济南市 2026 届高三第一次模拟考试
数 学 试 题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合A={x|0<x<3},B={-1,0,1,2,3},}则A∩B=
A.{1,2} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}
z−1
2.已知复数x满足 =i;则|z|=
z+1
D.2
3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以 Ox为始边，已知角α的终边在第一象限，
1
且 cosα= ,将角α的终边按照逆时针方向旋转60°，得到角β的终边，则 sinβ=
3
1+2√6 1−2√6 2√2+√3 2√2−√3
A. B. C. D.
6 6 6 6
4.若圆( (x−1) 2+y2=4与抛物线C :y2=2px(p⟩0)的准线相切，则C的焦点坐标为
1 3
A.( ,0)
B.(1,0)
C.( ,0)
D.(2,0)
2 2
5.我国2016—2024年科幻产业营收y(单位：亿元)如下表所示：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
时间变量t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
营收y 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6
根据表中数据建立y 与t 的线性回归方程 y^=132.5t+â,预测我国2025 年科幻产业营收约
为(参考数据： y≈648.4)
A.1222.1亿元 B.1310.9亿元 C.1339.1亿元 D.1443.4亿元
6.已知函数 f(x)=x3+x2+(a−1)x的图象上存在不同的两点关于y 轴对称，则a 的取值范围
是
A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(-∞,1)
A. C. 1 3
2
B.1
2x2 y2
7.已知椭圆 C: + =1(a⟩b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，A 是C 的左顶点，P 为C 所
a2 b2
在平面内一点,且∠F₃F₂P=60°.若△PF₁F₂与△PF₁A 均为等腰三角形，则C的离心率为
1
3
8.若存在a>0,对任意的x∈(0,+∞),都有 xlnx+2a≥ax+b,!，则b的最大值为
1
A.− B.ξ₂ C.2ln2 D.1+ln2
e
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知实数a,b,c 满足a<b<c, ac<0,则
1 1 a a+b
A.ab≤bc B.|a+c|<|a-c| C. < D. ≥
c−a c−b c c+b
π
10.已知函数 f(x)=asin2x+ bcos 2x(ab≠0)的图象关于直线 x= 对称，则
6
5π
A. f(x)的最小正周期为π
B.f(x+ )
为奇函数
12
π π π 5π
( ) ( )
C. f(x)在( − , 上单调递增 D. f(x)在 − , 内恰有3个零点
3 6 12 3
11.现进行如下试验:从1,2,3,…,10中任选一个数,记为 a₁,若 a =1,则试验结束；否则再从
1
1,2,…,a₁-1中任选一个数，记为a₂，若( a =1,，则试验结束；否则再从1,2,…,a₂-1中任选
2
一个数，依次类推，直至选中 1为止.记事件.A；=“试验过程中，数字i被选到”，p；
表示事件A;发生的概率(i=1,2,3,…,10),则
1
A.p =
9 10
1 1 1
B.p = + p + p
8 10 9 10 8 9
C.P(A ∣A )=P(A ∣A )
8 9 8 10
且i≠j)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a,b满足||a+b|=|a-b|,.且|a|=|b|=1,|,则|2a+b|的值为 .
13.若( (1+x2) 4 =a +a x2+a x4+a x6+a x8则 a −a +a −a +a 的值为 .
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
14.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,点. A ,B ,C ,D 均在某圆锥的侧面上，点 A，
1 1 1 1
B，C，D均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知数列 {a }的前n项和为 Sn，且 S =2a −2.
n n n
(1)求 的通项公式；
n
1
(2)设 b =log a ,记 Tn为数列{bₙ}的前n项和',证明: ∑❑ <2.
n 2 n T
i=1 i
D. √3 √6
A. B.
2 3
C. 1
216.(本小题满分15分)
如图，在四棱锥( C−ABB A 中，底面. ABB A 是正方形， AB⟂AC,，点M，N分别是棱
1 2 1 1
A B ,BC的中点.
1 1
(1)证明: MN‖平面ACA ;
1
(2)若AC=2AB,,平面ABB₁A₁⊥平面ABC,求平面AMN 与平面 BCB 夹角的余弦值.
1
17.(本小题满分15分)
已知a,b,c 分别是 △ABC内角A,B,C的对边, a2+b2 −c2=√2ab.
(1)若 c=√2,a=1,求 △ABC的面积；
2√5
(2)若 ⃗AD=⃗DB,cosB= ,求 ∠BCD的正切值.
5
18.(本小题满分17分)
x2 y2 5
已知双曲线C − =1(a⟩0,b>0)的实轴长为4，且经过点 P(3, ).
a2 b2 2
(1)求C 的方程;
(2)记C的右顶点为A，点R 在线段AP(不含端点)上运动，垂直于x 轴的直线RM 交C于点
M(x ,y )(M在第一象限)，点S 满足 ⃗MR=⃗RS,设直线 AS 与C 的另一个交点为N(x₂,y₂).
1 1
(i)用x₁,y₁表示直线AS 的斜率k₀;
(ii)证明直线MN 过定点.19.(本小题满分17分)
sinx
已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，导函数 f' (x)= .将f(x)所有的极值点按照从小到
x
大的顺序排列构成数列( {x },n∈N∗.
n
(1)若 x∈(x ,x ),比较|f'(x)|与| f' (2x −x)∣的大小；
n n+1 n+1
(2)从下列两个命题中任选一个证明：
①数列 {f(x )}为递减数列；②数列 {f(x )}为递增数列；
2n−1 n
(若两个命题均选，按照第一个解答计分)
(3)若k 为正整数，且对任意的 x ,x ∈[π,+∞),都有 ∣f(x )−f(x )∣<k,求k 的最小
1 2 1 2
值.济南市2026届高三第一次模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B B D D C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. √5 13. 0; 14. 9π,
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】
(1) 当 n=1 时,S =2a −2,a =2,
1 1 1
当 n≥2 时, S =2a −2,S =2a −2, 作差得：
n n n−1 n−1
a =2a −2a ,
n n n−1
a
即 a =2a , n =2,
n n−1 a
n−1
所以{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 a =2n.
n
(2)b =log a =log 2n=n,
n 2 n 2
n(1+n)
T = ,
n 2
1 2 1 1
所以 = =2( − ),
T n(1+n) n n+1
n
n
1 1
所以 ∑❑ =2[(1− )+
T 2
i=1 i
命题得证.
16.【解析】
(1) 取AC中点D, 连接A₁D,DN.
因为D,N为AC,BC中点,
所以DN为△ABC的中位线，
1
所以 DN= AB且 DN∥AB .
2
在正方形ABB₁A₁中, M 为A₁B₁中点,
1
所以 A₁M∥AB 且 A
1
M=
2
AB,
所以A₁M∥DN且A₁M=DN,
所以四边形DNMA₁是平行四边形.
所以A₁D∥MN .
又 MN⊄平面 ACA₁, A₁D⊂平面
ACA₁,所以MN∥平面ACA₁.(2) 由于平面 ABB₁A⊥平面 ABC, 平面 ABB₁A∩平面
ABC=AB,AA₁⊥AB,AA₁⊂平面ABB₁A₁, AA₁⊥平面ABC.
以A为原点，AC，AB，AA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1 1
不妨设AB=1，则有C(2,0,0),B(0,1,0), B₁(0,1,1), M(0, ,1), N(1, ,0).
2 2
设平面 BCB₁的法向量 n =(x,y,z),
1
→
n ·BB =0 z=0
{ 1 1 ,所以 { ,不妨令x=1,
→ 2x−y=0
n ·BC=0
1
得 n =(1,2,0);
1
设平面 AMN 的法向量 n =(x,y,z),
2
n ·A´M=0 y+2z=0
{ 2 ,所 以 { ,不 妨 令
n ·A´N=0 2x+y=0
2
x=1,得 n =(1,−2,1);
2
设平面BCB₁与平面AMN 夹角为θ,
则
√30
所以平面BCB₁与平面AMN 夹角的余弦值为 .
10
17.【解析】
(1) 因为 a2+b2 −c2=√2ab,
a2+b2 −c2 √2
所以 cosC= = .
2ab 2
因为 0∘<C<180∘,所以 C=45∘,
a c 1 √2
因为 = ,c=√2,a=1,所以 = .
sinA sinC sinA sin45∘
1
所以 sinA= ,所以A=30°或150°(舍), 所以B=105°,
2
√3 √2 1 √6+√2
sin105∘=sin(60∘+45∘)= × + ×= ,
2 2 2 4
1 1 √6+√2 √3+1
所以 S = acsinB= ×1×√2× = .
△ABC 2 2 4 4
2√5 √5
(2) 由 (1) 知C=45°, 因为 cosB= ,所以 sinB= .
5 5
√5 √2 2√5 √2 3√10
sinA=sin(B+C)= × + × = .
5 2 5 2 10
DB CD
设∠BCD=α, 在△BCD中, 有 = ①,
sinα sinB
DA CD
在△ACD中, 有 = ②,
sin(45∘−α) sinA
①②相除, 得:
sin(45∘−α) = 3√2 ,所以 √2 ( cosα −1)= 3√2 ,
sinα 2 2 sinα 2
cosα 1
所以 =4,即 tanα= ,
sinα 4
1
所以∠BCD的正切值为
4
18.【解析】2a=4
(1)由题意可知 {9
−
25
=1
,
a2 4b2
解得 a=2,b=√5,
x2 y2
故C的方程为 − =1.
4 5
5 5 5
(2)(i) 因为A(2,0), P(3, ),所以直线AP方程为 y= x−5,由于M(x₁,y₁),故 R(x , x −5),
2 2 1 2 1
因为 ⃗MR=RS,所以 S(x ,5x − 10−y ),
1 1 1
5x − 10−y y
所以 k = 1 1 =5− 1 .
0 x −2 x −2
1 1
y y
(ii) 由 (i) 可 知 k +k =k +k =5− 1 + 1 =5,即
AN AM AS AM x −2 x −2
1 1
y y
1 + 2 =5.
x −2 x −2
1 2
由题意可知，直线MN的斜率显然存在，
x2 y2
− =1
设直线MN:y= kx+m, 联立 { 4 5 ,消y得
y=kx+m
(5−4k2)x2 −8kmx−4m2 −20=0,
8km 4m2+20
x +x = ,x x =− ,Δ>0,
1 2 5−4k2 1 2 5−4k2
y y kx +m kx +m 2kx x +(m−2k)(x +x )−4m 5
1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 1 2 = =5,
x −2 x −2 x −2 x −2 x x −2(x +x )+4 m+2k
1 2 1 2 1 2 1 2
所以m=1-2k,
所以直线MN:y= kx+1-2k=k(x-2)+1,
所以直线MN过定点(2,1).
19.【解析】
sinx
(1) 令 f' (x)= =0,得x=nπ, n∈N,
x
因为x=nπ为f'(x)的变号零点, 所以. x =nπ.
n
当 x∈(x ,x )时， 2x −x>0,且sinx≠0.
n n+1 n+1
∣sin(2(n+1)π−x)| ∣sinx∣ ∣sinx∣
∣f′ (2x −x)∣=∣=∣= = ,∣f′ (x)∣= ,
n+1 |2x −x∣ 2x −x x
n+1 n+1
∣sinx∣ ∣sinx∣ 2(x −x)
∣f' (x)∣−∣f' (2x −x)∣= − =∣sinx∣ n+1 >0.
n+1 x 2x −x x(2x −x)
n+1 n+1
故 ∣f' (x)∣>∣f' (2x −x)∣.
n+1
(2) 选择①,
令 g(x)=f(x)−f(2x −x),x∈[x ,x ],
2n 2n−1 2n
则 g' (x)=f' (x)+f' (2x −x),
2n
当 x∈[x
2n−1
,x
2n
]时，即.x∈[(2n-1)π,2nπ]时, 2x
2n
−x∈[2nπ,(2n+1)π],sinx sinx
f' (x)= ≤0,f' (2x −x)=− ≥0,
x 2n 2x −x
2n
故 g' (x)=f' (x)+f' (2x −x)=−∣f' (x)∣+∣f' (2x −x)∣,
2n 2n
由(1) 知,g'(x)≤0.
故g(x)单调递减，从而有 g(x )>g(x )=f(x )−f(2x −x )=0,
2n−1 2n 2n 2n 2n
即 g(x )=f(x )−f(2x −x )=f(x )−f(x )>0,
2n−1 2n−1 2n 2n−1 2n−1 2n+1
即 f(x )>f(x ),从而数列 {f(x )}为递减数列.
2n−1 2n+1 2n−1
选择②，
令 g(x)=f(x)−f(2x −x),x∈[x ,x ],
2n+1 2n 2n+1
则 g' (x)=f' (x)+f' (2x −x),
2n+1
当 x∈[x
2n
,x
2n+1
]时, 即x∈[2nπ,(2n+1)π]时, 2x
2n+1
−x∈[(2n+1)π,(2n+2)π],
sinx sinx
f' (x)= ≥0,f' (2x −x)=− ≤0,
x 2n+1 2x −x
2n+1
故 g' (x)=f' (x)+f' (2x −x)=∣f' (x)∣−∣f' (2x −x)∣,
2n+1 2n+1
由(1) 知, g'(x)≥0,
故g(x)单调递增，从而有 g(x )<g(x )=f(x )−f(2x −x )=0,
2n 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
即 g(x )=f(x )−f(2x −x )=f(x )−f(x )<0,
2n 2n 2n+1 2n 2n 2n+2
即 f(x )<f(x ),从而数列{f(x₂n)}为递增数列.
2n 2n+2
(3) 由 (2) 知, f(x)的最大值为 f(x )=f(π),f(x)的最小值为 f(x )=f(2π),
1 2
对任意 x ,x ∈[π,+∞),都有 ∣f(x )−f(x )∣≤k成立，
1 2 1 2
当且仅当f(π)-f(2π)≤k.
x
当k=1时, 令 h(x)=f(x)+ ,x∈[π,2π],
π
sinx 1
则 h' (x)= + ,
x π
注意到-1≤sinx≤0, 且π≤x≤2π,
sinx 1 sinx 1
从而有 h' (x)≥ + ⩾ + ≥0,
x π π π
故h(x)单调递增.
故h(π)<h(2π), 即 f(π)+1<f(2π)+2,故f(π)-f(2π)<1.
从而k的最小值为1.
