文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷06·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B A C A A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AC AD BD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0.39 14．-1 15． 16．14
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
18．（12分）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，.
由正弦定理得：，
即，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）因为，所以，在中，，
在中，由正弦定理得，
即，即，（*）
又因为在中，，，
从而，
代入（*）式得，
即，
所以.
19．（12分）
【答案】(1)
(2)① ；②
【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：，
故这20个乡镇的平均降雨量为
．
（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为，
故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为个．
②若按分层抽样抽取5个乡镇，
故降雨强度为暴雨的有个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，
设事件表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”．
分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，
所以，
故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为．
20．（12分）
【答案】(1)棱PB上存在点N，；
(2)
【详解】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线，交BE于点F，BP于点N，
因为，平面PDC，所以平面PDC，
因为，，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
又，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以．
综上，棱PB上存在点N，使平面PDC，且．
（2）设，又，，所以，，
又，所以和为等边三角形，
设O为CD的中点，连接OP，OB，则，，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，
又平面ABCD，，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设平面MDC的法向量为，
则即可取，
设平面MDB的法向量为，
则即可取，
所以，
故二面角的正弦值为．21．（12分）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，故，
又，C的两条渐近线方程分别为，
设，则，即
所以，所以，，故C的方程为．
（2）由（1）知，设直线PF的方程为，，，，
联立得，
则，，
因为P是C右支上的点，所以，
，
联立，得，
则，，
，
又，所以，解得，
所以．
【点睛】关键点睛：第（2）小问求的运算能力是关键，本题考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲
线的综合应用，属于较难题.
22.(12分）
【答案】(1)函数在上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，而，
由于，故，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）得，又，即，
所以.
不妨设，所以.
由（1）得：当时，函数单调递增，故有：，
即，
所以
所以，故.
设, 则 , 因为 , 所以 , 即函数 在 上是增加的.
又, 所以 ,即 ,
所以，
故要证：，可证：，
要证，可证：
下证，
由于，
设，令，则，
所以函数在区间上单调递增，所以，
故，即成立.
综上有：，
故有，得证.
【点睛】关键点睛：第（2）问中，由函数单调递增，化简得，再利用转化思想和换元法是解题关键.本题
考查转化思想，整体换元思想，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题..
