文档内容
湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年
高二下学期2月月考数学试卷
一、单选题
1．已知函数 在 上可导，若 ，则 （ ）
A．9 B．12 C．6 D．3
2．中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2
名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（
）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知点 ， ， ，动点P满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．小甘同学计划在2024年高考后前往西南大学，北京师范大学，陕西师范大学，华东师
范大学，华中师范大学，东北师范大学6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，则西
南大学恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参
加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（ ）
A．168种 B．240种 C．264种 D．336种
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭
圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端
点 和短轴一端点 分别向内层椭圆引切线 ， ，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行
传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就
完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成 次传递后幸运星
仍在甲手上的所有可能传递方案种数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 过点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为2，则 的方程为
B．若直线 在 轴上的截距为2，则 的方程为
C．若直线 的一个方向向量为 ，则 的方程为D．若直线 与直线 平行，则 的方程为
11．设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与 交于
， 两点，若直线 为 的准线，则（ ）
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
三、填空题
12．若 ，则 .
13．双曲线 的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称
若直线 ， 的斜率之积为 ，则C的离心率为 .
14．已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取
值范围为 ．（结果用区间表示）
四、解答题
15．在正项等比数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的最大项．
16．如图，三棱柱 中，侧棱 底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分
别为棱AB，BC， 的中点．(1)证明 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．椭圆 的左右焦点分别为 ， ，其中 ， 为原点．M
是椭圆上任意一点， 且 ．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点 的斜率为 的直线 交椭圆于 两点．求 的面积．
18．设函数 .
(1)若 是 的极值点，求a的值，并求 的单调区间；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，求 的取值范围.
19．对于函数 ，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的
方法解决了这个问题.设函数的零点为 ，如果可以找到一步步逼近 的 ， ， ， ，
，使得当 时， ，则可把 看做函数 的近似解，这个方法被称为
“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的 ，在横坐标为 的点作 的切线，切线与 轴的交点的横坐标即 ，再用 代替 ，重复上面的过程得到 ，如此循环计算出 .我们
知道 在 处的切线的斜率为 ，由此写出切线方程
，因为 ，所以令 得切线与 轴交点的横坐标
，同理得 ， ，以此类推，可以得到
.
(1)对于函数 ，当 时，求 ， 的值；
(2)已知函数 的定义域R.
①对于函数 ，若 为公差不为零的等差数列，求证： 无零点；
②当 时，运用“牛顿法”证明：
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C C C C B BD BCD
题号 11答案 BC
11．BC
12．1或2023
13．
14．
15．(1)
(2)
16．【详解】（1）在三棱柱 中，连接 ，由 分别为 的中点，得
且 ，
而 且 ，又 为 的中点，则 且 ，于是
且 ，
因此四边形 是平行四边形，则 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）在三棱柱 中，侧棱 底面 ，且各棱长均相等，令 ，
取 中点 ，连接 ，而 为 中点，则 ，有 底面 ，由正 ，得 ，显然直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，令直线 与平面 所成的角为 ，
于是 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 .
17．(1) ；离心率为 ；
(2)
【详解】（1）由已知 ， ，又因为 ， ，
所以 ，
所以 ， ， ，
椭圆的标准方程为 ，离心率为 ；
（2）直线 的方程为 ，设 ，
由 得 ，
， ，．
到直线 的距离为 ，
所以 ．
18．
【详解】（1） ，
，解得 ，
此时 ，
令 ，有 或 ，令 ，有 ，
所以 是 的极值点， 满足题意，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）由（1）知 ，
当 即 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 即 时，由 得 或 ，
由 得 ，故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 即 时，由 得 或 ，
由 得 ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 即 时，由 得 ， 得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上，当 时， 在 上单调递增，无递减区间，
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）由题意
当 时，令 ，有 ，令 ，有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
，即
当 时， 不成立.
综上， .
19．【详解】（1） ，故 ，
；
（2）①因为 ，而 为公差不为0的等差数列，
所以 为非零常数.设 .可得 .
并且 .
所以 .用此类推，得 ，
因为 为常数，所以当 时， ，即 :
当 时， ，即 .
所以 不存在，即 无零点.
② ，所以 .
对于函数 ，即 ，
因为 ，所以 ，
以此类推，得
，
令 ，由等比数列求和公式得，
因此 .
时， ，即 ，所以 .
