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高三数学10月测试答案
一． 单选：BBCBD DAA
二． 多选：9.ABD 10.BCD 11.ABD
三． 填空：12. 13. 14.
四． 解答题： ②③④
15.【详解】（1） ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ；
（2）由余弦定理得 ，
2π
又A= ， ，所以 ，
3
故 ，所以 ，
π
故B=C= ，
6
( 5π) ( π) (π 5π) (π π) √3−1
所以cos B− +sin C+ =cos − +sin + = ；
6 2 6 6 6 2 2
16.【详解】（1）因为函数f (x)=log ( 2x+a+ 1 ) 的定义域为R，
1 2x
2
所以 恒成立，所以 恒成立，
令 ，则 ，所以 在(0,+∞)上恒成立，
即 时， 恒成立，令 ， ，
由 ，x∈(0,1)时， ，x∈(1,+∞)时， ，
学科网（北京）股份有限公司因此 在(0,1)上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
故 ，即 的取值范围为 ；
（2）当 时，f (x)=log ( 2x+ 1 ) ，
1 2x
2
因为 的定义域为R，定义域关于原点对称，
又因为f (−x)=log ( 2−x+ 1 ) =log ( 1 +2 x ) =f (x)，
1 2−x 1 2x
2 2
所以 为偶函数.
当 时，f (x)=log ( 2x+ 1 ) ，令 ，
1 2x
2
令 ， ， ，
又 时， ，所以 在 上单调递增，
y=log x
即 在 上单调递增，又 1 在定义域上为减函数，
2
所以函数 在(0,+∞)上单调递减，又函数 在定义域上为偶函数，
所以函数 在 上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
因为 ，所以|t+1|<|1−2t|，
即(t+1) 2<(1−2t) 2，解得t>2或t<0，
故原不等式解集为(−∞,0)∪(2,+∞).
17.【详解】（1）由题意可得：
1+cos2x
f (x)=2√2 +√2sin2x−√2=√2cos2x+√2sin2x
2
学科网（北京）股份有限公司( π)
=2cos 2x−
4
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ．
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ．
[ 11π]
（2）若∃x∈ 0, ，使f (x)≤−a2+2a+2成立
24
等价为f (x) ≤a2−2a+2
min
[ 11π] π [ π 2π]
因为x∈ 0, ，所以2x− ∈ − , ，所以f (x)∈[−1,2]，
24 4 4 3
11π
当x= 时f (x) =−1
24 min
所以f (x) =−1≤−a2+2a+2 ，
min
所以a2−2a−3≤0
所以a∈[−1,3]
18. 【详解】
（1）将a=2代入，对 求导，
可得 ，
因为 ，所以 ，即y=f (x)的定义域为 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以ℎ(x)在 上单调递增，又 ，
所以当 时，f'(x)<0，y=f (x)单调递减，
当x∈(0,+∞)，f'(x)>0，y=f (x)单调递增，
则在 ，y=f (x)无极大值，只有极小值为 ，
所以当a=2时，函数y=f (x)的极小值为0，无极大值.
（2）根据题意知f (x)=(1+ax)ln(1+x)−x，
1+ax (a−1)x
则f'(x)=aln(1+x)+ −1=aln(1+x)+ ，
1+x 1+x
(a−1)x
设g(x)=f'(x)=aln(1+x)+ ，
1+x
a a−1
则g'(x)= +
，
1+x (1+x) 2
因为当 时， 恒成立，且 ，
1
所以g'(0)=2a−1≥0，得a≥ ，
2
1
故a≥ 是原不等式成立的必要条件,
2
在证明必要条件也是充分条件，
1 a a−1 1 1 x
当a≥ ， 时，g'(x)= + ≥ − = ≥0，
2 1+x (1+x) 2 2(1+x) 2(1+x) 2 2(1+x) 2
所以f'(x)在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
[1 )
综上可得 的取值范围为 ,+∞ .
2
19【详解】(1) 的定义域为 ，假设存在实数 ，对于定义域内的任意 均
学科网（北京）股份有限公司有 成立，则 ，
化为 ，由于上式对于任意实数x都成立： ，
解得
是函数 的“伴随数对”， ；
(2) 函数 ，
，
，
，
都成立， ，
，
，又 ，
故 ，
当 时， ，
当 时， ，
的“伴随数对”为 ；
(3) 都是函数 的“伴随数对”，
，
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，则 ，此时 ，
当 时，则 ，此时 ，
当 时，则 ，此时 ，
，
，
当 时，函数 的零点为 .
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