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东风中学校高 2022 级 12 月月考试题
数学试卷
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.）
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】由集合间的关系建立等量关系，求得实数 的值.
【详解】∵ ，∴ ，即 .
故选：C.
2. 为虚数单位，复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简复数 ，再根据虚部的定义即可求解.
【详解】 ，
所以 的虚部为 ，
故选：B.
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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学科网（北京）股份有限公司C. 充分必要条件 D. 既不充分出不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据必要不充分条件的概念可判断.
【详解】由 得 ，
因为 是 的真子集，
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的 倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥
与圆柱的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆锥和圆柱底面半径为 ，表示圆锥和圆柱的高，利用圆锥和圆柱的体积公式可得结果.
【详解】
设圆锥和圆柱底面半径为 ，则圆锥母线长 ，圆柱的高为 ，
故圆锥高 ，
圆锥体积 ，圆柱体积 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：C.
5. 若曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，将2代入导数求出 的值，根据同角三角函数的基本关系求出结果.
【详解】因为 ，所以 ， ，
则 .
故选：D.
6. 在 中， 边上的中线 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用 ，由数量积定义计算即可．
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
7. 已知数列 的首项 ，前n项和 ，满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据 得到 ，两式相减得到 ，求出 即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
8. 已知定义在[ ， ]上的函数 满足 ，且当x [ ，1]时， ，若方程
有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. ( ， ] B. ( ， ]
C. ( ， ] D. ( ， ]
【答案】B
【解析】
【分析】由题设，求分段函数 的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为 和
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学科网（北京）股份有限公司有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数 的范围.
【详解】∵当 时， ，
∴当 时， ，
综上， ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
∵ 有三个不同的实数根，
∴ 的图像和直线 有三个不同的交点，
作 的大致图像如图所示，
当直线 和 的图像相切时，设切点为 ，
∴ ，可得 ， ，代入 ，
可得 ，
当 过点 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司由图知，实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：将方程有三个不同的实数根转化为函数图象有三个不同交点问题，应用数形结合思想及导数
研究函数图象的交点情况，求参数.
二､多选题（本题共3个小题，每个小题6分，共计18分，在每小题给出的选项中，有多要
符合题目要求，全部远对的每6分，部分远对的得部分分有选错的得0分）
9. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 在抛物线 上，若 ，则（
）
A. 的坐标为 B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线 ，可得 ，所以 ，且焦点在y轴正半轴上，
则焦点 ，所以A错误；
由抛物线 的定义,可得 ，解得 ，所以B正确；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，所以 ，则 ，所以C不正确；
由 ，所以D正确．
故选：BD．
10. 从 中随机取一个数记为 ，从 中随机取一个数记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件“ 为偶数”的概率为
B. 事件“ 为偶数”的概率为
C. 设 ，则 的数学期望为
D. 设 ，则在 的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
【答案】ACD
【解析】
【分析】由古典概型的概率模型求解概率即可判断A，B选项；求出 的分布情况，利用公式求解数学期
望即可判断C选项；求出 的所有可能的取值的概率即可判断D选项.
【详解】从 中随机取一个数记为 ，从 中随机取一个数记为 ，
则样本空间为： ，
对于A：所以 为偶数有： 四种，所以概率为 ，故A正确；
对于B： 为偶数的有： 七种情况，所以概率为 ，故B错
误；
对于C：设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ，
所以 ，故C正确；
对于D：设 ，则 ，
,
，所以在 的所有可能的取值中最有可能取到的值是 ，故D正确；
故选：ACD
11. 在直棱柱 中，底面 为正方形， 为线段 上动点，
分别为 和 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 ，则 三线交于一点
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 直线 与 所成角的余弦值为
的
D. 最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据中点关系，可得三角形全等，即可判断 A，根据等体积法即可求解B，利用余弦定理即可求
解CD.
【详解】由于 分别为 和 的中点，延长 ,相交于 ，则
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学科网（北京）股份有限公司,故 ,
取 中点 ,连接 交 于 ，则 ,
故 ,又 , 是 中点， ，故 在一条直线上，因此 与
重合，故 三线交于一点, 正确，
由于 平面 , 平面 ，故 平面 ，
又 为线段 上动点，因此 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
故 ,故B正确，
对于C，由于 故 即为直线 与 所成角或其补角，由于
,
故由余弦定理可得 ，故C错误，
对于D，如图，沿着 将四边形 展开，得到平面图，连接 交 于 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得 ，
故D正确，
故选：ABD
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中的横线上）
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，由 的指数为0求得 值，则答案可求．
【详解】解：由 ．
取 ，得 ．
展开式中常数项为 ．
故答案为：15．
13. 若数列 满足 ，其前 项和为 ，若 ，则 __________.
【答案】17
【解析】
【分析】由已知可得数列 为等差数列，设数列 的公差为 ，根据已知条件求出 的值，可得出
的值，利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】因为数列 满足 ，则数列 为等差数列，
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学科网（北京）股份有限公司设数列 的公差为 ，则 ，可得 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
14. 设双曲线 （ ）的右顶点为F，且F是抛物线 的焦点．过点F的
直线l与抛物线 交于A，B两点，满足 ，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】求出直线 的方程，与抛物线方程联立求出点 坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.
【详解】抛物线 的焦点 ，直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，
由 消去 得： ，设 ，则 ，
由 ，得 ，由对称性不妨令点 在第一象限，解得 ， ，
由点 在双曲线 上得， ，又 ，解得 ，
所以双曲线C的离心率 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司四､解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，正四棱柱 中， 为 的中点， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量，利用空间向量法证明即可；
（2）求出平面 的法向量，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则A(1,0,0)， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；
因为 ，即 ，
所以平面 平面 ；
【小问2详解】
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
16. 已知函数 的图象关于点 中心对称.
（1）求 、 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，当 时， 的最小值为 ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出 ，可得出关于 、 的方程组，即可解得这两个未知数的
值；
（2）利用导数分析函数 的单调性，分 、 两种情况讨论，结合函数 在 上
的最小值为 ，可求得实数 的值.
【小问1详解】
依题意， ，
即 ，
所以， ，所以 ， .
【小问2详解】
由（1）可知， ，则 ，
所以当 时，f′(x)<0， 单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 单调递增，
若 ，则 在区间 内的最小值为 ，
即 ，解得 或 ，均不符题意；
若 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司则 在区间 内的最小值为 ，解得 ，符合题意.
.
17. 中，设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 的周长等于3，求 的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得 ，再结合角 的
范围，可求出角 的值，
（2）由余弦定理结合基本不等式可得 ，然后利用三角形的面积公式可求出 面积的最大值.
【小问1详解】
解：因为 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 .
因为 ， ，
所以 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：在 中，由余弦定理得 ，即 ①，
又 ，所以 ，代入①得 ，
整理得 ，
又因为 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
故 ，故 的面积 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生
产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的
列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前 45 15 60
调试后 35 5 40
合计 80 20 100
（1）根据表中数据，依据 的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件
产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数
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学科网（北京）股份有限公司为 ，求使事件“ ”的概率最大时 的取值.
参考公式及数据： ，其中 .
0.025 0.01 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）依据 的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）875
【解析】
【分析】（1）计算 的值，将其与 对应的小概率值比较即得；
（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取 3件，根据合格品件数 的可能
值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；
（ 3 ） 分 析 得 出 ， 利 用 二 项 分 布 概 率 公 式 得 出
再利用作商法分析得 时，事件“ ”的概率最大.
【小问1详解】
零假设为 ：假设依据 的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；
则 ，
故依据 的独立性检验，没有充分证据说明零假设 不成立，
因此可认为 成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有 件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数 的可能值有 .
则 .
故 分的布列为：
1 2 3
则 ；
【小问3详解】
依题意，因随机抽取调试后 的产品的合格率为 ，故 ，
则
由 ，
故由 可解得 ，
因 ，故当 时， 单调递增；
由 可解得 ，即当 时， 单调递减.
故当事件“ ”的概率最大时， .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：（1）计算卡方值，并与小概率值比较得出结论；（2）求随机变量的分布列关键在于
判断 满足的概率模型；（3）对于二项分布中概率最大值问题，一般考虑作商后分析判断商与1的大小
即得.
19. 已知 是首项为 的等差数列，其前 项和为 ， ， 为等比数列， ，
．
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意求出 、 的值，根据
等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列 和 的通项公式；
的
（2）求得 ，然后对 分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列 求和公式可求
得 的表达式；
（3）求出数列 的通项公式，分析数列 的单调性，可求出数列 最大项的值，即可得出实数
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，解得 ，
所以， .
设 的公比为 ，因为 ， ，
解得 ，所以， .
【小问2详解】
因为 ，
当 为偶数时，
．
当 为奇数时， ．
所以， .
【小问3详解】
因为 ， ．
令 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，数列 的最大项为 ，
因为 恒成立，所以， ，即实数 的取值范围为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
