2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合M ={-1,0,1}，N ={0,1,2}，则M N =
U
A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2} D.{0,1}
2．已知复数Z满足(3+4i)z =25，则Z=
A.3-4i B.3+4i C.-3-4i D.-3+4i
ì y£ x
ï
3．若变量x,y满足约束条件íx+ y£1且z =2x+ y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n=
ï
y³-1
î
A.8 B.7 C.6 D.5
x2 y2 x2 y2
4．若实数k满足0<k <9，则曲线 - =1与曲线 - =1的
25 9-k 25-k 9
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等
5．已知向量a=1,0,-1，则下列向量中与a成60°夹角的是
A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成
原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
近视率/%
小学生
高中生
3500名
2000名 50
初中生 30
4500名
10
O 小学 初中 高中 年级
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10
7．若空间中四条两两不同的直线l ,l ,l ,l ，满足l ^l ,l ^l ,l ^l ，则下面结论一定正确的是
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
A.l ^l B.l //l C.l ,l 既不垂直也不平行 D.l ,l 的位置关系不确定
1 4 1 4 1 4 1 4
8．设集合A= x ,x ,x ,x ,x x Î{-1,0,1},i =1,2,3,4,5 ，那么集合A中满足条件“
1 2 3 4 5 i
1£ x + x + x + x + x £3”的元素个数为
1 2 3 4 5
A.60 B.90 C.120 D.130
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式 x-1+ x+2 ³5的解集为 。
10．曲线y =e-5x +2在点(0,3)处的切线方程为 。
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
a
12．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC +ccosB = 2b，则 =
b
。
第1页 | 共4页13．若等比数列 a 的各项均为正数，且a a +a a = 2e5，则lna +lna + +lna =
n 10 11 9 12 1 2 L 20
。
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 和C 的方程分别为rsin2q=cosq和
1 2
rsinq=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线
C 和C 交点的直角坐标为_________.
1 2
D C
15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中，
点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F ，则
CDF的面积 F
=
AEF的面积
A E B
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
5 3
16．（本小题满分12分）已知函数 f(x) = Asin(x+ ),xÎR，且 f( ) = ，
4 12 2
（1）求A的值；
3 3
（2）若 f(q)+ f(-q) = ，qÎ(0, )，求 f( -q)。
2 2 4
17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），
获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述
数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25,30 ] 3 0.12
(30,35 ] 5 0.20
(35,40 ] 8 0.32
(40,45 ] n
1
f
1
(45,50 ] n
2
f
2
（1）确定样本频率分布表中n ,n , f 和 f 的值；
1 2 1 2
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］
的概率。
第2页 | 共4页18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD^平面ABCD，ÐDPC =300，
AF ^ PC于点F ，FE//CD，交PD于点E.
（1）证明：CF ^平面ADF A B
（2）求二面角D-AF -E的余弦值。
D
C
E
F
P
19．（本小题满分14分）设数列a 的前n和为S ,满足S =2na -3n2 -4n,nÎN*，且
n n n n+1
S =15，
3
(1)求a ,a ,a 的值;
1 2 3
(2)求数列a 的通项公式。
n
x2 y2 5
20．（本小题满分14分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0)，离心率为
a2 b2 3
，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x ,y )为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
0 0
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21．（本小题满分14分） 设函数 f(x)= ，其中k <-2，
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
（1）求函数 f(x)的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数 f(x)在D上的单调性；
（3）若k <-6，求D上满足条件 f(x)> f(1)的x的集合（用区间表示）。
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