文档内容
2025 届高三第一学期期中考试检测卷
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出 ，再利用共轭复数及复数的意义即可得解.
【详解】依题意， ，则 ，
所以 的虚部为 .
故选：A
2. 已知集合 ，集合 ，集合 ，则（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据交集、并集的定义计算可得.
【详解】因为集合 ，集合 ，集合 ，
所以 ， ，
， ，
故正确的只有D.
故选：D
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用角的变换 ，代入两角差的正切公式即可求解.
【详解】 ．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于基础题.
4. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，又 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ，所以
所以 .
故选：A.
5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由 12个正五边形和20个正
六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为 1，
为正多边形的顶点，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】运用数量积定义计算即可.
【详解】如图所示，
连接 ， ，由对称性可知， ，
取 的中点 ，则 ， ，
又因为正六边形的边长为1，所以 ，
所以 ，故选：B．
6. 已知某圆锥的侧面积为 ，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得 ，再结合线面夹角运算求解.
【详解】设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，高为 ，
由题意可得： ，解得 ，
设该圆锥的母线与底面所成的角为 ，则 ，
可得 ，所以该圆锥的母线与底面所成的角为 .
故选：C.
7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若点
是函数 图象的一个对称中心，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】先求出平移后函数解析式，再由图象的对称中心，可得 ，从而得出结论．
【详解】由已知得 ，所以 ，
解得 ，又 ，当 时， ．
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的对称性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时
要注意平移单位是对自变量 而言，属于中档题．
8. 已知函数 的最小值为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数的性质可知 ，令 ，运用导数可求得 的最小值，进而可
得结果.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
，
，
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在 的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为
C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：根据二项式系数之和为 分析判断；对于B：令 ，可得所有项系数之和；对于
C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解.
【详解】对于选项A：因为 ，可知二项式系数之和为 ，故A正确；
对于选项B：令 ，可得所有项系数之和为 ，故B错误；
对于选项C：因为展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以常数项为 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，可知二项式系数最大值为 ，为第4项，故D错误；
故选：AC.
10. 已知a，b均为正实数，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案.
【详解】对于A， ，∴ ，故A正确；对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误：
对于D，
，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 是函数 的极值点
C. 过原点 仅有一条直线与曲线 相切
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知
列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调
性，得出 ，整理即可构造 ，利用导函数求出函数的最
小值，即可得出D项.
【详解】对于A项，由已知可得 ，
令 ，则 .
解 可得， ，所以 在 上单调递增；
解 可得， ，所以 在 上单调递减.所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 ，
所以， 恒成立，即 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，故选项A正确；
对于B项，由A可知， 在 上单调递增，故B项错误；
对于选项C，设切点 的坐标为 ，
根据导数的几何意义可知，切线的斜率 ，
所以过 的切线方程为 .
又切线经过原点，所以有 ，
整理为 .
令 ，有 ，
当 时， ，有 ；当 时， ，有 .
所以 恒成立，函数 单调递增.
又由 ， ，
根据零点存在定理可得函数 在区间 内有且仅有一个零点.
故过原点 仅有一条直线与曲线 相切，选项C正确；
对于D选项，若 ，有 ，
由函数 单调递增，有 ， .
令 ，有 ．
令 ，有
（当且仅当 时取等号），
可得 恒成立，所以函数 单调递增.
又由 ，
所以 时， ， ，所以 在 上单调递减；
时， ， ，所以 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 ，
所以 ，故 成立，选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的
数量为______盏.
【答案】30
【解析】
【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得.
【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列 ，公比 ， ，前6项和 ，
于是 ，解得 ，
所以底层所开灯的数量为30盏.
故答案为：30
13. 已知 ， ，若 ，则 的最小值为_________.【答案】3
【解析】
【分析】合理分析题意，利用同构得到 ，再利用导数确定 的单调性，消元后把目标
式变为一元函数，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，易得 定义域为 ，
而 ，所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等，此时解得 .
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用同构思想得到 ，然后化简目标式，
由基本不等式得到所要求的最值即可．
14. 设 为双曲线 的一个实轴顶点， 为 的渐近线上的两点，满足
， ，则 的渐近线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得 ，再求 的正切值，进而即可求得渐近线
方程.
【详解】根据题意，作图如下：依题意， 为 的角平分线，且 ，
设 ，由角平分线定理可得： ，则 ；
在 中，由余弦定理 ；
在 中，由余弦定理可得， ，
.
即 ，解得
故 ， ，
所以 的渐近线方程是 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：
①直接求出 ，从而得解；
②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，从而得解；
③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 已知命题 ：“ ， ”为假命题，设实数 的所有取值构成的集合为 .
（1）求集合 ；（2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
的
【分析】（1） 为假命题时，既可转化为关于 一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由 是 的必要不充分条件可得 ，然后分 为空集和非空集两种情况讨论即可.
【小问1详解】
因为命题 为假命题，故关于 的一元二次方程 无解，
即 ，解得 ，故集合 ；
【小问2详解】
由 是 的必要不充分条件，可知 ，
当 时，既 ，解得 ，此时满足 ，
当 时，如图所示，
故 且等号不同时成立，
解得 ，
综上所述， 取值范围是 .
的
16. 在 中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足 .
（1）求 的大小的
（2）若 ， ，求 面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，求解角度即可.
（2）利用余弦定理求出边长，结合三角形面积公式求解面积即可.
【小问1详解】
因为 ，且在 中， ，
所以 ，由正弦定理得 ，
所以 ， ，
故 ， ，所以 .
【小问2详解】
在 中，由余弦定理得 ，解得 (负根舍去)，
所以 .
17. 如图，在直四棱柱 中，四边形 是矩形， ，点
是棱 上的一点，且 .（1）求证：四边形 为正方形；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证 ，再由条件推导 平面 ，得到 即可证得；
（2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
如图，连接 ，在直四棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以
，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又四边形 是矩形，所以四边形 为正方形；
【小问2详解】如图，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，
故可取 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
所以
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得
驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．
机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾
驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目
三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为 ，科目二：平均通过的概率为 ，科目三平均通过的概率为 ．该驾校王教
练手下有4名学员参加驾驶员考试．
（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降
为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?
（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据： ，
【答案】（1）分布列见解析， ，
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ，分步计算即可；
（2）增加k（k为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为 ，若这4名学员都
能通过考试并领取驾驶证，有 ，利用用对数运算求解不等式.
【小问1详解】
1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为 ，根据题意可知 ，
X的取值分别为0，1，2，3，4，
，
，
，，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
， ；
【小问2详解】
增加k（k为正整数）天学习后，
每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为 ，
若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有 ，
有 ，有 ，有 ，
又由
．
可得 ，
故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．
19. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）已知 有两个极值点.
（ⅰ）求 的取值范围；（ⅱ）若 的极小值小于 ，求 的极大值的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于 有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设
有两个不同的正实数根 ，根据单调性可知 的极值点 ，结合零点代换
可得 ，构建 ，结合单调性分析可得 ，
则 ，即可得取值范围.
【小问1详解】
当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】（ⅰ）由题意可知： 的定义域为 ， ，
令 ，可得 ，
原题意等价于 有两个不同的正实数根，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
可知 ，所以 的取值范围 ；
（ii）由（i）可知： 有两个不同的正实数根 ， ，
不妨设 ，可知 ，
当 时， ；当 或 时， ；
可知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 为 的极小值点， 为 的极大值点，
对于 的极值点 ，则 ，
可得 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 上单调递减，则 ，可知 ，则 ，
又因为 在区间 上单调递增，则 ，
所以 的极大值的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程 的根，再检查 在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程 在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 根的大小或存在情况来求解；
（4）求函数f(x)在闭区间 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ， 与
的各极值进行比较，从而得到函数的最值．
