重庆市高 2025 届高三第三次质量检测
数 学 试 题
注意事项：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
a
1. 复数 z=1+ (a∈R)的实部和虚部相等，则a=
1+i
A.1 B.-1 C.2 D.-2
1
2. 已知向量ā、b且 |⃗a|=|⃗b|=1,，若ā在b上的投影向量为 ⃗b,则ā与b的夹角为
2
A.π/6 B.π/4 C.π/3 D.π2
3. 已 知 数 列 | a | 的 前 n 项 和 为 . S , S =2ⁿ−λ,数 列 | b | 的 通 项 公 式 为
n n n n
b , b =1−λn, 则“| a |为等比数列”是“{ b }是递减数列”的( )条件
n n n n
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
4. 已知非零向量ā、b, 且 ⃗a⋅⃗b=0,函数 f (x)=(⃗a−x⃗b) 2 (x∈R),若、f(m)>f(1-m), 则实数m的
取值范围是
1 1 1 1
A.m> B.m< C.m>− D.m<−
2 2 2 2
S
5. 已知等比数列| a |单调递增，前n项和为 S ,a₄a₅=3,a₃+a₆=4,则 6=
n n S
3
A.1 B.2 C.3 D.4
— 1 —1
2 2 −
6. 已知 a=ln ,b=sin ,c=e 3,则a，b，c的大小关系为
3 3
A. c>b>a B. c>a>b C. b>c>a D. a>b>c
7. 将正整数如图排列，第n行有n个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为a₁，再从a₁
开始从右往下碰到5，记为a₂，接着从a₂开始，从左往下碰到8，记为a₁……依此类推，按左右
左右往下，碰到的数分别记为( a ,a ⋯a ⋯,构成数列| an|.则 a₁₀=
1 2 n
A.59 B.60 C.61 D.62
8. 在 ▱ABCD 中, 点 E 是对角线 BD 上任意一点 (点 E 与 B,D 不重合) , 且
|⃗AB|2=|⃗AE|2+⃗BE⋅⃗ED,|⃗AB|=⃗AB⋅⃗AD=2, 则 ▱ABCD的面积为
A. √3 B.2 C.2√2
D.2√3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知两个复数z₁与z₂，下列结论错误的是
A.若 z₁+z₂∈R,则z₁与z₂互为共轭复数
B.若 |z₁|>|z₂|,则 z₁>z₂
C.若 |z₁|=1,|z₂|=2, 则 |z₁+z₂|=3
D.若 |z₁−i|=1,则 |z₁+1|的最大值为 √2+1
10. 设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，则下列条件中能确定C为锐角的是
A.a²+b²−c²=ab B.ab=c²
C.(a+2b)cosC+ccosA=0 D. sin(A-B)=1-2cosAsinB
— 2 —11. 已知数列 ₙa 满足 a =1,a =2a +cosnπ,(n∈N∗).则下列选项正确的是
1 n+1 n
{ 1}
A. a − 是等比数列
2n−1 3
B.数列 | a |是单调递增数列
n
1
C.若 b = , 则 b +b +b +⋯+b <2
n a 1 3 5 2n−1
n
−3n2+16n−16 n2
D.若 c = , 则 c +c +c +⋯+c =
n 3a +1 2 4 6 2n 4n−1
n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
A n+3 a
12. 已知等差数列 |ₙa ||与| bn|的前n项和分别为 An与 Bₙ ,若 n= ,则 5=.
B
n
2(n+1) b
5 ¯
13. 若 f (x)=xlnx−ax²有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
14. 如图所示, 四边形ABCD内接于圆O, ADBC,AB=BC=6,⃗BO=x⃗BC+ y⃗BA,2x+6 y=3则四
边形ABCD的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.--
15. (13分)
已知向量 ⃗a=(cosx,sinx),⃗b=(√3sinx,sinx),⃗c=(−1,√3).
( π)
(1)若 ⃗a⃗b,且 x∈ 0, , 求x的值；
2
[ π]
(2)设函数 f (x)=2⃗b⋅(⃗a+⃗c)−|⃗c|2,求函数f(x)在区间 0, 上的最大值以及相应的x的值.
216. (15分)
新能源车性能测试，分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测通过后才能
进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入生产，这两个检测阶段能否通过相互
独立.其中实验室检测阶段.包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环节都通过才能通过实验室
检测，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发组研发出甲、乙丙三种车
型、现对其进行性能检测，实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ.Ⅱ环节的概率分别为
1 2 1 2
, ,，乙车通过I、Ⅱ环节的概率分别为 ,丙车通过I、Ⅱ环节的概率分别为
3 3 2 3
2 3 1 1 2
, .路面测试环节中三款车通过测试的概率分别为 , , .
3 4 2 2 3
(1)求甲、乙、丙三款车型中恰有一款车通过实验室检测的概率；
(2)记随机变量X为甲、乙、丙三种车型通过性能测试的种数，求 X的分布列和数
学期望.
17. (15分)
已知数列 | a |的前n项和为 S ，满足 2 S ₊₁− S =2,a₁=1.
n n n n
(1)求 | a |的通项公式；
n
b +2
(2)若数列 |b |⋅| c |满足 b =−2log a ,c = n ,|c |的前 n 项和
n n n 2 n n a n
n
为 T ,若不等式 T −2≥λ c 对一切正整数n恒成立，求λ的取值范围.
n n n18. (17分)
如图所示， A ( x , y ), B ( x ,− y )是抛物线 y²=x上的一系列点，其中
n n n n n n
(25 5)
A (1,1),A , ,记直线 B ₋₁ A 、 B A ₊₁的斜率分别为
1 2 9 3 n n n n
(1)证明 | y ₊₁− y |是等比数列，并求出数列 | y |通项公式；
n n n
(2)记 △ A A ₊₁ A ₊₂的面积为 T ,求 T ,求 Tₙ ;
n n n n n
9
(3)若 a =ln T ,b =b2+b ,;
n 5 n n+1 n n
9 1 2 3 n
(3)若 a =ln T ,b =b2+b ,b =1.求证： + + +⋯+ <1.
n 5 n n+1 n n 1 b −a 2b −a 3b −a nb −a
1 1 2 2 3 3 n n
1
注: △ABC中, 若 ⃗AB=(x ,y ),⃗AC=(x ,y ),则 △ABC面积 S = |x y −x y |.
1 1 2 2 ABC 2 1 2 2 1重庆市高 2025 届高三第三次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B C A A D A C D ABC AB ACD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
a a a a
1. B 【解析】复数 z=1+ − i,因为实部和虚部相等，所以 1+ =− ,即a= -1.
2 2 2 2
2. C 【 解 析 】 设 <⃗a,⃗b>=θ∈[0,π],由 题 意 有
⃗b 1 1 π
|⃗a|cosθ =cosθb= ⃗b,∴cosθ= ,∴θ= .
|⃗b| 2 2 3
3. A 【解析】{ an}是等比数列,即λ=1,{bₙ}是递减数列,即λ>0,所以是充分不必要条
件.
4. A 【 解 析 f (x)=⃗a2+⃗b2x2,是 偶 函 数 且 开 口 向 上 ，
1
∵f (m)>f (1−m),∴|m|>|1−m|,∴m> .
2
5. D 【解析】因为{ an}是等比数列,. ∴a₄a₅=a₃a₆=3,又 a₃+a₆=4,因{ an}是递
S
增数列，则 a₃=1,a₆=3,所以 q³=3,所以 6=1+q3=4.
S
3
2 2 2 2
6. A 【解析】 a=ln <0,因为 sinx≤x,所以 sin < ,即 0<b< ,又因为(
3 3 3 3
− 1 1 2 2
eˣ≥x+1,所以 e 3>1− = ,即 c> ,所以a<b<c.
3 3 3
7. C 【 解 析 】 由 题 意 得 a −a =3,a −a =3,a −a =5,⋯,所 以
2 1 3 2 4 3
a₂ₙ−a₂ₙ₋₁=2n+1,a₂ₙ₊₁−a₂ₙ=2n+1.因 此
a =a +(a −a )+(a −a )+⋯+(a −a )=61.
10 1 2 1 3 2 10 9
8. D 【 解 析 】
AB2=AE2+BE⋅ED⇒⃗AB2=⃗AE2+⃗BE⋅⃗ED⇒(⃗AB−⃗AE)(⃗AB+⃗EB)+⃗EB⋅⃗ED
3. (⃗AB+⃗AE+⃗ED)=⃗EB⋅(⃗AB+⃗AD)=0
即:AB=AD,所以 ▱ABCD 为菱形.由 AB=⃗AB⋅⃗AD=2可得角 A=60°,所以
S =2√3.
ABCD
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. ABC 【解析】A 选项:若 z₁=1−i,z₂=i,z₁与z₂并不互为共轭复数；
B选项：虚数不能比较大小；
C 选项: |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|,不一定能取等；
D 选项：设z₁在复平面对应的点为 Z₁，由 |z₁−i|=1可知点 Z₁的集合是以
(0，1)为圆心，1 为半径的圆. |z₁+1|表示点 Z₁ 到( - 1,0)的距离,所以
|z₁+1|最大值为 √2+1.
数学试题参考答案 第1 页(共5页)a2+b2−c2 ab 1 π
10. AB 【解析】A 选项: cosC= = = ,即 C= ;
2ab 2ab 2 3
1 1 π
B选项:∵ c2=ab=a2+b2−2abcosC≥2ab(1−cosC),∴ ≥1−cosC,∴cosC≥ ∴C≤
2 2 3
C选项:∵(a+2b) cos C+ccosA=0,∴( sin A+2sinB) cos C+ sin CcosA=0,
2π
∴sin(A+C)+2sinBcosC=0,∴1+2cosC=0,∴C= .
3
π
D选项:∵sin(A-B)=1-2cos Asin B,∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,∴sin(A+B)=1, ∴C= .
2
1
11. ACD 【 解 析 】 A 选 项 :
(22n−1+1),易
得
3
1
a = (22n−1),所以选项A正确；
2n 3
1
B选项： a = <a ,所以选项 B错误；
2 3 1
1 3 3
C选项：n为奇数时， = < ,所以
a 2n+1 2n
n
−3n2+16n−16 n2−(n−2) 2 n2 (n−2) 2
D选项：n为偶数时， c = = = − ,
n 3a +1 2n 2n 2n−2
n
所以
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
3
12.
5
a 9a Λ 9+3 3
【解析】 5= 5= 9= =
b 9b B 2(9+1) 5
5 5 9
1
13.0<a<
2
lnx+1 lnx+1
【 解 析 f'(x)=lnx+1−2ax=0有 两 个 变 号 正 根 ， ∴2a= ,令 (x)= (x⟩0),
x x
−lnx
∴❑ '(x)= ,∴x∈(0,1)时 φ'(x)>0,∴x∈(1,+∞)时 φ'(x)<0,,即 φ(x)在(0,1)单调递增，在
x2
(1) 1
(1，+∞)单调递减.又 =0,(1)=1,x∈(1,+∞)时 φ(x)>0,所以( 0<2a<1,即 0<a< .
e 2
数学试题参考答案 第2页(共5页)14.16√2
【解析】在延长线上取点N，使BN=9，取AB 中点M，由 2x+6 y=3知直线MN
1 2√2
过圆心 O,在 Rt△MBC 中,BN=9,BM=3,所以 cosB= ,sinB= ,所以梯形
3 3
ABCD 高为 AB⋅sinB=4√2,AD=BC−2ABcosB=2,所以梯形 ABCD 面积为
AD+BC
⋅4√2=16√2.
2
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.(13分)
解 ： (1)⃗a//b,∴cosx⋅sinx=√3sin2x,∵x∈ ( 0, π) ,∴sinx≠0,∴cosx=√3sinx,∴tanx= √3 ,
2 3
π
∴x= .· 6分
6
(2) 由 题 意 得 .f(x) =2 √3sinx( cos-1) +2sinx( √3+ sin x)-4=2 √3sin xcos x+2sin²x-4 =
( π) [ π] π [ π 5π]
√3sin2x+1−cos2x−4=2sin 2x− −3,∴x∈ 0, ,∴2x− ∈ − , ,∴f(x) 的 最 大 值
6 2 6 6 6
π
为--1，此时 x= . …………………………………………………………………… 13分
3
16.(15分)
解：(1)设事件A 表示甲车通过实验室测试，事件B 表示乙车通过实验室测试，事件C 表示丙车通过实
1 2 2 1 2 1 2 3 1
验室测试，则 P(A)= × = ,P(B)= × = ,P(C)= × = 则甲、乙、丙中恰有一款车通过实验
3 3 9 2 3 3 3 4 2
室测试的概率为 P(ABC+ABC+ABC)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
…………… 7分
(2)随机变量X可能的取值为:X=0,1,2,3
8 5 2 80 5 2 8 8 1
P(X=0)= × × = ,P(X=1)19× × + × × =
9 6 3 162 6 3 9 9 3
1 1 2 1 5 1 8 1 1 15 1 1 1
P(X=2)= × × + × × + × × = ,P(X=3)= × = ,所以随机变量 X
9 6 3 9 6 3 9 6 3 162 9 3 162
的分布列如下表
x 0 1 2 3
15 1
P ⁸⁰/162 ⁶⁶/162
16 162
80 66 15 1 99 11
所以数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 15分
162 162 162 162 162 18
数学试题参考答案 第3页(共5页)17.(15分)
解： 当n=1时, a₁=1符合， ∴a =
(1) n−1
(n∈N∗).
n 2 5分
b =−2log
(1) n−1
=2(n−1)=2n−2,c =
2n−2+2
=n2n,
(2)由题意得 n 2 2 n (1) n−1
2
所以 Tn=1×2¹+1×2²+…+n×2",①,2Tn=1×2²+1×2³+…+(n-1)×2"+n×2"+¹,②,
22(1−2n−1)
②-①得 BT =−1×21−(22+⋯2n)+n×2n+1=−2− +n2n+1=2+(n−1)2n+1
n 1−2
∴T −2=(n−1)2n+1≥λn2n,∴λ≤2 ( 1− 1) ,∀n∈N∗,∴λ≤0… 15分
n n
18.(17分)
y −(−(−y ) y + y 1 3
解 ： (1)k = n n−1 = n n−1 ,同 理 k = ,由 k = k 得
B n−1 A n x n −x n−1 y2 n −y n−1 B n A n+1 y n+1 −y n B n A n+1 2 B n−1 A n
2 2 (2) n 2 2
y −y = (y −y ),又 y −y = ,所以 y −y = ,则 ₙy ₊₁−ₙy 是首项为 ,，公比为 的等
n+1 n 3 n n−1 2 1 3 n+1 n 3 3 3
(2) n−1 (2) n−1 (2) 1 (2) n
比 数 列 ， 所 以 y =((y −y )+((y −y )+ y −y )+ y = + +1=3−3
n n n−1 n−1 n−2 2 1 1 3 3 3 3
………… 6分
(2) 由 (1) 可 得 : A A =(x −x ,y −y )=(y2 −y2,y −y )=
(
6
(2) n
−5
(2) 2n
,
(2) n )
令
n n+1 n+1 n n+1 n n+1 n n n 3 3 3
t= (2) n ∈ ( 0, 2] ,则 ⃗A A =(6t−5t2,t),同 理 ⃗A A = ( 4t− 20 t2, 2 t ) ,所 以
3 3 n n+1 n n+2 9 3
S = 1 | 2 ι(6t−5t2)−t ( 4t− 20 t2) || 5 t3,即 T = 5(2) 3n .…………………… 12分
A n A n+1 A n+2 2 3 9 9 n 9 3
9 2
(3)所以 a =ln T =3nln ,
n 5 n 3
则
所以
………… 17分
数学试题参考答案 第4页(共5页)
