文档内容
德阳市高中 2024 级高二上期期中教学质量监测考试
数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1-4：DCBC 5-8:ABBD
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项
中，有几项是符合题目要求的）
9. ABC 10.BCD 11.ABC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
5
12. 0（或0°） 13. 14. 18
6
四、填空题（共77分）
y−2 x−0
15.解（1）由两点式得边AB所在直线方程为 = ，即x+ y−2=0...........4
3−2 −1−0
分
2−0 1
（ 2 ） 因 为 k = = ， AC 的 中 点 D(−2,1)
AC 0−(−4) 2
,.................................................................7分
所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为y−1=−2(x+2)，即2x+ y+3=0．....9分
|−4+0−2|
（ 3 ） 点 C 到 边 AB 的 距 离 为 d= =3√2， |AB|=√2
√2
，......................11分
1 1
S = ×|AB|×d= ×√2×3√2=3．.....................................13分
∆ABC 2 2
16.解（1）∵ 为线段 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，.............................................2分
∴⃗PM=⃗PA+⃗AM.....................................4分
............................................6分
；..............................................7分
（2） ...................................9分
..............11分
1 1 1 1
=−8×6× + ×6×6× + ×62 ..................................................................13分
2 3 2 6
=−24+6+6=−12．.............................................15分
17.解（1）记甲，乙，丙三人在计算机三级上机考试中合格依次为事件A ，B ，C
1 1 1
在笔试考试中合格依次为A ，B ，C ....................................................................................2分
2 2 2
设甲没有获得执业医师证书的概率为P
...............................................6分
（2）甲、乙、丙获得计算机三级证书依次为A A ，B B ，C C
1 2 1 2 1 2
并且A 与A ，B 与B ，C 与C 相互独立........................................8
1 2 1 2 1 2
分
4 1 2 3 2 1 2 2 4
则 P(A A )= × = ， P(B B )= × = ， P(C C )= × =
1 2 5 2 5 1 2 4 3 2 1 2 3 3 9
..................................11分
由于事件A A ，B B ，C C 彼此相互独立
1 2 1 2 1 2
“恰有两人获得计算机三级证书”即为事件：..................13分
2 1 4 2 1 4 2 1 4 1
概率为P= × ×(1− )+ ×(1− )× +(1− )× × = .....................................15
5 2 9 5 2 9 5 2 9 3
分
18.解：（1）设 ，则 ，...........................................................................1分
即 ...............................................................................................................3分
化简得 ；
所以曲线 的方程为： ...............................................................................5分
（2）由（1）知曲线 的轨迹为圆，其圆心坐标为 ，半径
当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，圆心到直线 的距离为1，所以
，故 满足题
意.......................................................................................................................7分
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，........................8分
圆心 到直线的距离为
所以 ....................................................................10分
解得
所以 的方程为 ，
即 的方程为 ......................................................................................................11分
综上所述，直线 的方程为 和 ...................................................................12分
1 1
（3）S = ×|BQ|×|TQ|= ×2×|TQ|=|TQ|=√|TB| 2 −4，..............................14分
∆TBQ 2 2
|4−0|
故|TB|最短时，S 有最小值，此时|TB|为圆心B到直线y=x的距离d= =2√2,
∆TBQ
√2
S 最 小 值 为
∆TBQ
2.................................................................................................................................17分
19.证明：（1）取BD中点 ，连接PO，
是BM的中点， ，且 ，.....2分
在线段CD上取点 ，使 ，连接OF，QF，
， ，且 ，
， 四边形POFQ为平行四边形，
，..............................................................4分
又 平面 平面 ， 平面 ...............................................5
分
（2） ，则 ，
，
取BD中点 ，则 ，又 平面 ，
平面BCD，
以 为原点，OB，OC，OP所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，.................................7分
则 ，故 ，则 ， ， ，
，所以 ，
故 ，
易知平面 的一个法向量为 ，...................................9分
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ，即 ，
取 ，则 ， ，.....................................10分
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ..........................................................11分
(3)由（2）知 为BD中点， 为AD中点，连接OM，
，
点 为 内动点且 平面QGM，
又 平面ABD，平面 平面 ，
，故点 在OM上，..............................................12分
设 ，又 ， ， ，
则 ，
，...............................13分
易知平面 的一个法向量为 ，...................................14
分
设QG与平面 所成角为 ，则tanφ最大时， 最大，
，.............................16
分
所以当 时， 最大，此时 最大，
即当点 位于 中位线 靠近 的八等分点的第3个点处时，QG与平面 所
成角最大....................................................................................................................................17分
