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江西省新十校协作体2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题
一、单选题
1．复数 在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点 ， ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．2
3．若椭圆 上一点 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点 到另一个焦点的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．13
4．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则此三角形
（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．无法判断有几解
5．一条光线从点 射出，与 轴交于点 ，经 轴反射，则反射光线所在直线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知点 在圆 上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆 上总存在两个点到点 的距离为6，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 的部分图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 在 上单调递增，且对 ，
在 上都不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D．向量 在 方向上的投影向量为
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．向量 是直线 的一个方向向量
B．直线 在坐标轴上的截距之和为
C．直线 与直线 之间的距离为
D．直线 的倾斜角的取值范围是
11．过直线 上任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A．当 为等边三角形时， B． 的最小值为4
C． 的最小值为 D．直线 过定点三、填空题
12．若 ，则 .
13．如图，在圆锥 中，已知 的直径 ，点 为 的中点，圆锥侧面展开图是圆心角为
的扇形，则直线 与 所成的角为 .
14．已知点 ， 是圆 上位于第三象限内的不同两点， ，则
的最大值为 .
四、解答题
15．已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)设 ， 为第二象限角，求 的值.
16．已知直线 的方程为 .
(1)求直线 过定点 的坐标；(2)当 为何值时，点 到直线 的距离最大？最大距离是多少？
17．如图，四棱锥 的底面 是正方形，平面 平面 ， ， 是 的中
点， 是 上靠近点 的三等分点.证明：
(1) 平面 ；
(2)平面 平面 .
18．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线 交 于点 .
（ⅰ）若 ， ，求 的长；
（ⅱ）若点 满足 ，求 的值.
19．已知圆 的圆心 与圆 的圆心 关于直线 对称.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 交圆 于 ， 两点，点 ，证明：当 不断变化时， 轴始终平分 ；
(3)设 为圆 上任意一点，过点 作圆 的切线，切点为 ，试探究：平面内是否存在一定点 ，使得
为定值？若存在，请求出定点 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B A C A ABD BC
题号 11
答案 ACD
1．B
计算 ，写出 的对应点，从而得解.
【详解】 复数 在复平面内对应点为 ，
在复平面内的对应点位于第二象限， 选项B正确.
故选：B.
2．D
利用两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为 ， ，所以直线 的斜率 .
故选：D.
3．C
根据椭圆的定义直接得出结果.
【详解】由题知 ，所以点 到另一个焦点的距离为 .
故选：C.
4．C
【详解】根据余弦定理求出 有两个解，即可得出答案.
根据余弦定理可得
，代入数据得 ，
即 ，解得 .
所以此三角形有两解.
故选：C.
5．B
由光学知识可知点 关于 轴的对称点 在反射光线上，利用两点坐标写出直线方程即可.【详解】由题知，点 关于 轴的对称点 在反射光线上，
所以反射光线所在直线的方程为 ，即 .
故选：B.
6．A
先化简变形 ，令 ，则 ，利用圆与直线 的位置关
系列不等式计算即可.
【详解】由题意， .
令 ，则 ，
由题知，圆与直线 有公共点，故圆心 到直线的距离 ，
整理得 ，解得 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A.
7．C
由题意可得圆 与圆 有两个交点，由两圆的位置关系求解
即可.
【详解】由题知圆 的标准方程为 ，
圆 与圆 有两个交点，
故 ，
解得 .故选：C.
8．A
根据题目条件求出 ，利用图象平移规律得到函数 ，再根据 的单调性可得答案.
【详解】由图知函数 的最小正周期 ，所以 .
由 ，得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，
将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 ，
由 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
可得 ，则 ，解得 ，
又因为对 ， 在 上都不单调，所以 ，解得 .
综上， .
故选：A.
9．ABD
根据模长的坐标公式可判断A；根据两个向量垂直的坐标公式可判断B，根据向量夹角的坐标公式可判断
C；根据投影向量的坐标公式可判断D.
【详解】因为 ， ，所以 ，A正确；
因为 ， ，所以 ，B正确；
设 与 的夹角为 ，则 ，且 ，因此 与 的夹角为 ，C错误；
在 方向上的投影向量为 ，D正确.
故选：ABD
10．BC
根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线
间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误.
【详解】对于A，由直线 ，可得直线的斜率为 ，
所以直线的一个方向向量为 ，
因为 与 不共线，所以 不是直线 的一个方向向量，所以A错误；
对于B，当 时， ；当 时， ，
可得直线在坐标轴上的截距之和为 ，所以B正确；
对于C，由直线 可化为 ，
两平行直线间的距离为 ，所以C正确；
对于D，直线 的斜率为 ，
因为 ，所以 ，
故直线倾斜角的取值范围是 ，所以D错误.
故选：BC.
11．ACD利用余弦定理和勾股定理计算可判断A，B，根据三角形等面积法计算得 ，可计算并判断
C，通过设点 的坐标为 ，可得以线段 为直径的圆的方程为 ，与圆 方程联
立可得交线 的方程为 ，从而可得出定点判断D.
【详解】
对于A，若 为等边三角形，则 ，
又 ，根据余弦定理， ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，故B错误；
对于C，在 中，根据等面积法，可得 ，
得 ，故C正确；
对于D，设点 的坐标为 ，
以线段 为直径的圆的方程为 ，整理得 ，
将 代入可得直线 的方程为 ，可知点 一定在直线 上，故D正确.
故选：ACD.12．
由 ，可求得 ，再结合正切两角和公式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
13．
先根据 的长证明 ，然后作辅助线，证明 平面 ，最后根据余弦定理求出结果.
【详解】由题知 的周长为 ，设圆锥的母线长为 ，圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，
设扇形的半径为 ，则 ， ，解得 ，即 ，
所以 ，即 .
又点 为 的中点，所以 为等腰直角三角形， .
取 的中点 ，连接 ，则 ， ；取 的中点 ，连接 ，则 ，
故 （或其补角）即为 与 所成角，连接 ，则 平面 ，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，故 平面 ，
又 平面 ，所以 ，其中 ， ， ，
， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，故 ， ，
所以 ，则直线 与 所成的角为 .
故答案为： .
14．
如图作辅助线，观察可得 ，利用三角形的边角关系，结合三角恒等
变换以及正弦函数的性质可求得最值.
【详解】
如图，作直线 ，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，
过 作直线 的垂线，垂足为 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
则点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
.
设 ，则 .
又 ，所以 ， ，
则 ，当 时， 取得最大值为 ，
所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
15．(1) ，
(2)
（1）先对函数 进行三角恒等变换，化为正弦型函数，再根据正弦函数的单调性求解单调递减区间.
（2）先根据已知条件求出 ，再结合角 的范围求出 ，最后利用两角差的余弦公式
求出 .
【详解】（1）由题意，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递减区间为 ， .
（2）由 ，得 .
因为 为第二象限角，所以 ， ， ，
所以 ，
即 的值为 .
16．(1)
(2) 时， 到直线 的距离最大，最大距离是 .
（1）化简直线为 ，联立方程组，即可求解；
（2）根据题意，得到当 与直线 垂直时，点 到直线 的距离最大，列出方程，求得 的值，得到直
线 方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）直线 的方程可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以直线 过定点 的坐标为 .
（2）当 与直线 垂直时，点 到直线 的距离最大，因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以 ，解得 ，即 的方程为 ，
则点 到直线 的最大距离为 ，
故当 时， 到直线 的距离最大，最大距离是 .
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）设 与 交于点 ，连接 ，证得 ，利用线面平行的判定定理，即可证得 平面
；
（2）取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，证得 ，再由平面 平面 ，
证得 平面 ，得到 ，证得 平面 ，进而证得平面 平面 .
【详解】（1）证明：如图所示，设 与 交于点 ，连接 ，
因为底面 是正方形，所以 是 中点，
又因为 是 中点，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：如图所示，取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 ，所以 ，
因为 ，且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 .
18．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
（1）利用正弦定理化简可得 ，从而得 ，化
简得 ，即可求解；
（2）（ⅰ）由余弦定理可得 ，再结合 ，从而可求解；
（ⅱ）由 ，可得 ，从而得 ， ，从而得
，再结合 即可求解.
【详解】（1）由正弦定理对 化简，可得 .
又因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，又 ，则 .
（2）（ⅰ）由余弦定理，知 ，所以 .
又 ，所以 .由 ，得 ，
整理得 .
（ⅱ）因为 ，所以 .
因为 为 的平分线，所以 ，则 .
又 ，
，
所以
，
， ，
所以 .
19．(1)
(2)证明见解析
(3)存在定点 ，此时 为定值 或存在定点 ，此时 为定值 .
【详解】（1）解：由圆 ，可得圆 的圆心为 ，半径为 ，
又由圆 ，可得圆心为 ，半径为 ，
因为圆心 与圆心 关于直线 对称，可得 ，解得 ，
所以圆 的标准方程为 .
（2）证明：设 ， ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，且 ， ，
则 ，
所以当 不断变化时， 轴始终平分 .
（3）解：假设存在定点 ，使得 为定值，设 ， ， ，
因为点 在圆 上，所以 ，则 ，
因为 为圆 的切线，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，整理得 （ ），
若使（ ）对任意 恒成立，则 ，可得 ，
代入③整理得 ，解得 或 ，
所以 或 ，
