文档内容
重庆⼀中⾼ 届⾼⼆上期半期考试
2027
数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上⽆效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
⼀、单项选择题.本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.
1. ⽅程 表示的曲线为（ ）
A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形
2. 双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A.1 B.2 C. D.3
3. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A.3 B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最⼩值时， （ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5. 已知数列 是公差为 的等差数列，则 （ ）
A. B. C.2 D.4
6. 已知椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ
的斜率之积为 ，则椭圆C的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的两个焦点为 ， ，过原点的直线与该椭圆交于 ， 两点，若
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司， 的⾯积为 ，则 的周⻓为（ ）
A.12 B. C. D.6
8. 数列 满⾜ ， ，若 成⽴，则正整
数 的最⼤值为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
⼆、多项选择题.本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 和圆 总有公共点
B. 直线 被圆 截得的最短弦⻓为
C. 若圆 与圆 有且只有⼀条公切线，则实数
D. 当 时，圆 上恰有两个点到直线 距离等于1
10. 已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 的焦点为 ， 为坐标原点，则下列结论正
确的是（ ）
A. 若直线 过焦点 ，则 为钝⻆
B. 若 ，则直线 的斜率为
C. 若 ，则直线 过定点
D. 若 的外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆的半径为
11 将数列 所有项排成如下数阵：
从第⼆⾏开始每⼀⾏⽐上⼀⾏多两项，且从左到右均构成以2为公⽐的等⽐数列，第⼀列数 ， ， ，
，…成等差数列，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 位于第45⾏第89列 D.4048在数阵中出现1次
三、填空题.本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知等⽐数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
13. 若直线 与曲线 相切，则 ________.
14. 双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若在圆 上存
在点P，使得 的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离⼼率的取值范围是________.
四、解答题.本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图为正四棱锥 ，O为底⾯ABCD的中⼼， ， .
（1）求点B到平⾯PCD的距离；
（2）若E为PB 中点，求直线DE与平⾯PBC所成⻆的正弦值.
16. 已知抛物线 （ ）过点 ，其焦点为 ，若 .
（1）求 的值以及抛物线 的⽅程；
（2）过点 斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，求 ⾯积的取值范围.
17. 已知数列 满⾜ ， .
（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（ii）若 ， ，求 的取值范围.
18. 若⼀个数列 满⾜ 是公⽐为 的等⽐数列，则称数列 是公⽐为 的⼆级等⽐数列.如数
列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公⽐为2的⼆级等⽐数列.已知数列 中， ， .
（1）记 为数列 前 项的和，且 .求数列 的通项公式，并判断数列 是否
为⼆级等⽐数列，请说明理由；
（2）若数列 是公⽐为3的⼆级等⽐数列，是否存在实数 ， ，使得 ？若
存在，求出 ， ；不存在，请说明理由.
19. 已知双曲线 （ ， ）的渐近线⽅程为 ，且过点 .按照如下⽅式依
次构造点 ：过 作斜率为 （ 为常数且 ）的直线与 的下⽀交于点 ，令 为 关
于 轴的对称点，记 的坐标为 .
（1）若 ，求 坐标 ；
（2）证明：数列 是等⽐数列，并求其公⽐（⽤ 表示）；
（3）设 为 的⾯积，证明：对任意正整数 ， 为定值.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司重庆⼀中⾼ 届⾼⼆上期半期考试
2027
数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上⽆效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
⼀、单项选择题.本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.
1. ⽅程 表示的曲线为（ ）
A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形
【答案】B
【解析】
【分析】 表示点 到点 ， 的距离之和为 ，结合
椭圆的定义即可进⾏判断.
【详解】 表示点 到点 ， 的距离之和为 ，即
，
所以⽅程 表示的曲线为椭圆.
故选：B.
2. 双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A.1 B.2 C. D.3
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线⽅程，再利⽤点到直线的距离公式求解.
【详解】由对称性，不妨取双曲线 的右焦点 ，渐近线⽅程为 ，
第1⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以所求距离为 .
故选：C
3. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤导数的⼏何意义即可求解．
【详解】 ，
⼜因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以切线斜率 ，解得 ．
故选：D．
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最⼩值时， （ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】
【分析】先利⽤ 与等差数列前 项和公式 分析项的符号，再利⽤ 分析
项的符号，最后判断 的最⼩值即可.
【详解】由等差数列前 项和公式得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
⼜因为 ，可得 ，即 ，
由 ， 可知数列前6项为负，第7项开始为正，
第2⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因此当 取得最⼩值时， .
故选：C.
5. 已知数列 是公差为 的等差数列，则 （ ）
A. B. C.2 D.4
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤等差数列定义，结合对数运算求出等⽐数列 的公⽐，进⽽求得答案.
【详解】由数列 是公差为 的等差数列，得 ，
则 ，因此数列 是公⽐为 的等⽐数列，
所以 .
故选：A
6. 已知椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ
的斜率之积为 ，则椭圆C的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点 坐标，利⽤斜率坐标公式，结合椭圆⽅程列式求出 ，进⽽求出离⼼率.
【详解】椭圆 的左顶点 ，设点 ，则 ，
且 ，由直线AP，AQ的斜率之积为 ，得 ，
第3⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以椭圆 的离⼼率 .
故选：A
7. 已知椭圆 的两个焦点为 ， ，过原点的直线与该椭圆交于 ， 两点，若
， 的⾯积为 ，则 的周⻓为（ ）
A.12 B. C. D.6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，则可得 ，再利⽤三⻆形⾯积公式与勾股定理计算即
可得解.
【详解】 ，⼜ ，故 ，
则 ，故 ，即 ，
且有 ，
故 ，
即 ，故 的周⻓为 .
故选：B.
8. 数列 满⾜ ， ，若 成⽴，则正整
数 的最⼤值为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】D
【解析】
第4⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】由 可得数列 为等差数列，则可得 通项公式，从⽽可得 ，再利
⽤裂项相消法计算可得 ，最后解出不等式即可得.
【详解】由 ，则 ，即 ，
⼜ ，故数列 是以 为⾸项， 为公差的等差数列，
故 ，故 ；
则 ，
则 ，
令 ，解得 ，故正整数 的最⼤值为 .
故选：D.
⼆、多项选择题.本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 和圆 总有公共点
B. 直线 被圆 截得的最短弦⻓为
C. 若圆 与圆 有且只有⼀条公切线，则实数
D. 当 时，圆 上恰有两个点到直线 的距离等于1
【答案】ABD
【解析】
【分析】将直线⽅程变形，求出直线经过的定点，然后利⽤定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线
与圆相交时最⼩弦⻓计算⽅法计算可判断B；利⽤圆⼼距与两圆半径之间的关系计算可判断C；结合直线与
圆的位置关系，利⽤点到直线的距离公式进⾏计算可判断D.
【详解】对于A，直线 的⽅程为 ，
第5⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司变形可得 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为 ，所以定点 在圆 内部，
则直线 和圆 总有公共点，故A正确；
对于B，因为直线 过定点 ，且点 在圆 内，
则经过 ， 两点的直线与直线 垂直时，直线 被圆 截得的弦⻓最⼩，
此时圆⼼ 到直线 的距离为 ，
所以最⼩弦⻓为 ，故B正确；
对于C，圆的⽅程 ，即 ，
其圆⼼为 ，半径为 ，需满⾜ ，
若圆 与圆 有且只有⼀条公切线，则两圆内切，
则有 ，解得 ，故C错误；
对于D，圆 ，其圆⼼为 ，半径为 ，
当 时，直线 的⽅程为 ，
圆⼼ 到直线 的距离为 ，依题意需满⾜ .
因为 ， ， ，满⾜ ，
故圆 上恰有两个点到直线 的距离等于1.故D正确.
故选：ABD.
10. 已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 的焦点为 ， 为坐标原点，则下列结论正
确的是（ ）
A. 若直线 过焦点 ，则 为钝⻆
B. 若 ，则直线 的斜率为
第6⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 若 ，则直线 过定点
D. 若 的外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆的半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件写出 ， ，选项 A,证明 ，可得
，所以 为钝⻆，选项B,由 ，求出 的值，即可得到直线 的斜
率；选项 C,先设直线 ⽅程为 ，因为 得到 ，代⼊直线⽅程得到
，所以直线 恒过定点 ；选项D,根据条件设圆⼼为 ，半径为 ，因为外接圆与
抛物线 的准线 相切，所以有圆⼼到准线的距离等于半径 .
【详解】由题可知 ，设 ，
直线 过焦点 ，则设直线 ⽅程为 ，
联⽴⽅程 得到 ，即
则
所以 ，所以 为钝⻆，选项A正确；
直线 的斜率为
因为 ，所以 即 得 或
者 ，所以 ，选项B错误；
第7⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司设直线 ⽅程为 ，因为 ，所以 ，所以 ，代⼊
直线⽅程得到 ，所以直线 恒过定点 ，选项C正确； 的顶点为
，其外接圆的圆⼼在 的垂直平分线 上，设圆⼼为 ，半径
为 ，因为外接圆与抛物线 的准线 相切，所以有圆⼼到准线的距离等于半径
，选项D正确；
故选：ACD
11. 将数列 所有项排成如下数阵：
从第⼆⾏开始每⼀⾏⽐上⼀⾏多两项，且从左到右均构成以2为公⽐的等⽐数列，第⼀列数 ， ， ，
，…成等差数列，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 位于第45⾏第89列 D.4048在数阵中出现1次
【答案】AB
【解析】
【分析】先分析数阵的⾏列项数规律，利⽤第⼀列的等差数列求出⾸项；再计算前9项和验证选项B；通
过项数范围确定 的位置；最后分解4048的形式判断其出现次数.
【详解】⾸先分析数阵结构：第 ⾏有 项，
前 ⾏项数和为 ，
故第 ⾏第1列的项为 .
第⼀列 成等差数列，记为 ，其中 .
第8⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司选项A，已知 ， ，等差数列公差 ，
故 ，A正确.
选项B，前9项对应前3⾏（项数和 ）：第1⾏： ；
第2⾏（等⽐数列，公⽐2）： ，和为 ；
第3⾏（等⽐数列，公⽐2，⾸项 ）：
，
和为 .
前9项和为 ，B正确.
选项C，前44⾏项数和为 ，第45⾏有 项，
对应项数 到 ，
故 位于第45⾏第88列，C错误.
选项D，当 时， ，
当 时，数阵中第 ⾏第 列的项为 .
令 ：
当 时， ，得 ， ，符合条件；
当 时， ，得 ， ，符合条件.
故4048⾄少出现2次，D错误.
故选：AB
三、填空题.本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知等⽐数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】14
【解析】
【分析】由等⽐数列的性质得： ， ， 成等⽐数列，即2，4， 成等⽐数列，由此能
求出 ．
第9⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】 等⽐数列 的前n项和为 ， ， ，
由等⽐数列的性质得： ， ， 成等⽐数列，
，4， 成等⽐数列，
，
解得 ．
故答案为14．
【点睛】本题考查等⽐数列性质 应⽤，已知数列 为等⽐数列，则 ， ， 也成等⽐
数列．
13. 若直线 与曲线 相切，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】对 进⾏求导得 ，结合导数的⼏何意义和切点同时在直线和曲线上列⽅程，即可
求出答案.
【详解】由 得 ，
设直线 与曲线 相切于点 ，
则 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
14. 双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若在圆 上存
在点P，使得 的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离⼼率的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆 上的⼀点 ，得到中点坐标为 ，代⼊双曲线的渐近线⽅程，得到
，根据直线与圆存在公共点，结合 ，求得 ，进⽽求得离⼼率的取值范围.
第10⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由双曲线 的右焦点为 ，则 ，
⼜由圆 的圆⼼为 ，半径为 ，
设圆 上的⼀点 ，可得 的中点坐标为 ，
因为双曲线 的渐近线⽅程为 ，可得 ，即 ，
⼜因为直线 与圆 存在公共点，
则圆⼼ 到直线 的距离 ，
即 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的离⼼率的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题.本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图为正四棱锥 ，O为底⾯ABCD的中⼼， ， .
（1）求点B到平⾯PCD的距离；
第11⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若E为PB的中点，求直线DE与平⾯PBC所成⻆的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建⽴空间直⻆坐标系，求出平⾯PCD的法向量，然后利⽤点⾯距的向量公式求解即可；
（2）先求出平⾯PBC的法向量，然后利⽤线⾯⻆的向量公式求解即可.
【⼩问1详解】
以 为坐标原点， 、 、 ⽅向为 、 、 轴正⽅向建⽴空间直⻆坐标系.
由 ， ，得 ，
故 ， ， ， ， ，
， ，
设平⾯PCD的⼀个法向量为 ，则 ，
取 ，可得平⾯PCD的⼀个法向量为 ，⼜ ，
所以点B到平⾯PCD的距离为 ；
【⼩问2详解】
由E为PB的中点，得 .
， ， ，
设平⾯PBC的⼀个法向量为 ，则 ，
第12⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司取 ，可得平⾯PBC ⼀个法向量为 .
设直线DE与平⾯PBC所成⻆为 ，则 ，
故直线DE与平⾯PBC所成⻆的正弦值为 .
16. 已知抛物线 （ ）过点 ，其焦点为 ，若 .
（1）求 的值以及抛物线 的⽅程；
（2）过点 斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，求 ⾯积的取值范围.
【答案】（1） 的值为 ，抛物线 的⽅程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合抛物线的⽅程和定义列式求 ，即可得结果；
（2）设直线 ， ，联⽴⽅程可得⻙达定理，进⽽可求 和 ⾯积，
结合函数的单调性求值域即可.
【⼩问1详解】
由题意可知：抛物线的焦点为 ，准线为 ，
则 ，
且点 在抛物线 （ ）上，则 ，即 ，
联⽴⽅程 ，解得 ，即 ，
所以 的值为 ，抛物线 的⽅程为 .
【⼩问2详解】
第13⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由（1）可知： ， ，抛物线 的⽅程为 ，
由题意可设：直线 ， ， ，且 ，
联⽴⽅程 ，消去x可得 ，
则 ，可得 ， ，
则 ，
⼜因为点 到直线 的距离 ，
则 ⾯积 ，
构造函数 ，
显然 在 内单调递增，且 ， ，
可知 在 内的值域为 ，
所以 ⾯积的取值范围为 .
17. 已知数列 满⾜ ， .
（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 .
第14⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（i）求 ；
（ii）若 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明⻅解析， ；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）对 左右同除 后，结合等差数列定义即可得证，再利⽤等差数列性质计算
即可得 的通项公式；
（ 2）（ i） 借 助 错 位 相 减 法 计 算 即 可 得 ；（ ii） 由 题 意 可 得 ， 构 造 数 列
，借助作商法可得数列 单调性，即可求出数列 的最⼤值，即可得解.
【⼩问1详解】
由 ，则 ，
即有 ，⼜ ，
故数列 为以 为⾸项， 为公差的等差数列，
则 ，故 ；
【⼩问2详解】
（i） ，
则 ，
，
则
第15⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
则 ；
（ii） ，即 ，
整理得 ，令 ，
令 ，解得 ，⼜ ，故 ，
则数列 在 时，单调递增，在 时，单调递减，
⼜ ，
故 的最⼤值为 ，故 .
18. 若⼀个数列 满⾜ 是公⽐为 的等⽐数列，则称数列 是公⽐为 的⼆级等⽐数列.如数
列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公⽐为2的⼆级等⽐数列.已知数列 中， ， .
（1）记 为数列 的前 项的和，且 .求数列 的通项公式，并判断数列 是否
为⼆级等⽐数列，请说明理由；
（2）若数列 是公⽐为3的⼆级等⽐数列，是否存在实数 ， ，使得 ？若
存在，求出 ， ；不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，且数列 是公⽐为 ⼆级等⽐数列.
（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得 ，得到 ，进⽽求得 ，化简得到
第16⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，得到数列 为等⽐数列，求得其通项公式，得到 是公⽐为 ⼆级等⽐数列.
（2）设 ，得到 ，根据题意，求得 ，得到 ，利⽤累加法，求得
，得到 ，由 ，得到 ，求得 ，得到
，进⽽得到答案.
【⼩问1详解】
解：由 为数列 的前 项的和，满⾜ ，且 ， ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
解得 ，所以 ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减，可得 ，即 ，
所以 ，⼜ ，
故 ，
⼜由 ，则 ，符合上式，
所以数列 是以 为⾸项，公⽐为 的等⽐数列，
所以 ，所以 ，
设 ，可得 ，即 ，
所以数列 是⾸项为 ，公⽐为2的等⽐数列，
即数列 是公⽐为 的⼆级等⽐数列.
【⼩问2详解】
第17⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司解：因为数列 是公⽐为3的⼆级等⽐数列，即 是公⽐为3的等⽐数列，
设 ，则 ，
因 ，可得 ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以当 ，
，
所以当 时， ，⼜ ，也满⾜该式，
所以 ，故 ，
因为 ，即 ，
⼜因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，代⼊可得 ，
即 ，即 ，
解不等式 ，可得 ，
因为函数 为增函数，
经计算， 满⾜该不等式，⽽ ， 均不满⾜，
故 ，
所以 ，此时 ，即存在 ，使得 成⽴.
19. 已知双曲线 （ ， ）的渐近线⽅程为 ，且过点 .按照如下⽅式依
次构造点 ：过 作斜率为 （ 为常数且 ）的直线与 的下⽀交于点 ，令 为 关
第18⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司于 轴的对称点，记 的坐标为 .
（1）若 ，求 的坐标 ；
（2）证明：数列 是等⽐数列，并求其公⽐（⽤ 表示）；
（3）设 为 的⾯积，证明：对任意正整数 ， 为定值.
【答案】（1） ；
（2）证明⻅解析，公⽐为 ；
（3）证明⻅解析.
【解析】
【分析】（1）根据渐近线⽅程和所过定点即可求出双曲线⽅程，再联⽴直线即可求出答案；
（2）写出直线⽅程，将其与双曲线⽅程联⽴得到 ，从⽽得到 ，再根据等⽐数列
的定义即可证明；
（3）转化为证明 ，利⽤点差法得 ，结合合⽐性质得 ，
同理得 ，再根据（2）中结论即可证明 .
【⼩问1详解】
∵渐近线为 ．⼜过点 ，
代⼊双曲线的⽅程得， ，即双曲线的⽅程为 ，
若 ，则过 对应的直线⽅程为 ，与双曲线联⽴得：
或 （舍去）．
代⼊直线⽅程求得该直线与双曲线得另⼀个交点 ．
【⼩问2详解】
过 斜率为 直线为： ，
第19⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司与双曲线 联⽴得： ，
因为 ，则 ，
由⻙达定理得 ，
.
将 代⼊直线⽅程，并取相反数得
，
①，
②，
得 ，由条件可知⾸项为 ，
所以数列 是公⽐为 的等⽐数列．
【⼩问3详解】
要证明 为定值，只需证明 ．
与 求⾯积时，都看作以 为底，
则原问题转化为⾼相等，即需证明两点 到直线 的距离相等，
进⽽转化为证明 ，即只需证明 ，以下为其证明.
第20⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司将点 的坐标代⼊双曲线⽅程得到 两式作差并整理得：
，由合⽐的性质得， ③，
同理可得 ④，
由第（2）问的①②可知数列 是公⽐为 的等⽐数列；
数列 是公⽐为 的等⽐数列.
④式可化为 ⑤，
由③⑤两式得到： .
故 ，所以 为定值.
第21⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
