高二数学答案2025.1_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年02月试卷_0207江苏省扬州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试_江苏省扬州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学（PDF版，含答案）

2024－2025 学年第一学期期末检测 高二数学参考答案 2025.1 1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．BC 10．ABD 11．ABD 12． 第 1页(共4页) (1 ,1 ) 13． 0 .6 5 14． 2 4 0 4 8 15．解：（1）因为 B C 边所在直线过点 P ( 3 ,1 ) ， C ( 2 ,  3 ) ，所以 k B C  1  3 (   3 2 )  4 ． ……2分 因为 A B C D 为菱形，所以 A D B C ，所以 k A D  k B C  4 ． ……4分 又 A (  4 , 3 ) ，所以 l A D : y  3  4 [ x  (  4 ) ] ，整理得 y  4 x  1 9 ． ……6分 3(3) （2）因为A(4,3)，C(2,3)，所以k  1． AC 42 因为 A B C D 为菱形，所以 B D  A C ，所以 k B D   k 1 A C  1 ． ……8分 因为 A (  4 , 3 ) ， C ( 2 ,  3 ) ，所以 A C 中点坐标为 (  1 , 0 ) ， 所以 l B D : y  x  1 ． ……10分 联列方程组  y y   x 4  x 1  1 9 ， 解得  x y     6 5 ，所以 D (  6 ,  5 ) ． ……13分 16．解：（1）等差数列a 中，由 n a 1 3  2 5 得 a 1  1 2 d  2 5 ……2分 由 S 5  2 5 得 5 a 1  1 0 d  2 5 ， ……4分 联列方程组  a 5 1 a  1 1  2 1 d 0 d   2 5 2 5 ，解得  a d 1   1 2 ……6分 所以 a n  a 1  ( n  1 ) d  2 n  1 ． ……8分 1 1 1 1 1 （2）因为b  1 1 (  )1， ……11分 n a a (2n1)(2n1) 2 2n1 2n1 n n1 所以 T n  1 2 (1  1 3  1 3  1 5   2 n 1  1  2 n 1  1 )  n ， 整理得 T n  2 n n  1  n  2 n 2 2 n   2 1 n ． ……15分 17．解：（1）设圆C的标准方程为 ( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2 ( r  0 ) ， 因为圆心在直线yx上，所以ab， ……1分 因为圆C经过点A( 3,1)，所以( 3a)2 (1b)2 r2(r0)， ……2分 {#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}因为圆C与直线 第 2页(共4页) x  y  2 2  0 相切，所以 a  b  2 2 2  r ， ……4分 联列方程组  a a (   3 b b   2 a 2 2 )  2 (1   r b ) 2  r 2 ，解得  a b r    0 0 2 ， 所以圆C的标准方程为 x 2  y 2  4 ． ……7分 （2）因为  M P N  6 0  ，由对称性可知MPO30，所以 P O  2 O M  4 ， 所以点 P 的轨迹是以 O 为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为 x 2  y 2  1 6 ， ……11分 又因为P在直线 m : x  2 y  4  0 上， 联列方程组  x x 2   2 y y 2   4 1 6  0 ， 解得  x y    0 4 或  x y   1 2 5 1 6 5 ， 所以点P的坐标为 (  4 , 0 ) 12 16 或( , )． ……15分 5 5 18．解：（1）法1：设椭圆 E : x a 2 2  y b 2 2  1 ( a  b  0 ) 的半焦距为 c ， 因为椭圆E经过点 M ( 4 3 ,  1 3 ) ，所以 1 9 6 a 2  9 1 b 2  1 ， 因为右焦点为 F (1 , 0 ) ，所以c1， 联列方程组  a 1 9c 2 6 a  2 1 b  2 9  1 b c 2 2  1 a2 2 ， 解得 ， b2 1 所以椭圆 E 的标准方程为 x 2 2  y 2  1 ． ……5分 x2 y2 法2：设椭圆E:  1(ab0)的半焦距为 a2 b2 c ， 因为右焦点为 F (1 , 0 ) ，所以c1，左焦点为(1,0) ， 因为椭圆E经过点 M ( 4 3 ,  1 3 ) ， 4 1 4 1 所以2a ( 1)2 ( )2  ( 1)2 ( )2 2 2， 3 3 3 3 所以a 2，b a2 c2 1， {#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}所以椭圆 第 3页(共4页) E 的标准方程为 x 2 2  y 2  1 ． ……5分 （2）椭圆 E 的右顶点 A ( 2 , 0 ) ， 显然直线 l 的斜率存在，设斜率为 k ，则l:ykx1， l A C : y  k ( x  2 ) ， 点 A 到直线 l 的距离 d  | 2 k k 2   1 1 | ， | 2k1| 所以ABd  ， k2 1 联列方程组  x 2 y 2   k y ( 2 x   1 2 ) ，消去 y 整理得 (1  2 k 2 ) x 2  4 2 k 2 x  4 k 2  2  0 ， 4k2 2 所以 2x  ，所以 c 12k2 x c  2 2 1 k  2 2  k 2 2 ， 所以 A C  1  k 2 | x c  2 | 2 1 2  k 2 2 k  2 1 ， 所以 S △ A B C  1 2 A B  A C  2 1 |1   2 k 2 2 k | ， 若 k  0 ,则斜率取  k 时面积显然更大， 故 S △ A B C 最大时 k  0 ， S △ A B C  2 (1 1   2 k 2 2 k ) ， 令 1  2 k  t ，则 S △ A B C  t 2  2 t 2 t  2  t  2 t 2  2 由基本不等式得 S △ A B C 2 最大时，t  2,k 1 ， 2 所以当 S △ A B C 最大时，直线 l 2 的方程为y(1 )x1． ……17分 2 19．解：（1） A 4   3 , 4 , 5 , 6 , 7  ，|A |5， ……2分 4 一方面，由 0  a 1  a 2   a n 可得a a a a a a ， 1 2 i j n1 n 即312i jn1n2n1, i  j  N * ，所以 | A n | 2 n  3 ； 另一方面，由0a a  a 可得 1 2 n a 1  a 2  a 1  a 3   a 1  a n  a 2  a n   a n  1  a n ， 所以 | A n | 2 n  3 . 综上， | A n | 2 n  3 ． ……5分 （2）首先证明：从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同． 若i、j、i'、j'满足i j,i' j'， {#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}使得 第 4页(共4页) 2 i  2 j  2 i'  2 j' 即 2 i (1  2 j i )  2 i'(1  2 j' i') ， 不妨设 i  i ' ，则 1  2 j i  2 i' i (1  2 j' i') （*） 若ii',（*）式左边是奇数，右边是偶数，不可能成立， 若ii'，则 j  j ' ，此时取出的两项为相同的两项， 所以，从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同． 又不论 i 为何值， a i 均与其他 n  1 项各相加一次， 所以 A n 中所有元素之和为 ( n  1 ) ( 2 1  2 2  …  2 n ) ． 又 ( n  1 ) ( 2 1  2 2  …  2 n )  ( n  1 ) ( 2 n  1  2 ) ， 所以A 中所有元素之和为 n ( n  1 ) ( 2 n  1  2 ) ……12分 （3）a 是等差数列．证明如下： n 由0a a  a 可得a a a a  a a a a a a  a a ， 1 2 n 1 2 1 3 1 n1 1 n 2 n n1 n 所以 | A n | 2 n  3 ， 又因为 | A n | 2 n  3 ， a i  a j 就不能再取其它的值． 一方面，有 a 1  a 3  a 2  a 3  a 2  a 4   a 2  a n  1  a 2  a n ① 另一方面， a 1  a 3  a 1  a 4  a 1  a 5   a 1  a n  a 2  a n ② 由①，在 a 1  a 3 和 a 2  a n 之间，有 n  1  2  n  3 个从小到大不等的项， 由②，在 a 1  a 3 和 a 2  a n 之间，有 n  4  1  n  3 个从小到大不等的项， 且①中的项均应在②中, 故只能一一对应， 即a a a a i3,4, ,n1，即a a a a i3,4, ,n1， 2 i 1 i1 2 1 i1 i 又 2 a 2  a 1  a 3 得a a a a 1in1均成立， 2 1 i1 i 所以，a 是等差数列． ……17分 n {#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}