2007年四川高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_四川

2007 年四川高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3 到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 P(AB)  P(A)P(B) S  4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)  P(A)P(B) 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k) CkPk(1P)nk n n 一、选择题 (1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N= (A){3,4,5,6,7,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8} (D){4,5,6,8} (2)函数f(x)=1+logx与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是 2 (3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150， 152，153， 149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克 (4)如图，ABCD-ABCD为正方体，下面结论错误的是 1 1 1 1 (A）BD∥平面CBD (B)AC1⊥BD 1 1 (C)AC⊥平面CBD (D)异面直线AD与CB所成的角为60° 1 1 1 x y2 （5）如果双曲线 2  ＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离 4 2 第1页 | 共11页是 4 6 2 6 (A) (B) (C)2 6 (D)2 3 3 3 （6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的   球面距离都是 ，且二面角B-OA-C的大小是 ，则从A点沿球面经B、C 2 3 两点再回到A点的最短距离是 7 5 4 3 (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 （7）等差数列{a}中，a=1,a+a=14，其降n项和S=100,则n= n 1 3 5 n (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 (8)设A（a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上 的投影相同，则a与b满足的关系式为 A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12 (9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 A.48个 B.36个 C.24个 D.18个 (10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 （11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对 2 项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得 3 0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后， 在两个项目上共可获得的最大利润为 A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元 (12)如图，l、l、l 是同一平面内的三条平行直线，l 与l 与l 同的距离是2， 1 2 3 1 2 3 正三角形ABC的三顶点分别在l、l、l 上，则△ABC的边长是 1 2 3 4 6 3 7 2 21 A.2 3 B. C. D. 3 4 3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上. n  1 （13）. x  的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是 .  x 14、在正三棱柱ABCABC 中，侧棱长为 2 ，底面三角形的边长为1，则BC 与侧面 1 1 1 1 ACC A 所成的角是____________ 1 1 15、已知 O的方程是x2  y2 20， O'的方程是x2  y2 8x100，由动点P向   O和 O'所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________   16、下面有5个命题： ①函数y sin4 xcos4 x的最小正周期是； 第2页 | 共11页k ②终边在y轴上的角的集合是{| ,kZ}； 2 ③在同一坐标系中，函数y sinx的图象和函数y  x的图象有3个公共点；   ④把函数y 3sin(2x )的图象向右平移 得到y 3sin2x的图象； 3 6 ⑤角为第一象限角的充要条件是sin0 其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤 （17）（本小题满分12分） 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取 一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至 少要1件是合格产品的概率. (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2 件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出 不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。 （18）（本小题满分12分） 1 13 π 已知cosα= ,cos(α-β)＝ ，且0<β<α< , 7 14 2 (Ⅰ)求tan2α的值； （Ⅱ）求β. (19) (本小题满分12分) 如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°， 又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证：AC⊥BM; (Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小； （Ⅲ）求多面体PMABC的体积. （20）(本小题满分12分) 设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1,f（1））处的切线与直线x－6y －7=0垂直，导函数f＇（x）的最小值为－12. （Ⅰ）求a，b，c的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值. 第3页 | 共11页（21）(本小题满分12分) x2 求F、F分别是横线  y2 1的左、右焦点. 1 2 4 2 2 5 （Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，PF PF  ，求点P的作标； 1 2 4 （Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为 作标原点），求直线l的斜率k的取值范围. （22）(本小题满分14分) 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的切线与x轴的交点为 n n （x ,u）（u,N +），其中为正实数. n+1 （Ⅰ）用x表示x ； x n+1 x 2 （Ⅱ）若a=4，记a=lg n ，证明数列｛a｝成等比数列，并求数列｛x｝的通项公式； 1 n 1 n x 2 n （Ⅲ）若x＝4，b＝x－2，T是数列｛b｝的前n项和，证明T<3. 1 n n n n n 参考答案 一、选择题 1、A． 2、C． 3、Ｂ． 4、Ｄ． 5、A． 6、C． 7、Ｂ． 8、A． 9、Ｂ． 10、C． 11、B． 12、D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上． 13、n8． 14、30 3 15、x ． 2 第4页 | 共11页16、①④． 三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、 （Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A．用对立事件A 来算，有 P(A)1P(A)10.24 0.9984 （Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件” (i 1,2)为事件A． i C1C1 51 P(A) 17 3  1 C2 190 20 C2 3 P(A ) 3  2 C2 190 20 ∴商家拒收这批产品的概率 51 3 27 P P(A)P(A )   ． 1 2 190 190 95 27 故商家拒收这批产品的概率为 ． 95 18、 1 π 1 4 3 （Ⅰ）由cos ，0 ，得sin 1cos2 1( )2  ． 7 2 7 7 sin 4 3 7 ∴tan   4 3． cos 7 1 2tan 24 3 8 3 于是tan2   ． 1tan2 1(4 3)2 47 π  （Ⅱ）由0 ，得0 ． 2 2 13 又∵cos() ， 14 13 3 3 ∴sin() 1cos2()  1( )2  ． 14 14 由()，得 coscos[()] 第5页 | 共11页coscos()sinsin() 1 13 4 3 3 3 1      7 14 7 14 2 π ∴ ． 3 19、 （Ⅰ）∵平面 PCBM 平面 ABC， AC  BC ， AC 平面 ABC． ∴AC 平面PCBM 又∵BM 平面PCBM ∴AC  BM （Ⅱ）取BC的中点N ，则CN 1．连接AN、MN ． ∵平面PCBM 平面ABC，平面PCBM 平面ABC  BC ，PC  BC．  ∴PC 平面ABC． ∵PM //CN ，∴MN //PC，从而MN 平面ABC．   作NH  AB于H ，连结MH ，则由三垂线定理知ABMH ． 从而MHN 为二面角M ABC的平面角． ∵直线AM 与直线PC所成的角为60°， ∴AMN 60 ． 在ACN 中，由勾股定理得AN  2． 3 6 在RtAMN中，MN  ANcotAMN  2  ． 3 3 AC 1 5 在RtBNH 中，NH  BNsinABC  BN 1  ． AB 5 5 6 MN 3 30 在RtMNH 中，tanMHN    NH 5 3 5 30 故二面角M ABC的大小为arctan 3 （Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz． 设P(0,0,z ) (z 0)， 0 0 第6页 | 共11页有B(0,2,0)，A(1,0,0)，M(0,1,z )． 0   AM (1,1,z )，CP(0,0,z ) 0 0 由直线AM 与直线PC所成的角为60°，得     AM CP AM  CP cos60 1 6 即z2  z2 2z ，解得z  ． 0 2 0 0 0 3  6  ∴AM (1,1, )，AB(1,2,0) 3  设平面MAB的一个法向量为n (x ,y ,z )，则 1 1 1 1    6  nAM 0 x y z 0  由    3 ，取z 1  6 ，得n 1 (4,2, 6) nAB0  x2y 0  取平面ABC的一个法向量为n (0,0,1) 2     n n 6 39 则cosn ,n   1 2   1 2 n   n  261 13 1 2 由图知二面角 M ABC为锐二面角，故二面角 M ABC的大小为 39 arccos ． 13 （Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥ABCPM 1 1 1 1 1 6 6 V V  S AC   (PM CB)CPAC   (21) 1 PMABC APMBC 3 PMBC 3 2 3 2 3 6 ． 20、 （Ⅰ）∵ f(x)为奇函数， ∴ f(x)f(x) 即ax3 bxcax3 bxc ∴c0 ∵ f '(x)3ax2 b的最小值为12 ∴b12 第7页 | 共11页1 又直线x6y70的斜率为 6 因此， f '(1)3ab6 ∴a 2，b12，c0． （Ⅱ） f(x)2x3 12x． f '(x)6x2 126(x 2)(x 2)，列表如下： x (, 2)  2 ( 2, 2) 2 ( 2,) f '(x)  0  0  f(x) 极大 极小    所以函数 f(x)的单调增区间是(, 2)和( 2,) ∵ f(1)10， f( 2)8 2， f(3)18 ∴ f(x)在[1,3]上的最大值是 f(3)18，最小值是 f( 2)8 2． 21、 （Ⅰ）易知a 2，b1，c 3． ∴F( 3,0)，F ( 3,0)．设P(x,y) (x0,y 0)．则 1 2   5 x2 PF PF ( 3x,y)( 3x,y) x2  y2 3 ，又  y2 1， 1 2 4 4  7 x2  y2  x2 1 x1   4   3 联立 ，解得 3  3 ，P(1, )．  x2  y2 1   y2  4   y  2 2  4 （Ⅱ）显然 x0不满足题设条件．可设 l的方程为 y kx2，设 A(x ,y )， 1 1 B(x ,y )． 2 2 x2   y2 1 联立 4  x2 4(kx2)2 4(14k2)x2 16kx120  y kx2 第8页 | 共11页12 16k ∴x x  ，x x  1 2 14k2 1 2 14k2 由(16k)2 4(14k2)120 3 16k2 3(14k2)0，4k2 30，得k2  ．① 4   又AOB为锐角cosAOB0OAOB0，   ∴OAOB x x  y y 0 1 2 1 2 又y y (kx 2)(kx 2)k2x x 2k(x x )4 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴x x  y y (1k2)x x 2k(x x )4 1 2 1 2 1 2 1 2 12 16k (1k2) 2k( )4 14k2 14k2 12(1k2) 2k16k   4 14k2 14k2 4(4k2)  0 14k2 1 ∴ k2 4．② 4 3 3 3 综①②可知 k2 4，∴k的取值范围是(2, ) ( ,2)．  4 2 2 22、 （Ⅰ）由题可得 f '(x)2x． 所 以 曲 线 y  f(x)在 点 (x , f(x ))处 的 切 线 方 程 是 ： n n y f(x ) f '(x )(xx )． n n n 即y(x2 4)2x (xx )． n n n 令y 0，得(x2 4)2x (x x )． n n n1 n 即x2 42x x ． n n n1 x 2 显然x 0，∴x  n  ． n n1 2 x n 第9页 | 共11页x 2 x 2 (x 2)2 (x 2)2 （Ⅱ）由x  n  ，知x 2 n  2 n ，同理x 2 n ． n1 2 x n1 2 x 2x n1 2x n n n n x 2 x 2 故 n1 ( n )2． x 2 x 2 n1 n x 2 x 2 从而lg n1  2lg n ，即a  2a ．所以，数列{a }成等比数列． x 2 x 2 n1 n n n1 n x 2 故a 2n1a 2n1lg 1 2n1lg3． n 1 x 2 1 x 2 即lg n 2n1lg3． x 2 n x 2 从而 n 32n1 x 2 n 2(32n1 1) 所以x  n 32n1 1 2(32n1 1) （Ⅲ）由（Ⅱ）知x  ， n 32n1 1 4 ∴b  x 2 0 n n 32n1 1 b 32n1 1 1 1 1 1 ∴ n1      b 32n 1 32n1 1 32n1 3211 3 n 当n1时，显然T b 23． 1 1 1 1 1 当n1时，b  b ( )2b  ( )n1b n 3 n1 3 n2  3 1 ∴T b b  b n 1 2  n 1 1 b  b  ( )n1b 1 3 1  3 1 1 b[1( )n] 1 3  1 1 3 1 33( )n 3． 3 第10页 | 共11页综上，T 3 (nN*)． n 第11页 | 共11页