双曲线的左支时，由双曲线定义可得MA -MD =2a=2，
则MA =MD +2，所以，MA +MB =MD +MB +2≥BD +2= 37+2，
当且仅当M为线段BD与双曲线左支的交点时，等号成立.
综上所述，MA +MB = 37-2，C对； min
1
对于D选项，记点H ,0
2
，对于点Mx,y ，易知-1≤x≤1，-1≤y≤1，
MA = x-2 2+y2= x2-4x+4+y2= x2-4x+1+y2+3x2+y2
= 4x2-4x+1+4y2= 2x-1 2+2y 1 2=2 x-
2
2 +y2=2MH ，
如下图所示：
1 所以， MA
2
+MB =MH +MB ≥HB 1 = 4-
2
2 +12= 53 ，
2
当且仅当M为线段HB与圆的交点时，等号成立，
1
即 MA
2
+MB
53
= ，D对.
2
min
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
(1)求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
(2)圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解；
(3)在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线
为直线解决最值问题.
11.容器中有A、B、C3种颜色的小球，若相同颜色的两颗小球发生碰撞，则变成一颗B球；不同颜色的两颗
小球发生碰撞，会变成另外小球． 例如，一颗A球和一颗B球发生碰撞则变成一颗C球，现有A球10
颗，B球8颗，C球9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗球． 则下列结论正确的是 ( )
A.一定经过了26次碰撞 B.最后一颗球可能是A球
C.最后一颗球可能是B球 D.最后一颗球可能是C球
·295·答案 ABD
【分析】分析每一次碰撞球数量的变化规律，根据规律求解.
解析 (1)若最后剩下的可能是A球.
10颗A球两两碰撞，形成5颗B球；
9颗C球中的8个两两碰撞，形成4颗B球；
所有的17颗B球两两碰撞，剩下一颗B球；
这个B球与剩下的一颗C球碰撞形成A球.
(2)最后剩下的可能是C球.
10颗A球中的9颗与9颗C球两两碰撞，形成9颗B球；
所有的17颗B球两两碰撞，最后剩一颗B球；
这个B球与剩下的一颗A球碰撞形成C球.
(3)最后剩下的不可能是B球.
A、B、C三种球每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B球，减少两颗A球：(B多1个，A、C共减少两个)；
B与B碰撞，会产生一颗B球，减少两颗B球(B少1个，A、C总数不变)；
C与C碰撞，会产生一颗B球，减少两颗C球(B多1个，A、C共减少两个)；
A与B碰撞，会产生一颗C球，减少A、B各一颗球(B少1个，A、C总数不变)；
A与C碰撞，会产生一颗B球，减少A、C各一颗球(B多1个，A、C共减少两个)；
B与C碰撞，会产生一颗A球，减少B、C各一颗球(B少1个，A、C总数不变)，
可以发现如下规律：
(1)从B球的角度看：每碰撞一次，B球的数量增多一个或减少一个.
题目中共有27颗球，经过26次碰撞剩一颗球，整个过程变化了偶数次，
由于开始B球共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B球个数必为偶数，不可能是1个，所以最后剩下的
不可能是B球.
(2)从A、C球的角度看：每次碰撞之后，A、C球总数或者不变、或者减少两个.
题目中A、C球之和为19个，无论碰撞多少次，A、C球都没了是不可能的，
所以剩下的最后一颗球一定是A或C.
故ABD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，读懂题意是解题的关键.
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.复数1+2i 3的实部与虚部的和为 ．
答案 -13
【分析】求出复数1+2i 3代数形式即可.
解析 1+2i 3=1+6i+3×2i 2+2i 3=-11-2i，
所以其实部为-11，虚部为-2，
实部与虚部的和为-11-2=-13.
故答案为：-13.
13.某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人．为了获得该校全体学生的身高信息，采用男、女
按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，经计算得到男生样本的
·296·均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30．根据以上数据，估计该校全体学生身高的均
值为 ；估计该校全体学生身高的方差为 ．
答案 167 40
【分析】根据分层抽样的均值和方差的计算公式，准确计算，即可求解.
解析 由题意，某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人，
400 200
可得总体的均值为x= ×170+ ×161=167，
600 600
1
总体的方差为s2= {400×[18+(170-167)2]+200×[30+(161-167)2]}=40.
600
故答案为：167；40.
14.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 .
16 1
答案 /5
3 3
【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.
解析 因为V =4πR2=64π，所以正三棱锥外接球半径R=4，
球
如图所示，设外接球圆心为O，过PO向底面作垂线垂足为D，OD=a(0≤a<4)，
要使正三棱锥体积最大，则底面ABC与P在圆心的异侧，
因为P-ABC是正三棱锥，所以D是△ABC的中心，
所以OP=OA=4,AD= OA2-OD2= 16-a2，
2π
又因为∠ADB= ，所以AB=BC=AC= 3× 16-a2，
3
，
所以 ，
令f(a)=-a3-4a2+16a+64,(0≤a<4)，
4
f(a)=-3a2-8a+16=-(3a-4)(a+4)=0解得a=-4或 ，
3
4
当a∈ 0,
3
4
，f(a)>0；当a∈ ,4
3
，f(a)<0，
4
所以f(a)在 0,
3
4
递增，在 ,4
3
递减，
4 4 16
故当a= 时，正三棱锥的体积V 最大，此时正三棱锥的高为a+OP= +4= ，
3 P-ABC 3 3
16
故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 .
3
16
故答案为：
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
·297·
15（. 13 分）已知在锐角三角形 △ABC 中，边 a，b，c 对应角 A,B,C，向量 m = 2cosA, 3
，n =
π
sinA-
3
,cos2A
，且m与n垂直，c=2．
(1)求角A；
(2)求a+b的取值范围．
π
答案 (1)
6
(2)1+ 3,2 3
【分析】(1)通过m⋅n=0，利用三角恒等变形公式计算即可；
(2)利用正弦定理，将a+b用角C表示出来，然后利用C的范围求a+b的取值范围．
解析 (1)因为m与n垂直，
所以m⋅n=2cosA, 3
π
⋅ sinA-
3
,cos2A
π
=2cosAsinA-
3
+ 3cos2A=0，
1 3
即2cosA sinA- cosA
2 2
+ 3cos2A=cosAsinA- 3cos2A+ 3cos2A=0，
1 3
即 sin2A- 1+cos2A
2 2
+ 3cos2A=0，
1 3 3
即 sin2A+ cos2A= ，
2 2 2
π
即sin2A+
3
3 π π π 4π
= ，又0b>0
a2 b2
过点2,0
1
，且离心率为 ，过右焦点F的直线交椭圆C于
2
M、N两点，直线l:x=4交x轴于P，过M、N分别作l的垂线，交l于S、T两点，H为l上除点P的任一
点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求S △MPN 2-4S ⋅S 的值； △MPS △NPT
k +k
(3)设直线HM、HN、HF的斜率分别为k 、k 、k ，求 HM HN 的值．
HM HN HF k
HF
x2 y2
答案 (1) + =1
4 3
(2)0
(3)2
【分析】(1)由已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
(2)分析可知，直线MN不与x轴重合，设直线MN的方程为x=my+1，设点Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2 ，将该直
线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得结果；
(3)设点H4,t
k +k
，其中t≠0，利用斜率公式结合韦达定理可求得 HM HN 的值.
k
HF
4
=1
a2 a=2
解析 (1)解：由已知可得
c
=
1 ，解得b= 3，
a 2 c=1
a= b2+c2
x2 y2
因此，椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)解：易知点P4,0 、F1,0 ，
若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则△MPN不存在，不合乎题意，
设直线MN的方程为x=my+1，设点Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2 ，
·301·x=my+1
联立
3x2+4y2=12
可得3m2+4
y2+6my-9=0，
Δ=36m2+364+3m2 =144m2+1 >0，
6m 9
由韦达定理可得y +y =- ，y y =- ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
所以，S △MPN 1 2-4S △MPS ⋅S △NPT = 2 ⋅3⋅y 1 -y 2 2 1 -4⋅ ⋅y 2 1 4-x 1 1 ⋅ ⋅y 2 2 4-x 2
9
= 4 y 1 +y 2 2-4y y 1 2 +y 1 y 23-my 1 3-my 2
9
= 4 y 1 +y 2 2-4y y 1 2 +y 1 y 2 m2y 1 y 2 -3my 1 +y 2 +9
9 36m2
=
4 3m2+4
36
+
2 3m2+4
9 3m⋅-6m
- 9-
3m2+4
9m2
-
3m2+4 3m2+4
936m2+36-27m2-36-18m2+9m2
=
3m2+4
=0.
2
(3)解：设点H4,t
y -t y -t
1 + 2
k +k x -4 x -4 3 y -t y -t
，其中t≠0，则 HM HN = 1 2 = 1 + 2
k t t my -3 my -3
HF 1 2
3
= 3 ⋅ y 1 -t
t
my 2 -3 +y 2 -t my 1 -3
my 1 -3 my 2 -3
= 3 ⋅ 2my 1 y 2 -mt+3
t
y 1 +y 2 +6t
m2y 1 y 2 -3my 1 +y 2 +9
2m⋅-9
3
= ⋅
t
-6m
-
3m2+4
⋅mt+3 6t3m2+4
+
3m2+4
3m2+4
-9m2 3m⋅-6m
-
3m2+4
9⋅3m2+4
+
3m2+4
3m2+4
3 -18m+18m+6m2t+24t+18tm2 72m2+1
= ⋅ =
t -9m2+18m2+36+27m2
36m2+1
=2.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19（. 17分）设函数fx =ex，gx =lnx.
(1)已知ex≥kx≥lnx对任意x∈0,+∞ 恒成立，求实数k的取值范围；
(2)已知直线l与曲线fx 、gx 分别切于点 x 1 ,fx 1 、x 2 ,gx 2 ，其中x >0 1
①求证：e-20，利用导数分别求出函数ux
x x
lnx
= 的最
x
大值、函数vx
ex
= 的最小值，即可得出实数k的取值范围；
x
ex1= 1
(2)①利用导数的几何意义可得出直线l两种不同的方程，可得出 x 2
ex11-x 1
，整理可得出ex1
=lnx -1 2
·302·x 1 -1 -x 1 -1=0，构造函数hx =x-1 ex-x-1，其中x>0，求出x 的取值范围，再由x =e-x1可证 1 2
得结论成立；
②由λx 2 -x+1
x
ex+x≤0可得λx 2 ≤x-1- ex ，设Fx
x
=x-1- ，其中x≥x ，利用导数求出函数 ex 1
Fx 的最小值，即可得λx 2 ≤Fx ，结合x =e-x1可得出实数λ的取值范围. min 2
lnx ex
解析 (1)解：由已知可得 ≤k≤ ，其中x>0，
x x
设ux
lnx
= ，其中x>0，则u x
x
1-lnx
= ，
x2
当00，即ux 在0,e 上单调递增，
当x>e时，u x <0，即ux 在e,+∞ 上单调递减，
所以，k≥ux max =ue
1
= ； e
令vx
ex
= ，其中x>0，则v x
x
ex x-1
=
，
x2
当01时，v x >0，即函数vx 在1,+∞ 上单调递增，
所以，k≤vx min =v1 =e，
1
综上所述，实数k的取值范围是 ,e
e
.
(2)证明：①因为fx =ex，gx =lnx，则f x =ex，g x
1
= ，
x
所以，直线l可表示为y-ex1=ex1x-x 1 ，即y=ex1x+ex11-x 1 ，
1
直线l的方程也可表示为y-lnx 2 = x x-x 1
2
1
，即y= x+lnx -1， x 2
2
ex1= 1
故有 x 2
ex11-x 1
，所以，x 2 =e-x1，
=lnx -1 2
所以，ex11-x 1 =-x 1 -1，即ex1x 1 -1 -x -1=0， 1
设hx =x-1 ex-x-1，其中x>0，则h x =xex-1，
令px =xex-1，其中x>0，则p x =x+1 ex>0对任意的x>0恒成立，
所以，函数h x =xex-1在0,+∞ 上单调递增，
又因为h 0 =-1<0，h 1 =e-1>0，所以，存在x 0 ∈0,1 ，使得h x 0 =0，
当x∈0,x 0 时，h x <0，即函数hx 在0,x 0 上单调递减，
当x∈x 0 ,+∞ 时，h x >0，即函数hx 在x 0 ,+∞ 上单调递增，
因为h0 =-2<0，则hx 0 0，所以，存在x 1 ∈1,2 ，使得hx 1 =0，
所以，11时，ex1x 1 -1 =x +1， 1
由λx 2 -x+1
x
ex+x≤0可得λx ≤x-1- ， 2 ex
设Fx
x
=x-1- ex ，其中x≥x 1 ，则F x
1-x ex+x-1
=1- = >0对任意的x≥x 恒成立， ex ex 1
所以，函数Fx 在x 1 ,+∞ 上单调递增，
所以，Fx min =Fx 1 =x -1- x 1 = ex1x 1 -1 1 ex1 -x 1 1 = ， ex1 ex1
所以，λx ≤e-x1=x ，解得λ≤1，
2 2
故实数λ的取值范围是-∞,1 .
·303·【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：
(1)∀x∈D，m≤fx ⇔m≤fx ； min
(2)∀x∈D，m≥fx ⇔m≥fx ； max
(3)∃x∈D，m≤fx ⇔m≤fx ； max
(4)∃x∈D，m≥fx ⇔m≥fx . min
·304·安徽省六校教育研究会 2023 - 2024 学年高三下学期下学期第
二次素养测试 (2 月) 数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
x-1
1.已知全集U=R，集合M=x <0 x+3 ，N=y∈Ry= x+1 ，则M∩N等于 ( )
A. -1,1 B. 0,1 C. -3,0 D. -3,-1
答案 B
【分析】首先解分式不等式求出集合M，再求出集合N，最后根据交集的定义计算可得.
x-1
解析 由 <0，即x-1
x+3
x+3 <0，解得-30 在区间 0,π 恰存三个零点，两个极值点，则 ω 的取值范围是
( )
7 17
A. ,
3 6
11 7
B. ,
6 3
11 17
C. ,
6 6
7 20
D. ,
3 6
答案 A
π π 5π
【分析】由x的取值范围求出ωx- ，再结合题意及正弦函数的性质得到2π<ωπ- ≤ ，解得即可.
3 3 2
解析 当x∈0,π
π π π
，则ωx- ∈- ,ωπ-
3 3 3
，ω>0 ，
π 5π 7 17
依题意可得2π<ωπ- ≤ ，解得 <ω≤ ，
3 2 3 6
7 17
即ω的取值范围是 ,
3 6
.
故选：A
7.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中间部
分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为
( )
·306·A.12π B.24π C.36π D.48π
答案 D
4 6
【分析】先求出正四面体P-ABC的外接球半径,再求出OO =PO-PO = ，再结合外接球知识求出
1 1 3
该八面体的外接球半径,结合球的表面积计算即可.
解析 如图：
设O为正四面体P-ABC的外接球球心，O 为△A B C 的中心,H为△ABC的中心, M为BC的中点，
1 1 1 1
因为正四面体P-ABC棱长为8，易得PH⊥平面ABC，
3 8 3
易得AH= ×8= ，PH⊥平面ABC，AH⊂平面BCD，
3 3
8 3
则PH⊥AH,PH= 82-
3
2 8 6
= ，
3
由正四面体外接球球心为O，则O在PH，则OP=OA=R为外接球半径，
8 3
由AH2+OH2=BO2得
3
2 8 6
+ -R
3
2
=R2，解得R=2 6，
即PO=2 6,
2 2 3 2 3
在正四面体P-A B C 中，易得A O = 22-12= ，PO = 22-
1 1 1 1 1 3 3 1 3
2 2 6
= ，所以OO =PO
3 1
4 6
-PO = ，
1 3
则该八面体的外接球半径A O= OO2+A O2=2 3,
1 1 1 1
所以该球形容器表面积的最小值为4π2 3 2=48π，
故选：D.
8.已知函数 f(x)=a2e2x-xlnx+xlna(a>0)，若方程 fx =0有两个不同的实数解，则实数a的取值范围
是 ( )
1
A. 0,
e
1
B. 0,
c
1
C. ,1
e
1
D. ,1
e
答案 A
·307·【分析】先将方程fx
x2 lnx2
=0改写成2xe2x=ln e a2；再构造函数g(x)=xex，利用导数判断其单调性，得出
a2
x2
2x=ln ，即x-lnx=-lna，将方程fx
a2
=0有两个不同的实数解转化为函数ωx =x-lnx与y=
-lna的图象有两个不同的交点；最后利用导数研究函数ωx =x-lnx的值域，列出不等式，求解即可.
解析 由题目条件可得：x>0.
令fx
x x2 x2 x2 lnx2
=0，可得：a2e2x-xlnx+xlna=0，则a2e2x=xln ，即2xe2x= ln ，2xe2x=ln e a2.
a a2 a2 a2
令g(x)=xex，则g2x
x2
=gln
a2
；g(x)=ex+xex.
因为x>0，
所以g(x)>0，
则函数g(x)=xex在区间0,+∞ 上单调递增，
x2
所以2x=ln ，即x-lnx=-lna.
a2
所以方程fx =0有两个不同的实数解等价于方程x-lnx=-lna有两个实数解，即函数ωx =x-lnx
与y=-lna的图象有两个不同的交点.
因为ω x
1 x-1
=1- = ，
x x
令ω x >0，得x>1；令ω x <0，得01，解得：a< .
e
又因为a>0，
1
所以00，且S 11 -S 7 S 11 -S 8 <0，则 ( )
A.a +a >0 B.S 0分析公差判断即可；对B，根据作差法结合A中结论分
1
17
别判断S -S ,S -S 的正负即可；对C，由a >0,a <0判断即可；对D，根据a >0,a <0可得- d<
11 7 11 8 9 10 9 10 2
n-1
a <-9d，再分析S <0时满足a <- d判断即可.
1 n 1 2
解析 对A，S 11 -S 7 S 11 -S 8 <0则a 8 +a 9 +a 10 +a 11 a 9 +a 10 +a 11 <0，
·308·由等差数列性质可得2a 9 +a 10 ×3a 10 <0，即a 9 +a 10 a <0. 10
因为a >0，若公差d>0，则a ,a >0，不满足，故d<0，则a >a .
1 9 10 9 10
则a +a >0,a <0，故A正确；
9 10 10
对B，由A，a +a >0,a <0，故a >0,a <0.
9 10 10 9 10
则S 11 -S 7 =a 8 +a 9 +a 10 +a 11 =2a 9 +a 10 >0，则S >S ， 11 7
又S -S =a +a +a =3a <0，故S 0,a <0可得a ,a ...a >0,a ,a ,a ...<0，故当n=9时，S 取最大值，故C错误；
9 10 1 2 9 10 11 12 n
17
对D，由a +a =2a +17d>0，a =a +9d<0，可得- d0，x +6= ，解得x = ，
2 3 2 3
所以AB
2
= 1+36-
3
32
= .
3
32
故答案为： .
3
13.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心地为正方形ABCD各边的中点(如图)，若P在
BC上，且AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为 ．
·311·3+ 2
答案
2
【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设
Pcosθ,sinθ ，θ∈π,2π ,又A-1,2 ,B-1,0 ,C1,0 ,D1,2 ,，利用向量的坐标运算，结合三角函数的
恒等变形与性质求解即可.
解析 如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设Pcosθ,sinθ ，θ∈π,2π
又A-1,2 ,B-1,0 ,C1,0 ,D1,2 ,，
则AP=cosθ+1,sinθ-2
,AD=2,0
,AB=0,-2 ，
∵AP=λAD+μAE，即cosθ+1,sinθ-2 =λ0,-2 +μ2,0
cosθ+1=2μ
∴ ，
sinθ-2=-2λ
cosθ+1
μ=
2
解得 ，
2-sinθ
λ=
2
2-sinθ cosθ+1 1
λ+μ= + = cosθ-sinθ+3
2 2 2
1 π
= 2cosθ+
2 4
+3 ,
因为θ∈π,2π
π 5π 9π
，则θ+ ∈ ,
4 4 4
，
π π
所以当θ+ =2π时，cosθ+
4 4
取得最大值1，
3+ 2
则λ+μ的最大值为 .
2
3+ 2
故答案为： .
2
14.设S 是以定点P 为球心半径为r的球面，π 是一个固定平面，P 到π 的距离为a,a>r．设S 是以点M
0 0 0 0 0 M
为球心的球面，它与S 外切并与π 相切．令A为满足上述条件的球心M构成的集合．设平面π与π 平
0 0 0
行且在π上有A中的点．设d 是平面π与π 之间的距离．则d 的最小值为 ．
∑ 0 ∑
a-r
答案
2
【分析】过P 0 作π 0 的垂线，交π 0 于O，建立空间直角坐标系，使得P 0 的坐标为0,0,a ，且Mx,y,z ∈A，再
x2+y2
根据球相切的性质化简可得z=
2a+r
a-r
+ ，进而可得最小值.
2
解析 过P 作π 的垂线，交π 于O.
0 0 0
以O为原点，π 0 为xOy面建立空间直角坐标系使得P 0 的坐标为0,0,a .
则平面π与π 之间的距离为z.
0
Mx,y,z ∈A当且仅当x2+y2+z-a 2=z+r
x2+y2+a2-r2
2，即z=
2a+r
，
·312·x2+y2
故z=
2a+r
a-r
+ .
2
a-r
因此，当x=y=0时z取最小值 .
2
a-r
故答案为：
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π
15（. 13分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分別为a,b,c，sinB+
6
a+b
= .
2c
(1)求角C；
(2)若a+b=2 3,c= 6，求角C的平分线CD的长度.
π
答案 (1)
3
(2)1
【分析】(1)利用两角和正弦公式及正弦定理化简得 3sinC-cosC=1，再利用辅助角公式及特殊角的三
角函数值即可求解；
(2)利用余弦定理求得ab=2，根据面积相等建立方程求解即可.
π
解析 (1)由sinB+
6
a+b π
= 得a+b=2csinB+
2c 6
= 3csinB+ccosB.
由正弦定理得sinA+sinB= 3sinBsinC+sinCcosB，
得sinB+C +sinB= 3sinBsinC+sinCcosB，得cosCsinB+sinB= 3sinCsinB.
π
因为sinB≠0，所以 3sinC-cosC=1，即sinC-
6
1 π
= ，又00，证明：1+xf0 =0，
gx >g0 =0证明即可；
k (2)结合第(1)问，ex≥1+x对任意的x∈R恒成立，再令x=- k=1,2,⋯,n
n
k ，得到1-
n
n ≤e-k，再
累加求和证明即可.
解析 (1)证明：令fx =ex-1-x,∀x>0,f x =ex-1>0
则fx 在0,+∞ 单调递增，所以fx >f0 =0即ex>1+x；
令gx =ln1+x
x
- ,∀x>0,g x
1+x
1 1 x
= - = >0
1+x (1+x)2 (1+x)2
则gx 在0,+∞ 单调递增，所以gx >g0 =0即ln1+x
x
>
1+x
所以1+x ln1+x >x,ln(1+x)1+x >x，所以ex<(1+x)1+x
综上，1+x0
解得k<2，且k≠± 3
2k1-k
x +x =
1 2
-(1-k)2-3
,x x = ，①
3-k2 1 2 3-k2
由A1,0
y
，得直线AD:y= 1 x-1
x -1
1
，
y y
令x=2，解得y= 1 ，即P2, 1
x -1 x -1
1 1
，
y
同理可得Q2, 2
x -1
2
，
则 y 1 + y 2 = kx 1 -1
x -1 x -1
1 2
+1 + kx 2 -1
x -1
1
+1
x -1
2
·318·= kx 1 +1-k x 2 -1 + kx 2 +1-k x 1 -1
x 1 -1 x 2 -1
= 2kx 1 x 2 +1-2k x 1 +x 2 -21-k
x 1 x 2 -x 1 +x 2 +1
-(1-k)2-3
2k⋅ +1-2k
3-k2
=
2k1-k
⋅
-21-k
3-k2
-(1-k)2-3 2k1-k
-
3-k2
+1
3-k2
-2k(1-k)2-6k+2k1-k
=
1-2k -21-k 3-k2
-(1-k)2-3-2k1-k
+3-k2
-6
= =6，
-1
所以PQ的中点为定点2,3 .
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹
方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨
迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.
·319·浙江省新阵地教育联盟 2024 届高三下学期第三次联考 (开学
考试) 数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知复数z满足1+2i z=4+3i，则z的虚部是 ( )
A.-1 B.1 C.-i D.i
答案 A
【分析】由复数的概念与运算求解．
解析 由1+2i
4+3i 4+3i
z=4+3i，得z= =
1+2i
1-2i
1+2i 1-2i
=2-i，∴z的虚部是-1，
故选：A
2.设集合A= y
1
y=log x,x>
2 2
，B= y
1
y= ,x>0
2x
，则 ( )
A. A∩B=-1,1 B. A∪B=B
C. A∩∁ R B =1,+∞ D. A∩B=B
答案 D
【分析】先由对数运算和指数运算求解集合A，B，然后根据集合的运算，即可求解.
1 1
解析 因为x> ，所以log x>log =-1，所以集合A= y
2 2 22
y>-1
，
1
因为x>0，所以2x>1，即0< <1，所以集合B= y
2x
0-1
∪ y 0-1
=A，
因为∁ B={y
R
y≤0或y≥1}，
所以A∩∁ R B = y y>-1 ∩{y y≤0或y≥1}={y -1-1
∩ y 0p D. p >p 或p
0，
1 2 3 1 1 1
nn-1
故S =na +
n 1
nn-1
d=na +
2 1
×2a =a n2，
2 1 1
故 S = a n，故 S - S = a 即 S
n 1 n n-1 1 n
为等差数列，
故“2a +a =a”是“ S 为等差数列”的充分条件.
1 2 3 n
若 S n 为等差数列，设其公差为d 1 ，则 S n = a 1 +n-1 d ， 1
故S n = a 1 -d 1 +nd 1 2，
故a n =S n -S n-1 = a 1 -d 1 +nd 1 2- a 1 -2d 1 +nd 1 2
=d 12 a 1 -3d 1 +2nd 1 ，其中n≥2.
因为a n 为等差数列，故a 1 也应该符合上式，故a 1 =d 12 a 1 -d 1 ，
·322·故d = a ，故S =n2a ，故a =22a -a =3a ，
1 1 n 1 2 1 1 1
a =32a -22a =5a ，故2a +a =5a =a ，
3 1 1 1 1 2 1 3
故“2a +a =a”是“ S
1 2 3 n
为等差数列”的必要条件.
综上，“2a +a =a”是“ S
1 2 3 n
为等差数列”的充要条件，
故选：C.
x2 y2
8.双曲线 - =1(a,b>0)的左右焦点分别为F,F,P是双曲线右支上一点，点F 关于∠FPF 平分线
a2 b2 1 2 1 1 2
1
的对称点也在此双曲线上，且cos∠FPF= ，则双曲线的离心率为 ( )
1 2 9
21 21
A. B. C. 2 D. 3
4 3
答案 B
【分析】如图，由题意可知PF 1 =PQ 且P,F 2 ,Q三点共线，设PF 1 =m,PF 2 =n，根据双曲线的定义求得
QF 1 =4a，m=3a，n=a，在△PFQ、△FPF 中分别利用余弦定理计算即可求解. 1 1 2
解析 如图，设F 关于∠FPF 平分线的对称点为Q，则该角平分线为线段FQ的垂直平分线，
1 1 2 1
所以PF 1 =PQ ，且P,F 2 ,Q三点共线，设PF 1 =m,PF 2 =n，
则PQ =m，m-n=2a⇒QF 2 =PQ -n=m-n=2a，所以QF 1 =2a+QF 2 =4a，
在△PFQ中，由余弦定理，得cos∠FPF= PF 1
1 1 2
2+PQ 2-QF 1 2
2PF 1 PQ
m2+m2-(4a)2 = ，
2m2
1 m2+m2-(4a)2 1
又cos∠FPF= ，所以 = ，解得m=3a，所以n=a，
1 2 9 2m2 9
在△FPF 中，由余弦定理，得cos∠FPF= PF 1
1 2 1 2
2+PF 2 2-F 1 F 2 2
2PF 1 PF 2
9a2+a2-4c2 1 = = ，
2⋅3a2 9
c 21
整理，得3c2=7a2，由e>1，解得e= = .
a 3
21
即双曲线的离心率为.
3
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边
长为2的正方形，则 ( )
·323·π 1
A.异面直线AE与DF所成角大小为 B.二面角A-EB-C的平面角的余弦值为
3 3
8π
C.此八面体一定存在外接球 D.此八面体的内切球表面积为
3
答案 ACD
【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由|OE|=
|OF|=|OA|=|OB|=|OC|=|OD|可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的
表面积即可判断D项.
解析 连接AC、BD交于点O，连接OE、OF，
因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，
又因为八面体的每个面都是正三角形，所以E、O、F三点共线，且EF⊥面ABCD，
所以以O为原点，分别以OB、OC、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则O(0,0,0)，A(0,- 2,0)，B( 2,0,0)，C(0, 2,0)，D(- 2,0,0)，E(0,0, 2)，F(0,0,- 2)，
对于A项，AE=(0, 2, 2)，DF=( 2,0, 2)，
设异面直线AE与DF所成角为θ，
则cosθ=cosAE,DF
AE⋅DF
=
AE
DF
2 1
= = ，
2×2 2
π π
所以θ= ，即异面直线AE与DF所成角大小为 ，故A项正确；
3 3
对于B项，BE=(- 2,0, 2)，BA=(- 2,- 2,0)，BC=(- 2, 2,0)，
设面ABE的一个法向量为n=(x ,y ,z )，
1 1 1
则 n n ⋅ ⋅B B A E = = 0 0 ⇒ - - 2 2 x x 1 1 + - 2 2 z y 1 1 = = 0 0 ，取x 1 =1，则y 1 =-1，z 1 =1，则n =(1,-1,1)，
设面BEC的一个法向量为m=(x ,y ,z )，
2 2 2
则 n n ⋅ ⋅ B B E C = = 0 0 ⇒ - - 2 2 x x 2 2 + + 2 2 z y 2 2 = = 0 0 ，取x 2 =1，则y 2 =1，z 2 =1，则m =(1,1,1)，
·324·
n⋅m
所以cosn,m=
n m
1-1+1 1
= = ，
3× 3 3
又因为面ABE与BEC所成的二面角的平面角为钝角，
1
所以二面角A-EB-C的平面角的余弦值为- ，故B项错误；
3
对于C项，因为|OE|=|OF|=|OA|=|OB|=|OC|=|OD|= 2，
所以O为此八面体外接球的球心，
即此八面体一定存在外接球，故C项正确；
对于D项，设内切球的半径为r，
1 1 8 2
则八面体的体积为V=2V =2× S ⋅EO=2× ×2×2× 2= ，
E-ABCD 3 ABCD 3 3
1 1 1 π 8 3
又八面体的体积为V=8V =8V =8× S ⋅r=8× × ×22×sin ×r= r，
E-ABO O-ABE 3 EAB 3 2 3 3
8 3 8 2 6
所以 r= ，解得r= ，
3 3 3
6
所以内切球的表面积为4πr2=4π×
3
2 8π
= ，故D项正确.
3
故选：ACD.
π
10.函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<
2
5π
相邻两个最高点之间的距离为π, ,0
12
为f(x)的对称中心，
π
将函数f(x)的图象向左平移 后得到函数y=g(x)的图象，则 ( )
12
5π
A. g(x)在0,
12
上存在极值点
1 π
B.方程g(x)= x-
2 3
4π
所有根的和为
3
π
C.若g(x+m)为偶函数，则正数m的最小值为
12
λ
D.若g x
2
π π
在 ,
3 2
4
上无零点，则正数λ的取值范围为0,
3
16
∪ 5,
3
答案 AC
【分析】根据给定条件，求出函数f(x)及g(x)的解析式，结合余弦函数的图象、性质逐项分析判断得解.
2π 5π
解析 依题意， =π，解得ω=2，由f
ω 12
5π π
=0，得2× +φ=kπ+ ,k∈Z，
12 2
π π π
而|φ|< ，则k=0,φ=- ，f(x)=2cos2x-
2 3 3
π
，g(x)=2cos 2x+
12
π
-
3
π
=2cos2x-
6
，
5π
对于A，当x∈0,
12
π π 2π
时，2x- ∈- ,
6 6 3
π
，显然当2x- =0时，函数g(x)取得极大值，A正确；
6
π
对于B，由g
3
π
=0，得函数y=g(x)的图象关于点 ,0
3
1 π
对称，直线y= x-
2 3
π
过点 ,0
3
，
1 π
因此直线y= x-
2 3
π
与y=g(x)的图象交点关于点 ,0
3
对称，共有2n+1,n∈N个交点，
1 π
即方程g(x)= x-
2 3
2n+1 2n+1 4π
共有2n+1个根，所有根的和为 π，不存在n使得 π= ，B错
3 3 3
误；
π
对于C，函数g(x+m)=2cos2x+2m-
6
π
是偶函数，则2m- =k π,k ∈Z，
6 1 1
k π π π
m= 1 + ,k ∈Z，因此当k =0时，正数m取得最小值 ，C正确；
2 12 1 1 12
λ
对于D，函数g x
2
π
=2cosλx-
6
π π
，当x∈ ,
3 2
π πλ π πλ π
时，λx- ∈ - , -
6 3 6 2 6
，
λ
由g x
2
π π
在 ,
3 2
πλ π πλ π
上无零点，得 - , -
3 6 2 6
π π
⊆ kπ- ,kπ+
2 2
,k∈Z，
·325·πλ π π 4
3 - 6 ≥kπ- 2 λ≥3k-1 2k+ 3 >3k-1
则 ,k∈Z，解得 4 ,k∈Z，显然 ,k∈Z，
πλ π π λ≤2k+ 4
- ≤kπ+ 3 2k+ >0
2 6 2 3
2 7 4
即-
