文档内容
2024—2025 高三省级联测考试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合对数型复合函数的定义域化简集合B，再由交集的定义求 .
【详解】集合 ，
而 ，所以 .
故选：B.
2. 已知复数 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】计算出 ，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 可知，
，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 .
故选：C.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件求得 ，结合投影向量的坐标公式即可求解.
【详解】已知 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
故选：A.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件得 ，然后将目标式子用 表示，由此即可得解.
【详解】由 ，得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故选：D.
5. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半
球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）
是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】得到 ，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.
【详解】因为四边形 是面积为16的正方形，则 ，
由题意可知半球的半径 ，圆柱的底面圆半径 ，高 ，
由球的体积公式可得半球的体积 ，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积 ，
故该几何体的体积 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司6. 设 为正项等比数列 的前 项和， ，则数列 的前5项和为（
）
A. 55 B. 57 C. 87 D. 89
【答案】C
【解析】
【分析】先由已知条件算出公比，然后得 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可
求解.
【详解】因为{a }是正项等比数列，所以 ，公比 .
n
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，则 ，解得 或 （舍），
又因为 ，
的
所以 ，所以数列{a } 通项公式为 ，
n
所以 ，设数列 的前 项和为 ，
则
，
所以 ，
故选：C.
7. 已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象先向
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学科网（北京）股份有限公司右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，若
关于 的方程 在 上有两个不等实根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据三角函数 的图象与性质计算即可得 表达式，先根据三角函数的图像变换得
，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围.
【详解】由函数 的部分图象可知， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
由 可得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到
的图象，令 ，由 ，可得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
因为关于 的方程 在 上有两个不等实根，
即 与 的图像在 上有两个交点，
即 与 在 上有两个交点，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：B.
8. 已知定义域为 的函数 不是常函数，且满足 ， ，则
（ ）
A. B. 2 C. D. 2026
【答案】A
【解析】
【分析】依次算得 ， 的周期为4，进一步结合已知得
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学科网（北京）股份有限公司，由此得f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，然后利
用周期性即可求解.
【详解】由题意，令 ，得 ，又y=f (x)不是常函数，所以 ，
再令 ，得 ，即 ，
则f (x+2)=−f (x)，即 ，故 ，
所以函数y=f (x)的周期为4，由f (x+2)=−f (x)，令 ，
得 ，
所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，
所以
.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C.
D.
【答案】BD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于选项A，因为 ，所以
0.8，故A错误；
对于选项B，因为 ，且 ，
则 ，即 1.8，
则 ，故B正确；
对于选项C， ，故C错误；
对于选项D，因为随机变量 ，
所以 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，故D正确，
故选：BD.
10. 已知函数 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的单调递增区间为
B. 函数 的极大值点为1
C. 若 ，则 的值域为
D. 若 ，都有 成立，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】A选项，求导，解不等式求出函数单调性；B选项，在A选项基础上得到函数的极大值点；C选
项， 在 上单调递减，从而求出值域；D选项，参变分离，得到 ，构造函数
，求导得到其单调性，求出 的最小值为 ，故 .
【详解】对于选项A，因为 ，
所以 ，
所以当 时， ；
当 时， ，所以 单调递增区间为 ，故A错误；
的
对于选项B，如下表：
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以1为函数 的极大值点.故B正确；
对于选项C， 在 上单调递减，所以 的最小值为 ，
最大值为 ，所以当 时， 的值域为 ，故C正确；
对于选项D， .
因为 .即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以当 时， 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递减，
所以当 时取到极小值，所以 的最小值为 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 在曲线 上
B. 直线 与曲线 无交点
.
C 设直线 ，当 时，直线 与曲线 恰有三个公共点
D. 直线 与曲线 所围成的图形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接将点 代入曲线方程即可判断A；分 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，
当斜率为 时结合渐近线可得B正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D正确；由图形可得C正
确.
【详解】 ，
为
因 当 时， 无意义，无此曲线，故舍去，
所以曲线 表示为 ，作出曲线图象如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司对于选项A，将点 代入 ，得到 ，显然不成立，故A错误；
对于选项B，将 代入曲线 得， ，无解，故B正确；
对于选项C，由于直线 恒过点(0,2)，
当 时，直线与 轴平行，与曲线 有一个交点；
当 时，直线与曲线 的渐近线平行，此时与曲线 有两个交点.
当 时.结合斜率的范围可得直线与曲线 有三个交点（如图），故C正确；
对于选项D，设直线 与 轴的交点分别为 .
因为圆的半径为2.且点 ，
所以直线与曲线 围成的图形的面积为 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合
分析.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，
则 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求 的值，进而得到
所求和.
【详解】由函数 ，有 ，
由 ，可得 ，
因为曲线y=f (x)在 处的切线方程为 ，
所以 解得 ，则 .
故答案为：3.
x2 y2
13. 已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为 ，过坐标原点 的直线与双曲线 交
a2 b2
于 两点，且点 在第一象限，满足 .若点 在双曲线 上，且 ，则双曲线
的离心率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设 ，则 ，由双曲线定义可得
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学科网（北京）股份有限公司，由勾股定理得到方程，求出 ，进而求出 .
【详解】如图，连接 ，
因为 ，所以 ，由对称性可得 ，
由 ，可设 ，则 ，
由双曲线的定义可知， ， ，
则 ，由 得， ，
即 ，解得 ，
又由 得， ，
即 ，解得 ，
所以双曲线 的离心率 .
故答案为：
14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道
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学科网（北京）股份有限公司题的概率均为 ，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对 道试
题的概率为 ，则当 __________时， 取得最大值.
【答案】13或14
【解析】
【分析】先得到 ，利用 解不等式即可.
【详解】由题意得 ， 且 ，
则 ，即
故 又 ，所以 或 ，
故当 或 时， 取得最大值.
故答案为：13或14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .
（1）求角 ；
（2）若 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得 ，进一步即可求解；
（2）根据三角形面积公式得 ，进一步结合余弦定理可得 ，由此即可得解.
【小问1详解】
由题意，因为 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知， ，则 ，
因为 的面积 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，可得 ，
所以 的周长为 .
16. 已知椭圆 的左焦点为 ，上､下顶点分别为 ，且 ，点
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学科网（北京）股份有限公司在 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过左焦点 的直线交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，设 ， ，证
明： 为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，再把点 代入椭圆方程求出 即可；
（2）设出直线 的方程，代入椭圆方程，设 ，由 ， ，表
示出 ，利用韦达定理化简得定值.
【小问1详解】
由题意可知， ，所以 ，
因为点 在 上，所以 ，
解得 ，故 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
由已知得直线 的斜率必存在，可设直线 的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司代入椭圆方程，整理得 ， ，
设 ，则 ，
又 ，由 得 .
所以 ，
因为 ，
所以 为定值.
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 为钝角三角形且 ，
是 的中点.
（1）证明： ；
（2）若直线 与底面 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质得到 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证.
（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出 的坐标，求出两个平面的法向量，再结
合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.
【小问1详解】
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，即 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
如图，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，则 为 在底面 内的射影，
所以 为直线 与底面 所成的角，即 .
设 ，得 ，
在 中， ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司如图，过点 作 ，则 底面 ，
以 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 和平面 的法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
所以 ，
则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
故平面 与平面 夹角的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 .
（1）证明：函数 的极大值大于1；
（2）若函数 有3个零点，求实数 的取值范围；
（3）已知 是 图象上四个不重合的点，直线 为曲线y=f (x)在点 处的
切线，若 三点共线，证明： .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当 时， 取得极大值，由单调性得到
；
（2）在（1）的基础上，得到函数 有3个零点，应满足 ，即 ，
解得 ；
（3）表达出直线 的斜率 ，同理可得
，根据三点共线得到方程，得到 ，又
，所以 ，求出 ，故 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
证明：由题， ，令 ，解得 ，
当 或 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，
由单调性可知 ，
所以函数 的极大值大于1.
【小问2详解】
由（1）可知，当 时， 有极大值，且极大值为 ，
因为 ，且当 时， 有极小值，
所以要使得函数 有3个零点，应满足 ，即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 .
【小问3详解】
直线 的斜率 ，
因为 ，所以 ，
同理可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 三点共线，则有 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值
符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值
的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数
19. 已知有限集 ，若 中的元素 满足
，则称 为“ 元重生集”.
（1）集合 是否为“2元重生集”，请说明理由；
（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；
（3）若 ，证明：“ 元重生集” 有且只有一个，且 .
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）存在，1个 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1） ，故 不为“2元重生集”；
（2）设正整数集 为“3元重生集”，设 ，利用不等式关系推出 ，故
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学科网（北京）股份有限公司，求出 ；
（3）设 ，得到 ，当 时，推出矛盾，当 时，由（2）可知，
有且只有1个“3元重生集”，即 ，当 时，推出 ，但 在 上恒成立，
故当 时，不存在“ 元重生集”，从而证明出结论.
【小问1详解】
，
因为 ，
所以集合 不是“2元重生集”.
【小问2详解】
设正整数集 为“3元重生集”，
则 ，
不妨设 ，则 ，解得 ，
因为 ，故只有 满足要求，
综上， 满足要求，其他均不符合要求，
故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即 .
【小问3详解】
不妨设 ，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，故 ，则 ，无解，
若 ，则 不可能是“2元重生集”，
所以当 时，不存在“2元重生集”；
当 时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即 ，
当 时， ，
又 ，故 ，
事实上， 在 上恒成立，
故当 时，不存在“ 元重生集”，
所以若 “ 元重生集” 有且只有一个，且 .
【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
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学科网（北京）股份有限公司
