文档内容
运城市 2024-2025 学年第一学期期末调研测试
高二数学试题
2025.1
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、
准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 在等比数列 中， ，则数列 的公比是（ ）
A. B. 3 C. D.
2. 已知直线 与直线 平行，则实数 的值为（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 或
3. 已知 ，则点 到直线 的距离为（ ）
.
A B. 3 C. 4 D.
4. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物
线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线 的焦点
射出，经抛物线上一点 反射后，反射光线所在直线经过点 ，若 ，则该抛物线
的标准方程为（ ）
A. B. C. D.5. 已知等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 36 B. 28 C. 24 D. 30
6. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 为等腰梯形，
， 的中点为 ，则平面 与平面 所成角的余弦
值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列 满足 ，则数列 的前50项和
为（ ）
A. 2500 B. 2550 C. 2600 D. 2650
8. 如图， ，点 为射线 上两动点，且 ，若射线 上至多有一个点 ，使得
，则 长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，若 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当 取最大值时，
10. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）
为
A. 平面 截正方体所得截面 四边形
B. 若 ，则 平面
C. 无论 取何值，三棱锥 的体积始终为
D. 异面直线 与 所成的角的余弦值的取值范围为
11. 已知 为双曲线 上一点， 为其左右焦点，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足
为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值
B. 的内心为 ， 到 轴的距离为1C. 若 ，则 的面积为
D. 点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知圆 和圆 ，则圆 与圆 的公切线有
______条.
13. 已知数列 满足 ，则 ________．
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，
且 ， ，则椭圆 的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 ，圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）已知直线 过点 ，且被圆 截得 的弦长为 ，求直线 的方程．
16. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出
设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增
加2万元.
（1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第 年后所获利润 ；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?
17. 如图1，在直角梯形 中， ， 分别为
的中点，沿 将平面 折起，使二面角 的大小为 ，如图2所示，设分别为 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知 为数列 的前 项和，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 前 项和 ．
的
（3）设 ，若不等式 对一切 恒成立，求实数
的取值范围．
19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活
动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸.
步骤1：设圆心是 ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 ；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点 ，此时圆周上与点 重合的点标记为 ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 与折痕交于点 ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点 .现取半径为4的圆形纸片，定点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸.以线段 的中点 为原点，线
段 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的标准方程；
