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贵阳市清华中学 2024 届高三 10 月月考试卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时间120分钟，满分150
分.
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，可知 的元素个数即为 的零点个数，根据函数单调性结合零
点存在性定理运算求解.
【详解】由题意可知： 的元素个数即为函数 与 的交点个数，
令 ，则函数 与 的交点个数即为 的零点个数，
因为 在 内单调递增， 在 内单调递减，
则 在 内单调递增，且 ，
可知 在 内有且仅有1个零点，即函数 与 有且仅有1个交点，
所以 的元素个数为1.
故选：A.
2. 若 ，其中 是虚数单位， 且 ，设 ，则 为（ ）
A. 2 B. C. 6 D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】化简可得 ，然后根据复数相等的条件列出关系式，求出 的值，根据共轭复数
的概念以及复数的求模运算，即可得出答案.
【详解】由 得， ，
所以 且 ，
解得 ， ，
所以， ，
所以 .
故选：D.
3. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为： 日均值在 以下，
空气质量为一级； 日均值在 ，空气质量为二级； 日均值超过 为
超标.如图是某地8月1日至 日 的日均值（单位： ）变化的折线图，下列关于 日
均值说法正确的是（ ）
A. 这 天日均值的 百分位数为
B. 前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差
C. 前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差
D. 这 天的日均值的中位数为
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司的
【详解】解：对于A，将 天中 日均值按从小到大排列为 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，根据百分位数的定义可得，这 天中 日均值的 百分位数是 ，故
选A错误；
对于B，前4天的日均值的极差为 ，后4天的日均值的极差为 ，故选项B正确；
对于C，由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天
日均值的方差，故选项C错误；
对于D，这 天中 日均值的中位数为 ，故选项D错误.
.
故选：B
4. 数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据 以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列 为递增数列等价于对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，故 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
5. 若方程 所表示的曲线为 ，则下列命题错误的是（ ）
A. 若曲线 为双曲线，则 或
为
B. 若曲线 椭圆，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 曲线 可能是圆
D. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用方程表示双曲线求解 的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解 可判断B；方程是否表示圆
可判断C；方程表示焦点在 轴上的椭圆求解 可判断D.
【详解】对于选项A：方程表示双曲线，则 ，解得 或 ，故A正确；
对于选项B：方程表示椭圆，则 ，解得 且 ，故B错误；
对于选项C：当 时，方程表示圆，故C正确；
对于选项D：方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，故D正确；
故选：B.
6. 两个单位向量 与 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ， ，根据 可得 ，设
与 的夹角为 ，利用 即可求解.
【详解】由题意可得 ， ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
设 与 的夹角为 ， ，
则 ,
所以 .
故选；D.
7. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用倍角公式化简可得 ，代入结合诱导公式运算求解.
【详解】∵
，
所以 ．
故选：A．
8. 若对任意正实数 都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为 ，再构造函数 （
），求其最大值，进而求得结果.
【详解】化简不等式可得 ，即： ，
令 （ ），则对任意的 ， ，
所以 ，设 ， ，
则 ，令 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，
所以 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得： ，即： 的取值范围为 .
故选：A.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质结合作差法逐一判断即可.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
所以 ，即 ，故A错误；
则 ，所以 ，故B正确；
则 ，故C错误；
因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD.
10. 如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则以下说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B. 当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C. 若点 在底面 上运动，则使直线 与平面 所成的角为 的点 的轨迹为椭圆
D. 若 是 的中点，点 在底面 上运动时，不存在点 满足 平面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据体积公式，即可判断A，建立空间直角坐标系，根据线线角，线面角，以及利用法向量判断
线面关系，即可判断BCD.
【详解】A. 当 在平面 上运动时，点 到平面 的距离为2，
所以四棱锥 的体积 ，故A正确；
B.如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， ,
， , ，
设 与 所成角为 ，
则
当 时， ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
所以 ， ，故B正确；
C. 若点 在底面 上运动，设 ， ， ，
平面 的法向量为 ，
则 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 时 ，
，
化简为 ，则点 的轨迹为圆，故C错误；
D.如图， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，且 ，且 平面 ，
所以 平面 ，即向量 是平面 的法向量，
， ， ，
若 平面 ，则 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 与底面 有公共点，即存在点 满足 平面 ，故D错误.
故选：AB
11. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯
发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波
罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .设点 的轨迹为曲线 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 点 都在曲线 内部
C. 当 三点不共线时，则
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，通过直接法求出点 的轨迹方程即可判断；
对于B，利用点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系；
对于C，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于D，将 转化为 进行判断即可．
【详解】设 ， 不与 ， 重合），
由 ， ，有 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，化简得 ，
所以点 的轨迹曲线 是以 为圆心，半径 的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线 方的程为 ，选项A正确；
对于B选项，由 ，点 在曲线 外，选项B错误；
对于C选项，由 ， ，有 ，
则当 ， ， 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知， 是 内角 的角平分线，
所以 ，选项C正确；
对于D选项，由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 在线段 上时，等号成立，
则 的最小值为 ，选项D正确．
故选：ACD．
12. 定义在 的函数 满足 ，且 ， 都
有 ，若方程 的解构成单调递增数列 ，则下列说法中正确的是（
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学科网（北京）股份有限公司）
A.
B. 若数列 为等差数列，则公差为6
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据题意结合周期性运算求解；对于B：根据题意结合图象分析判断；对于B：整理可
得 ，结合图象分析判断；对于 D：根据图象结合对称性分析可得数列
是以首项为7，公差为12的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解.
【详解】因为 都有 ，即 的图象关于 对称，
令 ，则 ，即 ，
可知 在 内的图象关于点 对称，
根据题意作出 在 内的图象，如图所示：
对于选项A：因为定义在 的函数 满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故A正确；
对于选项B：由图象可知：若数列 为等差数列，则 ，
此时 与 在 内有且仅有一个交点，
因为 ，则 ，
所以公差为6，故B正确；
对于选项C：若 ，则 ，
可得 ，
则 ，即 与 在 内有且仅有2个交点，
结合图象可得 ，故C错误；
对于选项D：若 ，则 与 在 内有且仅有3个交点，且
，
因为 ，则 ，
所以数列 是以首项为7，公差为12的等差数列，
可得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
第II卷
三､填空题（本大题共4小题，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知一个扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形面积公式计算即可.
【详解】设扇形半径为 ，由题意可知 ，所以该扇形的面积为 ．
故答案为： .
14. 分别为 内角 的对边．已知 ，则 的最小值为________．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】因为 ，所以代入 ，得到 ，并结合基本
不等式，得到 的最小值.
详解】由余弦定理得 ．
【
当且仅当 时，取等号.
所以 的最小值为
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
依题意，不等式 在 上有解，等价于 在 上有解，
而 ，当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： ．
16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，经过 的直线交椭圆 于 两点，
为坐标原点，且 ，则椭圆 的离心率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.
【详解】因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由 ，
得 ，所以 .
故答案为: .
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤.
17. 已知函数 （ ， ， ）的图象相邻两条对称轴间的距离为 ．
函数 的最大值为2，且______．
请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，① 为奇函数；②当 时 ；③
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学科网（北京）股份有限公司是函数 的一条对称轴．并解答下列问题：
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中， 、 ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积
，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值确定A，根据相邻两条对称轴间的距离为 确定最小正周期，从而确定 ，选①，
可 得 ， 求 解 即 可 ； 选 ② ， ， 求 解 即 可 ； 选 ③ ， 整 体 思 想
，求解即可.
（2）利用面积公式求出 ，结合余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由题意得 ，
∴最小正周期 ，则 ，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司若选①， 为奇函数，则 ，
∴ ，即
∵ ，即 ，
∴ 即 ，
∴ .
若选②，当 时 ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
若选③， 是函数 的一条对称轴，
∴ 即
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ .
【小问2详解】
∵ ，
∴ ,即 ，
∵ 即 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， 的面积 ，
∴ 得 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得 .
18. 已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意
恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由 与 的关系即可求解；
（2）先用错位相减法求出 ，再由不等式恒成立问题的解法即可求解.
【小问1详解】
解：当 时，∵ ，
∴ ，两式相减得 ， .
∵ ， ，所以 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴数列 是以首项 ，公比为 的等比数列．
∴
【小问2详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 对任意 恒成立，
∴ ，
∴ ，
∴ 恒成立，
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
19. 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为 的正方形， 为
中点，且 .
（1）求证： 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距
离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理证明 ，再由 ，可证 平面 ，即得 ，
由 ，可证 平面 ；（2）由题意证明得 两两垂直，建立空间直角坐标
系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面 的法向量，设 ，
再由向量夹角的公式代入计算得 ，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.
【小问1详解】
证明：由题知 ，
，
又 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在正 中， 为 中点，于是 ，
又 ， 平面 ，所以 平面
【小问2详解】
取 中点为 中点为 ，则 ，
由（1）知， 平面 ，且 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ，
所以 ， 平面
所以 平面 ，于是 两两垂直.
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴､ 轴､ 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则 ，
，所以 ，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，于是 .
设 ，
则 .
由于直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
第23页/共29页
学科网（北京）股份有限公司，
即 ，整理得
，由于 ，所以
于是 .
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，
利用向量的夹角公式求解.
20. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运
会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔
赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社
区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 ， ， ，通过初赛后再通过决赛的概率
均为 ，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率．
（2）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影
响，中奖一次奖励600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元（包含参加初赛的100元），若
品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的概率，先分别求出甲乙丙三人参加市赛的概率，即可求出至少有1人参加市
知识竞赛的概率．
（2）分别求出两个方案的奖励期望，比较大小即可.
【小问1详解】
甲参加市赛的概率为 ，
乙参加市赛的概率为 ，
丙参加市赛的概率为 ，
至少1人参加市赛的概率为： ．
【小问2详解】
方案一：设三人中奖人数为 ，所获奖金总额为 元，则 ，且 ．
所以 元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为 元，则 的所有可能取值为300、600、900、1200，
则 ，
，
，
第25页/共29页
学科网（北京）股份有限公司，
所以， ．
所以， ，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
21. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在双曲线上，若
，且双曲线焦距为4．
（1）求双曲线 的方程；
（2）如果 为双曲线 右支上的动点，在 轴负半轴上是否存在定点 使得 ？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；
（2）在 轴负半轴上假设存在点 满足题意，当 垂直于 轴时，易得 ，当 不垂直于
轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得 .
【小问1详解】
因为点 在双曲线上，
所以由双曲线的定义可得 ①，
第26页/共29页
学科网（北京）股份有限公司又双曲线焦距即 ，且 ③，
①②③联立解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
假设存在点 满足题设条件，由题目可知 ，
设 为双曲线 右支上一点，
当 时， ，因为 ，
所以 ，于是 ，所以 ，即 ，
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
将 代入并整理得 ，
所以 ，解得 ，即 ，
综上，满足条件的点 存在，其坐标为 .
【点睛】方法点睛：
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去 （或 ）建立一元二次方程，然后借
助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 或不存在等特殊情形.
22. 已知曲线 在 处的切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）已知 为整数，关于 的不等式 在 时恒成立，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析单调性可得 在 上是增函数，进而将不等式转化为 在 时恒成立，
再构造函数 ，再求导分析单调性，结合零点存在性定理分析函数的极值，进而
可得 的最大值．
【小问1详解】
由题知， ， ，
在 处的切线方程为 ， ．
【小问2详解】
由（1）知 ，
，
在 上是增函数，
关于 的不等式 在 时恒成立，
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司不等式 即 在 时恒成立．
设 ，
则 ．
设 ，则 ，
在区间 是增函数，
，
存在 ，使 ，
当 时， ，当 时， ，
在区间 单调递减，在区间 单调递增，
，
，
又 为整数， 的最大值为3．
【点睛】方法点睛：
（1）恒成立问题可考虑参变分离；
（2）构造函数分析单调性，极值点求不出的可设极值点，根据零点存在性定理确定极值点的范围；
（3）根据极值点满足的关系式，代入极值，继续构造函数分析极值范围.
第29页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
