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石河子第一中学 2025届高三年级开学考试 数学答案
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
答案：A
2．下列不等式中，可以作为 的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.
【详解】对于A， 是 的不充分不必要条件，A不是；
对于B， 是 的一个必要不充分条件，B是；
对于C， 是 的一个充分不必要条件，C不是；
对于D， 是 的一个充分不必要条件，D不是.
故选：B
3．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论.
【详解】对A：当 时，由 不能推出 ，所以A错误；
对B：当 ， 时，由 不能推出 ，所以B错误；
对C：当 时，由 不能推出 ，所以C错误；
对D：由 ，又 ，所以 ，所以D正确.
故选：D
4. 函数 在区间 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.【详解】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
5．若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式 在 上
恒成立问题，即求出二次函数在 上的最大值即得.
【详解】由 可得 ，
因 在 上单调递增，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
而函数 在 上单调递减，则 ，
故 ，即a的取值范围是 .
故选：A.
6．已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上单
调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【详解】因为幂函数 是 上的偶函数，则 ，解得 或
，当 时，
，该函数是定义域为 的偶函数，合乎题意.所以 ，则 ，其对称轴方程为
，因为 在区间 上单调递减，则 ，解得 .故选：C．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式： ，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率 取决于信道带宽 、信道内所传信号的平均功率S、信道内
部的高斯噪音功率 的大小，其中 叫做信噪比.已知当 比较大时， ，按照
香农公式，由于技术提升，宽带 在原来的基础上增加 ，信噪比从1000提升至8000，则 大约增
加了（ ）（附： ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时 的比值即可求解.
【详解】由题意可得，当 时， ，
当 时， ，
所以
，
所以 的增长率约为 .
故选：D公众号：高中试卷君
8. 已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ，则下列结论中一定
正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 的一个周期为
【答案】ACD
【分析】由奇函数可得 ，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】由函数 为奇函数，则 ，A选项正确；
又 ，即 ，则函数 关于直线 对称，B选项错误；
由 可知 ，
即 ，函数 的一个周期为 ，C选项正确，D选项正确；
故选：ACD.
10. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 有三个零点
B. 当 时， 是 的极大值点
C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设
存在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，
若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，
亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD【点睛】结论点睛：（1） 对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三
次函数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
11．已知 ， 则下列结论正确的有（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为3 D．
11．BD【详解】因为 ， 对于A，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
但 ，可得 ，则 ，可得 ，可知 不为 的最大值，故A
错误；
对于B，因为 ，当且仅当 ，即 ， 时，等
号成立，
所以 的最小值为 ，故B正确；对于C，因为 ，则 ，即
，则
，当且仅当
，即 ， 时，等号成立，这与题干不符，故3不为 的最小值，故C错误；
对于D，由题意可知： ， ，则 ，构建函数 ， ，则
，在 内恒成立，可知 在 内单调递减，则 ，所以 ，故
D正确；故选：BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数 有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是
（用a表示）.
【答案】
【分析】根据题设条件可知抛物线与 轴相切，从而可得 的关系，进一步解一元二次方程即可求解函
数零点.
【详解】解析因为函数 有零点，但不能用二分法求出，
所以函数 的图象与x轴相切，所以 ，所以 ，令 ，解得 .
故答案为： ， .
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 __________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 先 求 出 曲 线 在 的 切 线 方 程 ， 再 设 曲 线 的 切 点 为
，求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可
求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
14．已知 为实数，若不等式 对任意 恒成立，则 的最
大值是 .
【答案】6
【分析】先对不等式等价变换为 ，令 得 ，构造函数
，从而 ，又 ，利用不等式性质即可求解范围.
【详解】因为 ，所以 ，
则不等式 等价于 ，
等价于 ，令 ，则 ，从而 ，令 ，由对勾函数的性质知 ，
因为 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 ，当且仅当 即 时取等号，
故 的最大值是6.
故答案为：6
【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利
用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.公众号：高中试卷君
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知不等式 的解集为 .
(1)求 的值，
(2)若 ， ， ，求 的最小值.
【答案】(1) ， ·
(2)9·
【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可.
（2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得 ，然后利用不等式性质求解即可.
【详解】（1）由 及函数 在定义域上单调递减，
得 ，解得 ，因此， ， ·
（2）由已知可得 ，
又因为 且 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
16（15分）．已知函数 .
(1)作出函数 的大致图像，并简要说明理由；
(2)讨论函数 的单调性.
【详解】（1）（2）由已知可得函数 ， .
当 时， 当 时， ， 时， ；
①则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 当 时， ，
② 或 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 因 与 同号，故 恒成立，即 在R上单调递增；
③
当 时， 当 时， ， 或 时， ；
④则 在 上单调递减，在 上单调递增.
17.（15分） 设函数 ，直线 是曲线 在点 处的切
线．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程.
（2）求证： 不经过点 .
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）证明见解析 【解析】
【小问1详解】
，
切线方程为： ，即： 。
【小问2详解】
，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，即 ，则 ， ，
令 ，
假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .
【点睛】
关键点点睛：本题第三问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
18. （17分）已知函数
（1）若 ，且 ，求 最小值；
（2）证明：曲线 是中心对称图形；
（3）若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出 后根据 可求 的最小值；
（2）设 为 图象上任意一点，可证 关于 的对称点为 也
在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断 即 ，再根据 在 上恒成立可求得 .
【小问1详解】
时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
【小问2详解】的定义域为 ，
设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
【小问3详解】
因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，
即 的解为 .
综上， .
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范
围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
19.给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .若 ，则称集合
为一个 元
理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
【解析】（1）设 的随影数集分别为 ，
则 ，
所以集合 是理想数集，集合 不是理想数集.
（2）不妨设集合 且 ，即 .
为理想数集， ，则 ，且 ，使得 .
当 时， .
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时， .
当且仅当 时，等号成立.
综上所述： .
