文档内容
淮安市 2024-2025 学年度第一学期高三年级第一次调研测试
数学试题
2024.11
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，只要将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可得集合 ，再由并集运算可得结果.
【详解】解不等式 可得 ，
又 ，可得 .
故选：C
2. 若复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模 （ ）
A. 1 B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据模长的运算公式以及性质求解即可.
【详解】由题意可知： ，
故选：A.
3. 已知等差数列 的公差为2，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列性质利用等差数列通项公式计算可得 ，代入计算可得结果.
【详解】由 ， ， 成等比数列可得 ，
即 ，解得 ，
所以可得 ，
故选：D.
4. 已知幂函数 的图象与 轴无交点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数 的等式与不等式，即可解出 的值.
【详解】因为幂函数 的图象与 轴无交点，
则 ，解得 .
故选：B.
5. 已知函数 ，则“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
.
A 充要条件 B. 充分不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合正弦函数的奇偶性以及充要条件的定义判断即可.
【详解】若 ，则 ，则 ， ，
所以 ，则 为奇函数.
若 为奇函数，则一定有 .
则“ ”是“函数 为奇函数”的充要条件.
故选：A.
6. 已知 是单位向量， 满足 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积运算公式，求得 在 方向上的投影，进而可得投影.
【详解】 ， ， ，
即 ， 在 上投影向量 ，所以 在 方向上的投影为1.
故选：D.
7. 在外接圆半径为4的 中， ，若符合上述条件的三角形有两个，则边 的长可能
为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边 的范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】在 中， ，由 有两解，得 ，且 ，
则 ，由 外接圆半径为4及正弦定理，得 ，
所以边 的长可能为5.
故选：D
8. 已知函数 ，正数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据 可得 ，再由基本不等式计算可得结果；
方法二：由函数解析式可得 ，再由单调性可得 ，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】方法一：由 可得 ，
易知 在 上单调递增，
因此可得 ，即 ；
又
要求 的最大值，只需考虑 即可，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，
当且仅当 时，等号成立；
故选：B.
方法二： ，而 ，所以 ；
而 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因此原式 ，要求其最大值，只需考察
可得原式 ，
当且仅当 时，即 时等号成立；
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用作差法可判断A，利用不等式 可判断B，利用特殊值法可判断C、D.
【详解】由 ，得 ，即 ，又 ，则 ，即 ，故A正确；
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ， ，所以 ，故B正确；
假设 ， ，满足 ， ，
此时 ， ， 不成立，故C错误；
假设 ， ， ，满足 ， ， ，
此时 ， ， 不成立，故D错误；
故选：AB.
10. 在数列 和 中， ， ， ，下列说法正确的有
（ ）
.
A B.
C. 36是 与 的公共项 D.
【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A：根据等差数列定义求 的通项公式，则 可求；B：累加法求 的通项公式；C：根
据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明.
【详解】对于A：因为 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，故正确；
对于B：因为 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 符合条件，
所以 ，故错误；
对于C：令 ，解得 (负值舍去)，所以 ，令 ，解得 (负值舍去)，
所以 ，
所以 ，即 是 与 的公共项，故正确；
对于D：因 ，
为
所以 ，故正确；
故选：ACD.
11. 已知函数 ，（ ）
为
A. 函数 单调减函数
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学科网（北京）股份有限公司B. 函数 的对称中心为
C. 若对 ， 恒成立，则
D. 函数 ， 与函数 的图象所有交点纵坐标之和为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知 在(0,+∞)以及 上是分别单调递减的，即
A错误，易知 满足 ，可知B正确，再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得
C正确，画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性计算可得D正确.
【详解】对于A，易知当 时， ， 时 ，
因此可得 在(0,+∞)以及 上分别为单调递减函数，即A错误；
对于B，易知函数 满足 ，因此可得 关于(0,1)对称，即B
正确；
对于C，由 ，即 ，
即 在 时恒成立，易知 在(0,+∞)上恒成立，
所以可得 ，解得 ，即C正确；
对于D,画出函数 以及 的图象如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司易知 也关于(0,1)对称， 的周期为4，
一个周期与 有两个交点，5个周期有10个交点， 与 在 共20个交点，
即 ，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数 以及 都关于(0,1)成中心对称，
再由函数周期性计算可得结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】应用对数运算律化简求值即可.
【详解】 .
故答案为：−2
13. 已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.
【详解】因为
，
而 ，所以 ， ，
故答案为： .
14. 已知函数 ，将函数 图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再将所
得图象上各点向左平移 个单位长度，得到 的图象.设函数 ，若存在
使 成立，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求得函数 的解析式，进而求得ℎ(x)的解析式，利用导数求得ℎ(x)的最大值.
【详解】将函数y=f (x)图象上各点的横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，
再将所得图象上各点向左平移 个单位长度，得到 ，
所以 ， ，
可得ℎ(x)周期为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 或 ，解得 或 或 ，
当 ，ℎ ′(x)<0，所以ℎ(x)在 单调递减，
当 ，ℎ ′(x)>0，所以ℎ(x)在 单调递增，
当 ，ℎ ′(x)<0，所以ℎ(x)在 单调递减，
当 ，ℎ ′(x)>0，所以ℎ(x)在 单调递增，
， ， ， ，
因为存在x∈R使 成立，所以
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设 ， ， ， 为平面内的四点，已知 ， ， .
（1）若四边形 为平行四边形，求 点的坐标；
（2）若 ， ， 三点共线， ，求 点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，利用 ，可求 点的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用三点共线，可得 ，可得 ，利用数量积可求 点的坐标.
【小问1详解】
因为 ， ， ，所以 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 ，
设 ，所以 ，
所以 ，所以
【小问2详解】
因为 ， ， 三点共线， ，
所以设 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又
所以 .
16. 设 是奇函数， 是偶函数，且 .
（1）求函数 ， 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ， .当 时，求 的值.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正、余弦函数 的奇偶性，得到 ，
，联立即可求解；
（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及辅助角公式，得到 ，结合条件得到
，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.
【小问1详解】
因为 ①，
为奇函数， 为偶函数，
，即 ②，
联立①②，解得 ， .
【小问2详解】
因为
，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，
， ， 或 ，
或 .
17. 在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）如图，过 外一点 作 ， ， ， ，求四边形 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；
（2）解法一：连接 ，设 ，由条件求得即 ，求出 ， ， ，由
计算即可；
解法二：延长 ， 交于点 ，则 ，求出 ， ，由 计算即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴根据正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，
，
， ，
， .
【小问2详解】
解法一：连接 ，设 ，
在 和 中， ，
即 ，
， ， ，
四边形 的面积 .
解法二：延长 ， 交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
， ，
， ，
四边形 的面积 .
18. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，当 时， ；当 时， .
①求数列 的前 项和 ；
②当 时，求证： .
【答案】（1）
（2）① ②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件赋值法列方程组计算求出 ,再应用 ，化简得出 进
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学科网（北京）股份有限公司而得出 即可；
（2）①由 得出 再应用错位相减法即可求解；②构造数列 再
根据数列单调性即可证明不等式.
【小问1详解】
在 中，分别令
，当 时， ，
两式相减得出 ，
， 也满足上式
为常数列，
【小问2详解】
①当 时， ，当 时，
时， ，
，
，
，
两式相减得出
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学科网（北京）股份有限公司② ，
令 ，
在 上单调递增，注意到 时， ，
当 时， ， 且
，
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造数列结合数列的单调性得出 即可
得证.
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立.
①求实数 的取值范围；
②当 取最大值时，若 （ ， ， ， 为非负实数），求
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学科网（北京）股份有限公司的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）① ②
【解析】
【分析】（1）分 三种情况讨论再应用导函数正负判断函数单调性；
（2）①把恒成立问题转化为最值问题，应用导数求出函数 得解；②先构造函数
根据函数单调性得出
再结合基本不等式求解.
【小问1详解】
当 时， ， 在 上单调递增
当 时， 的单调增区间为 ， ， 的单调减区间为
当 时， 的单调增区间为 ， ；单调减区间为
【小问2详解】
①由 恒成立
令 ，
令 ， 在 上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司注意到 ， 当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
， ，
实数 的取值范围为 .
②当 取最大值时， ，
， ，
在 处的切线， ，
构造 ，
在 上单调递增； 上单调递减； 上单调递增
注意到 ， ， 对 恒成立
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学科网（北京）股份有限公司而
当且仅当 时取“ ”，
当 时可取“ ”，
综上： .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数 根据函数的单调性结
合基本不等式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司
