文档内容
2024~2025 学年度第一学期高三年级第一次联考
数学试卷
2024.9
总分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
a=
1．设集合 ，若 ，则
A． B． C． D．
2．若 为第二象限角，则
A． B． C． D．
3．函数 的定义域为
(,0] [1,)
A． B． C． D．
4.已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则圆锥的体积为
A． B． C． D．
5．已知 ，且 与 夹角为锐角，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知 是两个不重合的平面， 为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的
个数是
①若 ，则 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则A． B． C． D．
7.函数 有且仅有4个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知正实数 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列导数运算正确的是
A． B． C． D．
10．设函数 ，则下列说法正确的是
A． 是奇函数 B． 在 上是单调函数
C． 的最小值为1 D．当 时，
11．如图，在棱长为1的正方体 中，点 为线段 的中点，且点 满足
，则下列说法正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则 平面
C．若 ，则 平面
D．若 时，直线 与平面 所成的角为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知角 的终边经过点 ，则 .
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(−1,0),B(3,0) ，点C在二次函数 图象上，
且使得ΔABC 的面积为2，若满足条件的点C共有两个，则实数k的取值范围
.14．函数 与 和 分别交于 ， 两点，设 在 处
的切线 的倾斜角为 ， 在 处的切线 的倾斜角为 ，若 ，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
.
已知函数
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性.
▲ ▲ ▲
16．（15分）
如图，平行六面体 中， 与 交于点 ，底面 是边长为 的
正方形，且 底面 .
（1）证明： ；
（2）若二面角 的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
▲ ▲ ▲
17.（15分）已知 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）证明： .
▲ ▲ ▲
18．（17分）
设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱 ，上部的形状是正四棱锥
，且该帐篷外接于球 （如图所示）.
（1）若正四棱柱 是棱长为 的正方体，求该帐篷的顶点 到底面 中
心 的距离；
（2）若该帐篷外接球 的半径 ，设 ，该帐篷的体积为 ，则当
为何值时，体积 取得最大值.
▲ ▲ ▲
19．（17分）
函数 满足：对任意 ， 恒成立（或 恒成立），则称
直线 是函数 在 上的支撑线.
（1）下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明；
① ② ③ ④（2）动点 在函数 图象上，直线 是 在定义域上的支撑线，
求点 到直线 的距离最小值；
（3）直线 是函数 在 上的支撑线，求实数 的取值范围.
▲ ▲ ▲2024~2025 学年度第一学期高三年级第一次联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．A 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．ACD 10．ABD 11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．5 13．(8,10) 14．√3ln√3
四、解答题：本题共5小题，共77分。
5．（1） ....................................1分
1
所以 时， ； 时，
则 在 上递减，在 递增....................................4分
所以 的极小值为 ，极大值为 ....................................6分
（2） ....................................7分
当 时， ，所以 在 上递增....................................9分
当 时， 时， ； 时，
所以 在 上递增，在 上递减....................................11分
当 时， 时， ； 时，
所以 在 上递增；在 上递减.....................................13分
16.（1）证明： 正方形 ， ...................................1分
底面 ， 面 ， ....................................3分， ， 面 ，
面 ....................................5分
又 面 ， ....................................6分
又平行六面体 ，
....................................7分
（2）法一：综合法（略）；
法二：向量法
中点 ，连接
取
正方形 ，
底面 ， 面 ，
， ， 面 ，
面
又 面 ，
是二面角 的平面角...................................10分
又二面角 的正切值为
，
....................................11分
建立如图所示的空间直角坐标系
则
底面 , 底面 的一个法向量为 ....................................13分
设直线 与平面 所成角为 ....................14分
....................................15分
......................2分
17.（1）
....................................3分....................................5分
...................................6分
....................................7分
（2）欲证 ，即证
即证
即证
即证
即证
即证 ，证毕.....................................15分
18.（1） 正四棱柱 是棱长为 的正方体
.....................................2分
.....................................4分
（2）
.....................................7分
.................10分令 .....................................12分
在 上递增，在 递减.....................................16分
时，体积 取得最大值.....................................17分
19.（1） ③ ④
， 是一条支撑线.....................................3分
证明：
（ ）
（2）直线 是 在定义域上的支撑线
若 ，则 时， ； 时， ，不合题意
....................................4分
直线 是 在定义域上的支撑线， 恒成立
令 ，
时， ； 时，
在 上递增，在 上递减
的最大值为
又易证 在 上递减，在 上递增
.....................................7分
设 ， 在 处的切线斜率为
所以当在 处的切线斜率为 即 时，
点 到直线 的距离取得最小值为 .....................................9分
（3）直线 是函数 在 上的支撑线①若 在 上恒成立
记
.....................................10分
当 时， ， 在 上单调递减， ，符合题意.........11
分
当 时， ，符合题意.....................................13分
当 时， ， 在 上单调递减， ，符合题意............14
分
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， ，不
符合题意.....................................15分
②若 在 上恒成立
在 上 不符合题意
综上， 符合题意......................................17分
