高二数学答案2025.1_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年02月试卷_0207江苏省扬州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试_江苏省扬州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学（PDF版，含答案）

2024－2025 学年第一学期期末检测
高二数学参考答案
2025.1
1．D 2．A 3．B 4．C
5．B 6．D 7．C 8．B
9．BC 10．ABD 11．ABD
12．
第 1页(共4页)
(1 ,1 ) 13． 0 .6 5 14． 2 4 0 4 8
15．解：（1）因为 B C 边所在直线过点 P ( 3 ,1 ) ， C ( 2 ,  3 ) ，所以 k
B C

1 
3
(

 3
2
)
 4 ． ……2分
因为 A B C D 为菱形，所以 A D B C ，所以 k
A D
 k
B C
 4 ． ……4分
又 A (  4 , 3 ) ，所以 l
A D
: y  3  4 [ x  (  4 ) ] ，整理得 y  4 x  1 9 ． ……6分
3(3)
（2）因为A(4,3)，C(2,3)，所以k  1．
AC 42
因为 A B C D 为菱形，所以 B D  A C ，所以 k
B D
 
k
1
A C
 1 ． ……8分
因为 A (  4 , 3 ) ， C ( 2 ,  3 ) ，所以 A C 中点坐标为 (  1 , 0 ) ，
所以 l
B D
: y  x  1 ． ……10分
联列方程组
 y
y


x
4

x
1
 1 9
，
解得
 x
y




6
5
，所以 D (  6 ,  5 ) ． ……13分
16．解：（1）等差数列a 中，由
n
a
1 3
 2 5 得 a
1
 1 2 d  2 5 ……2分
由 S
5
 2 5 得 5 a
1
 1 0 d  2 5 ， ……4分
联列方程组
 a
5
1
a

1
1

2
1
d
0 d


2 5
2 5
，解得
 a
d
1


1
2
……6分
所以 a
n
 a
1
 ( n  1 ) d  2 n  1 ． ……8分
1 1 1 1 1
（2）因为b  1 1 (  )1， ……11分
n a a (2n1)(2n1) 2 2n1 2n1
n n1
所以 T
n

1
2
(1 
1
3

1
3

1
5
 
2 n
1
 1

2 n
1
 1
)  n ，
整理得 T
n

2 n
n
 1
 n 
2 n
2
2
n


2
1
n
． ……15分
17．解：（1）设圆C的标准方程为 ( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2 ( r  0 ) ，
因为圆心在直线yx上，所以ab， ……1分
因为圆C经过点A( 3,1)，所以( 3a)2 (1b)2 r2(r0)， ……2分
{#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}因为圆C与直线
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x  y  2 2  0 相切，所以
a  b 
2
2 2
 r ， ……4分
联列方程组
 a
a
(


3
b
b


2
a
2
2 ) 
2
(1


r
b ) 2  r 2
，解得
 a
b
r



0
0
2
，
所以圆C的标准方程为 x 2  y 2  4 ． ……7分
（2）因为  M P N  6 0  ，由对称性可知MPO30，所以 P O  2 O M  4 ，
所以点 P 的轨迹是以 O 为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为 x 2  y 2  1 6 ， ……11分
又因为P在直线 m : x  2 y  4  0 上，
联列方程组
 x
x
2


2
y
y
2


4
1 6
 0
，
解得
 x
y



0
4
或

x
y


1 2
5
1 6
5
，
所以点P的坐标为 (  4 , 0 )
12 16
或( , )． ……15分
5 5
18．解：（1）法1：设椭圆 E :
x
a
2
2

y
b
2
2
 1 ( a  b  0 ) 的半焦距为 c ，
因为椭圆E经过点 M (
4
3
, 
1
3
) ，所以
1
9
6
a 2

9
1
b 2
 1 ，
因为右焦点为 F (1 , 0 ) ，所以c1，
联列方程组
 a
1
9c
2
6
a

2
1
b

2
9

1
b
c
2
2
 1
a2 2
， 解得 ，
b2 1
所以椭圆 E 的标准方程为
x
2
2
 y 2  1 ． ……5分
x2 y2
法2：设椭圆E:  1(ab0)的半焦距为
a2 b2
c ，
因为右焦点为 F (1 , 0 ) ，所以c1，左焦点为(1,0) ，
因为椭圆E经过点 M (
4
3
, 
1
3
) ，
4 1 4 1
所以2a ( 1)2 ( )2  ( 1)2 ( )2 2 2，
3 3 3 3
所以a 2，b a2 c2 1，
{#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}所以椭圆
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E 的标准方程为
x
2
2
 y 2  1 ． ……5分
（2）椭圆 E 的右顶点 A ( 2 , 0 ) ，
显然直线 l 的斜率存在，设斜率为 k ，则l:ykx1， l
A C
: y  k ( x  2 ) ，
点 A 到直线 l 的距离 d 
| 2
k
k
2


1
1
|
，
| 2k1|
所以ABd  ，
k2 1
联列方程组
 x
2
y
2


k
y
(
2
x


1
2 )
，消去 y 整理得 (1  2 k 2 ) x 2  4 2 k 2 x  4 k 2  2  0 ，
4k2 2
所以 2x  ，所以
c 12k2
x
c

2 2
1
k

2
2

k 2
2
，
所以 A C  1  k 2 | x
c
 2 |
2
1
2

k
2
2
k

2
1
，
所以 S
△ A B C

1
2
A B  A C 
2
1
|1


2 k
2
2
k |
，
若 k  0 ,则斜率取  k 时面积显然更大，
故 S
△ A B C
最大时 k  0 ， S
△ A B C

2 (1
1 

2 k
2
2
k )
，
令 1  2 k  t ，则
S
△ A B C

t 2 
2 t
2 t  2

t 
2
t
2
 2
由基本不等式得 S
△ A B C
2
最大时，t  2,k 1 ，
2
所以当 S
△ A B C
最大时，直线 l
2
的方程为y(1 )x1． ……17分
2
19．解：（1） A
4
  3 , 4 , 5 , 6 , 7  ，|A |5， ……2分
4
一方面，由 0  a
1
 a
2
  a
n
可得a a a a a a ，
1 2 i j n1 n
即312i jn1n2n1, i  j  N * ，所以 | A
n
| 2 n  3 ；
另一方面，由0a a  a 可得
1 2 n
a
1
 a
2
 a
1
 a
3
  a
1
 a
n
 a
2
 a
n
  a
n  1
 a
n
，
所以 | A
n
| 2 n  3 .
综上， | A
n
| 2 n  3 ． ……5分
（2）首先证明：从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同．
若i、j、i'、j'满足i j,i' j'，
{#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}使得
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2 i  2 j  2 i'  2 j' 即 2 i (1  2 j i )  2 i'(1  2 j' i') ，
不妨设 i  i ' ，则 1  2 j i  2 i' i (1  2 j' i') （*）
若ii',（*）式左边是奇数，右边是偶数，不可能成立，
若ii'，则 j  j ' ，此时取出的两项为相同的两项，
所以，从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同．
又不论 i 为何值， a
i
均与其他 n  1 项各相加一次，
所以 A
n
中所有元素之和为 ( n  1 ) ( 2 1  2 2  …  2 n ) ．
又 ( n  1 ) ( 2 1  2 2  …  2 n )  ( n  1 ) ( 2 n  1  2 ) ，
所以A 中所有元素之和为
n
( n  1 ) ( 2 n  1  2 ) ……12分
（3）a 是等差数列．证明如下：
n
由0a a  a 可得a a a a  a a a a a a  a a ，
1 2 n 1 2 1 3 1 n1 1 n 2 n n1 n
所以 | A
n
| 2 n  3 ，
又因为 | A
n
| 2 n  3 ， a
i
 a
j
就不能再取其它的值．
一方面，有 a
1
 a
3
 a
2
 a
3
 a
2
 a
4
  a
2
 a
n  1
 a
2
 a
n
①
另一方面， a
1
 a
3
 a
1
 a
4
 a
1
 a
5
  a
1
 a
n
 a
2
 a
n
②
由①，在 a
1
 a
3
和 a
2
 a
n
之间，有 n  1  2  n  3 个从小到大不等的项，
由②，在 a
1
 a
3
和 a
2
 a
n
之间，有 n  4  1  n  3 个从小到大不等的项，
且①中的项均应在②中, 故只能一一对应，
即a a a a i3,4, ,n1，即a a a a i3,4, ,n1，
2 i 1 i1 2 1 i1 i
又 2 a
2
 a
1
 a
3
得a a a a 1in1均成立，
2 1 i1 i
所以，a 是等差数列． ……17分
n
{#{QQABAYYAogCoQBAAARgCUwHACgKQkhEACQgGwAAMIAAASBNABCA=}#}