文档内容
2024 届高三第三次校际联考
数学（理科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数z满足 ，则z的虚部为
A． B． C． D．
2.命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3.已知全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
4若 ，则函数 的图象可以是
A． B． C． D．
5.已知等差数列 ，其前n项和 满足 ，则
学科网（北京）股份有限公司A．4 B． C． D．3
6.若圆 ： 与圆 ： 有且仅有3条公切线，则
A．14 B．28 C．9 D．
7.已知等比数列 为递减数列，若 ， ，则
A． B． C． D．6
8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达
到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血
液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那
么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据： ， ， ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在 8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），
茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是
图一 图二
（第9题图）
A．甲得分的极差是18 B．乙得分的中位数是16.5
C．甲得分更稳定 D．甲的单场平均得分比乙低
10.如图所示，在正方体 中，如果点E为 的中点，那么过点 、B、E的截面图形为
（第10题图）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
学科网（北京）股份有限公司11.设P是双曲线 （ ， ）与圆 在第一象限的交点， 、 分别是
双曲线的左、右焦点，若 ，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12.已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线 的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则 .
14.在△ABC中， ， ，则 .
15.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同
样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位
数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为 .
纵式：
横式：
（第15题图）
16.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为
1∶3，则这两个圆锥的侧面积之和为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（Ⅰ）求角B；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若 ， ，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）
某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前
后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：
一等品 二等品 合计
设备改造前 120 80 200
设备改造后 150 50 200
合计 270 130 400
（Ⅰ）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从
这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及数学期望.
附： ，其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC， ，
，E为PC的中点.
（第19题图）
（Ⅰ）证明： 平面PBC.
（Ⅱ）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）若 在 处的切线与x轴平行，求实数a的值；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ） 是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线 ： 与椭圆 ： （ ）有一个公共的焦点， 的左、右焦点分别
为 ， ，离心率为 .
（第21题图）
（l）求椭圆 的方程；
（）如图，若直线l与x轴，椭圆 顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），若 与
互补，试问直线l是否经过一个定点？若直线l经过一个定点，试求此定点坐标；若不经过，请说明理由.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为 （t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半轴
为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P的直角坐标为 ，圆C与直线l交于A，B两点，求 的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
己知函数 ， .
（Ⅰ）若 ，求不等式 的解集；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若 ，求a的取值范围.
2024 届高三第三次校际联考
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 10.D 11.D 12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.5 14. 15. 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：
（Ⅰ）∵ ，
∴由正弦定理可得 ，
又 ，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ .
（Ⅱ）∵ ， ， ，
∴由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ，即 ， ，
∴ .
18.解：
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）∵ ，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.
（Ⅱ）由题意得X的可能值是1，2，3，
，
，
，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴ .
19.解：
（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，
∵ ， ，
∴ .
又 平面PBC， 平面PBC，
∴ 平面PBC.
（Ⅱ）易知AB，AD，AP两两垂直，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
∴ ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面PBC的法向量 ，
则 ，取 ，则 ， .
∴平面PBC的一个法向量为 .
设直线AE与平面PBC所成角为 ，
则 .
20.解：
（Ⅰ）由 ，得 ，
∵ 在 处的切线与x轴平行，
∴ ，解得 .
（Ⅱ）函数 的定义域为 ， .
当 时，对任意的 ， ，此时函数 无极值点；
当 时，令 ，可得 ，
由 ，可得 ；由 ，可得 .
此时，函数 的减区间为 ，增区间为 .
∴函数 在 处取得极小值.
综上，
当 时，函数 无极值点；
当 时，函数 的极小值点为 ，无极大值点.
21.解：
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）由题意可得，抛物线 的焦点为 ，
∴椭圆 的半焦距 ，
又∵椭圆 的离心率为 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴椭圆 的方程为 .
（Ⅱ） ，设 ， ，
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ，
化简可得 ①，
设直线PQ的方程 ，
联立 ，消去x得 ，
，可得 ②，
由韦达定理，可得 ， ③，
将 ， 代入①，
学科网（北京）股份有限公司可得 ④，
再将③代入④，可得 ，解得 ，
∴直线PQ的方程为 ，
∴直线l经过定点 .
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：
（Ⅰ）由直线l的参数为 （t为参数），
得直线l的普通方程为 .
将圆C的极坐标方程： 两边同乘 得 ，
化为直角坐标方程为 .
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 ，即 ，
设 ， 是A和B对应的参数，
则 ， ，
又直线l过点 ，
∴ .
23.解：
（Ⅰ）当 时， ，
当 时，不等式 化为 ，
∴ ，此时 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式 化为 ，恒成立，此时 ；
当 时，不等式 化为 ，
∴ ，此时 .
综上所述，不等式 的解集为 .
（Ⅱ） ，
若 ，则 ，
不等式两边平方可得 ，解得 ，
又 ，
∴ ，
即a的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司
