文档内容
2024 届高三第一次联考
文科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写
清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题
区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，全集 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 或 ，全集 ，则 ，
又因为集合 ，因此， .
故选：C.
2. 已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】【分析】根据题意可得 ，求解即可.
【详解】因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 .
故选：C.
3. 已知 为复数单位， ，则 的模为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得 ，进而可求得 ，再结合模
长公式即可求解.
【详解】由 可得 ，所以 ，
.
所以 ，则
故选：A.
4. 在 中，“ ”是“ 为锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】在 中，找出 的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为 ，则 为锐角，
所以，“ ” “ 为锐角三角形”，
“ ” “ 为锐角三角形”，
所以，“ ”是“ 为锐角三角形”必要不充分条件.
故选：B.5. 在等比数列 中， ， 是方程 两根，若 ，则m的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得 ，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为 ， 是方程 两根，
所以 ，即 ，
在等比数列 中， ，又 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 .
故选：B.
6. 已知 ， ， ， ，若存在非零实数 使得 ，则 的最小
值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示可得 ，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.
【详解】若存在非零实数 使得 ，即 ，又 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.所以 的最小值为 .
故选 ：B
7. 已知函数 ，则函数 的图象的能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性及其在 时， 的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数 ，有 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，即函数 为奇函数，排除BD选项，
当 时， ，则 ，排除C选项.
故选：A.
8. 已知平行四边形 ，若点 是边 的三等分点（靠近点 处），点 是边 的中点，直线与 相交于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，设 ， ，利用向量的基本定理可得 ，
求得 ，从而问题可解.
【详解】
设 ，则 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 .
故选：C.
9. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 7【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式可求得 的值，然后利用弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，且 ，
则 ，
所以， ，则 ，
因此， .
故选：D.
10. 已知函数 ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当 时， ，所以问题转化为 ，求解
即可.
【详解】由 可得 ，
当 时， 符合题意；
当 时， 是关于 的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于 即可，
又当 时， ，
当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
综上， .
故选；A.11. 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据指对函数的单调性可得 ， ， ，再作商比较 的大小，从而可求解.
【详解】因为 ， ，
令 ，而 ，即
，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：D
12. 已知函数 若 有3个实数解，则实数 的取值范围为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 时， ，利用导数求函数单调区间，可证得此时 有2个实数解，则
时， ， 在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不
等式求实数 的取值范围.【详解】 时， ， ，
解得 ， 解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
所以方程 在 和 上各有1个实数解，
时， ，函数在 上单调递减，
依题意， 在 上有1个实数解，
则 ，解得 .
实数 的取值范围为 .
故选：B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 函数 ，则 ______.
.
【答案】
【解析】
【分析】先计算 ，从而可求解.
【详解】 ，所以 .
故答案为：
14. 设数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______．【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，进而求得 的值，即可求解.
【详解】由题意，数列 满足 ，
当 时， ，
所以 .
故答案为： .
15. 设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则不等式 的解集为
______.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质可得 ，再根据单调性可得 ，求解即可.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，所以 等价于 ，
又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
16. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的最大值为______.
【答案】
【解析】【分析】参变分离后，令 ，求导后，借助 放缩判断 在 上
单调递减，从而可求解.
【详解】当 时， ，则由 可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， ，
所以 在 上单调递减，所以 .
所以 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题关键是能够借助 放缩判断 在 上单调递减，从而使问题顺利
求解.
三、解答题：共70分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子 决赛，某同学决定运用高中所学的知识
对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；
（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率.
为
【答案】（1）中位数 ，平均数为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解；
（2）列举法求解即可.
【小问1详解】
甲成绩从小到大排列如下:
，
甲成绩的中位数为 ，
平均数为 ；
【小问2详解】
乙的5次成绩有3次“破十”，记为 ，有2次没“破十”，记为 ，
记恰有2次成绩“破十”为事件 ，
则从乙的5次成绩中任选3次的结果有：
共10种，
其中满足事件 的结果有 共6种，
，即恰有2次成绩“破十”的概率为 .
18. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .（1）求角B；
（2）若边 上的中线 长为2，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简 ，再结合余弦定理即可求解；
（2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得 ，结合基本不等式与三角形的面积公式
即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，即 ，
根据余弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ；
【小问2详解】
是 上的中线， ，即 ，
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
，即 面积的最大值为 .
19. 如图，在直三棱柱 中，底面 是以 为底边的等腰直角三角形， ，.
（1）求证：平面 平面 ；
的
（2）求点 到平面 距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用等体积法即可求解.
【小问1详解】
在直三棱柱 中， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 平面 ；
【小问2详解】
由（1）可知 平面 ，
又 平面 ，
由题意可知， ， ，，
设点 到平面 的距离为 ，
由 可得， ，
即 ，解得 .
所以点 到平面 的距离为 .
20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，短半轴 长为1，点 在椭圆 上
运动，且 的面积最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）当点 为椭圆 的上顶点时，设过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ，
的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，求解即可；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合韦达定理即可证明.
【小问1详解】
设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当 为椭圆E的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值 .所以 ，所以 ， ，
故椭圆E的标准方程为 ；
【小问2详解】
由题意可知 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则不妨令 ，
；
当直线 的斜率存在时，设直线的方程为 ，记 ，
由 得， ，
此时 ，即 或 ，
，
.
综上所述， ，即 为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知函数 ， .
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）当 时，设函数 ，求证： 有解.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）化简得出函数 的解析式，利用 可证得结论成立.
【小问1详解】
解：当 时， ，则 ，，则 ，
故当 时， 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
证明：当 时， ， ，
，
因为 ，故不等式 有解.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交弦的中点坐标为 ，求直线 的极坐标方程.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）在直线 与曲线 中消去参数，可得出直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）利用点差法可求出直线 的普通方程，再化为极坐标方程即可.
【小问1详解】解：在直线 的参数方程中消去参数 可得 ，
在曲线 的参数方程中消去参数 可得 ，
所以，直线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 .
【小问2详解】
解：设直线 交曲线 于点 、 ，则 ， ，
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，
由已知可得 ，两个等式作差可得 ，
即 ，即 ，
整理可得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
所以，直线 的极坐标方程为 .
选修4-5：不等式选讲
23. 已知定义域为 的函数 .
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，利用绝对值三角不等式可求得函数 的最小值；
（2）利用绝对值三角不等式可得出关于实数 的不等式，结合 ，可解出 的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
解：当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
【小问2详解】
解：若 ，由绝对值三角不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为不等式 恒成立，则 ，即 或 ，解得 或 ，
因为 ，则 ，故正实数 的最小值为 .
