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高三参考答案
1．答案：B
解析：由 可得 ，则得 ，
故 .
故选：B.
2．答案：C
解析：由题设 ，则 .
故选：C
3．答案：B
解析：向量 ， ， ，
若 ，则 ，
所以 ， ，
可得 ， ，即得 .
故选：B.
4．答案：B
解析：因为 ， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
故选：B.
5．答案：A
解析：设圆柱的高为x，底面半径为r，则有 ，（ ），
所以 ，（ ）
令 ，则 ，
令 ，得 又 ，所以 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 时， ， 在区间 上单调递减.
所以 .
故 .
所以圆柱体积的最大值为 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司6．答案：C
解析：已知函数 ，当 时，
单调递增，所以最大值为 ；
当 且 时， 在 上单调递增，最小值为 ；
所以要使函数 在R上单调递增，
则 ，解得 或 (舍去).
故选：C.
7．答案：D
解析：对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有 个，
事件 包括 ， ，2个基本事件，所以 ，故A错误；
对于B：因为A，B不互斥， ， ，所
以 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C：事件B包括 ， ， ， ，4个基本事件，所以 ，
，故C错误；
对 于 D ： 事 件 A 为 “ 第 一 次 出 现 偶 数 点 ” ， ， ，
， ，A与B相互独立，故D正确；
故选：D.
8．答案：B
解析：因为 是周期为1的周期函数，且在 上 ，
要判断 有多少个解，需分析 与 在一个周期内的解的个数，
当 时，在一个周期内，因为 是二次函数， 是线性函数， 与
最多有2个交点，
当 时，在一个周期内，因为 是二次函数， 是线性函数， 与
最多有1个交点，
作出函数 在两个周期内的图象，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司由图象可知，
当 ，若 时，直线 过原点与 ，此时只有1个交点，
向下平移至与曲线相切之前有两个交点，相切时有1个交点，
所以 与 最多两个交点， 最多二个解，故A错误；
当 时，若 ，直线 过原点与 ， 与 可能有二个交
点，向下平移至与曲线相切之前有三个交点，故 可以有三个解，故B正确；
当 时，若 ，直线 过原点与 ，
与 有两个交点，左右平移也有两个交点，
所以 与 一定有两个交点， 不可能有一个解，故C错误；
当 时， ，直线 过原点与 ，
与 有三个交点，左右平移也有三个交点，
与 一定有三个交点，故 不可以有四个解，故D错误.
故选：B.
学科网（北京）股份有限公司9．答案：ACD
解析：由题意知抛物线C的交点坐标为 ，准线方程为 ，直线
过定点 ，所以直线过抛物线的焦点，故A正确；
当 时，直线的方程为 ，联立 ，消去y得， ，
设 ， ，则 ，所以P，Q两点横坐标的和为6，故B错误；
由抛物线的定义可知， ，故C正确；
设线段 的中点为E，则 ，所以以 为直径的圆与直
线l相切，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：点P满足 ， ， ，即点P在正方形 内
（包括正方形的四条边）上运动，
对于A：取线段 的中点E，过点B，E， 作正方体的截面 ，
学科网（北京）股份有限公司因为面 面 ，面 面 ，根据面面平行
的性质定理知如果一个平面与两个平行平面相交，则交线平行，
所以有 ， ，即四边形 为平行四边形，
又E为线段 的中点，由 可得 ，
所以四边形 为菱形，所以当点P在线段 上时，过 ，B，P的
平面与正方体的截面是菱形，故有无穷多个点P，使得过 ，B，P的平面
与正方体的截面是菱形，A错误；
以D为坐标原点，以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
令 ， （ ， ），
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
因为 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司若 平面 ，则 ，解得 ， ，
即存在唯一点 满足条件，故B正确；
因为 ， ，设平面平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，若 平面 ，
则 ，即 ，所以只有当 ， 时方程有解，
即存在唯一点 满足题意，故C错误；
因为 ， ，若 ，
则 ，由 ，可解的 ， ，
所以存在唯一一点 ，使得 ，故D正确.
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：依题意， ， ， ，
对于A，变量X服从正态分布 ，A正确；
对于B，
，B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C，
，C错误；
对于D，
，D正确.
故选：ABD
12．答案：400
解析：在等差数列 中， .
故答案为：400.
13．答案：
解析：因为 ， 上有且仅有2个零点，
所以 ，所以 .
故答案为：
14．答案： /
学科网（北京）股份有限公司解析：对于 ，有 ，
时 ，即y在 上单调递减，
时 ，即y在 上单调递增，
所以 ，故 的最大值为1，
对于 且 ，有 ，
显然 先增后减，故 ，
时 ，即y在 上单调递增，
时 ，即y在 上单调递减，
所以 ，则 .
故答案为：
15．答案：(1) ；
(2)
解析：（1）方法一：
学科网（北京）股份有限公司因为 ，由正弦定理得： ，
又 ，得 ，
中， ，所以 ，
又因为在 中，所以 .
方法二：
因为 ， ， ，由余弦定理得： ，
解得 ，所以 ，
又因为在 中，所以 .
（2）方法一：
在 中，D是 中点，所以 ，
，
，即 的长为 .
方法二：
学科网（北京）股份有限公司由（1）方法二，知 ，
又D是 中点， ，
在 中由余弦定理有： ，
在 中由余弦定理有： ，
因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，即 的长为 .
16．答案：(1) ；
(2) ，
学科网（北京）股份有限公司解析：（1）由 ，所以 .
又因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
，
又因为 ，所以
所以 ，
所以
（2）由题意可得 ，所以
方法一：
整理可得 ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
方法二：
，所以 ，
又 ，所以 或 ，
当 时， ，与 矛盾，
当 时， ，符合条件，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
17．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）因为 面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ， ， 平面 ， 平面
，所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）设 ，又因为 ，
以点O为坐标原点， 为x轴， 为y轴如图建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ， ，
所以 ， ，又因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
故 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设面 一个法向量为 ，
所以 ，所以 ，
设面 一个法向量为 ，
所以 ，所以 ，
，所以 .
18．答案：(1) ；
(2)答案见解析；
(3)
解析：（ 1）当 时， ， ， ，所以
，所以切线方程为
学科网（北京）股份有限公司（2）
若 ，则 时 ， 单调递减， 时 ，
单调递增；
若 ，则 时 ， 单调递增， 时 ，
单调递减， 时 ， 单调递增；
若 ，则 时 ， 单调递增；
若 ，则 时 ， 单调递增， 时 ， 单
调递减， 时 ， 单调递增
（3）令 ，
，
当 时， ，故无最小值
所以 ，由 得 ，
所以 时 ， 单调递减， 时 ， 单
调递增单增，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， .
19．答案：(1) ；
(2)证明见解析；
(3)
解析：（1）因为 ， ，又
解得： ， ， ，
故椭圆的标准方程为
（2）证明：
方法一：
当 轴时， ， 不可能垂直，
故可设直线 方程为
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以
即 ，即： ，
所以
代入可得 ，
整理 ，解得 （舍）或 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，
所以直线 过定点 ，
方法二：
显然 ， 均不可能与坐标轴垂直，故可设
由 ，得
设 ， ，
所以： ， ，
因为 ， 互相垂直，同理得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以直线 的斜率为： ，
直线 的方程为： ，
令 得 ，即直线 过定点 .
（3）方法一：
由（2）知：
， ，
所以 面积
令 ，所以 代入可得：
此时 ， ，所以 面积的最大值是
学科网（北京）股份有限公司方法二：
由（2）知 ，所以 ，
因为 ， 互相垂直，同理得 ，
所以 面积
令 ， ，
此时 ，解得 或 ，
所以 面积的最大值是 .
学科网（北京）股份有限公司
