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济宁市实验中学 2025 届高三第一学期 10 月月考数学试题
一、单选题
x>2}
1. 已知集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的结果，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ．
所以，实数 的取值范围是 .
故选：D.
2. “ 或 ”是“幂函数 在 上是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系
【详解】因为 是幂函数且在 上是减函数，
故 ，故 ，
故“ 或 ”是“幂函数 在 上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 函数 ，若对任意 ，都有 成立，
则实数 的取值范围为（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.
【详解】因为对任意 ，都有 成立，
可得 在 上是单调递减的，
则 ，解得 .
故选：A
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解.
【详解】.
故选： .
5. 函数y＝lg 的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数y＝lg 的定义域,可排除A，C,再代入x＝9,求出y值,结合选项得出答案.
【详解】函数y＝lg 的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg ＝－1＜0.由此排除
B.
故选:D.
【点睛】本题考查函数的图象,考查函数的性质,考查学生的识图能力,属于基础题.
6. 当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B【解析】
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据f′(x)即可解出．
【详解】因为函数 定义域为(0,+∞)，所以依题可知， ， ，而 ，
所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在(0,1)上递增，在
(1,+∞)上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
7. 已知函数 ，则使 有零点的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断 ，此时可得 的单调性，依题意可得 ，令 ，
结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在 使得 ，从而得到 有零点的充要条
件为 ，即可判断.
【详解】因为 ，
当 时 ， ，所以 ， 没有零点，故A错误；
当 时 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，，要使 有零点，则需 ，
即 ，令 ，则 在 上单调递减，
且 ， ， ，
所以存 在使得 ，
所以 有零点的充要条件为 ，
所以使 有零点的一个充分条件是 .
故选：D
8. 已知函数 ， ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数判断函数 的单调性，然后结合 的单调性，即可得到结果.
【详解】因为 且 ，所以 ，
令 且 ，则 ，
当 时， ，故函数 单调递增，
当 时， ，故函数 单调递减；
所以 ，所以 在 上单调递增，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ，则 ，即 .
故选：D
二、多选题
9. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 有三个零点
的
B. 当 时， 是 极大值点
C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存
在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若
存在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦
可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三
次函数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
10. 若正实数a，b满足 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值4 D. 有最小值【答案】AD
【解析】
【分析】求得 最值判断选项A；求得 最大值判断选项B；求得 最小值判断选项C；求
得 最小值判断选项D.
【详解】选项A：由 （当且仅当 时等号成立），
得 ，故 有最大值 .判断错误；
选项B：
（当且仅当 时等号成立），
.
则 ，则 有最大值 判断正确；
选项C： （当且仅当 时等号成立），
故 有最小值4，判断正确；
选项D： （当且仅当 时等号成立），
所以 有最小值 .判断错误.
故选：AD.11. 函数 ，关于x的方程 ，则下列正确的是（ ）
A. 函数 的值域为R
B. 函数 的单调减区间为
C. 当 时，则方程有4个不相等的实数根
D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】先分析函数 的单调性和函数值情况并作出函数 的图象，对于A和B，由分析以及图象
即可得解；由对于C和D，由方程 得解为 与 ，再根
据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解.
【详解】①当 时， ，
则 在 单调递减，且渐近线为 轴和 ，恒有 .
②当 时， ， ，
当 ， 在(0,1)单调递增；当 ， 在(1,+∞)单调递减，
故 ，且恒有 ，综上①②可知， ，
综上，作出函数 大致图象，如下图：对于A，由上可知函数 的值域为 ，故A错误；
对于B，函数 的单调减区间为 ，故B正确；
对于C，当 时，则方程 ，解得 或 ，
由 ，得 或 ，有两个实数根；
由图象可知，由 得此时有 不相等的实数根，且均不为 ，也不为 ，
所以当 时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；
对于D，若关于x的方程 有3个不相等的实数根，
即方程 与方程 共有3个不相等的实数根，
又因为 已有两个不等的实数根 ，
则方程 有且仅有1个根，且不为 .
所以 与 有且仅有1个公共点，由图象可知 ，满足题意，即m的取值范围是 ，故D正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：先研究函数 的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数 的图象，
数 形 结 合 使 得 问 题 更 直 观 ， 进 而 即 可 进 一 步 研 究 函 数 的 性 质 情 况 ： 研 究 方 程
的根的个数问题，可先解方程得 与 ，再根据条件依
次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解.
三、填空题
12. 设正实数 满足 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解.
【详解】由 ，得 ．
所以 ．
故答案为：
13. 已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数， ，则
__________.
【答案】4048【解析】
【分析】根据题中 为奇函数， 为偶函数，从而可得出 为周期为4的函数，从
而可求解.
【详解】由题意得 为奇函数，所以 ，即
，所以函数 关于点 中心对称，
由 为偶函数，所以可得 为偶函数，则 ，所以函数 关于直线
对称，
所以 ，从而得 ，所以函数 为周期为4的函数，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 关于直线 对称，所以 ，
又因为 关于点 对称，所以 ，
又因为 ，又因为 ，所以
，
所以 .
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内
的值，最后求和即可.
14. 已知函数 若存在实数 满足 ，且 ，则 的
取值范围为__________.【答案】
【解析】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到 ，根据 ，可将 化
简为 ，构造函数 ，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 .
令 ，得 ，则 ，
故 .
令 ，则 ，
令 得 ；令 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题
15. 函数 的定义域为集合A，函数 的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足 ，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式的求解方法可求得A集合，由指数函数的值域可求得集合B；
（Ⅱ）由 ，得 ， 根据集合的子集关系可得实数a的取值范围．
【详解】（Ⅰ）A= ，
B= ．
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
显然， ， ∴ 或 ，
∴ 或 ，即a的取值范围是 ．
【点睛】本题考查集合的表示和化简，集合的交集运算，集合间的子集关系，属于中档题.
16. 已知 ，
（1）求 和 的值
（2）若 ， ，求 的大小．
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得 ，以及 求值；（2）条件等式由诱导公式可得 ，即可由和差公式求得 ，结合
范围即可.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
，
，
∵ ，∴ .
17. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而利用导数求 的单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
解法一：因为 的定义域为R，且 ，
若 ，则 对任意x∈R恒成立，
可知 在R上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在(0,+∞)内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为(1,+∞)；
解法二：因为 的定义域为R，且 ，若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在(0,+∞)内单调递增，
可知 在(0,+∞)内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为(1,+∞).
18. 如图，在扇形 中， ，半径 .在弧 上取一点C，向半径 、 分别作
垂线，与线段 、 分别相交于D、E，得到一个四边形 .
（1）设 ，将四边形 的面积S表示成x的函数；（2）求四边形 的面积S的最大值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形面积公式得到
，然后利用二倍角公式，辅助角法化简求解.
（2）由（1）知： ，利用正弦函数的性质求解.
【
详解】（1） ，
，
，
，
，要得到四边形 则 .
（2）由（1）知： ，
因为所以 ，
所以当 ，即 时，四边形 的面积S的最大值为 .
【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
【答案】（1）f(x)的减区间为 ，增区间为 .
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
（2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放
缩法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒
成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
【小问3详解】
取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
