文档内容
2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）
理 科 数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域求得 ，进而求得 ，根据函数的值域求得 ，进而求得 .
【详解】 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 .
故选:A
2．已知复数 的虚部是2，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算，化简 ，结合虚部为2求出a的值，即可得复数 ，再根据模的计
算公式，即可得答案；
【详解】 ，则 ，
解得 ，则 ，则 ，
故选：A．
3．执行如图所示的程序框图，若输出p的值为21，则空白框内可以填入的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】模拟程序 ，可知输出p的值为21时， 的取值，即可得解.
【详解】执行程序框图：
， ，进入循环， ，是；
， ，是；
， ，否，结束循环．
输出p的值为21，
所以结合选项知选B．
故选：B
4．已知 中， ， ， ，O为 所在平面内一点，且 ,
则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理即可解决问题.
【详解】 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴
故选：C.
5．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
6．已知长方形ABCD中， ，E，H分别是AB，AD的中点，F是BC边上靠近B的三等分点，G是
DC边上靠近D的四等分点．现往长方形ABCD中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有（ ）
A．46个 B．48个
C．54个 D．72个
【答案】A
【分析】根据已知可分别长方形及阴影部分的面积，再根据几何概型即可求解.
【详解】依题意，不妨设 ，则 ，落在阴影部分的点有n个，
结合题中图形易知长方形ABCD的面积为 ，
阴影部分的面积 ，
由几何概型得 ，解得 ，
即落在阴影部分内的点有 个.
故选：A．
7．已知平面直角坐标系中，角 的终边不在坐标轴上，则“ ”是“ 是第四象限角”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用不同象限角的三角函数值的符号可知， 不在第二象限和第三象限，对 在第一象限和第四
象限进行分类讨论即可得出结论.
【详解】显然 在第二象限和第三象限不等式均不成立，
若 在第一象限，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
可知 ，即 ，故 不成立；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若 在第四象限，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
可知 ，即 ，即 成立；
若 ，则可知 不在第二象限和第三象限；
当 在第一象限时，不妨取 ，则 ，不合题意；
所以 只能是第四象限角；
综上可知，“ ”是“ 是第四象限角”的充要条件.
故选：C
8．已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，圆 与C的一条渐近线相交，
且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为 ，结合弦长可得 ，运算求解即可.
【详解】设双曲线 的半焦距为 ，
则 ，解得 ，
且双曲线 的焦点在x轴上，所以双曲线 的渐近线为 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
可知圆 关于x轴对称，不妨取渐近线为 ，即 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，可得 ，
又因为圆 与双曲线C的一条渐近线相交弦长为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故选：D.
9．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在
劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情
怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则不同的派遣方案有（ ）
A．140 B．150 C．200 D．220
【答案】B
【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可.
【详解】当按照 进行分配时，则有 种不同方案，
当按照 进行分配时，则有 种不同方案，
故共有 不同的方案，
故选:B
10．已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，
，现先将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象得到 的最小正周期，进而求出 ,根据 的图象过点 求出 ，得到
的解析式, 根据三角函数图象的变换法则求出 的解析式,即可根据和差角公式求解.
【详解】记函数 的最小正周期为 ，由题意知 ，得 ，所以 ，故
．
因为 的图象过点 ，所以 ，得 ，又 ，所以
，故 ，
因为 的图象过点 ，所以 ，解得 ，所以 ．
将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 的图象，再将所得图象向左平移
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司个单位长度，得到函数 的图象，所以
，
故选:C．
11．已知椭圆 ，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中
点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意运用垂径定理和椭圆的对称性即可求解.
【详解】 轴时 ，故 ，
轴时 均为顶点， 为原点， ，故 ，
不垂直坐标轴时，设 ，和椭圆方程联立得
即
故 ，
故
故 ，即 ．
设 ，易知 ，则 时 ，
得点M的轨迹方程为 ，而 时也满足该方程，刚好构成完整的椭圆，且N为其对称中
心，
又椭圆 上的点到椭圆中心的距离 ，
所以 ．
故选：A.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．已知函数 ，实数 ， 分别满足 ， ，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于AB选项构造函数利用函数单调性比较大小进行判断.
对于CD利用函数为偶函数得到 的两个函数值相等，然后求出 上函数为单调递增函数，然后利用
单调性比较大小.
【详解】由 ，得 ．令 ，则 ，
所以当 时， ，当 ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，故选项A，B均错误．
因为 ，所以 的定义域为 ， ，所以 是偶函数．
易知 ，令 ，则 ，
所以 是 上的增函数．
因为 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 .
故选:C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，判断函数 的奇偶性求解即可.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】设 ，
的定义域为 ，
，
是奇函数，
， ，
，
.
故答案为： .
14．若 满足约束条件 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用线性规划作出可行域，直接求最优解即可.
【详解】如图，作出可行域，为一封闭三角形区域（包含边界），
易得三角形的顶点分别为 ， ，
作出直线 并平移，
当平移后的直线过点 时， 取得最小值，
且为 ．
故答案为：
15．已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为 ，且 ，该四棱锥的外接球的表面积为 ，
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，列出方程，求出半径与 的关系式，利用导函数得到其单调性和
最值情况，得到表面积的取值范围.
【详解】连接 相交于点 ，连接 ，则 ⊥平面 ，
球心 在 上，连接 ，则 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为正四棱锥 的底面边长为 ，所以 ，
在直角三角形 上，由勾股定理得 ，
即 ， ，解得 ，
由 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，此时 ，
又当 和 时， ，
所以 ，则 .
故答案为：
16．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ，则 周长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题利用正、余弦定理进行边角转化，将已知转化为角后，利用角的范围求三角函数的范围，从
而解出周长的范围.
【详解】由 ，得 ，
化简为 ，因为 为锐角，所以 ，
所以 ，即 ，因为 为锐角，所以 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由正弦定理 ，得 ，
，
故 的周长为
.
因为 且 为锐角三角形，
所以 ， ，
因为 ，整理得 ，
解得 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
即 周长的取值范围为 ．
故答案为： .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数
列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）当 时， 为等比数列，即 是4的常数列，.........................2分
故 ，......................................................................................................................................3分
当 时， ，................................................................................................................4分
当 时， ，............................................................................................................5分
∴数列 ， 均为公比为4的等比数列，
， ，.......................................................................................7分
..................................................................................................................................................8分
（2） ，........................................10分
∴当 时，数列 的前 项和为
................12分
18．（12分）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
，点 为棱 的中点，点 在棱 上，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（1）在平面 内过点 作 交 于点 ，连接 ，
则四边形 为平行四边形，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，..........................................................................................................1分
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，...................................2分
又 平面 ，所以平面 平面 ，.......................................3分
又 平面 ，所以 平面 ．.................................................................................4分
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，...................................................5分
又 ，所以 ，所以 ．
在 中， ，
又 ，所以 ，所以 ，....................................................................6分
又 平面 ，所以 平面 ．
过 作 ，则 平面 ，则 两两垂直，.................................................7分
所以以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ．..............................................................8分
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，故 ，............................................................................10分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，..........................................11分
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．..............................................................................12分
19．（12分）为了进一步推动智慧课堂的普及和应用， 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司调查，统计数据如表：
经常应
偶尔应用或者不应用 总计
用
农村
城市
总计
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 .
(1)补全 列联表，判断能否有 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中
随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有 个，求 的分布列和数学期望.
附：
.
【详解】（1）补全列联表如下：
经常应
偶尔应用或者不应用 总计
用
农村 40 40 80
城市 60 20 80
总计 100 60 160
.................................................................................................................................................................2分
...........................4分
所以有 的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.............................................................5分
（2）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是 ，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，
3个是城市学校，抽取2个，..............................................................................................................6分
则 可能取值为 .
...............................................9分
所以 的分布列为：
0 1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司.................................................................................................................................................................11分
的数学期望 ..............................................................................12分
20．（12分）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同交点
，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
【详解】（1） 抛物线 经过点 ， ，解得： ，
抛物线 ；..........................................................................................................................1分
由题意知：直线 斜率存在，设 ， ， ，
由 得： ，..............................................................................................2分
，解得： 或 ；..................................................................................3分
， ， ， ，..........4分
又直线 与 轴相交于 两点，
，
即 ，解得： 且 ；...................................................................................5分
综上所述：直线 斜率的取值范围为 ....................................................6分
（2）设点 ， ，
由 ， ， 知： 共线，即 在 轴上，
则可设 ， ， ，
， ， ，同理可得： ，
， 直线 ，..................................................8分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 得： ，同理可得： ，
， ，.....................................................10分
由（1）知： ， ，
，解得： ，
存在定点 满足题意.................................................................................................................12分
21．（12分）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
(2)若函数 ，且 恰有2个不同的零点，求实数 的取值范围．
【详解】（1）由题知， ， ，
，.....................................................................................................................................2分
曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
解得 ；......................................................................................................................................4分
（2）由题知 ， ，
恰有2个不同的零点，即 恰有2个不同的解，
即 恰有2个不同的解.................................................................................5分
设 ，
易知 单调递增，
恰有2个不同的解，...................................................................................................6分
设 ， ，则 恰有2个不同的零点，
，
当 时， ，当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，...................................................................................................................8分
要使 恰有2个不同的零点，则 ，即 ，...........................................9分
当 时， ， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 ，则 ，令 ，得 ，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递增，.........................................10分
当 时， ，
在区间 和区间 上各有1个零点，........................................................................11分
实数 的取值范围为 ．..........................................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ），曲线 （ 为
参数， ），曲线 （t为参数， ）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系．
(1)求 的极坐标方程；
(2)若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值．
【详解】（1）因为曲线 （其中 ），且 ，...........1分
所以 的极坐标方程为 ，即 ..............2分
（2）由题意可知：曲线 （ 为参数， ）表示过坐标原点，倾斜角为 的直线，
所以曲线 的极坐标方程为 ；...................................................................................................4分
曲线 （t为参数， ），即 ，
表示过坐标原点，倾斜角为 的直线，所以曲线 的极坐标方程为 ；................5分
可得 ，.............7分
注意到 ，则 ，.............................................................................8分
可得 面积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 面积的最大值为1...............................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的值．
【详解】（1）解：当 时， ．
当 时， ， 恒成立，故 ；............................................1分
当 时， ，由 ，得 ，故 ；.........................2分
当 时， ， 无解．...........................................................3分
故不等式 的解集为 ．............................................................................................5分
（2）由 ，得 ，
令 ， ，
作出函数 的图象及当 时函数 的图象，....................................................................7分
如图所示，
.................................................................................................................9分
数形结合可知当 时， 恒成立，故 ．...........................................................10分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
