2006年江西高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江西

2006 年江西高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4 页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果时间A、B互斥，那么P(AB) P(A)P(B) 如果时间A、B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)   如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率P kCkPk 1Pnk n n 球的表面积公式S 4R2，其中R表示球的半径 4 球的体积公式V  R3，其中R表示球的半径 3 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 x 1、已知集合M＝｛x| 0｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，则MN＝（ ） （x－1）3 A． B. {x|x1} C.｛x|x1｝ D. {x| x1或x0} 2、已知复数z满足（ 3＋3i）z＝3i，则z＝（ ） 3 3 3 3 3 3 3 3 A． － i B. － i C. ＋ i D. ＋ i 2 2 4 4 2 2 4 4 1 3、若a0，b0，则不等式－b a等价于（ ） x 1 1 1 1 1 1 1 1 A．－ x0或0x B.－ x C.x- 或x D.x－ 或x b a a b a b b a   4、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF＝－4 则点A的坐标是（ ） A．（2，2 2 ） B. (1，2) C.（1，2）D.(2，2 2 ) 第1页 | 共14页5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有（ ） A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1） B．f（0）＋f（2）2f（1） C. f（0）＋f（2）2f（1） 1 6、若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0， 〕成立，则a的取值范围是（ ） 2 5 A．0 B. –2 C.- D.-3 2    7、已知等差数列｛a｝的前n项和为S，若OB＝a OA＋a OC，且A、B、C三点共线 n n 1 200 （该直线不过原点O），则S ＝（ ） 200 A．100 B. 101 C.200 D.201 8、在（x－ 2 ）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝ 2 时，S等于 （ ） A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009 x2 y2 9、P是双曲线 － ＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2 9 16 ＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、 乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ） 5 4 5 4 A．a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p= 21 21 21 21 11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD 与三棱锥A－EFC的表面积分别是S，S，则必有（ ） 1 2 A. SS 1 2 B. SS 1 2 C. S=S 1 2 D. S，S 的大小关系不能确定 1 2 12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平 均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平 均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表 示，则正确的应该是（ ） G(t) G(t) G(t) 10ºc 10ºc 10ºc t 第2页 | 共14页O 6 12 6 12 t t O O 6 12 B 图（1） A G(t) G(t) 10ºc 10ºc 12 O 6 t t O 6 12 C D 理科数学 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。 1 13、数列｛ ｝的前n项和为S，则limS＝______________ 4n2－1 n n n 14、设f（x）＝log（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27 3 则f（m＋n）＝___________________ 15、如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC＝ 1 1 1 1 2 ，P是BC 上一动点，则CP＋PA 的最小值是___________ 1 1 16、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1， C 直线l：y＝kx，下面四个命题： A （A） 对任意实数k与，直线l和圆M相切； B （B） 对任意实数k与，直线l和圆M有公共点； P （C） 对任意实数，必存在实数k，使得直线l与 和圆M相切 A 1 C 1 （D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与 和圆M相切 B 1 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分） 2 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值 3 （1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 第3页 | 共14页（2） 若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。 18、（本小题满分12分） 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸 出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50 元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲，乙摸球后获得的奖金 总额。求： （1）的分布列 （2）的的数学期望 19、（本小题满分12分） A 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是 边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，  2 设MGA＝（  ） 3 3  N （1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S 与S） 1 2 M 表示为的函数 B D C 1 1 （2） 求y＝ ＋ 的最大值与最小值 S2 S 2 1 2 20、（本小题满分12分） 如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝ A 3，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 （1） 求证：ADBC （2） 求二面角B－AC－D的大小 （3） 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在， B D 确定E的位置；若不存在，说明理由。 C 21、（本大题满分12分） x2 y2 如图，椭圆Q： ＋ ＝1（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转 a2 b2 动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程  （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ），确定的值，使原点 2 距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么 第4页 | 共14页位置时，三角形ABD的面积最大？ 22、（本大题满分14分） 3 3na 已知数列｛a｝满足：a＝ ，且a＝ n－1 （n2，nN） n 1 2 n 2a ＋n－1 n－1 （1） 求数列｛a｝的通项公式； n （2） 证明：对于一切正整数n，不等式aa……a2n！ 1 2 n 2006年江西高考理科数学真题参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 x 1、已知集合M＝｛x| 0｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，则MN＝（ C ） （x－1）3 A． B. {x|x1} C.｛x|x1｝ D. {x| x1或x0} 解：M＝｛x|x1或x0｝，N＝｛y|y1｝故选C 2、已知复数z满足（ 3＋3i）z＝3i，则z＝（ D ） 3 3 3 3 3 3 3 3 A． － i B. － i C. ＋ i D. ＋ i 2 2 4 4 2 2 4 4 3i 3（i 3－3i） 3i＋3 解：z＝ ＝ ＝ 故选D 3＋3i 12 4 1 3、若a0，b0，则不等式－b a等价于（ D ） x 1 1 1 1 1 1 1 1 A．－ x0或0x B.－ x C.x- 或x D.x－ 或x b a a b a b b a 解： 1 1＋bx ＋b 0 0 1  x    x  －b   a     x 1 1－ax  －a 0  0 故选D x   x   1 x 0或x － x（bx＋1）  0    第5页 |  共14b页 1 1     x  － 或x  x（1－ax）  0  x 1 或x 0 b a    a  4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF＝－4 则点A的坐标是（B ） A．（2，2 2 ） B. (1，2) C.（1，2）D.(2，2 2 ) y2  y2  y2 解：F（1，0）设A（ 0 ，y）则OA＝（ 0 ，y），AF＝（1－ 0 ，－y），由 0 0 0 4 4 4   OA AF＝－4y＝2，故选B 0 5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有（ C ） C．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1） C. f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1） 解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时， f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有 f（0）f（1），f（2）f（1），故选C 1 6、若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0， ）成立，则a的取值范围是（ C ） 2 5 A．0 B. –2 C.- D.-3 2 a 解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－ 2 a 1 1 1 若－  ，即a－1时，则f（x）在〔0， 〕上是减函数，应有f（ ）0 2 2 2 2 5 － x－1 2 a 1 若－ 0，即a0时，则f（x）在〔0， 〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立， 2 2 故a0 a 1 a a2 a2 a2 若0－  ，即－1a0，则应有f（－ ）＝ － ＋1＝1－ 0恒成立，故 2 2 2 4 2 4 －1a0 5 综上，有－ a故选C 2    7、已知等差数列｛a｝的前n项和为S，若OB＝a OA＋a OC，且A、B、C三点共线 n n 1 200 （该直线不过原点O），则S ＝（ A ） 200 A．100 B. 101 C.200 D.201 解：依题意，a＋a ＝1，故选A 1 200 8、在（x－ 2 ）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝ 2 时，S等于 （B ） A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009 第6页 | 共14页解：设（x－ 2 ）2006＝ax2006＋ax2005＋…＋a x＋a 0 1 2005 2006 则当x＝ 2 时，有a（ 2 ）2006＋a（ 2 ）2005＋…＋a （ 2 ）＋a ＝0 （1） 0 1 2005 2006 当x＝－ 2 时，有a（ 2 ）2006－a（ 2 ）2005＋…－a （ 2 ）＋a ＝23009 （2） 0 1 2005 2006 （1）－（2）有a（ 2 ）2005＋…＋a （ 2 ）＝－230092＝－23008 1 2005 故选B x2 y2 9、P是双曲线 － ＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2 9 16 ＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是F（－5，0）与F（5，0），则这两点正好是两圆的圆 1 2 心，当且仅当点P与M、F 三点共线以及P与N、F 三点共线时所求的值最大，此时 1 2 |PM|－|PN|＝（|PF|－2）－（|PF|－1）＝10－1＝9故选B 1 2 10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、 乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ A ） 5 4 5 4 B．a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p= 21 21 21 21 C3C2C2 解：a＝ 7 4 2 ＝105 2！ 甲、乙分在同一组的方法种数有 C1C2C2 （1） 若甲、乙分在3人组，有 5 4 2 ＝15种 2！ 25 5 （2） 若甲、乙分在2人组，有C3＝10种，故共有25种，所以P＝ ＝ 5 105 21 故选A 11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD 与三棱锥A－EFC的表面积分别是S，S，则必有（ ） 1 2 A. SS 1 2 B. SS 1 2 C. S=S 1 2 D. S，S 的大小关系不能确定 1 2 解：连OA、OB、OC、OD 则V ＝V ＋V ＋V A－BEFD O－ABD O－ABE O－BEFD V ＝V ＋V ＋V 又V ＝V A－EFC O－ADC O－AEC O－EFC A－BEFD A－ 而每个三棱锥的高都是原四面体的内 EFC 切球的半径，故 S ＋S ＋S ＝S ＋ ABD ABE BEFD ADC 第7页 | 共14页S ＋S 又面AEF公共，故选C AEC EFC 12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知 该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数 关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ） G(t) G(t) G(t) 10ºc 10ºc 10ºc t O 6 12 6 12 t t O O 6 12 B 图（1） A G(t) G(t) 10ºc 10ºc 12 O 6 t t O 6 12 C D 解：结合平均数的定义用排除法求解 理科数学 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。 1 1 13、数列｛ ｝的前n项和为S，则limS＝ 4n2－1 n n n 2 1 1 1 1 1 13、解：a ＝ ＝ ＝（ － ） n 4n2－1 （2n－1）（2n＋1） 2 2n－1 2n＋1 故S＝a＋a ＋…＋a n 1 2 n 第8页 | 共14页1 1 1 1 1 1 1 1 ＝（1－ ）＋ （ － ）＋…＋ （ － ） 2 3 2 3 5 2 2n－1 2n＋1 1 1 1 1 1 1 ＝（1－ ＋ － ＋…＋ － ） 2 3 3 5 2n－1 2n＋1 1 1 1 1 1 ＝（1－ ） limS＝lim （1－ ）＝ 2 2n＋1 n n n2 2n＋1 2 14、设f（x）＝log（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27 3 则f（m＋n）＝___________________ 解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕〔f－1（x）＋6〕＝3m3n＝3m ＋n＝27 m＋n＝3f（m＋n）＝log（3＋6）＝2 3 15、如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC＝ 1 1 1 1 2 ，P是BC 上一动点，则CP＋PA 的最小值是___________ 1 1 解：连AB，沿BC 将△CBC 展开与△ABC 在同一个平面内，如图所示， 1 1 1 1 1 连AC，则AC的长度就是所求的最小值。 1 1 B C 通过计算可得ACC＝90又BCC＝45 1 1 1 ACC＝135 由余弦定理可求得AC＝5 2 1 1 1 C 1 16、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1， A 直线l：y＝kx，下面四个命题： 1 C （D） 对任意实数k与，直线l和圆M相切； A （E） 对任意实数k与，直线l和圆M有公共点； B （F） 对任意实数，必存在实数k，使得直线l与 P 和圆M相切 （D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与 A 1 C 1 和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） B 1 解：圆心坐标为（－cos，sin）d＝ |－kcos－sin| 1＋k2|sin（＋）| ＝ 1＋k2 1＋k2 ＝|sin（＋）|1 故选（B）（D） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分） 2 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值 3 （3） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 第9页 | 共14页（4） 若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。 17、解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b 2 12 4 由f（－ ）＝ － a＋b＝0，f（1）＝3＋2a＋b＝0得 3 9 3 1 a＝－ ，b＝－2 2 f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x 2 2 2 1 （1，＋） （－，－ ） － （－ ，1） 3 3 3 f（x）＋ 0 － 0 ＋ f（x） 极大值  极小值  2 所以函数f（x）的递增区间是（－，－ ）与（1，＋） 3 2 递减区间是（－ ，1） 3 1 2 22 （2）f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－ 时，f（x）＝ ＋c 2 3 27 为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c 解得c－1或c2 18、（本小题满分12分） 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸 出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50 元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲，乙摸球后获得的奖金 总额。求： （1）的分布列 （2）的的数学期望 18、解：（1）的所有可能的取值为0，10，20，50，60 分布列为  0 10 20 50 60 A P 729 243 18 9 1 1000 1000 1000 1000 1000 (2)E＝33 19、（本小题满分12分）  N 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是 M 边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，  2 B D C 设MGA＝（  ） 3 3 （3） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S 与S） 1 2 表示为的函数 1 1 （4） 求y＝ ＋ 的最大值与最小值 S2 S 2 1 2 19、解： （1） 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心， 第10页 | 共14页2 3 3  所以 AG＝  ＝ ，MAG＝ ， 3 2 3 6 GM GA 由正弦定理 ＝   sin sin（－－ ） 6 6 3 得GM＝  6sin（＋ ） 6 1 sin 则S＝ GMGAsin＝ 1 2  12sin（＋ ） 6 sin 同理可求得S＝ 2  12sin（－ ） 6 1 1 144   （2） y＝ ＋ ＝ 〔sin（2 ＋ ）＋sin（2 － ）〕 y2 y2 sin2 6 6 1 2  2  2 ＝72（3＋cot2）因为  ，所以当＝ 或＝ 时，y取得最大值y ＝240 max 3 3 3 3  A 当＝ 时，y取得最小值y ＝216 min 2 20、（本小题满分12分） 如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD B 是全等的直角三角形，AD是公共的斜边， D 且AD＝ 3，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 （4） 求证：ADBC A C （5） 求二面角B－AC－D的大小 （6） 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD N 成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。 E 20、解法一： M D （1） 方法一：作AH面BCD于H，连DH。 B O ABBDHBBD，又AD＝ 3，BD＝1 F C H AB＝ 2 ＝BC＝AC BDDC 又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DHBCADBC 方法二：取BC的中点O，连AO、DO 则有AOBC，DOBC，BC面AOD BCAD （2） 作BMAC于M，作MNAC交AD于N，则BMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为 第11页 | 共14页6 1 1 AB＝AC＝BC＝ 2 M是AC的中点，且MNCD，则BM＝ ，MN＝ CD＝ ，BN＝ 2 2 2 1 3 6 AD＝ ，由余弦定理可求得cosBMN＝ 2 2 3 6 BMN＝arccos 3 （3） 设E是所求的点，作EFCH于F，连FD。则EFAH，EF面BCD，EDF就是ED与 面 BCD 所成的角，则EDF＝30。设 EF＝x，易得 AH＝HC＝1，则 CF＝x，FD＝ EF x 3 2 1＋x2 ，tanEDF＝ ＝ ＝ 解得x＝ ，则CE＝ 2 x＝1 FD 1＋x2 3 2 故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30角。 解法二：此题也可用空间向量求解，解答略 21、（本大题满分12分） x2 y2 如图，椭圆Q： ＋ ＝1（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转 a2 b2 动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （3） 求点P的轨迹H的方程  （4） 在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ），确定的值，使原点 2 距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么 位置时，三角形ABD的面积最大？ x2 y2 21、解：如图，（1）设椭圆Q： ＋ ＝1（ab0） a2 b2 上的点A（x，y）、B（x，y），又设P点坐标为P（x，y），则 1 1 2 2 b2x2＋a2y2＝a2b2…………（1） 1 1   b2x2＋a2y2＝a2b2…………（2） 2 2 1当AB不垂直x轴时，xx， 1 2 由（1）－（2）得 b2（x－x）2x＋a2（y－y）2y＝0 1 2 1 2 y－y b2x y  1 2＝－ ＝ x－x a2y x－c 1 2 b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3） 2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3） 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0 a2 （2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝ ，原点距l c 第12页 | 共14页a2  的距离为 ，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ） c 2 a2 1＋cos＋sin   则 ＝ ＝2sin（ ＋ ） c 1＋cos 2 4  当＝ 时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1 2 x2 设椭圆Q： ＋y2＝1上的点 A（x，y）、B（x，y），三角形ABD的面积 1 1 2 2 2 1 1 1 S＝ |y|＋ |y|＝ |y－y| 1 2 1 2 2 2 2 x2 设直线m的方程为x＝ky＋1，代入 ＋y2＝1中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0 2 2k 1 由韦达定理得y＋y＝－ ，yy＝－ ， 1 2 2＋k2 1 2 2＋k2 8（k2＋1） 4S2＝（y－y）2＝（y＋y）2－4 yy＝ 1 2 1 2 1 2 （k2＋2）2 8t 8 8 令t＝k2＋11，得4S2＝ ＝  ＝2，当t＝1，k＝0时取等号。 （t＋1）2 1 4 t＋ ＋2 t 因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。 22、（本大题满分14分） 3 3na 已知数列｛a｝满足：a＝ ，且a＝ n－1 （n2，nN） n 1 2 n 2a ＋n－1 n－1 （3） 求数列｛a｝的通项公式； n （4） 证明：对于一切正整数n，不等式aa……a2n！ 1 2 n 22、解： n 1 n－1 n （1） 将条件变为：1－ ＝ （1－ ），因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为 a 3 a a n n－1 n 1 1 1 n 1 n3n 1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得a＝ （n1）…………1 a 3 3 a 3n n 3n－1 1 n n！ （2） 证：据1得，aa…a＝ 1 2 n 1 1 1 （1－ ）（1－ ）…（1－ ） 3 32 3n 为证aa……a2n！ 1 2 n 第13页 | 共14页1 1 1 1 只要证nN时有（1－ ）（1－ ）…（1－ ） …………2 3 32 3n 2 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN，有 1 1 1 1 1 1 （1－ ）（1－ ）…（1－ ）1－（ ＋ ＋…＋ ）…………3 3 32 3n 3 32 3n 用数学归纳法证明3式： （i） n＝1时，3式显然成立， （ii） 设n＝k时，3式成立， 1 1 1 1 1 1 即（1－ ）（1－ ）…（1－ ）1－（ ＋ ＋…＋ ） 3 32 3k 3 32 3k 则当n＝k＋1时， 1 1 1 1 1 1 1 1 （1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）〔1－（ ＋ ＋…＋ ）〕（1－ ） 3 32 3k 3k＋1 3 32 3k 3k＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝1－（ ＋ ＋…＋ ）－ ＋ （ ＋ ＋…＋ ） 3 32 3k 3k＋1 3k＋1 3 32 3k 1 1 1 1 1－（ ＋ ＋…＋ ＋ ）即当n＝k＋1时，3式也成立。 3 32 3k 3k＋1 故对一切nN，3式都成立。 1 1 1 1 1 1 利 用 3 得 ，（1－ ）（1－ ）…（1－ ）1 － （ ＋ ＋…＋ ） ＝ 1 － 3 32 3n 3 32 3n 1 1 〔1－（ ）n〕 3 3 1 1－ 3 1 1 1 1 1 1 ＝1－ 〔1－（ ）n〕＝ ＋ （ ）n 2 3 2 2 3 2 故2式成立，从而结论成立。 第14页 | 共14页