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长安一中 2021 级高三第三次教学质量检测
数学（文科）试题
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.
【详解】全集 ，集合 ，
或 ，
所以 ，
则 ．
故选：B．
2. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算和共轭复数定义可求得 ，由虚部定义可得结果.
【详解】 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 的虚部为 .
故选：A.
3. 设x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的最小值是（ ）
A. －15 B. －9 C. 1 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】作出可行域，z表示直线 的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.
【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，
目标函数 ，z表示直线 的纵截距，
，
数形结合知函数 在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，
所以z的最小值为－12－3＝－15.
故选：A
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.
4. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一
名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．
比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】假设四人中任意一人猜对，根据合情推理即可求解.
【详解】假设甲猜对比赛结果，则乙也猜对比赛结果，所以假设不成立，所以甲没猜对比赛结果，即得第
一名的是1,2,3或6；若乙猜对比赛结果，则1,2或6号选手中的其中一名获得第一名，此时丙也猜对比赛
结果，所以乙也没有猜对比赛结果，所以3号选手获得第一名，则只有丁猜对了比赛结果.
故选： .
5. 若 为奇函数，则 的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 为奇函数，求出 的值，利用复合函数的单调性特征求 的单调递增区间.
【详解】函数 为奇函数， 的定义域为 ，
由 ，∴ ，
函数 的定义域为 ，
函数 在定义域内单调递增，
当 时， 的单调递增区间为 ，
所以 的单调递增区间为 .
故选：D．
6. 南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上
层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若
输出的 的值为56，则程序框图中 处可以填入（ ）
①
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据循环结构及执行逻辑写出执行步骤，结合输出结果确定条件即可.
【详解】第一次循环： ，不满足输出条件， ；
第二次循环： ，不满足输出条件， ；
第三次循环： ，不满足输出条件， ；
第四次循环： ，不满足输出条件， ；
第五次循环： ，不满足输出条件， ；
第六次循环： ，满足输出条件，退出循环．
所以判断框中的条件可填入“ ”．
故选：C
7. 某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若 与 线性相关，且线性回归方程为
，则下列说法不正确的是（ ）
时间 1 2 3 4 5
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学科网（北京）股份有限公司销 售 量
0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
（千只）
A. 由题中数据可知，变量 与 正相关
B. 线性回归方程 中
C. 可以预测 时该商场手机销量约为1.72（千只）
D. 当 时，残差为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，从数据可得 随着 的增加而增加，所以变量 与 正相关，所以A正确；
对于B中，由表中数据知 ，
则样本中心点为 ，将样本中心点 ，代入 中，
可得 ，所以B正确；
对于C中，当 时，该商场 手机销售量约为 （千只），
所以C正确；
对于D中，线性回归方程为 ，
当 时，可得 ，残差为 ，所以D错误.
故选：ABC.
8. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图
2中的扇形 为一把折扇展开后的平面图，其中 ， ，设向量
， ，若 ，则实数 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. 3 C. 7 D. 14
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 先 利 用 题 意 算 出 ， 然 后 利 用 数 量 积 的 运 算 律 对
进行化简，即可求解
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为向量 ， ， ，
所以 ，
即 ，解得
故选：D
9. 已知双曲线 的离心率大于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得 的范围．
【详解】当双曲线实轴在 轴上时， ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
当双曲线实轴在 轴上时， ，解得 ，不符合题意.
综上，解得 .
故选：A．
10. 如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面ABC，则
三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意说明 为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出 平面 ，进而结合球
的几何性质，确定三棱锥 外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.
【详解】由于 ， ，故 ，
即 为等腰直角三角形，
取AC的中点为M，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，即 为正三角形，故 ,
由于平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ；
又M为 的外心，
则三棱锥 外接球的球心必在BM上，
设 的中心为O，则O在BM上且 ，
而 ，
则 ，
即 ，
即O点即为三棱锥 外接球的球心，
故外接球半径为 ，所以外接球表面积为 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的
位置，进而求得半径.
11. 已知角 ， 终边上有一点 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得 ，结合角的范围即可求解.
【详解】
，故 ， ．
又 ， ，
故 在第三象限，故 ， ．
故选:C．
12. 过抛物线 的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交 于D，则 面
积的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得焦点 ，准线 ，设直线 的倾斜角为 ，则直线 的方程为
；联立抛物线方程可得 ，联立直线 和准线方程 可得
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学科网（北京）股份有限公司点坐标，即可得 垂直于准线，再利用焦半径公式可得 ， ，写出
的面积 的表达式，利用导函数和 即可求得其最小值.
【详解】如下图所示，易知焦点 ，直线 即为抛物线 的准线；
设直线 的倾斜角为 ，由对称性和交点个数可知，不妨取 ；
则直线 的方程为 ；
联立抛物线 的方程可得 ；
设 ，则满足 ；
则直线 的斜率为 ，其直线方程为 ，
联立准线方程 可得 ，又 可得
可知 两点纵坐标相同，所以直线 于 轴平行，即 垂直于准线；
由抛物线定义可得 ；
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学科网（北京）股份有限公司因此可得 ，即 ，即 ；
同理可得 ；
所以 的面积
化简可得
由 可得 ，所以
令 ，
则 ，令 ，解得
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以当 时， 取最大值 ，
当 取最大值时，面积取最小知，即 .
即 面积的最小值为 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用焦半径公式建立直线 的倾斜角为 与 的关系式
， ，写出 的面积 的表达式，利用导函数求得面积最小值.
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数 （其中 ）在 处的切线为 ，则直线 过定点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，从而可求出其过的定点
【详解】根据题意：函数 在 处有切线， 切点为 ，
又 ，故切线斜率为 ，
直线 的方程为 ，
该直线过定点的坐标为 .
故答案为：
14. 等差数列 中的 是函数 的极值点，则 __.
【答案】
【解析】
【分析】求得 ，结合题意，得到 是方程 的两个根，再由等
差数列的性质和对数的运算性质，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为 是函数 的极值点，即 是方程 的两个根，
可得 ，又由 ，所以 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司15. 中，三内角 所对边分别为 ，已知 ， ，则角 的最大值
是_______________
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意，利用正弦定理将 角化边，再结合余弦定理可得 ，代入
消去 ，利用基本不等式求出 的范围，得解；或利用三角恒等变换结合正切函数的性质即得.
【详解】解法一： ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，将 代入 ，可得
，
而 ，消去 可得 ，
当且仅当 时取等号.
在 上单调递减，
.
解法二： ，
又 ，
， 为锐角，且 ，
即 ， 为钝角， 为锐角，
而 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增，
.
故答案为：
16. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，有下列判断：
①平面 平面 ；
② ；
③异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
④三棱锥 的体积不变.
其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，建立空间直角坐标系，由空间向量相关运算得到 ⊥平面 ， ⊥平面 ，
得到两平面平行；对于②，在①基础上证明出线线垂直；对于③，表达出异面直线 与 所成角的余
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学科网（北京）股份有限公司弦值为 ，当 和 两种情况，求出异面直线 与
所成角范围；D选项，由线面平行结合等体积法得到三棱锥体积为定值.
【详解】对于①，设正方体 的棱长为1，
则 ，
故 ， ，
，
故 ⊥ ， ⊥ ，
又 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，
又 在线段 上运动，故 ⊥平面 ，
又 ，
，
故 ⊥ ， ⊥ ，
又 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，
所以平面 平面 ，①正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于②，由①可得 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ，②正确；
对于③，设 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角大小为 ，
则
，
当 时， ，故 ，
当 时， ，
又 在 上单调递减，故 ，
综上，异面直线 与 所成角的取值范围是 ，③错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于④，因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
故又 在线段 上运动，故 为定值，
故 ，体积不变.，④正确.
故答案为：①②④
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列 的前n项和为 ， ．
（1）求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．
（2）若数列 的前m项和 ，求m的值，
【答案】（1）证明见解析，
（2）7
【解析】
【分析】（1）利用数列中 与 的关系，得 ，可证明数列 为等比数列，可求数列
的通项公式 ．
（2）利用裂项相消求数列 的前m项和 ，由 求m的值.
【小问1详解】
因为 ，所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，则 ，
整理得 ，故 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ．所以
【小问2详解】
，
数列 的前m项和
，
则 ，则 ，则 ，解得 ，故m的值为7．
18. 某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了 名这类大学生进行
调查，将收集到的课余学习时间（单位： ）整理后得到如下表格：
课余学习时间
人数
（1）估计这 名大学生每天课余学习时间的中位数；
（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在 和 ，这两组中抽取 人，再从这 人中随机抽取
人，求抽到的 人的课余学习时间都在 的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频数分布表估计中位数的方法直接求解即可；
（2）根据分层抽样原则可确定从 和 两组中抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足
题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司， ，
这 名大学生每天课余学习时间的中位数位于 之间，
则中位数为 .
【小问2详解】
由题意知：从课余学习时间在 这一组抽取 人，分别记为 ，从课余学习时间在
这一组抽取 人，分别记为 ；
从这 人中随机抽取 人，所有的基本事件为：
，共 个基本事件；
其 中 “ 抽 到 的 人 的 课 余 学 习 时 间 都 在 ” 包 含 的 基 本 事 件 为 ：
，共 个基本事件；
抽到的 人的课余学习时间都在 的概率 .
19. 在如图所示的五面体 中,四边形 为菱形,且
为 中点.
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证: 平面 ;
(2)若平面 平面 ,求 到平面 的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【详解】(1)取 中点 ,连接 ,
因为 分别为 的中点,所以 ,且 ,
因为四边形 为菱形,所以 平面 平面 ,
所以 平面 .
因为平面 平面 平面 ,
所以 .
又 ,所以 .
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面 ，且 平面 ,所以 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司(2)由(1)得 平面 ,所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离.
的
取 中点 ,连接 ,
因为四边形 为菱形,且 ,
所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
设 到平面 的距离为 ,又因为 ,
所以由 ,得 ,解得 .
即 到平面 的距离为 ．
20. 如图所示，已知椭圆 ，与 轴不重合的直线 经过左焦点 ，且与椭圆 相交于 ，
两点，弦 的中点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若直线 的斜率为 ，求直线 的斜率．
（2）是否存在直线 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由题意，求出直线 的方程，设出点 ， 的坐标，联立方程组可得 ， 的坐标及其中点
的坐标，即可得直线 的斜率；
（2）假设存在直线 使得 成立，讨论直线斜率的情况，联立方程组分析可得是否满
足题意，即可得答案.
【小问1详解】
解：由已知可得 ，又直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，解得 ， ，
所以 的中点 ，
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学科网（北京）股份有限公司于是直线 的斜率为 ；
【小问2详解】
解：假设存在直线 ，使得 成立，
当直线 的斜率不存在时， 的中点 ，
所以 , ，矛盾；
故直线斜率存在，可设直线 的方程为 （ ），
联立直线与椭圆方程得 ，
则 ， ，
于是 ，
点 的坐标为 ，
，
直线 的方程为 ，
联立椭圆于直线 ，得 ，
设 ，则 ，
由题意 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
化简得 ，故 ，
所以直线 的方程为 或 .
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后
借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21. 已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
【解析】
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化
为方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究
的单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这
正好是 ，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,
设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分
必要条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得
方程 在区间 内有两个解．
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学科网（北京）股份有限公司构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以，
在 内最多只有一个零点，不符合题意；
当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时，
；所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
的
所以，实数a 取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与
有且仅有两个交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，取 上一点 在点 的切线方程
为 ，即 ．
当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所当 且
时有 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意；
当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得
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学科网（北京）股份有限公司在区间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即
，两边取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，
在区间 内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以
，即 ．
的
故实数a 范围为 ．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，
属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切
线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的
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学科网（北京）股份有限公司正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若 与 有两个不同的交点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，其中 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，消去参数 ，得到曲线 的普通方程，结合极坐标与直角的互化公式，即可求得
直线 的直角坐标方程；
（2）根据题意，联立方程组，方程有两个非负实根，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由曲线 的参数方程为 （ 为参数），
消去参数 ，可得 ，其中 ，
又由直线 的极坐标方程为 ，即 ，
因为 ，可得 ，即 ，
所以曲线 的普通方程为 ，其中 ，
直线 的直角坐标方程为 .
【小问2详解】
解：若直线 与曲线 有两个不同的交点，则 有两组不同的解，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，
则方程有两个非负实根，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数 的图象关于直线 对称．
（1）求 的最小值；
（2）设 ， 均为正数，且 ，求 的最小值．
【答案】（1）4； （2）
【解析】
【分析】（1）先整理 ，再利用题意中的对称求出 ，然后用三角不等式求出最小值即可；
（2）由（1）可得 ，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解
【小问1详解】
，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ，
第30页/共26页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时，取等号，
故 的最小值为4；
【小问2详解】
由（1）可得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，取等号，
故 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司
