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成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届八省联考模拟
数学参考答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．
1．D． 2．A． 3．C． 4．D． 5．D． 6．C． 7．B． 8．A．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC． 10．AC． 11．BCD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12． ． 13． ． 14． ．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解：设此人得到的卡片中红色的有 张，蓝色的有 张，则 ， ．
（2分）
（1） ．（6分）
（2） ．（13
分）
16．解： ．（2分）
（1）当 时， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减，因此
的极小值为 ．（7分）
（2）当 时， 无极值；当 时， 有极小值 ，极大值 ；当
时， 有极小值 ，极大值 ．（10分）
当 时，由 解得 ．（11分）
当 时， ，即 ．（12分）
设 ， 则 ， 因 此 在 上 单 调 递 减 ，
．所以 无解．综上可知当且仅当 时， 的极大值为 ．
（15分）17 ． 解 ： （ 1 ） 作 交 于 ， 则 A
1 B
1
C
1
，且平面 平面 ．（3分）
而平面 平面 ，平面 平 E
A
B H
面 ， 所 以 ， 从 而 G D
F
M
C
．（7分）
（2）延长 交 于点 ，由（1）可知 为 中点，从而 三点共线．（10
分）
过 作 于 ，则 平面 ，且 ， ．过 作
于 ，则 为所求二面角的平面角．（13分）
由于 ，所以 ， ，即平面 与平面 所
成的锐二面角的正切值为 ．（15分）
18．解：（1）由题意， ， ，则 ，解得 ．（3
分）
令 ，则 ，整理得 ，（5分）
即 ， 从 而 为 等 差 数 列 ， 所 以 对 于 任 意 且 ， 都 有
．（8分）
（ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 所 以
．（10分）因此 ，（13分）
所 以
．（17分）
19．解：（1）设 ，则 ，即 ．
（2分）
令 ，得 ，解得 或 ．因此曲线 与 轴交于 与
三点．（4分）
（2）设直线 的方程为 （ ），与曲线 的方程 联
立得 ，即 ．
（6分）
记 ，则 至多有 个不相等的实数根．
① 利 用 ， 有 ，
， ， ， ，从而
在 ， ， ， 上各有一个实数根．因此 有 个
不相等的实数根，从而直线 与曲线 有 个不同的交点．（10分）
②设直线 与曲线 交于点 ， ， ， ，且这 个点的重
心 为 ， 则 由 题 意 可 知 ， 因 此 ，
，（12分）
显然 ，所以 ，因此 ，即 ，整理得
由题意， ，（14分）因 此 ， 从 而 ， 即
，解得 ．（17分）
