文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试
9月调研测试卷 数学
数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题
卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合A={x|x2-x>2j,B={-2,-1,0,1,2,3}),则AnB=
A.{-2,-1} B.{0,1; C.{-2,3} D.{1.2}
f(x)=x2+
2. 函数 的最小值为
A.1 B.2 .4 D.8
3. 已知i为虚数单位，若(z-1)i=1+i,则z=
A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a·(a+b)=0,则(a,b)- 1
A.60° B.90° C.120° D.150°
cos(a+B)=4, cosacosβ=3
5. 已知 ,则tanatanβ=
A.4 B.3
C.3 D.4
6.某池塘中饲养了A、B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘
的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾),若在采样点北捕捞到20尾鱼，
则品种 A约有
采样点 品种A 品种B
A.6尾 B.10尾 东 20 9
7 3
C.13尾 D.17尾 南
西 17 8
第1 页共5页7.若函数f(x)=In(x-a)-In(x-1)在(1,+0)上单调递减，则
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤0
8. 已知直角△ABC的斜边BC长为2,若沿其直角边AB所在直线为轴，在空间中旋转形成一
个圆锥，则该圆锥体积的最大值为
A.85～ B.4s。 c.55。 D.165。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.在实际生产中，通常认为服从正态分布N(μ,a2)的随机变量X只取[u-3o,B+3o]中的值，
这在统计学中称为3σ原则，若X在[μ-3o,μ+3o]外，可以认为生产线是不正常的，已
知P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1,
0.0001)(单位：厘米),则
A. P(X=1)=_
B. P(X<0.99)=P(X≥1.01)
C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99;i.02]内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为).95,应对生产线进行检修
10.已知曲线C?:y=sin2x, C?y=sin 2x-3) ,则
h16
A.将C?向右平移 个单位，可以得到C?
3
B.将C,向左平移 个单位，可以得到C?
C.C?与C?在[0,π]有2个公共点
D.C在原点处的切线也是C?的切线
11.已知O为坐标原点，F是抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点，A,B是E上两点，且
AF=λFB则
B.Va>0AF+BF=)
A. Vλ>0,|AB|≥2p
C.3λ>0, sin∠AFo=232
D.3λ>0,cos∠ AOB≥0
第2 页共5页三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{a,}中，a =-3,a?+a?=0,则a?=
13.已知直线a,b和平面γ,b与γ存在位置关系M.若“a⊥γ且M”是“a⊥b”的充分条
件，则M可以是
0 0 0 1
14.有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1,
0 0 1 1
使得4行中所填数字之和恰好是1,2,3,4各一个，4列中
0 1 1 1
所填数字之和恰好也是1,2,3,4各一个(如图为其中一
1 1 1 1
种填法),则符合要求的不同填法共有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
s=2
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积
A=3,
(1)若 ,b=1,水
a2+b3+2
(2)若a>b,求 的最卡值，并判断此时△ABC的形状.
16.(15分)
如图，三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,AB⊥AC,A=15,AC=20.M是棱BC
上一点，且AM=12.
P
(1)证明：BC1平面PAM;
(2)若PA=10,求PA与平面PBC所成角的正弦值.
AL C
M
B2
第3页共5页17.(15分)
甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后
每局交换先行者，直至比赛结束.已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6,乙先行时他赢下该
局的概率为0.5.
(1)求比赛只进行了三局就结束的概率；
(2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.
18.(17分)
+y2=1,
已知椭圆T: ,直线1与椭圆[相交于A,B两点，M为线段 AB的中点.
k<-2
(1)设直线1的斜率为k,已知M(1,my?·),求证：
(2)直线1不与坐标轴重合且经过「的左焦点F,直线OM与椭圆T相交于C,D两点，
且|AM||BM|=|CM|.|DM|,求直线l的方程.
第4页共5页19.(17分)
a=2a+1
已知数列{a,}:a=2,
{a-2}
(1)证明： 是等比数列；
(2)已知数列{b,}:b,=a?n·
①求b,的最大值；
2b>(2k-1)b
②对任意的正整数k(k≥2),证明：
-
-
第5页共5页2025 年普通高等学校招生全国统一考试
9月调研测试卷 数学参考答案
一、单选题
1~8 CBBC ACCD
8题提示：由题意，设△ABC内角A,B,C所对的边为a, b,c,则有c2+b2=4,则该圆锥的体积
0,23上
=3π.b2·c=3π.(4-c2)-c,
,设f(x)=x·(4-x2),则f'(x)=4-3x2,f(x)在
23,2)上单调递减，所以-7·(4-423=1673m
单调递增，在(
二、多选题
9. BCD 10. A 11. ABC
11 题提示：由AF=λFB可知，A.r,?三点共线，所以直线AB是过焦点F的直线，设其倾斜角为α,
AFF-cosa'
A(x,y),B(x?,y?),所以焦点弦22=x?+x?+p=sinPa≥2p,
,A 正确，
BFI=I+cosa,所以AFIIBFI=p,6正确，sin∠AFO=sin(π-a)=sinae(0,),故
3λ>0,sin∠AFo=23
,C 正确，Vλ>0,I+|BOP-|AB|2=-2xx?-p2<0,所
以 cos∠AOB<0,D错误.
三、填空题
12.3 14.576
13. bcγ或b//γ
14题提示：显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1,按照下面的顺序填入这6个数字0
(1)先找到一行并填入3个数字0,选出这样1行共有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入
数字0,也有C3=4种填法.因此这一步共有4×4=16种不同的填法.
(2)选出一列填入3个数字0,以图为例，可知这一列必为前三列(否则就没有一列的数字之和为
4)中的某一列，从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0,所以填入另外两
个数字0有C2=3种填法。这一步共有3×3=9种不同的填法.
(3)当完成前面两步后，最后一个数字0只有4个位置可以选择。
因此，符合要求的不同填法共有16×9×4=576种.
9月调研测试卷(数学)参考答案 第1页 共5页四、解答题
15.(13分)
s=?bcsinA=!c2,得c=bsinA=1×3=3
解：(1)由 ……4分
(2)由 absinc=12得c2=absinC,
a+b+C=2+b-C+aB=2coSC+2sinC=2√2sin(C+4)
a2+b+c
所以 得最大值为2√2, ……9分
c=4,a2+b2tc2=2JZab,e2=a
此时，
b=上a,
a2+b2-322ab=0=(b-√2a)(b-2a)=0,b=√2a(舍去)或
所以
c=-2a,故△.iBC是以A为直角顶点的等腰直角三角形.
从而c ……13分
16.(15分)
解：(1)因为AB⊥ AC,AB=15,AC=20.断以BC=25,
因为AM·BC=AB·AC=300,所以AM be,
因为PA1平面ABC,所以 PAIBC,
又AM,PAC平面PAM,所以BC1平面PAM. ……6分
(2)由条件，AB,AC,AP两两垂直，以ABAC,AP方向为 =轴正方向建系如图，
p
则B(15,0,0),C(0,20,0),P(0,0,10),BC=(-15,20,0),BP=(-15,0,1第配=(0,0,10)=个
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则
n=0
,即{-3x+2==0,取n=(4,3,6)
Ai C
y
cas(i. D)=6×106=61 M
B
x
6
故PA与平面PBC所成角的正弦值为 ……15分
17.(15分)
解：(1)比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢，
所以概率为0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.18+0.08=0.26. ……6分
(2)X可取值为3,4,5
9月调研测试卷(数学)参考答案 第2页 共5页-
X=3时，则前三场都是甲赢，P(X=3)=0.5×0.6=0.3
X=4时，则可能的情况是
甲 乙 甲 乙
乙胜 甲 乙 乙 乙
甲胜 甲 甲 乙 甲
甲胜 甲 乙 甲 甲
P(X=4)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.35
P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35
故E(X)=3×0.3+4×0.35+5×0.35=4.05. ……15分
18.(17分)
解：(1)设A(x,y),B(x?,y?),
x-x+x?=-,
-+x-2=0,变形得
由 ,得
k-.×
km=- 0.
CDFy1+m12=、(m2+4)4+2=2m+2
可得|
9月调研测试卷(数学)参考答案 第3页 共5页由题意[OCHOD=?ICD|,|AM|=IBM|=?AB|,
且|AMIBMI=ICMIIDMF(÷ICD|+10MDGICD|-10M),
故ABF=CDF-10MP,
,即|ABF=|CDP-4|OMP,
(m2+2)2=4m+2)-442P+(m2+2)1
代入|AB|,|CD|,|OM|,得
解得m=±√2,故直线l的方程为x=±√2y-1. ……17分
19.(17分)
a=-a.+6 -3=2a+6-3=a+13, am+2=2a+6+2=a+8
解：(1)由 可得a
a+2-4,+84a+2,×a-2--4,
两式相除可得
{a-2} -4
故 是首项为 ,公比为-4所学比数列. ……5分
a.+2-(-4),解得，=4)+2,故b,=a-316-+2
(2)由(1)可知，
①.=3-(16-1)+?=3+165-
,故b,随n的增大而减小一 即n=1时b,的值最大，
且最大值?=3+1=3
……10分
②2b>(2k-1)一2b+b>2h,-20b+b?)>k·2b.
4+-8-0-
,当且仅当i=k 时取等；
(3.16'+2)(3.162?-+2)=9-16+6(16'+163?-)+4,
其中16+162-≥2.√162*=2·16*,当且仅当i=k时取等；
(16'-1)(16*-1-1)=16*-(16+162)+1,其中16'+16-≥2√16*=2-16*,
故(16-1)(162-1-1)≤162*-2·16*+1=(16*-1)2,当且仅当i=k时取等；
9月调研测试卷(数学)参考答案 第4页 共5页故f+42206--238-3-24
,当且仅当i=k时取等；
由此22(b+b?-)>k·2b,对任意k≥2恒成立，即原不等式成立.
……17分
一
9月调研测试卷(数学)参考答案 第5页 共5页
