文档内容
台州市 2024 届高三第一次教学质量评估试题
数学
2023.11
命题：丁君斌（台州一中） 王强（三门中学）
审题：庄丰（玉环中学）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将
所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量 ， ， 满足 ， ，若 为 在 上的投影向量，则向量 ， 夹角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ， 是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长
8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6
人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种 B．360种 C．480种 D．504种
6．函数 的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
7．已知二面角 的平面角为 ， ， ， ， ， ， 与平
面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记
录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是2
10．已知等差数列 中， ，公差为 ， ，记 为数列 的前n项和，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．C．若 ，则
D．若 ，则
11．已知 为双曲线 ： 上位于第一象限内一点，过点 作x轴的垂线，垂足为 ，点 与点
关于原点对称，点 为双曲线 的左焦点，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 的面积为9
C． D． 的最小值为8
12．已知 是定义域为 的函数 的导函数， ， ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． （e为自然对数的底数， ）
C．存在 ， D．若 ，则
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 （ 为虚数单位），则 ______．
14．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学玟分别有
75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为 ，现从这三所学玟中随机选取一个学生，
则这个学生选了物理的概率为______．
15．在 中，角 ， ， 所对的分别为 ， ， ．若角 为锐角， ， ，则 的
周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）
16．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．
过抛物线 ： 上的点 （不为原点）作 的切线 ，过坐标原点 作 ，垂足为 ，直线（ 为抛物线的焦点）与直线 交于点 ，点 ，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前n项和 ．
18．已知 ．
（Ⅰ）当 时，求 的最小正周期以及单调递减区间；
（Ⅱ）当 时，求 的值域．
19．如图，已知四边形 为平行四边形， 为 的中点， ， ．将 沿
折起，使点 到达点 的位置．
（第19题）
（Ⅰ）若平面 平面 ，求证： ；
（Ⅱ）若点 到直线 的距离为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
20．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（ 分钟/每天）和他们的数学成绕（ 分）的关系，某实验小
组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间 30 40 50 60 70
数学成绩 65 78 85 99 108
（Ⅰ）请根据所给数据求出 ， 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的
数学成绩：（参考数据： ， ， 的方差为200）
（Ⅱ）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按
照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 列联表（表二）．依据表中数据及小概率
值 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附： ， ． ．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．已知椭圆 ： 的上、下顶点分别为 ， ，点 在线段 上运动（不含端点），
点 ，直线 与椭圆交于 ， 两点（点 在点 左侧）， 中点 的轨迹交 轴于 ， 两
点，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的最小值．
22．设
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据 ， ）
台州市 2024 届高三第一次教学质量评估试题
数学参考答案及评分标准
2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．B 2．C 3．B 4．A
5．C 6．A 7．D 8．A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BD 10．BCD 11．ABD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15．9（答案不唯一， 内的任何一个值均可）
16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）设 的公比为 ，依题意得： ，
即 ，解得 或 （舍去）．
又由 ，解得 ，故 ；
（Ⅱ）因为 ，
所以
．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当 时， ，
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的最小正周期为 ，单调递减区间为 ．
（Ⅱ）设 ，则 ，
令 ， ，又 ，
故当 时， 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 ，所以 的值域为 ．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为四边形 为平行四边形，且 为等边三角形，所以 ．
又 为 的中点，所以 ，所以 为等腰三角形，
故 ，所以 ，即
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，
取 的中点 ，则 ，由（Ⅰ）得 ，所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，记为 ．
以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系．
则 ， ， ，
； ，
所以点 到直线 的距离为 ，
由 ，解得 ，或 ，
所以二面角 的平面角的余弦值为 或 ．
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ，，又 ， 的方差为 ，
所以 ，
，故 ，当 时， ，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（Ⅱ）零假设为 ：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
，
因为 ，所以依据 的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设 中点 ，则 ，
因为点 在线段 上，可得 ，即 ，
由点 在椭圆 ： 上，所以 ，
令 ，得 ，由 ，解得 ，故椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ： ， ， ， ．
由 得 ， ， ，
又 ， ，，
令 ，得 ，
当 即 时取等号，所以 的最小值为 ．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）要证： ，（ ， ），
只要证： ，因为 与 同号，只要证： ，即证： ．
令 ，（ ， ）， ，
由 ，得 ，所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，故原不等式得证．
（Ⅱ）因为 ，当 时，有 ，
则 ，所以整数 ．
当 时，由（Ⅰ）可得 ，
下证： ， ，只要证： ．
令 ， ，因为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，所以得证．
综上所述，整数 的最大值为2．
