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2025 届普通高中毕业生久洵杯七月调研测试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 （ ）
.
A B. C. D. 1
5. 记抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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学科网（北京）股份有限公司6. 记A，B为随机事件，已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 （ ， ）的部分图象如图所示，点 是 与坐标轴
的交点，若 是直角三角形，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知面积为 的锐角三角形 满足 ，将 以 为轴旋转至 ，且
，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（ ）
A. 该组数据的极差为25
B. 该组数据的 分位数为19
C. 该组数据的平均数为17
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10. 已知 满足 ， ，记 的前n项和为 ， 的前n项和
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学科网（北京）股份有限公司为 ，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A. 是等差数列
B. 的通项公式为 或
C. 若 ，则
为
D. 若 ，则 定值
11. 已知函数 是偶函数，点 ，点 ，点 在
函数 的图象上，且 ，记 边上的高为h，则（ ）
A. B. 函数 是减函数
C. 点B可能在以 为直径的圆上 D. h的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，则 __________．
13. 写出一个同时具有下列性质的函数 __________．
a． 是偶函数 b． 不存在对称中心
c． 存在最小正周期，且最小正周期为2
14. 已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点为 ， ，过 的直线 交C的右支于点
（点A在点B上方）， ，过点 作直线 ，交C于点E（点E在第二象限），若直
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学科网（北京）股份有限公司线 与直线 的交点在直线 上，则C的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 投掷一枚硬币n（ ， ）次，正面向上与反面向上的概率均为0.5，记事件A为“n次抛掷
中既有正面向上也有反面向上”，B为“n次抛掷中至多一次正面向上”．
（1）若 ，求 ；
的
（2）证明：事件A，B相互独立 充要条件为 ．
16. 如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的正方形， ， ．
（1）证明： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
.
17 已知函数 ， ．
（1）求 的极值；
（2）讨论 的单调性；
的
（3）若 存在两个极值点 ， ，讨论 和 大小关系．
18. 记椭圆 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ，P是E上除左右顶点外
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学科网（北京）股份有限公司一点，记P在E处的切线为l，作直线 交l于点 ，作直线 交l于点 ，记直线
与 的交点为Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）求 ；
（3）求四边形 面积的最大值．附：椭圆 在点 处的切线为
（P在椭圆上）．
19. 对于一个非零整数 和质数p，我们称n中含的p幂次为 ， 定义为最大的非负整数k，使
得存在非零整数m，有 ，例如 ， 等等．且补充定义一个非零有理数 的
，如 ， ，且规定 ．现在对于任意一个有理
数 ，我们定义其的“p示数”为 ，其中 ，规定 ．记两个有理数x，y的“p示
数距离”为 ．
（1）计算 ， ， ；
（2）证明对于一个正整数 ，存在一列非整数的正有理数 ， …… 使
；
第5页/共9页
学科网（北京）股份有限公司（3）给定质数p，若一个无穷集合A中任意一数列 ，对于任意 ， ，则我们
称集合A是“p一紧致的”．是否存在质数p，使得整数集是“p一紧致的”？若存在，求出所有p；若不存在，
请说明理由．
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数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AB
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）极小值为 ，没有极大值
（2）
答案见详解 （3）答案见详解
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ，
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
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