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湖南师大附中 2024-2025 学年度高二第一学期期中考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 8 D. 16
2. 已知直线l：mx－2y＋1＝0，l：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l 平行于l”的( )
1 2 1 2
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
4. 已知数列 的通项 ，若 是递增数列，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
5. 已知直线 ，从点 射出的光线经直线 反射后经过点 ，则光线从 到
的路程为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6. 已知两圆C ：（x-4）2+y2=169，C ：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C 内部且和圆C 相内切，和圆C 相外
1 2 1 1 2
切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）A. B.
C. D.
7. 设直线 与圆 相交于 两点，且 的面积为8，则 （
）
A. B. C. 1 D.
8. 设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点，过点 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 数列0，1，0， ，0，1，0， ，… 一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x ,y )， ， ，F为抛物线的焦点，则下列说法
1 1
正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若 ，则
C. 若 三点共线，则
D. 若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为211. 曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 关于原点对称
B. 曲线 关于直线 对称
C. 当 时，曲线 上点的横坐标的取值范围为
D. 若曲线 在第一象限内存在位于直线 左侧的点，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，若 ，则 的短
轴长为______.
13. 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 __________.
14. 已知双曲线 ，其左右焦点分别为 ， ，点P是双曲
线右支上的一点，点I为 的内心（内切圆的圆心）， ，若 ，
，则 的内切圆的半径为______.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 过点 和 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
的
（2）经过点 直线 与圆 相切，求 的方程.
16. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ．
（1）求 的通项公式；（2）设 ， ，求数列 的前 项和 .
17. 如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ， ， 是边长为
的正三角形，点 在平面 内的投影恰好是 的中心 .
（1）求证：平面 平面 ；
的
（2）求直线 与平面 所成角 正弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上， 分别为 的左，右焦
点，抛物线 的顶点在原点，焦点与 的右焦点重合.
（1）求椭圆 与抛物线 的标准方程；
（2）过焦点 的直线 交椭圆 于点 ，交抛物线 于点 ， 为过点 且垂直于 轴的直线上
异于 的一点.
（i）若 ，求直线 的方程；
（ii）设 的斜率分别为 ，求 的值.
19. 已知集合 ，若对于任意 与 至少有一个属于 ，则称 为开心集.
（1）分别判断集合 与集合 是否为开心集，并说明理由；
（2）当 时，若 ，求开心集 ；
（3）若集合 为开心集，且 中存在元素 ，使得 中所有
元素均为 的整数倍，求 的最小值.
