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准考证号__________ 姓名__________
（在此卷上答题无效）
2023~2024 学年高中毕业班第一学期期中考试
数学试题
2023.11
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．图中的阴影部分表示的集合为（ ）．
A． B．
C． D．
2．若 ， 为复数，则“ 是纯虚数”是“ ， 互为共轭复数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 的部分图象为（ ）．
A． B．
C． D．
4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前
后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度
角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长
度（单位：米）约为（ ）．
学科网（北京）股份有限公司A．3 B．4 C． D．
5．已知数列 满足 ，且 ，若 ，则正整数k为（ ）．
A．13 B．12 C．11 D．10
6．如图，AB是圆O的一条直径，且 ．C，D是圆O上的任意两点， ．点P在线段CD上，
则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知直线 ， 是函数 图像相邻的两条对称轴，将 的图
像向右平移 个单位长度后，得到函数 的图像．若 在 上恰有三个不同的零点，则实数m
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设正实数a，b满足 ，则下列说法正确的是（ ）．
学科网（北京）股份有限公司A． 的最小值为3 B．ab的最大值为1
C． 的最小值为2 D． 的最小值为2
10．函数 的部分图象如图中实线所示，图中圆C与 的图象交于
M，N两点，且M在y轴上，则（ ）．
A．函数 在 上单调递增
B．圆的半径为
C．函数 的图象关于点 成中心对称
D．函数 在 上单调递减
11．如图，在长方体 ， ，E，F分别是棱AD， 的中点，点P
在侧面 内，且 ，则三棱锥 外接球表面积的取值可能是
（ ）．
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司12．已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的有（ ）．
A． B．
C．若 ，则 D．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 ，且 ，则 ______．
14．已知非零向量 ， 满足 ， ，若 ，则向量 在向量 方向上的投影
向量的坐标为______．
15．已知数列 满足 ， ，若数列 为单调递增
数列，则 的取值范围为______．
16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个
等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点．”在ABC中， ，以AB，BC，AC为边
向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， ，则 ______；若 的面积为
，则三角形中 的最大值为______．
四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度，所
得函数的图象关于y轴对称．
（1）求函数 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司（2）若关于x的方程 在 上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
18．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，是否存在整数 ，都有 恒成立，若存在求出实数m的最小值，
若不存在说明理由．
19．设数列 前n项和 满足 ， ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）记 ，求数列 的前n项和 ．
20．如图，在四棱锥 中，PAD为等边三角形，M为PA的中点， ，平面 平面
ABCD．
（1）证明：平面 平面PAB；
（2）若 ， ， ，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为 ，求三棱锥
的体积．
21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数
， 的图像，图像的最高点为 ．边界的中间
部分为长1千米的直线段CD，且 ，游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE．
学科网（北京）股份有限公司（1）求曲线段FGBC的函数表达式；
（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，
求景观路GO长；
（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边
在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且 ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及
此时 的值．
22．已知函数 ．
（1）求 在 的单调区间与最值；
（2）当 时，若 ，证明： 有且仅有两个零点．
2023 年~2024 学年高中毕业班第一学期期中考试
数学评分参考标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C C B D A A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
ABD CD BCD BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16． ，4
四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
学科网（北京）股份有限公司17．解：（1） ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
所得函数为 ，
∴ ， ，∴ ， ．
又 ，∴ ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时， 单调递增；
当 ，即 时， 单调递减．
且 ， ， ．
∵方程 在 上恰有两个实数根，
∴ ，∴实数a的取值范围为 ．
18．解：（1）∵ ， ，
当 ， ，∴ 在 单调递增，
当 时， ，
令 ，得 ， 得 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ 在 单调递增，在 单调递减．
综上， 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
令 ，∴ ，
令 ， ，∴ 在 单调递减．
∵
∵ ，
∴ ，使得 ，即 ， ，
当 ， ， ， 单调递增，
当 ， ， ， 单调递减，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴m的最小值为3．
19．（1）证明：∵ ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，∴ ，
令 ，可得 ，∴ ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）可得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．【解析】（1）取AD中点为N，连接PN，
因为PAD为等边三角形，所以 ，
且平面 平面ABCD，平面 平面 ， 面PAD，
所以 平面ABCD，
又 平面ABCD，所以 ，
又因为 ， ，PN， 平面PAD，
所以 平面PAD，
又因为 平面PAD，所以 ，
因为M为AP中点，所以 ，且 ，PA， 平面PAD，
所以 平面PAB，且 平面CDM，
学科网（北京）股份有限公司所以平面 平面PAB．
（2）由（1）可知， 且 ， ，
所以 平面PAD，且 平面PAD，所以 ，
以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则可得
， ， ， ， ， ，
即 ， ， ，
设平面MCD的法向量为 ，
则
则可得 ，取 ，则 ， ，
所以平面MCD的一个法向量为 ，
学科网（北京）股份有限公司设直线PB与平面MCD所成角为 ，
所以 ，
解得 ，或 ，即 （舍去）或1，
所以 ， ．
21．解：（1）由已知条件，得 ，
又∵ ， ，∴ ．
又∵当 时，有 ，∴ ，
∴曲线段FBC的解析式为 ， ．
（2）由 得 ，
又 ，∴ ， ，∴ ， ，
∴景观路GO长为 千米．
（3）如图， ， ，∴ ， ，
作 轴于 点，在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，即 时，平行四边形面积最大值为 ．
22．解：（1）∵ ，
解得 或0或 ，
∴ 与 的分布列如下：
x 0
＋ － ＋ －
极大值 极大值
极小值
↑ ↓ ↑ ↓
1
所以， 的增区间为： ， ，减区间为： ， ，
的最大值为 ，最小值为 ．
（2） 的定义域为R，
∵ ，
所以 为偶函数．
∵ ，∴当 时， 有且仅有两个零点
当 时， 在 上有且仅有一个零点．
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
当 时，若 ，则 ，所以 在 上单调递减，
∵ ，∴ 在 上有且仅有一个零点；
当 时，存在 ，使得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以， 在 递增，在 上递减，
在 上单调递增，
， ，可得 ，
当 时， ，
所以，
所以， 在 上有且仅有一个零点，综上，当 时， 有且仅有两个零点．
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