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红岭中学（红岭教育集团）2025 届高三第二次统一考试
数 学
(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项
是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1．设全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A． B． C． D．
2．化简 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结
束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次
排列情况种数为（ ）
A．72 B．78 C．96 D．120
5．已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，若实数a，b，c互不相等，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司7.已知 ， ， ，其中 为自然对数的底数，则 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
8．将方程 的所有正数解从小到大组成数列 ，记
，则 =（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题的4个选项中有多个选项是正
确的,少选的按比例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
9．记 为数列 的前 项和，下列说法正确的是（ ）
A．若对 ， ，有 ，则数列 一定是等差数列
B．若对 ， ，有 ，则数列 一定是等比数列
C．已知 ，则 一定是等差数列
D．已知 ，则 一定是等比数列
10．已知 △ABC 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命
题是（ ）
A．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 在线段 AB 上，且 ，则△ABC 的
面积为8
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学科网（北京）股份有限公司D．若 ，动点 在△ABC 所在平面内且 ，则 动点 的轨迹的
长度为
11．已知矩形 ， ， ，将 沿对角线 进行翻折，得到三棱锥
，在翻折的过程中下列结论成立的是（ ）
A．三棱锥 的体积最大值为 B．三棱锥 的外接球体积不变
C．异面直线 与 所成角的最大值为 D． 与平面 所成角余弦值最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卷相应位置上）
12．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色
球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是 .
13．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点M在双曲线C
的右支上， ，若 与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且 ，其
中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 .
14．已知函数 有三个不同的零点 ，其中
则 的值为 .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题（共77分，请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必
要的文字叙述和推理说明）
15．(本小题13分)
设正项数列 的前n项和为 ，且 ，当 时， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式．
16．(本小题15分)
如图， 、 、 为圆锥三条母线， .
(1)证明: ；
(2)若圆锥侧面积为 为底面直径， ，求平面PAB和平面PAC所成角的余弦
值．
17．(本小题15分)
已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶点所围成的三
角形面积为 ．
(1)求 的方程；
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ，证明直线
过定点,并求出这个定点．
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学科网（北京）股份有限公司18．(本小题17分)
已知函数 ．
(1)若 的极大值为 ，求 的值；
(2)当 时，若 ， 使得 ，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角
形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
当 的三个内角均小于 时，满足 的点 为
① 120∘ ∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘ O
费马点；
当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点．
② 120∘
请用以上知识解决下面的问题：
已知 的内角 所对的边分别为 ，点 为 的费马点，且
A,B,C a,b,c M
cos2A+cos2B−cos2C=1．
(1)求C；
(2)若c=4，求|MA|⋅|MB|+|MB|⋅|MC|+|MC|⋅|MA|的最大值；
(3)若|MA|+|MB|=t|MC|，求实数t的最小值．
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