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2004 年重庆高考理科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域是：
A． ， B． C． D．
2．（5分）设复数 ，则
A． B．3 C． D．
3．（5分）圆 的圆心到直线 的距离为：
A．2 B． C．1 D．
4．（5分）不等式 的解集是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．（5分） 等于
A． B． C． D．
6．（5分）若向量 的夹角为 ， ，则向量 的模为
A．2 B．4 C．6 D．12
7．（5分）一元二次方程 ， 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
A． B． C． D．
8．（5分）设 是 的二面角 内一点， 平面 ， 平面 ， ， 为垂足， ，
，则 的长为：
A． B． C． D．
9．（5分）若数列 是等差数列，首项 ， ， ． ，则使前 项和
成立的最大自然数 是
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
第1页 | 共18页10．（5分）已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为
A． B． C．2 D．
11．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有
5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），
而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：
A． B． C． D．
12．（5分）若三棱锥 的侧面 内一动点 到底面 的距离与到棱 的距离相等，则动点
的轨迹与 组成图形可能是：
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若在 的展开式中 的系数为 ，则 ．
14．（4分）曲线 与 在交点处的切线夹角是 ．（以弧度数作答）
15．（4分）如图 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，
然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 、 、 、 ，记纸板
的面积为 ，则 ．
第2页 | 共18页16．（4分）直线： 与椭圆： 恰有一个公共点，则 取值是
．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 ， 上
的单调递增区间．
18．（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 ，遇到红灯（禁
止通行）的概率为 ．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进， 表示停车时已经通过的路口
数，求：
（Ⅰ） 的概率的分布列及期望 ；
（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率．
19．（12 分）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， ，
（1）证明 是异面直线 与 的公垂线；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（12分）设函数 ，
（1）求导数 并证明 有两个不同的极值点 ， ；
第3页 | 共18页（2）若不等式 成立，求 的取值范围．
21．（12分）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两点 、 ，以线段
为直径作圆 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 的圆周上；并求圆 的面积最小时直线 的方程．
22．（14分）设数列 满足： ， ．
（Ⅰ）证明： 对 恒成立；
（Ⅱ）令 ，判断 与 的大小，并说明理由．
第4页 | 共18页2004年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域是：
A． ， B． C． D．
【解答】解：要使函数有意义： ，
即：
可得
解得
故选： ．
2．（5分）设复数 ，则
A． B．3 C． D．
【解答】解： 复数 ，
故选： ．
3．（5分）圆 的圆心到直线 的距离为：
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：圆 的圆心 ，
它到直线 的距离：
故选： ．
第5页 | 共18页4．（5分）不等式 的解集是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：法一： 得 即
可得 可得 或 ．
法二：验证， 、 不满足不等式，排除 、 、 ．
故选： ．
5．（5分） 等于
A． B． C． D．
【解答】解：原式
．
故选： ．
6．（5分）若向量 的夹角为 ， ，则向量 的模为
A．2 B．4 C．6 D．12
【解答】解：
，
．
．
．
故选： ．
7．（5分）一元二次方程 ， 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
A． B． C． D．
第6页 | 共18页【解答】解：一元二次方程 ， 有一个正根和一个负根的充要条件是 ，
即 ，
而 的一个充分不必要条件是
故选： ．
8．（5分）设 是 的二面角 内一点， 平面 ， 平面 ， ， 为垂足， ，
，则 的长为：
A． B． C． D．
【解答】解：设平面 与二面角的棱 交于点 ，
连接 、 可得直线 平面 ，
所以 是二面角 的平面角， ，
故 中， ， ， ，
由余弦定理得： ， ，
所以 ，
故选： ．
9．（5分）若数列 是等差数列，首项 ， ， ． ，则使前 项和
成立的最大自然数 是
第7页 | 共18页A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
【解答】解：
解法1：由 ， ，知 和 两项中有一正数一负数，又 ，则公差为负
数，否则各项总为正数，故 ，即 ， ．
，
，
故4006为 的最大自然数．
故选 ．
解 法 2 ： 由 ， ， ， 同 解 法 1 的 分 析 得 ， ，
为 中的最大值．
是关于 的二次函数，如草图所示，
到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点 的左侧，
第8页 | 共18页4007，4008都在其右侧， 的最大自然数是4006．
故选： ．
10．（5分）已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为
A． B． C．2 D．
【解答】解：设 ，由焦半径得 ， ，
，化简得 ，
在双曲线的右支上，
，
，即双曲线的离心率 的最大值为
故选： ．
11．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有
5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），
而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有： ；
满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的 2位同学没有被排在一起的演讲的顺
序”可通过如下步骤：
①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有 种方法；
②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有 种方法；
③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有
第9页 | 共18页种方法．
根据分步计数原理（乘法原理），共有 种方法．
一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），
而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： ．
故选： ．
12．（5分）若三棱锥 的侧面 内一动点 到底面 的距离与到棱 的距离相等，则动点
的轨迹与 组成图形可能是：
A． B．
C． D．
【解答】解：设二面角 的大小为 ，如图．
作 面 于 ， 于 ， 于 ，则 ，
且由条件 ，
为小于1的常数，
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
第10页 | 共18页13．（4分）若在 的展开式中 的系数为 ，则 ．
【解答】解： 展开式的通项为
令 的展开式中 的系数为
展开式中 的系数为
故答案为
14．（4分）曲线 与 在交点处的切线夹角是 ．（以弧度数作答）
【解答】解：由 得 ， ， ．
两曲线只有一个交点．
， ．
又 ， 当 时， ．
两曲线在交点处的切线斜率分别为 、3，
．
夹角为 ．
故答案为：
15．（4分）如图 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，
然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 、 、 、 ，记纸板
的面积为 ，则 ．
第11页 | 共18页【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以 为首项，以 为公比的等比数列，
则
故：
故答案为：
16．（4分）直线： 与椭圆： 恰有一个公共点，则 取值是 0
．
【解答】解：椭圆： 化成标准方程为
直线 恒过 ，
而点 ， 在椭圆上且为上定点，
则直线： 与椭圆： 恰有一个公共点
即 ，
故答案为0．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 ， 上
的单调递增区间．
【解答】解：
第12页 | 共18页．
故该函数的最小正周期是 ；最小值是 ；单调递增区间是 ， ， ， ．
18．（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 ，遇到红灯（禁
止通行）的概率为 ．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进， 表示停车时已经通过的路口
数，求：
（Ⅰ） 的概率的分布列及期望 ；
（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率．
【解答】解： 由题意知 的所有可能值为0，1，2，3，4
用 表示“汽车通过第 个路口时不停（遇绿灯）”，
则 独立．
故 ，
，
，
从而 有分布列：
第13页 | 共18页即停车时最多已通过3个路口的概率为 ．
19．（12 分）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， ，
（1）证明 是异面直线 与 的公垂线；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】 证明：因 底面，有 ，又知 ，
故 面 ，推得 ，
又 ，且 ，
证得 是矩形，故 ．
又因 ， ，故 面 ，
而 ，得 面 ，
故 ，
因此 是 与 的公垂线．
解：连接 交 于 ，连接 ，过 作 的垂线 ，
垂足 在 上．
易知 面 ，故 ，
又 ，故 ，
因此 面 ．
连接 ，则 是所要求的线 与面 所成的角
设 ，则 ， ．
第14页 | 共18页因 ，故
，
．
从而在 中
．
20．（12分）设函数 ，
（1）求导数 并证明 有两个不同的极值点 ， ；
（2）若不等式 成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ．
令 得方程
．
因△ ，故方程有两个不同实根 ，
不妨设 ，由 可判断 的符号如下：
当 时， ；
当 时， ；
第15页 | 共18页当 时，
因此 是极大值点， 是极小值点．
（2）因 ，故得不等式 ．
即 ．
又由 知
代入前面不等式，两边除以 ，并化简得
．
解不等式得 或 （舍去）
因此，当 时，不等式 成立．
21．（12分）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两点 、 ，以线段
为直径作圆 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 的圆周上；并求圆 的面积最小时直线 的方程．
【解答】解：由题意，设直线 的方程为 ，
设 ， ， ， ，则其坐标满足
第16页 | 共18页消去 的 ，
则
因此
，故 必在圆 的圆周上，
又由题意圆心 是 的中点，故
，
由前已证 应是圆 的半径，且 ；
从而当 时，圆 的半径最小，也使圆 的面积最小．
22．（14分）设数列 满足： ， ．
（Ⅰ）证明： 对 恒成立；
（Ⅱ）令 ，判断 与 的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）证法一：当 时， ，不等式成立，
假设 时， 成立（2分），
当 时， ．（5分）
第17页 | 共18页时， 时成立
综上由数学归纳法可知， 对一切正整数成立（6分）
证法二：由递推公式得 ， （2分）
上述各式相加并化简得 （4分）
又 时， 显然成立，故 （6分）
（2）解法一： （8分）
（10分）
又显然 ，故 成立（12分）
解法二： （8分）
（10分）
故 ，因此 （12分）
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