长春市2026届高三质量监测（一）数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年01月高三试卷_0106吉林省长春市2026届高三质量监测（一）（长春一模）

2026 年长春市高三毕业班质量监测（一） （1）求ac的值； （2）若bsinC 2 2，求AC边上的高BD. 数学答案 【详解解答】 1 5 2 （1）△ABC的面积S  acsinB ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 答案 B D B B C C A D 2 2 又sinB ， 题号 9 10 11 3 答案 AC ACD BC 15 则ac . （6分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2 12. (x2)2  y2 4或x2 y24x0. 2 2 （2）bsinC csinB2 2，又sinB ， 3 13. e2 5 则c3，a . 2 14. 5 由余弦定理，b2 a2 c2 2accosB 25 92 5 3( 1 ) 81 ， 3 4 2 3 4 9 则b ， 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 15.（13分） 1 1 9 5 2 由面积桥可知S  bh  h ， x2 y2 1 2 2 2 2 已知椭圆  1（ab0）的离心率为 ，右焦点F(1,0). a2 b2 2 10 2 10 2 则h ，即AC边上的高BD为 . （15分） （1）求椭圆的标准方程； 9 9 （2）过F 且倾斜角为45的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|. 【详解解答】 17.（15分） x2 y2 1 （1）由椭圆  1（ab0）的离心率为 ，可设ct，a2t，则b 3t ， S a2 b2 2 已知S 为数列{a }的前n项和，若S 6，S 42，且数列{ n}为等差数列. n n 2 6 n 由右焦点F(1,0)，可知ct1，则a2，b 3， （1）求数列{a }的通项公式； n 即椭圆的标准方程为 x2  y2 1. （6分） （2）若数列{b }的首项为2，且 b n1  a n ，求数列{b }的前n项和T . 4 3 n b a n n n n2 （2）过F 且倾斜角为45的直线l的方程为x y1，与椭圆C x2  y2 1联立可得： 【详解解答】 4 3 S S S S （1）由题意， 2 3， 6 7，又数列{ n}为等差数列，则{ n}的公差为1. 6 9 3(y1)2 4y2 120，即7y26y90，可得y  y  ，y y  . 2 6 n n 1 2 7 1 2 7 S 即 n n1，则S n2n. 6 9 24 n n 所以|AB| 1t2  (y y )2 4y y  2 ( )24( )  . 1 2 1 2 7 7 7 S 当n≥2时，a S S 2n，当n1时， 1 2，即a 2， （13分） n n n1 1 1 数列{a }的通项公式为a 2n. （6分） n n b a 16. （15分） （2） n1  n ， b a 1 n n2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB ，且△ABC的 b a 3 n  n1 b a 5 2 n1 n1 面积为 . 2 数学答案 第1页（共5页） 数学答案 第2页（共5页）b a 由△ABC为锐角三角形，则CM nt，即取n2 2t2，即n 2t . n1  n2 b a   n2 n 又AB (2t,0,2t)，CE (t,n,t)(t, 2t,t)， 1 …… 设异面直线AB 与CE 所成角为， b a   1  2  1 |AB CE| 2t22t2 2 b a cos 1   ， 1 3 |  A  B  ||C  E  | 4t2 4t2  t22t2 t2 2 b aa 24 2 1 累乘可得 n  1 2   b a a 2(n1)2n (n1)n 异面直线AB 与CE 所成角的大小为45. 1 n1 n 1   4 1 1 （ii）ADAB (2t,0,2t)(2t,0,2t)，则D(t2t,0,2t) 由b 2，b  4(  )， 1 1 n n(n1) n n1 C  D  (t2t,n,2t)(t2t, 2t,2t)，n (n,t,n)( 2t,t, 2t) 2 数列{b }的前n项和T 4(1 1 ) 4n . （15分） 设直线CD与平面ABC 所成角为， n n n1 n1  1 1 |CDn | | 2t22 2t2  2t22 2t2| 4 则sin 2   ，  18.（17分） |CD||n 2 | (12)2t22t2 42t2  2t2 t2 2t2 5 如图，底面为锐角三角形的直棱柱 ABCABC 中， 1 1 1 1 C 1 则 . （17分） AC BC ，AA  AB，点D在线段AB 上，且满足  A  D    A  B  ， B1 4 1 1 1 A 点E为BB 的中点. 1 D 1 （1）当 3 时，证明：DE//平面ABC； E 19.（17分） 4 1 已知函数 f(x) xlnx. （2）若平面AAC 与平面ACB 所成角的余弦值为 15 . C B （1）求 f(x)在x1处的切线方程； 1 1 1 1 15 （2）若x(0,)，使 f(x1)asinx0恒成立，求实数a的取值范围； A （i）求异面直线AB 与CE 所成角的大小； 1 n i 1 3 （3）证明： sin ln(n1). （ii）已知直线CD与平面ABC 所成角的余弦值为 ，求的值. i1 i 1 1 5 i1 【详解解答】 【详解解答】 （1） f(x)1lnx， f(1)1且 f(1)0. 3 （1）由 ，连结AB可得：DE// AB， 则 f(x)在x1处的切线方程为yx1. （4分） 4 1 1 （2）由 f(x1)asinx0，可得(x1)ln(x1)asinx0， DE// AB  A 1 B平 1 面A 1 BC   DE// 平面A 1 BC. （4分） 设g(x)(x1)ln(x1)asinx g(x)1ln(x1)acosx （2）（i）取AB中点M ，AB 中点M ， 1 1 1 令h(x) g(x)1ln(x1)acosx 以M 为原点，以MA方向为x轴，以CM 方向为y轴， 1 以MM 方向为z轴，建立如图所示坐标系. h(x) asinx（x(0,)）且g(0)0，g(0)1a 1 x1 设AA  AB2t，CM n， 1 （i）当a≥0，x(0,)时，显然g(x)中的(x1)ln(x1)0，asinx≥0，则g(x)0 则A(t,0,0)，C(0,n,0)，C (0,n,2t)，B(t,0,2t)，E(t,0,t) 1 1 恒成立.   CA(t,n,0)，CC (0,0,2t)， 1 1 （ii）1a0，x(0,)时，h(x) asinx0，则g(x)单调递增. 则平面AAC 的法向量n (n,t,0)； x1 1 1 1   g(x)g(0)1a≥0 AB (2t,0,2t)，CB (t,n,0)， 1 1 1 g(x)在x(0,)单调递增，g(x) g(0)0，所以g(x)0恒成立. 则平面ACB 的法向量n (n,t,n)； 1 1 2 1 |n n | |n2t2| 15 （iii）当a1，x(0,)时，h(x) asinx0，则g(x)单调递增. cos 1 2   ， x1 |n 1 ||n 2 | n2t2  2n2 t2 15 经计算可得n2 2t2或13n2 7t2. 数学答案 第3页（共5页） 数学答案 第4页（共5页）    g(0)1a0，又g( )1ln( 1)acos 0，则必然存在一个x (0, )， 2 2 2 0 2  使得g(x)0，且有x (0, )时，g(x)0，g(x)单调递减. 0 2 此时g(x)g(0)0不满足恒成立条件 综上所述，a≥1.（10分） （3）由（2）得(x1)ln(x1)≥sinx 1 ln(x1)≥ sinx x1 1 1 1 2 1 1 当x1时，ln( 1)≥ sin ，即ln ≥ sin 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 当x 时，ln( 1)≥ sin ，即ln ≥ sin 2 2 1 2 2 21 2 1 2 1 1 1 1 4 3 1 当x 时，ln( 1)≥ sin ，即ln ≥ sin 3 3 1 3 3 31 3 1 3 …… 1 1 1 1 n1 n 1 当x 时，ln( 1)≥ sin ，即ln ≥ sin n n 1 n n n1 n 1 n n i 1 即 sin ln(n1). （17分） i1 i i1 数学答案 第5页（共5页）