文档内容
2023～2024 学年度下期高二期末联考
数学
考试时间 120分钟，满分 150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填
写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其它答案；非选择题用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区
域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 记 为等差数列 的前 项和，若 = 22，则 =
11 6
A.2 B .3 C.10 D.4
2. 若 +1 6 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + ，则 + + + =
6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0
− − −
A.-1 B.1 C.64 D.0
3. 已知在四面体 中， = ， = ， = ， = 1 ， 为 的中点，若 =
3
+ + ，则 −+ + =
3 1 1
A.3 B. C. D.
4 2 3
4. 若等比数列 的各项均为正数，且3 , 1 ,2 成等差数列，则 10+ 4
5 7 6
2 8+ 2
A.3 B.6 C.9 D.18
5. 若函数 f(x)ax2blnx(a 0,b0) 在点 1, 1 处的切线的斜率为1，则1 + 1 的最小值
为
1
A. B.2+3 2 C.3+2 2 D.3 2
2
6. 某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，
每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为
A.52 B.60 C.72 D.360
{#{QQABYQAEogiIAJJAAQgCAwHQCkGQkAACCYgOQBAEsAAAgBNABCA=}#}7. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记
录于其重要著作《详解九章算法》中, 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高
阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开 始，每一项与前一项的差构
成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为:2,3,8,17 ，则下列说法错误的是
A. > 0 B. = 192
11
C. 数列 是单调递增数列 D. 数列 有最大项
2 2
8. 已知直线 = 与双曲线 : = 1 > > 0 分别相交于 ， 两个不同的点， 是
2 2
3
双曲线上不同 于 , 的一点，设 直 线 − ， 的斜率分别为 1 ， 2 ，则当 e e 2.7
1 2 1
取得最小值时，双曲线 的离心率为
− ≈
7 5
A. B. 2 C. D.2
2 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求；全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 等差数列 的前 项和为 ， > 0， + = 0，则
1 2 14
A. = 0 B. <
8 +1
C. < D. 当 < 0 时, 的最小值为 16
7 9
10. 对于三次函数 = 3 + 2 + + 0 ，现给出定义: 设 ′ 是函数 的
≠
导数， ′′ 是 ′ 的导数，若方程 ′′ = 0 有实数解 ，则称点 , 为函 数
0 0 0
= 3 + 2 + + 0 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，
任 何一 个 三次 函数 都 有 对 称 ≠ 中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 = 1 3 + 1 2 ，则
3 2
A. 函数 有三个零点
B. 函数 有两个极值点
C. 点 1 , 1 是曲线 = 的对称中心
2 12
−
D. 方程 1 = 0 有三个不同的实数根
10
−
11. 已知数列 的通项公式为 = 98 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是
99
−
−
A. 在数列 中， 是最大项 B. 在数列 中， 是最小项
10 9
{#{QQABYQAEogiIAJJAAQgCAwHQCkGQkAACCYgOQBAEsAAAgBNABCA=}#}C. 数列 单调递减 D. 使 取得最小值的 为 9
三、填空 题 ：本题共 3小题，每小题 5分，共15分.
6
12. 在 + 1 的展开式中，常数项为_________
+1, 为奇数 ,
13. 已知数列 满足 = 1, = 2, = ，若 为数列 的前 项
1 2 +2
2 ; 为偶数
和，则 10 =_________
14. 已知 关于 的不等式 2 < e (其中 < 1). 的解集中恰有两个整数，则
实数 的取值范围是_________ −
− ∈
四、 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知等差数列 的公差为 0 ，前 项和为 ，且满足 = 2 +19; , ,
5 4 1 2
成等比数列.
7 ≠
（1）求数列 的通项公式;
（2）设 = 1 ，数列 的前 项和为 ，求 .
+1
16.（15分）
某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡， “年龄在 20 岁到34岁之间
的会员” 为 1 号会员，占比 20%,“年龄在 35 岁到 59 岁之间的会员” 为 2 号会员，占比
50%，“年龄在 60 岁到 80 岁之间的会员” 为 3 号会员，占比 30% ，现对会员进行水果质
量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为 1，2 号会员对水果质
2
量满意的概率为 3，3 号会员对水果质量满意的概率为 2 .
5 3
（1）随机选取 1 名会员， 求其对水果质量满意的概率;
（2）从会员中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中，对水果质量满意的人数为 ，求 的
分布列和数学期望.
{#{QQABYQAEogiIAJJAAQgCAwHQCkGQkAACCYgOQBAEsAAAgBNABCA=}#}17.（15分）
如图,在斜三棱柱 中， , 分别是 , 的中点.
1 1 1 1
（1） 证明: // 平 面 − ;
1 1
（2）若 ， = 60 ，且 = = 2; = = 2 ，求直线 与平
1 1 1 1 1
∘
面 1 1 所成角 的 ⊥ 正 弦值 ∠ .
18.（17分）
2 2
已知点 为椭圆 : + = 1 > > 0 上任一点，椭圆的短轴长为 2 ，离心率为
2 2
2
.
2
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）若点 是抛物线 : 2 = 4 的准线上的任意一点，以 为直径的圆过原点 ，
试判断 1 + 1 是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由.
2 2
19.（17分）
已知函数 = e ln +1 + ln > 0 .
− −
（1）当 = 1 时，求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；
（2）若 +1 恒成立，求 的取值范围；
（3）求证 : t ≥ an 1 1 + tan 1 1 + tan 1 1 + + tan 1 1 > ln +1
2 3
∗
− − − ⋯ − ∈
{#{QQABYQAEogiIAJJAAQgCAwHQCkGQkAACCYgOQBAEsAAAgBNABCA=}#}
