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2024-2025 学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测
试数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 若直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 即可求解出斜率．
【详解】直线 的斜率为 ，
故选：C．
2. 双曲线 的虚半轴长为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化双曲线方程为标准方程，求出 的值，即可得出该双曲线的虚半轴长．
【详解】将双曲线 的方程化为标准方程得 ，则 ， ，
可得双曲线 的虚半轴长为 .
故选：D.
3. 如图，三棱锥 中， ， ， ，点N为BC中点，点M满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算求解.
【详解】因为三棱锥 中， ， ， ，且点N为BC中点，点M满足
，
所以
故选：B
4. 等差数列 的前n项和为S ，其中 ，则 的值是（ ）
n
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的前n项和公式求解即可．
【详解】解：由等差数列的定义和性质可得 ，
再由 ，可得 ，故
故选：A
5. 已知直线 的方向向量为 ，且 过点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】用空间向量法求点到直线的距离.
【详解】因为 ，所以点 到直线l的距离为
，
故选：C
6. 已知圆 和圆 ，则（ ）
A. 圆 与圆 相切
B. 两圆公共弦所在直线的方程为
C. 两圆的公切线段长为3
D. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
【答案】D
【解析】
【分析】利用 之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断 A；通过两圆的方
程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由 结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系
结合半径大小可知公切线，由此判断D.
【详解】解：由题可得圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径对于A，显然 ，圆 与圆 相交，故A错误;
对于B，易知两圆相交，将方程 与 相减，
得公共弦所在直线的方程为 ，故B错误;
对于C，因为 ， ，
所以公切线段长为 ，故C错误;
对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，
又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，
即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确;
故选：D.
7. 设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物 交于 ，
两点， 为抛物 的准线，则（ ）
A. B.
C. 以线段 为直径的圆与 轴相切 D. 为等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】选项A：直线 与 轴交点即为抛物线的焦点 ，可得 ；选项B：抛物
线方程为 ，联立方程可得 ，进而可得 ；
选项C：根据线段 的中点与半径相等，可判断；选项D：根据 ，可判断.【详解】
对于A，因为 过抛物线 的焦点，则焦点 ， ，A选项错误；
对于B，抛物线方程为： ，与 交于 两点，
将直线方程代入抛物线方程可得， ，所以 ，
所以 ，故B不正确；
对于C，由选项B可知，由方程 可得 或 ，
又 到 的距离等于 到准线 的距离，且准线方程为 ，
当 时， ，则圆的半径为2，又以线段 为直径的圆的圆心的横坐标为 ，
故以线段 为直径的圆与 轴相切，
当 时， ，则圆的半径为 ，又以线段 为直径的圆的圆心的横坐标为 ，
故以线段 为直径的圆与 轴相切，
故C正确；
对于D，由B得， ，解得 或 ，
不妨设 ，则 ，
所以 ， ，所以 不是等腰三角形，故D错误；
故选：C
8. 已知S 为数列 的前n项和，且 ，若 对任意正整数n恒成立，则实
n
数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用 求出 ，再对给定不等式分离参数，构造数列并由单
调性求出最大项即可.
【详解】数列 中， ，当 时， ，即 ，
当 时， ，解得 ，则数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此 ， ，依题意， 对任意正整数n恒成立，
令 ，由 ，得 ，即数列 单调递减，
则 ，于是 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：D
二、多选题：本题共 3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 ，则下列正确的是（ ）
A. 焦点在x轴 B. 焦点在y轴 C. 焦距是 D. 焦距是2
【答案】BD
【解析】
【分析】先把椭圆方程转化为标准方程，再分别判断各个选项即可.【详解】方程 可化为 ，
表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确；
由方程可得a=2， ， ，
故焦距 ，C错误，D正确.
故选：BD.
10. 如图，已知正方体 的边长为2， 分别为 的中点，则
下列结论正确的是（ ）
A.
B. 平面AEF
C. 异面直线 与EF所成角的余弦值为
D. 点 到平面AEF的距离为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、
距离等公式计算即可逐一验证判断.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，A(2,0,0)， ， .
对于A，因 ，
则 ，故 ，A正确；
对于B， ， ，
设平面AEF的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 故可取 ，
因 ，则 ，又 平面AEF，
故 平面AEF，故B正确；
对于C，因 ，
则异面直线 与EF所成角的余弦值为 ，故C错误；
对于D， ，由上分析已得平面AEF的法向量为 ，
则点 到平面AEF的距离为 ，D正确.
故选：ABD.
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从
第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为 ，其前 项和为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【
分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可.
【详解】依题意可得 ，A正确；
由 ，B错误；
，C正确；
， 累 加 得
，D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用题目给定定义，然后结合累加法得到所证明的等量
关系即可．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间向量 ， ， ，且 与 互相平行，则实数 k的值为
__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用空间向量共线的坐标计算公式列出方程，计算即得.
【详解】 向量 ， ，
，与 互相平行， ，
，解得
故答案为：
13. 已知数列 的通项 ，则其前15项的和等于_______.
【答案】
【解析】
【分析】将 通过分母有理化，化简得出 ，再利用裂项相消法求出前15项的
和.
【详解】利用分母有理化得 ，
设数列 的前 项的和为 ，所以前15项的和为：
即： .
故答案为：3.
【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.
14. 已知离心率为 的椭圆 和离心率为 的双曲线有公共的焦点，其中 为左焦点， 是 与 在第一象限的公共点．线段 的垂直平分线经过
坐标原点，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】设 为右焦点，由题意， ，利用椭圆和双曲线的性质有 ，最后用均值不
等式即可求解．
【详解】设 为右焦点，半焦距为 ， ， ，
为 中点，线段 的垂直平分线经过坐标原点， 为 中点，则 ，
由 ， ，
则 ， ， ，所以 ，从而有 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等，所以 的最小值为 .
故答案为： ．
【点睛】思路点睛：关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设 ， ，利用椭圆和双曲线的性
质有 ， ，结合 ，得到 ，利用基本不等式求 的最小
值即可．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ： ，直线 ：
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符
合要求.
【小问1详解】
由 ，则 ，即 ，
所以 或 ，
当 ， ， ，两线重合，不合题设；
当 ， ， ，符合题设；
综上，
【小问2详解】
由 ，则 ，即 ，所以 ，即 或 .
16. 已知圆 ．
（1）若直线 经过点 ,且与圆 相切,求直线 的方程；
（2）设点 ,点 在圆 上, 为线段 的中点,求 的轨迹的长度．
【答案】（1）x=-1或
（2）
【解析】
【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可；
（2）利用相关点法求出 的轨迹方程，进而可求 的轨迹的长度.
【小问1详解】
圆C的标准方程为:
,
点 在圆外,
故过点A且与圆C相切的直线有2条，
①当直线 的斜率不存在时,
圆心 到直线 的距离
直线 与圆C相切.
(2)当直线 的斜率存在时,可设直线 ,即
圆心C到直线 的距离 ,
由题意 ,解得 ,此时 ,即 ,
终上所述,直线 的方程为x=-1或 .
【小问2详解】
设 因为 为DE的中点,
所以 ,
点E在圆C上
,
即 ，
即 ，
3
所以点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,
2
的轨迹的长度为 .
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
平面 平面 ， 为 中点．
（1） 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；（3）线段 上是否存在一点 ，使 ∥平面 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，求 的
值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，再结合面面垂直的性质分析证明；
（2）建系标点，求平面 与平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角；
（3）设 ，利用空间向量结合线面平行可得 ，即可得结果.
【小问1详解】
因为 ， 为 中点，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
以 为坐标原点， 分别为 轴，平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得
由题意可知：平面 的法向量 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
线段 上是否存在一点 ，使 平面 .
设 ，则 ，
若 平面 ，则 ，
可得 ，解得 ，
即 ，可知 ，
所以存在点 ，使 平面 ，此时 .
18. 如图，已知椭圆 ： （ ）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为
和 ，斜率为 的直线 与椭圆 相交于异于点 的 ， 两点.（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）当直线 ， 均不与 轴垂直时，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为 和 ，由
求解；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，由 ，利用韦达定理，结
合弦长公式求解；
（3）利用（2）中的韦达定理，由 证明.【
小问1详解】
解：由椭圆 ： 上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为 和 ，
结合椭圆的几何性质，得 ，
解得 ，则 ，
故椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
解：设直线 的方程为 ， ， .
由 消去 ，整理得 .
由 ，得 ，
.
则 ，
，
解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ；
当 时，直线 的方程为 ，满足题目条件.所以直线 的方程为 .
【小问3详解】
证明：因为直线 ， 均不与 轴垂直，
所以直线 ： 不经过点 和 ，则 且 ，
由（2）可知， ，
，
为定值.
【点睛】思路点睛：本题第三问的基本思路是先建立模型 ，再根据点在直线上进行消
元，然后利用韦达定理求解.
19. 设数列 的前n项和为 .若对任意正整数n，总存在正整数m，使得 ，则称 是“H数
列”.
（1）已知数列 是等差数列，且 ，求证：数列 是“H数列”；
（2）若数列 的首项 ，且 ， ，证明：数列 不是“H数列”；
（3）设 是等差数列，其首项 ，公差 若 是“H数列”，求d的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】【分析】（1）利用“H 数列”的定义，对于 ，只需取 ，即可证明
，从而得证；
（2）先由条件推出数列 为等比数列，写出其通项与前 项和公式，运用反证法，分 与
两种情况分析，导出矛盾，推翻假设即可证明；
（3）由等差数列 是“H数列”，可得“对任意的 ，都存在 使得 ”，由此求出
，分析可得“对任意的 ， 恒成立”，又 ，即得
【小问1详解】
因为 ，设公差为 ， ，
令 ，则 ，于是 ，
即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得 ，
故数列 是“H数列”；
【小问2详解】
因 ， ，则 ，
故 是以1为首项，2为公比的等比数列，
从而 ， ，
假设数列 是“H数列”，
则对任意正整数n，总存在正整数m，使得 ，当 时，有 ，则 ；
当 时，有 ，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解，
所以对任意正整数 ，不存在正整数m，使得 ，
所以数列 不是“H数列”；
【小问3详解】
依题意， ， ，
若 是“H数列”，
则对任意的 ，都存在 使得 ，
即 ，
解得 ，
又因为 ，而 ，
故对任意的 ，需使 恒成立，因 ，
所以
【点睛】关键点点睛：本题对数列作出了新的定义，根据数列的通项公式和数列前 项和公式以及数列新
的定义，建立等量关系是本题的关键.当方程有解时，则数列 是“H数列”；当方程无解时，则数列
不是“H数列”；当数列是“H数列”时，则方程必有解.
