2024 年湖北省五市州高二期末联考
数学试卷
命题单位：宜昌市教科院 审题单位：恩施州教科院
2024.7
本试卷共 4页，19题，全卷满分 150分.考试用时 120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式y =t2 +2t，当t =1时，该质点的
瞬时速度为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列等式不正确的是（ ）
6!
A.C2 =C8 B. =2
10 10 3!
C.6A5 =A6 D.A3 =C3⋅A3
5 6 6 6 3
3.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2 =8.988.依据α=0.001的独立性检验，正确的结论
为（ ）（附：x =6.635，x =7.879，x =10.828）
0.01 0.005 0.001
A.变量x与 y不独立
B.变量x与 y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C.变量x与 y独立
D.变量x与 y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001
lnx2
4.函数 f(x)= 的图象大致为（ ）
x
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
5.甲､乙､丙､丁､戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次.比赛结束后甲说：“我不是第1
名”，乙说：“我不是第5名”.根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ）
A.72 B.78 C.96 D.120
6.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，
且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为
0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.9875
( ) ( )
7.设随机变量X ~ N 0,22 ，随机变量Y ~ N 0,32 .则（ ）
A.P(X ≤−2)= P(Y ≤−2) B.P(X ≥3)> P(Y ≤−3)
( ) ( )
C.P(X ≤−2)= P(Y ≥3) D.P X ≤1 < P Y ≤1
f(x)
8.已知定义在R上的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，对于任意的实数x都有 =e2x，且x>0时，
f(−x)
f(1) f(ln2) 1
f′( x )> f(x).若a = ，b= ，c=3f ln ，则a，b，c的大小关系是（ ）
e 2 3
A.a >c>b B.a >b>c
C.c>a >b D.c>b>a
二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（ ）
A.经验回归直线yˆ =b ˆ x+aˆ过点(x,y)
B.残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好
C.若样本相关系数r越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
D.在回归方程yˆ =2x+8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量yˆ 平均增加2个单位
学科网（北京）股份有限公司 1 1
10.设函数 f(x)= x− 1+ lnx− (a ≠0)，则（ ）
a ax
A.当a<0时， f(x)有两个极值点
B.当a<0时， f(x)>1
C.当0<a<1时， f(x)在(0,1)上单调递增
D.当0<a<1时， f(x)≤ x恒成立
11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》
中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第n(n≥1)行的各项从左往右依次是二项式(a+b)n
展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（ ）
A.C3 +C3 +C3 ++C3 =330
4 5 6 10
B.第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的
n+1
C.记第n行的第i个数为a ，则∑3ia =4n
i i
i=1
D.记第2行第3个数字为b ，第3行第3个数字为b ，…，第n+1行的第3个数字为b ，则
1 2 n
1 1 1 2n
+ ++ =
b b b n+1
1 2 n
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.已知随机变量X ~ B(10,0.2)，则D(2X +1)=__________.
π π
13.已知曲线y = xsinx在点 , 处的切线与二次函数y =ax2 +(2a−3)x+1的图象只有一个公共点，
2 2
则实数a的值为__________.
14，甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀.每一局游戏甲
学科网（北京）股份有限公司､乙､丙同时出“剪刀､石头､布”中的一种手势，且相互独立.在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得
3分，其他情况得0分.设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)的值为__________.
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
n
2
已知 x + 的展开式中各二项式系数的和为64.
x
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率.
16.（15分）
已知函数 f(x)=ax3+bx2 −6x+9(a,b∈R)在x=1处有极小值4.
（1）求 f(x)的解析式；
（2）求 f(x)在[−1,2]上的值域.
17.（15分）
某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费x（单位：万元）和增加
收益y（单位：万元）的数据如下表：
x 4 6 8 10 12
y 27 42 55 56 60
为了进一步了解技术革新投入经费x对增加收益y的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回
归模型：①yˆ =nˆx+mˆ ，②yˆ =d ˆ x +cˆ.
（1）根据以上数据，计算模型①中y与x的相关系数r（结果精确到0.01）；
（2）若0.95≤|r|≤1，则选择模型①；否则选择模型②.根据（1）的结果，试建立增加收益 y关于技术革
新投入经费x的回归模型，并预测x=16时y的值（结果精确到0.01）.
附：（i）回归直线yˆ =b ˆ x+aˆ的斜率､截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：
∑ n ( x −x )( y − y ) ∑ n x y −nxy ∑ n ( x −x )( y − y )
i i i i i i
b ˆ= i=1 = i=1 ，aˆ = y−b ˆ x，r = i=1
∑ n ( x −x )2 ∑ n x2 −nx ∑ n ( x −x )2 ∑ n ( y − y )2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
5
（ii）参考数据：设v = x ， 2936 ≈54.18， 29360 ≈171.35，v ≈2.78，∑( v −v )2 ≈1.33，
i i i
i=1
学科网（北京）股份有限公司5
∑( v −v )( y − y )≈29.91.
i i
i=1
18.（17分）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）
与第75百分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排
列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分
位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示.已知A，B两个班级
的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示.
（1）估计A，B两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由）
（2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中A班3人，B班5人，从中抽取3人作学习经验分
享，设这3人中来自B班的人数为X，求X的分布列和数学期望.
（3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自A班和B班的概率分别是
多少？
19.（17分）
已知a >1，函数 f(x)=ax+a，g(x)=ex.
（1）证明：方程 f(x)= g(x)有两个解；
（2）设（1）中方程的两个解为x ,x ( x < x ) ，直线x=m ( x <m< x ) 与曲线y = g(x)交于点A，直
1 2 1 2 1 2
线 y = f(m)与曲线y = g(x)交于点B，证明：存在唯一的实数m，使得曲线y = f(x)上的点
C(m, f(m))与A，B两点构成等腰直角三角形.
学科网（北京）股份有限公司高二参考答案与评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C D B A C C ABD BCD BD
f ( x ) f ( x ) f (−x ) f ( x )
8.解：令g ( x )= ,对于任意的实数x都有 =e2x∴ = ，
ex f (−x ) e−x ex
即g (−x )= g ( x ) ,∴g ( x ) 为偶函数；a= g ( 1 ) ,b= g ( ln2 ) ,c= g (−ln3 )= g ( ln3 ) ；又当x>0时，
f′(
x
)−
f
(
x
)
f′( x )> f ( x ) ,g′( x )= >0,∴当x>0时，g ( x ) 为增函数；又ln2<1<ln3，
ex
∴g ( ln3 )> g ( 1 )> g ( ln2 ) ，即c>a >b，故选：C.
11.解：由Cm−1+Cm =Cm 可得
n n n+1
C3 +C3 +C3+C3 =C4 +C3 +C3 +C3+C3 −1=C4 +C3 +C3 ++C3 −1
4 5 6 10 4 4 5 6 10 5 5 6 10
=C4 +C3 ++C3 −1==C4 −1=329，故A错误；
6 7 10 11
第2024行是偶数，中间一项最大，即C1012，也就是第2024行中第1013个数，故B正确；
2023
n+1
第n行的第i个数为a =Ci−1，所以∑3ia =3C0 +32C1 +33C2 ++3n+1Cn =3(1+3)n =3×4n，故C
i n i n n n n
i=1
错误；
1 1 1 1 1 1 2 2 2
由题意知b =C2 , + +…+ = + +…+ = + +…+
n n+1 b b b C2 C2 C2 1×2 2×3 n×( n+1 )
1 2 n 2 3 n+1
1 1 1 1 1 1 2n
=21− + − +…+ − =21− = .故D正确.
2 2 3 n n+1 n+1 n+1
填空题：
7
12.6.4 13.1或4 14.
3
14.解析：
3 1 C2C1 1 C1C1 +A3 5 1 1 5 7
P (ξ=0 )= = ;P (ξ=2 )= 3 3 = ;P (ξ=3 )= 3 3 3 = E (ξ)=0× +2× +3× =
33 9 33 3 33 9 9 3 9 3
ξ 0 2 3
学科网（北京）股份有限公司1 1 5
P
9 3 9
解答题：
15.解：（1）二项式系数之和为2n =64，解得n=6,.
T =Cr( x)6−r ⋅ 2 r =Cr ⋅2rx 3− 3 2 r( r =0,1,2,,6 )，令3− 3 r =0解得r =2，
r+1 6 x 6 2
则常数项为T =60.
3
（2）令x=1
则展开式中各项系数的和为(1+2)6 =36 =729.
3 3
（3）由（1）可知 T =Cr ⋅2rx 3− 2 r( r =0,1,2,,6 )，令3− r∈Z则r =0,2,4,6即展开式中有理项有
r+1 6 2
4项.
A4⋅A3 1
设事件A=“有理项互不相邻”，P ( A )= 4 3 = .
A7 35
7
16.解：（1）函数 f ( x )=ax3+bx2 −6x+9 ( a,b∈R ) ，
f′(
1
)=3a+2b−6=0
则 f′( x )=3ax2 +2bx−6，由题意得 ，
f
(
1
)=a+b+3=4
a =4
解得 .
b=−3
a =4 1
当 时，令 f′( x )=12x2 −6x−6=0，解得x =− ,x =1.
b=−3 1 2 2
1 1
则x∈ −∞,− , f′( x )>0, f ( x ) 单调递增；x∈ − ,1, f′( x )<0, f ( x ) 单调递减；x∈( 1,+∞) ，
2 2
f′(
x
)>0,
f
(
x
)
单调递增.x=1是极小值点.
故 f ( x )=4x3−3x2 −6x+9.
1
（2）由（1）知 f ( x )=4x3−3x2 −6x+9,x∈[−1,2 ] ，则x∈ −1,− , f ( x ) 单调递增；
2
1
x∈ − ,1， f ( x ) 单调递减；x∈( 1,2 ) , f ( x ) 单调递增.
2
学科网（北京）股份有限公司1 1 43
当x=1时，函数 f ( x ) 取得极小值 f ( 1 )=4.当x=− 时，函数 f ( x ) 取得极大值 f − =
2 2 4
而 f
(−1 )=8,
f
(
2
)=17.
( ) [ ]
故 f x 的值域 4,17 .
∑ 5 ( x −x )( y − y )
i i 160
17.解：（1）模型①中，相关系数r = i=1 = .
∑ 5 ( x −x )2 ∑ 5 ( y − y )2 29360
i i
i=1 i=1
160
= ≈0.93，
171.35
（2）因为r =0.93<0.95，所以选择模型②，
令v = x ，先建立y关于v的线性回归方程，
i i
5
∑( v −v )( y − y )
i i 29.91
由于d ˆ = i=1 = ≈22.49，
∑ 5 ( v −v )2 1.33
i
i=1
cˆ= y−d ˆ v =48−22.49×2.78≈−14.52，
所以y关于v的线性回归方程为 yˆ =−14.52+22.49v，即yˆ =−14.52+22.49 x.
当x=16时，yˆ =−14.52+22.49 16 =75.44（万元）
答：若投入经费16万元，收益约为75.44万元.
18.（1）B班
C3 1
（2）P ( X =0 )= 3 = ；
C3 56
8
C2C1 15
P ( X =1 )= 3 5 =
C3 56
8
C1C2 15
P ( X =2 )= 3 5 = ;
C3 28
8
C3 5
P ( X =3 )= 5 =
C3 28
8
1 15 15 5 15
E ( X )=0× +1× +2× +3× = .
56 56 28 28 8
学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 3
1 15 15 5
P
56 56 28 28
（3）设事件M =“该同学来自A班”，事件N =“该同学来分数高于120分”
1 1 1 1
P(M)= ,P(M)= ,P(N∣M)= ,P(N∣M)=
2 2 4 2
所以P(N)= P(MN)+P(MN)= P(N∣M)⋅P(M)+P(N∣M)⋅P(M)
1 1 1 1 3
× + × =
4 2 2 2 8
1 1
P ( MN ) P ( N∣M )⋅P ( M ) × 1
P ( M∣N )= = = 4 2 =
P ( N ) P ( N ) 3 3
8
1 1
×
P(MN) P(N∣M)⋅P(M) 2
P(M∣N)= = = 2 2 = .
P(N) P(N) 3 3
8
1 2
则该同学来自A班的概率为 ，来自B班的概率为 .
3 3
19.【解析】（1） f ( x )= g ( x )⇔ ax+a =ex，设h ( x )=ex −ax−a，
则h′( x )=ex −a,
令h′(
x
)=0，得x=lna，所以h (
x
)
在
(−∞,lna )
单调递减，在
( lna,+∞)
单调递增，
所以h(x) =h ( lna )=a−alna−a =−alna<0，
min
1
又h (−1 )= >0，且lna>0，所以存在x ∈(−1,lna ) 使得h ( x )=0.
1 1
e
x x x2
又当x>0时，ex > x，则e2 > ，所以ex > ，
2 4
x2 x2 −1 x−1
所以h ( x )=ex −ax−a> −a ( x+1 )> −a ( x+1 )=( x+1 ) −a，
4 4 4
所以h ( 4a+1 )>0，且lna<a<4a+1，所以存在x ∈( lna,4a+1 ) 使得h ( x )=0.
2 2
所以h
(
x
)
有两个零点，故 f
(
x
)=
g
(
x
)
有两个解.
学科网（北京）股份有限公司（2）设A ( m,em ) ,C ( m,am+a ) ,B ( ln ( am+a ) , ( am+a )) ，
若C ( m, f ( m )) 与A,B构成等腰直角三角形，则 BC = CA ，即证明关于m的方程
ln ( am+a )−m=am+a−em在 ( x ,x ) 仅有一解.
1 2
由ln ( am+a )−m=am+a−em得H ( m )=em +ln ( am+a )−( a+1 ) m−a=0,m∈(−1,+∞) ，
1 1
H′( m )=em + −a−1,H′′( m )=em − ，则H′′( m ) 在 (−1,+∞) 单调递增，.
m+1 (m+1)2
又H′′(
0
)=0，所以H′(
m
)
在
(−1,0 )
单调递减，在
( 0,+∞) 单调递增，又H′(
0
)=1−a<0，
因为h ( 0 )=1−a<0，所以由（1）知−1< x <0< x <4a+1
1 2
而H′( x )=ex 1 + 1 −a−1，又a = ex 1 ，
1 x +1 x +1
1 1
( )
所以H′( x )=ex 1 + 1 − ex 1 −1= x 1 ex 1 − x 1 = x 1 ex 1 −1 >0
1 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
1 1 1 1 1
( )
H′( x )=ex 2 + 1 − ex 2 −1= x 2 ex 2 − x 2 = x 2 ex 2 −1 >0
2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
2 2 2 2 2
所以存在m
∈(
x ,0
)
,m
∈(
0,x
) ，使得H′(
m
)= H′(
m
)=0，
1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
所以H m 在 x ,m 单调递增，在 m ,m 单调递减，在 m ,x 单调递增，
1 1 1 2 2 2
因为H ( x )=ex 1 +x −ex 1 −x =0，同理H ( x )=0，又H ( 0 )=1−a+lna<0，
1 1 1 2
所以H
(
m
)>0,H (
m
)<0，
1 2
所以ln ( am+a )−m=am+a−em在 ( x ,x ) 仅有一解，原命题得证.
1 2
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