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江苏省泰州中学高三模拟一考试数学试题
考试时间 120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 、 在复平面内对应的点坐标分别为 、 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
3．已知曲线 与曲线 在交点 处有相同的切线，则
（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知直线l经过点 ，则“直线l的斜率为 ”是“直线l与圆C： 相切”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在四边形ABCD中， ， ， ， ，则四边形ABCD的面积
为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6．已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线C： 的焦点为F，坐标原点为O，过点F的直线与C交于A，B两点，且点O到直线AB的距离为 ，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 重新编辑，编辑新
序列为 ，它的第 项为 ，若序列 的所有项都是 2，且 ，
，则 （ ）
A. B. C.. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b满足 ，则( )
A． B． C． D．
10．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，
每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都
不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的
是（ ）
A．甲组中位数为3，极差为4 B．乙组平均数为2，众数为2
C．丙组平均数为3，方差为2 D．丁组平均数为3，第65百分位数为6
11．已知菱形 的边长为2， ，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将 沿着
对角线AC折起至 ，连结 ，得到三棱锥 .设二面角 的大小为 ，则
下列说法正确的是（ ）
A.
B.当平面 截三棱锥 的截面为正方形时，
C.三棱锥 的体积最大值为1
D.当 时，三棱锥 的外接球的半径为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．
12．在正四棱锥P-ABCD中， ，则该棱锥的体积为 ．
13．已知函数 （ ）的最小正周期不小于 ，且 恒成立，则
的值为______________________．
14．设 为双曲线 的一个实轴顶点， 为 的渐近线上的两点，满足
， ，则 的渐近线方程是______．
四、解答题: 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分 13分）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为
， ．
（1）求角 的大小； （2）若 ，求 的周长．
16.（本小题满分15分）已知三棱柱 的棱长均为 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到直线
的距离.17.（本小题满分15分）设等差数列 的公差 ，且 ，记 为数列 的前 项和.
（1）若 成等比数列，且 的等差中项为 ，求数列 的通项公式；
（2）若 且 ，比较 的大小.
18.（本小题满分17分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 相交于 两点， 为线段 的中
点.
（1）设直线 的斜率为 ，已知 ，求证： ；
（2）直线 不与坐标轴重合且经过 的左焦点 ，直线 与椭圆 相交于 两点，且
，求直线 的方程.19.（本小题满分17分） 已知函数 ，证明：
（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）若 的两个零点为 ， ，则
（i） ； （ii） .参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1-5 CDBCD 6-8ABB
二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD 10. AC 11.BCD
题号 9 10 11
答案 BD AC BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分、共20分．
12． ； 13．２； 14． ．
四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意知： ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）由正弦定理得： ，
由（1）知： ，所以 ，由余弦定理得：
即 ，所以 ，
所以 的周长为 ．
16 ． 解 ： （ 1 ） 取 的 中 点 ， 连 接 ， 所 以
，
由题设可知， 为边长为2的等边三角形，所以 ，
由 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系.
所以 ，
.
因为 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
取 ，所以 是平面 的一个法向量.
设直线 与平面 所成角为 ，
，
解得 ， 所以 ，
又因为 ，所以 .
所以点 到直线 的距离 .
17.解：（1）由已知得 ，即 ，化简得 ，
， ，
又 ，即 ，所以 ，故 ；
（2）易知等差数列 的首项 ，不妨设 ，
， ，
又 ，所以 ， ， ，
，
，；
18．解：（1）设 ，
由 ，得 ，变形得 ，
即 ，故 ，又 ，解得 ，故 .
（2）由题意，直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ， ，
设 ，则 ，
可得 .
，
则弦 的中点 的坐标为 ，故 的方程为 .联立 ，得 ，
由对称性，不妨设 ，则 ，其中 .
可得 .
由题意 ，
且 ，
故 ，即
代入 ，得 ，
解得 ，故直线 的方程为 .
19.解：（1） ，令 ，
则 ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， ；
当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）（i） ，当 时， ，
故 在 内没有零点.
当 ；当 时， ，
根据函数零点存在定理， 在区间 和 内各有一个零点.
因此， .
令 ，则 ，
令 ，则 ， ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增， .
因此，当 时， ，
即 在 上单调递增.
于是 ，即 .
又因为 在 上单调递增，故 ，即 .
（ii）令 ，则 .
当 时， ，故 在 上单调递减， ，即 .
因此， ，即 ①.
当 时， ，
故 ，即 ②，根据不等式的同向可加性① ②得 .
如 图 ， 在 四 棱 雉 中 ， 平 面 ， ， ， ，
．点 在棱 上且与 ， 不重合，平面 交棱 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 为棱 的中点，求二面角 的正弦值；
（3）记点 ， 到平面 的距离分别为 ， ，求 的最小值．
【小问1解析】
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面 .
所以 .
【小问2解析】
如图：取 中点 ，连接 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
在四边形 中， ，且 ，
所以四边形 为矩形.所以 平面 .
又在 和 中， ， ， .
所以 （ ）.
所以， .
故 ， ， 两两垂直，所以以 为原点，建立如图空间直角坐标系.
当 为 中点时， ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 .
设平面 的法向量为 ，则 ，取 .
所以 .
所以二面角 的正弦值为： .
【小问3解析】
设 ，（ ） ，则 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则
，取 .
则 到平面 的距离为： ，
到平面 的距离为： ，
所以
设 ，则
那么 （当且仅当 即
时取“ ”）所以 .
