文档内容
2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷
参考答案
第一部分（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B D C A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD BD ABD
第二部分（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． ； 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
令 ，解得 .（2分）
与 在区间 上的情况如下：
x
- 0 +
1
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学科网（北京）股份有限公司极小值
故 的增区间为 ，减区间为 .（6分）
（2）当 时，“ ”恒成立等价于当 时，“ ”恒成立，
令 ， ，则 ， .（8分）
当 时， ，所以 在区间 上单调递减.
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.（10分）
而 ， ，
所以 在区间 上的最大值为 .
所以当 时，对于任意 ，都有 .
综上所述，满足题意的实数 的取值范围是 .（13分）
16．（15分）
【解析】（1） 列联表如下表
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设为 体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关.
2
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学科网（北京）股份有限公司.
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错
误的概率不超过0.01.（6分）
（2）方法一：设事件 “随机抽取一人体育锻炼达标”，事件 “随机抽取一人体能测试合格”，
则 ， ， ， .
所以 ；（10分）
的可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3
P
3
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学科网（北京）股份有限公司所以 .（15分）
方法二：设事件 “随机抽取一人体育锻炼达标”，事件 “随机抽取一人体能测试合格”，则
， ， ， .
所以 .（10分）
因为 .
所以 ， .
所以 .（15分）
17．（15分）
【解析】（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有 种方法；
第二步，排好出场顺序，有 种方法，
所以，共有 种不同的安排方法.（5分）
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有 种方法；
第二步，排好出场顺序，有 种方法，
4
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学科网（北京）股份有限公司所以，共有 种不同的安排方法.（5分）
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为 ；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为 ；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为 ；
第二步，排好出场顺序，有 种排法，
所以，共有 种不同的安排方法.（15分）
18．（17分）
【解析】（1）取BC中点E，连接AE、 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 为正三角形，
∴ ，
又∵ ， ， 平面 ，
5
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学科网（北京）股份有限公司∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .（7分）
（2）∵平面 平面 ，
由（1）知 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
又 ，
所以 ， ， 两两互相垂直，（9分）
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
6
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，（11分）
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，
取 ，则 ， .
∴ ，（13分）
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，
取 ，则 ， ，
7
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，（15分）
∴ ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 （17分）
19．（17分）
【解析】（1） ，由题意有 ，
解得 ，由于 为整数，故 ．（6分）
（2）①证法1：设 的分布列为 ，
其中 ， ，记 ，则对任意 ，
．（10
分）
证法2：由马尔科夫不等式，得 ．（10
分）
② ，则 ， ．
由题意， ，即 ， ，也即 ．
8
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学科网（北京）股份有限公司由切比雪夫不等式，有 ，
从而 ， ，估计 的最小值为45．（17分）
9
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