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2024-2025 学年度高二年级第一学期期中测评考试试题
数学参考答案及评分参考
一、单项选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8 5 40
1.D
( ) ) ( )
【解析】k 1− − 1 ，设倾斜角为θ，则 θ ，又θ [ π π ，所以θ 3π
PQ = = -1 tan = -1 ∈ 0, ∪ ,π = .
2 − 4 2 2 4
2.B
【解析】圆心为点（ ），半径的平方为 的圆的标准方程为(x ) 2 ( y ) 2 ，展开化为一般方程为x 2
3,4 5 - 3 + - 4 = 5 +
y x y
2
- 6 - 8 + 20 = 0.
3.C
【解析】直线l可整理为(x )λ x y ，则恒过定点( )．
- 1 - + = 0 1,1
4.C
【解析】{a b c},{a b b c n}是空间的两组基底，所以a b c不共面，a b b c n不共面，设n xa yb zc，
, , − , +2 , , , − , +2 , = + +
{
x λ
=
当n λ(a b) μ(b c) λa ( μ λ ) b μc时，即 y μ λ时 {a b b c n}不能作为基底
= − + + 2 = + − + 2 = − , − , + 2 , .
z μ
= 2
对于 ，n a c，x ,y ，z ，此时λ
A = + 2 = 1 = 0 = 2 = 1
高二数学试题答案 第 页（共 页）
1 6
，,, ，μ ，故不能作为基底；
= 1
对于 ，n a b c，x ,y ，z ，此时λ ，μ ，故不能作为基底；
B = 2 − + 2 = 2 = -1 = 2 = 2 = 1
对于 ，n a b c，x ,y ，z ，此时λ，μ无解，故可以作为基底；
C = 3 + + 2 = 3 = 1 = 2
对于 ，n a b c，x ,y ，z ，此时λ
D = - + 3 + 4 = -1 = 3 = 4 = − 1
， ，μ ，故不能作为基底
= 2 .
z
5.B C
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则A( )，E( )，F( )，G( )，
A
1
B
2,0,0 2,0,2 0,2,1 0,0,3 G
1 1
AE ( , , )，EG ( , , )，EF ( , , )
= 0 0 2 = -201 = -2 2 -1 .
E
( )
设n x,y,z 为平面EFG的一个法向量，则 F
= C
{ x z | n AE | x A B y
则 -2 + = 0, 可取n ( )，点A到平面EFG的距离为 ∙ 4
x y z = 1,2,2 |n| = . （第 题答图）
-2 + 2 - = 0, 3 5
6.A
y
【解析】由题意，AF AF 又O为F F 的中点，所以在 AF F 中，AO OF
1 ⊥ 2. 1 2 Rt△ 1 2 = 2. A
如图所示，设与AF 平行的渐近线交AF 于点B，即AF BO，则 F OB OF A
B
2 1 2∥ ∠ 1 = ∠ 2 .
由双曲线的对称性可知 F OB F OA，所以 OF A F OA，所以AO AF
∠ 1 = ∠ 2 ∠ 2 = ∠ 2 = 2. F O F x
b 1 2
因此 AOF 为等边三角形，AOF π，可得直线OA的斜率为 π
△ 2 ∠ 2 = a = tan = 3.
3 3
所以C的渐近线方程为y x
（第 题答图）
= ± 3 . 67.B
【解析】由AB的中点为坐标原点O，AP的中点为点Q，可知OQ PB，所以OQ的斜率为 又QF AB，所以点
∥ -2. ⊥
c c
Q( c c)，代入C可得 2 4 2 ，化简得c 4 a 2 c 2 a 4 ，所以 4 2 ，解得 2 ，所
- ,2 a + b = 1 - 6 + = 0 e - 6e + 1 = 0 e = 3 - 2 2
2 2
以
e = 2 - 1.
8.D
( ) ( ) ( ) ( )
【解析】点A x y ，B x y 的“对称距离” x y 2 x y 2 相当于点B关于直线l y x的对称点
1, 1 2, 2 1 + 2 + 2 + 1 : = -
( )
B y x 与点A的距离 所以当点A，B在圆C上时，点B 在圆C关于l的对称圆C 上 又圆心C到直l的距离
′ - 2, - 2 . ′ ′ .
| |
d 4 + 0 ，所以圆C与l相离，从而圆C与圆C 外离 所以A，B的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点
= = 2 2 ′ .
2
( )
A，B 的距离的最小值，也即点A到l的距离的最小值的两倍 所以所求最小值为
′ . 2 2 2 - 2 = 4 2 - 4.
二、多项选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
3 6 18
得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
6 0
9.ACD
【解析】对于 选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，
A
正确；对于 选项，直线l的方向向量为a ( )，平面α的法向量为n ( )，则a n ，则a n，所以
A B = 2,1,2 = -1,0,1 ∙ = 0 ⊥
( )
l α或l α， 错误；对于 选项，对空间中任意一点O，有OP 1 OA 1 OB 1 OC，则 1 OA OP
∥ ⊂ B C = + + − +
2 6 3 2
( ) ( )
1 OB OP 1 OC OP 0，整理得 1 PA 1 PB 1 PC 0，PA 1 BP 2 CP，P，A，B，C四点共面， 正
− + − = + + = = + C
6 3 2 6 3 3 3
b a b b a b ( )
确；对于 选项，则a在b方向上的投影向量为|a| a,b |a| ⋅ ⋅ b 1
D cos ⋅ |b| = ⋅ |a||b| ⋅ |b| = |b|
2
⋅ = 1,0, 3 =
2
( )
1 , , 3 ， 正确
0 D .
2 2
10.BCD
【解析】对于 ，根据C的渐近线方程为y 3 x，结合图象可得k ∞ 3 3 ∞ ，所以 错误
A = ± ∈(- , - ) ⋃( , + ) A .
4 4 4
对于 ，在 AF F 中，O为F F 的中点，且|OA| 1 | F F | ，所以 F AF π，所以 正确
B △ 1 2 1 2 = 1 2 ∠ 1 2 = B .
2 2
对于 ， | AF | |AB| | AF | (| AF | | F B |) | AF | | AF | | F B | a | F B | ，
C 1 - = 1 - 2 + 2 = 1 - 2 - 2 = 2 - 2
| |
由于l与双曲线的右支交于两点，所以当l与双曲线的渐近线平行时，F B 最小（不能达到），
2
不妨设此时ly 3(x )，代入双曲线C的方程得 x ，解得x 41，
: = - 5 10 - 41= 0 =
4 10
| |
所以 | F 2 B | > 1+( 3 ) 2 · | || 5- 41 | || = 9，则 | AF 1 | - |AB| = 2 a - | F 2 B | < 2 × 4 - 9 = 55，所以 C 正确 .
4 10 8 8 8
| | | | | | | | | | | |
对于 ，由 AF AF ，两边平方得 AF 2 AF 2 AF · AF ，在 AF F 中由余弦定理得
D 1 - 2 = 8 1 + 2 - 2 1 2 = 64① △ 1 2
| | | | | | | | | | | | | | | | | |
AF 2 AF 2 AF · AF · π F F 2，即 AF 2 AF 2 AF · AF ，
1 + 2 - 2 1 2 cos = 1 2 1 + 2 - 1 2 = 100②
3
| | | | | | | |
所以 得 AF · AF ，所以 AF F 的面积为1 AF · AF · π ，所以 正确
②-① 1 2 = 36 △ 1 2 1 2 sin = 9 3 D .
2 3
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2 611.ABD
| | | | | |
【解析】对于 ，根据外积定义可得 AB AC AB AC BAC，又 S 1 AB AC BAC
A × = ⋅ ⋅ sin∠ △ ABC = ⋅ ⋅ sin∠ =
2
| | | | | || | | | | || |
1 AB AC ， 正确；对于 ，AB AC AB AC BAC ，AD AC AD AC DAC ，
× A B × = sin∠ = 2 3 × = sin∠ = 2 3 B
2
正确；对于 ，根据定义可得AB AC,AC AB长度相等，方向相反，即AB AC AC AB， 错误；对于 ，
C × × × = - × C D
| | | |
BC BD ，根据定义得BC BD与AO反向，AO 2 6，所以BC BD 3 2 AO， 正确
× = 2 3 × = × = - D .
3 2
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
3 5 15
12.2 34
【解析】a，b，c共面，则存在非零实数λ μ满足c λa μb，
, = +
则( , , ) λ( , ,x) μ( , , ) ( λ μ, λ μ,λx μ )
4 3 3 = 1 2 + 3 1 2 = + 3 2 + + 2
{
ìλ μ , λ ,
ïï + 3 = 4 = 1
即í λ μ , 解得 μ ,所以a ( , , )，则a b c ( , , )，
ïï2 + = 3 = 1 = 1 2 1 + + = 8 6 6
îλx μ , x ,
+ 2 = 3 = 1
所以|a b c|
2 2 2
+ + = 8 + 6 + 6 = 2 34.
x y xy
2 2
13.3 + 3 - 2 - 8 = 0
【解析】设P坐标为（x，y），由题意得 (x ) 2 ( y ) 2 (x ) 2 ( y ) 2 ，整理得 x 2 y 2 xy
-1 + -1 + +1 + +1 =4 3 +3 -2 -8=0.
或
14.2 18
| | p p | |
【解析】由题意 x ，y ，则y 又点A在抛物线上，所以x py ，将 x 和y 代入可得
A = 6 A + = 10 A = 10 - . 2A = 2 A A A
2 2
( )
p
p ，解得p 或
2
6 = 2 10 - = 2 18.
2
四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 77
（ 分）
15. 13
( )
解：（）MN MB BA AN 1 CB BA 2 AP 1 AB AC AB 2 AP 2 AB 1 AC 2 AP 2 a 1b 2 c
1 = + + = + + = − − + =- − + =− − + .
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
…………………………………………………………………………………………………………………… 分
6
（）由(a λc) MN可得(a λc) MN ，
2 + ⊥ + ⋅ = 0
( )
即(a λc) 2 a 1b 2 c ，
+ ⋅ − − + = 0
3 3 3
λ λ λ
即 2 a2 1 a b 2 a c 2 a c b c 2 c2 ，
− − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 0
3 3 3 3 3 3
λ λ λ
即 8 4 4 2 8 ，
− + − − + = 0
3 3 3 3 3
λ
即2 4， λ …………………………………………………………………………………………… 分
= ∴ = 2. 13
3 3
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3 6（ 分）
16. 15
解：（）由圆C 与两坐标轴都相切可知，圆C 的圆心在直线y x或y x上，又直线y x与直线l平行，所以圆
1 1 1 = = - =
心在直线y x上 ……………………………………………………………………………………………… 分
= - . 2
{
x y
联立 - + 4 = 0，可得圆心C ( )，半径r ， ………………………………………………………… 分
y x 1 -2,2 1 = 2 4
= -
所以圆C 的标准方程为(x ) 2 ( y ) 2 ……………………………………………………………… 分
1 + 2 + - 2 = 4. 6
（）由题意C [ x ( a)] 2 ( y a ) 2 a ，
2
2 2: + 4 - + - = 4
可得圆心C (a a)，半径r a， …………………………………………………………………………… 分
2 - 4, 2 = 2 9
所以 | C C | (a ) 2 ……………………………………………………………………………………… 分
1 2 = 2 - 2 . 11
| |
当两圆外切时，C C r r a，解得a ，………………………………………………… 分
1 2 = 1 + 2 = 2 + 2 = 3 2 - 4 13
当两圆内切时， | C C | | r r | | a|，解得a …………………………………………………… 分
1 2 = 1 - 2 = 2 - 2 = 2. 15
综上，a的值为 或
3 2 - 4 2.
（ 分）
17. 15
解：（） PA PC， PM AC，
1 ∵ = ∴ ⊥
又 PO 平面ACD AC 平面ACD PO AC，
∵ ⊥ , ⊂ ∴ ⊥
又 PM PO P， AC 平面PMO， AC MO ……………………………………………………… 分
∵ ⋂ = ∴ ⊥ ∴ ⊥ . 2
AC CD， MO CD，即O在线段MN上，过E作EF AC交PA于F，
∵ ⊥ ∴ ∥ ∥
PE EF
又 PE EC， 1，即EF AC，且EF 1 AC ………………………………………………… 分
3 = ∴ PC = AC = ∥ = . 4
4 4
P
OE 平面PAD，则平面 OEF 与平面 PAD 交于 FG，且点 G 在 AD 上，
∵ ∥ F
OE FG E
∴ ∥
EF AC， EF 平面ACD，
A
∵ ∥ ∴ ∥
平面OEF 平面ACD OG， EF OG ………………………… 分 G
∵ ⋂ = ∴ ∥ . 6 M O N
又 OE FG 四边形OEFG是平行四边形
∵ ∥ , ∴ C D
（第 题答图 ）
OG 1 AC 1 AM， 17 1
∴ = =
4 2
O是MN的中点 ………………………………………………………………………………………………… 分
∴ . 8
（）建立如图所示空间直角坐标系，
2
( ) ( )
则A 3 ，D 3 3 ，
-1, - ,0 1, ,0 z
2 2 P
( ) ( )
C 3 P 3 ，
1, - ,0 , 0,0, E
2 2
( ) A
由CE 3 CP，得E 1 3 9 ， y
= , - ,
4 4 8 8 M O N
( )
( ) C x D
所以AD , , ，AE 5 ,3 3 ,9 ……………………………… 分
= 2 2 3 0 = 10 （第 题答图 ）
4 8 8 17 2
设n x y z 为平面ADE的一个法向量，
1 =( , , )
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4 6ìx y
ïï + 3 = 0, ( )
则í 可取n 7 ，
ïï5 x 3 3 y 9 z 1 = -3, 3,
î + + = 0, 3
4 8 8
平面ACD的法向量可取为n ( , , )， ……………………………………………………………………… 分
2 = 0 0 1 13
7
n n
所以 cos n 1 ,n 2 = | n 1∙ || n 2 | = 3 = 7 157
1 2 49 157
9 + 3+
9
即二面角E AD C的余弦值为7 157 …………………………………………………………………… 分
- - . 15
157
（ 分）
18. 17
解：（）由右焦点为F( )得c ，
1 4,0 = 4
因为a|AM| |AF|，所以a|a | a，……………………………………………………………………… 分
= - 1 = 4 - 2
若a ，则a( a) a，即a a ，无解
2
≤ 1 1- = 4 - - 2 + 4 = 0 .
若a ，则a(a ) a，即a ，所以b ，
2 2
> 1 - 1 = 4 - = 4 = 12
x y
2 2
因此C的方程为 …………………………………………………………………………………… 分
- = 1. 5
4 12
（）设B( t)，易知过点B且与C相切的直线斜率存在且不为 ，设为y k(x ) t，与C联立消去y整理得
2 1, ± 3 = - 1 +
( k 2 )x 2 k(t k)x (t k) 2 ，
3- - 2 - - - - 12 = 0
由 k 2 (t k) 2 ( k 2 )[ (t k) 2 ] ，
Δ = 4 - - 4 3- - - - 12 = 0
整理得 k tk t ， ………………………………………………………………………………… 分
2 2
3 + 2 - - 12 = 0 7
t
设两条切线BP，BQ的斜率分别为k k ，则k k -2 …………………………………………………… 分
1, 2 1 + 2 = . 9
3
因为y k t，y k t，
① P = - 1 + Q = - 2 +
t t
直线BF的方程为y (x )，则y 4 ，………………………………………………………………… 分
= - - 4 R = 11
3 3
( ) t t
所以y y k k t -2 t 8 y ，故R是PQ的中点 ………………………………… 分
P + Q = - 1 + 2 + 2 = - + 2 = = 2 R . 13
3 3
( ) ( )
t t
由题意M( )，F( )，S ，T ，
② 1,0 4,0 1- k ,0 1- k ,0
1 2
| | | |
t t
| | | |
|SM| | | k | | | k | |SF| | | k + 3| | | | k ( t k )| |
所以 1 | | 2 | |， 1 || 2 + 3 1 ||，…………………………………………………… 分
|TM| = | | | t | | | =| k 1 | |TF| = | | | t | | | = | | k 1 ( t + 3 k 2 ) | | 15
| k | | k + 3|
2 2
t t
由k k -2 ，得k -2 k ，
1 + 2 = 1 = - 2
3 3
| é ( t )ù |
| |
所以
|
|
T
SF
F
|
| =
|
|
| || | k 2ë êt
k
+
(
3
t
- 3 2
k
-
)
k 2 û ú |
|
| || |
=
|
|
|
|
|| k
k
2 (
(
-
t
t - 3
k
k 2
)
)|
|
|
|
||
=
|
|
| | k
k
2 |
|
| |
= |
|
T
SM
M
|
|
，得证
.
……………………………………
17
分
| 1 + 3 2 | 1 + 3 2 1
| |
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5 6（ 分）
19. 17
| || | y
解：（）当AB x轴时，S 1 x x y y ，
1 ∥ △ ABC = 2 − 1 3 − 2 CC（（xx，，yy））
2 33 33
| || |
A′ x λy B′ x λy C′ x λy ，S 1 x x λy λy
( 1, 1), ( 2, 2), ( 3, 3) △ A ′ B ′ C ′ = 2 − 1 3 − 2 x
2 O
S D（x，y）
2 λ …………………………………………………………………… 分 A（x，y） 4 4
∴S = . 2 1 1
1
( ) B（x，y）
当AB不平行于x轴时，过A作x轴的平行线交直线BC于点D x ,y ， 2 2
4 4 （第 题答图 ）
19 1
| || |
则S 1 x x y y
△ ABC = 4 − 1 3 − 2 .
2
( ) ( ) ( ) ( )
把平面内所有点横坐标不变，纵坐标伸缩成原来的λ倍，则A′ x ,λy ，B′ x ,λy ，C′ x ,λy ，D′ x ,λy ，
1 1 2 2 3 3 4 4
| || | λ| || |
则S 1 x x λy λy x x y y ，……………………………………………………… 分
△ A′B′C′ = 4 − 1 3 − 2 = 4 − 1 3 − 2 4
2 2
S
所以 2 λ ……………………………………………………………………………………………………… 分
S = . 5
1
x y
2 2
（）把椭圆 上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2 3，得到圆x
2
y
2
…………… 分
2 + = 1 + = 4. 7
4 3 3
y y
其 中 M → M′，N → N′，所 以 k M′O = 2 3 k MO ，k N′O = 2 3 k NO ，所 以 N N′
3 3
M M′
k k 4 k k ，又k k 3，所以k k ，………… 分
M′O∙ N′O = MO∙ NO OM∙ ON = - M′O∙ N′O = -1 9 O x O x
3 4
即OM ON ，所以S ，
′⊥ ′ △ OM′N′ = 2
S （第 题答图 ）
又 △ OM′N′ 2 3，所以S 3 S ……………… 分 19 2
S = △ OMN = △ OM′N′ = 3. 10
△ OMN 3 2
x y
2 2
（）把椭圆 上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2 3，得到圆x
2
y
2
3 + = 1 + = 4.
4 3 3
P P′，Q Q′，直线AP′，AQ′的斜率分别为k ′,k ′，
→ → 1 2 1 2
k k ′
k ′ 2 3 k ，k ′ 2 3 k ，所以 1 1 …………………………………………………………………… 分
1 = 1 2 = 2 k = k ′. 12
3 3 2 2
设 OA P′ α，OA Q′ β，则k ′ α，k ′ β
∠ 1 = ∠ 2 = 1 = -tan 2 = -tan .
又A，A，P，Q 四点共圆，所以 OA Q′ FP′A β ……………………………………………………… 分
1 2 ′ ′ ∠ 2 = ∠ 1 = . 14
| | | |
A T A O
如图弦AP 的中点为T，连接OT，则 T A P，过F作FR A P，则 A OT A FR，所以 1 1 2，
1 ′ 0 ⊥ 1 ′ ⊥ 1 ′ △ 1 ∼△ 1 | A R |= | A F |=
3
1 1
所以 | A R | 3 | A P | ，即
|RP′|
1 ……………………………… 分 y y Q′
1 = 1 ′ | A R | = . 16 Q
4 3
1
|FR| O F O
A A x A FF A x
k k ′ α | A R | |RP′| 1 P 2 1 T R P′ 2
1 1 tan 1 1 ………………………… 分
k = k ′ = β = |FR| = | A R | = . 17
2 2 tan |RP′| 1 3 （第
19
题答图
3
）
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