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数 学
2024.5
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.设随机变量β~N(0,σ2),P(β<−2)=0.3，则函数f (x)=x2−βx+1无零点的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
2.已知复数z满足z(2−i)=1+i，则z的虚部是
3 3 3 3
A. − B. C. − i D. i
5 5 5 5
3.已知等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ．设甲：d>0；乙：{S }是递增数列，则
n n n
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
( m )
4.已知函数f (x)＝sinx 1+ 是偶函数，则m的值是
1−ex
A.－2 B. －1 C. 1 D. 2
x2 y2
5.已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ，O为原点，若以|F F |为直
a2 b2 1 2 1 2
径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F P|=❑√3|OP|，则C的离心率为
1
A. ❑√3 B. 2 C.❑√5 D.❑√6
6.已知a>0,b>0,且a+b=ab,则下列不等式成立的是
A. a+b≤4 B. log a+log b>2 C. blna>1 D. ❑√a+❑√b≥3
2 2
1 1
7.已知sinxcosy+cosxsiny= ,cos2x−cos2y= ,则sin(x−y)=
2 4
1 1 3 1
A. B. C.− D. −
2 4 4 4
8. 已 知 函 数 f (x),g(x)均 是 定 义 在 R上的连续函数,g'(x)为 g(x)的 导 函 数 , 且
f (x+1)+g(x+2)=2,f (x−1)−g(4−x)=4，若f (x)为奇函数，则下列说法正确的是
A.f (x)是周期函数 B.y=g(x+2)为奇函数
C.y=g'(x)关于x=2对称 D.存在x∈N，使f (x)=2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
学科网（北京）股份有限公司9.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:x2=8 y,
阿基米德三角形PAB，弦AB过C的焦点F,其中点A在第一象限，则下列说法正确的是
A.点P的纵坐标为−2 B.C的准线方程为x=−2
C.若|AF|=8,则AB的斜率为❑√3 D.∆PAB面积的最小值为16
10.如图在四棱柱 ABCD−A B C D 中，底面四边形 ABCD是菱形，∠ADC=120°，
1 1 1 1
AC⋂BD=O， A
1
O⊥平面 ABCD, A
1
O=BD=2，点C'与点C关于平面 BC
1
D对称，
过点C'做任意平面α，平面α与上、下底面的交线分别为l 和l ，则下列说法正确的是
1 2
A.l //l
1 2
B.平面BC D与底面ABCD所成的角为30°
1
C.点C到平面BC D的距离为1 D.三棱锥C'−ABD的体积为
1
❑√3
2
11.在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次
数X服从二项分布B(n，p)，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广
1
泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，我们称Y服从“几何分布”，经过计算E(Y)= ，
p
由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和A都发生后停止，此时所进行的试验次数
记为Z，则P(Z=k)=(1−p) k−1p+pk−1 (1−p),k=2,3,⋯,那么下列说法正确的是
A.P(X=5)=5p(1−p) 4 B.P（Y =k）=p(1−p) k−1,k=1,2,3,⋯,
4 1
C.P(Y =3)的最大值为 D.E(Z)= −1
27 p(1−p)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量⃗OP＝(1, 2)，将⃗OP绕原点O顺时针旋转90°到⃗OP 的位置，则⃗OP ∙⃗P P=
1 1 1
.
13. 已 知 圆 ， 圆 ， 直 线 与 圆 分 别 相 交 于
M:x2+ y2=4 N:(x−4) 2+(y−4) 2=4 l M、N
四点，若 ,则直线 的方程可以为 （写出一条满
A、B、C、D S =S =❑√3 l
∆ABM ∆CDN
足条件的即可）.
学科网（北京）股份有限公司14.在 中,角 所对的边分别为 ，函数 ( π)，
∆ABC A,B,C a,b,c f (x)=2sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<
2
图象的相邻两对称轴间的距离为π，且 (π) 将 的图象向右平移π个单位得到
f (x) f =1, y=f (x)
2 3 6
y=g(x)的图象且g(A)=2，∆ABC的内切圆的周长为2π.则∆ABC的面积的最小值为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)
已知A,B,C,D四名选手参加某项比赛，其中A,B为种子选手，C,D为非种子选手，种子选手对
3 1
非种子选手种子选手获胜的概率为 ，种子选手之间的获胜的概率为 ，非种子选手之间获胜的概
4 2
1
率为 .比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军。
2
（1）若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
（2）选手A与选手D相遇的概率为多少？
（3）以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.
16.(15分)
如 图 ， 在 五 面 体 ABCDEF中 ， 面 ADE⊥面 ABCD， ∠ADC=90°,EF//平 面
ABCD，AE=DE=DC=2EF,AB=3EF，二面角A−DC−F的平面角为60°.
（1）求证：ABCD是梯形；
（2）点P在线段AB上，且AP=2PB，求二面角P−FC−B的余弦值.
17.(15分)
学科网（北京）股份有限公司❑√3
已知椭圆C的两个顶点分别为 A(0,1)、B(0,−1),焦点在 x轴上，离心率为 ,直线
2
5
l：y＝kx− (k<0)与椭圆C交于M、N两点.
3
（1）求椭圆C的方程；
（2）当k变化时，是否存在过点A的定直线m，使直线m平分∠MAN？若存在，求出该定直线的方
程；若不存在，请说明理由．
18.(17分)
( 3m+3 2m2+5m+3)
已知函数f (x)=emx x2− x+ ,其中m≠0.
m m2
（1）求曲线y=f (x)在点（2，f (2)）处切线的倾斜角；
（2）若函数f (x)的极小值小于0，求实数m的取值范围；
（3）证明：2ex−2(x+1)lnx−x>0.
19.(17分)
设a,b∈Z,a≠0.如果存在q∈Z使得b=aq,那么就说b可被a整除(或a整除b),记做a|b且称b是
a的倍数,a是b的约数(也可称为除数、因数). b不能被a整除就记做a∤b.由整除的定义，不难得
出整除的下面几条性质：①若a|b,b|c,则 a|c；②a,b互质，若a|c,b|c,则ab|c；③若
n
其中
a|b ,则a|∑c b , c∈Z,i=1,2,3,⋯,n..
i i i i
i=1
（1）若数列{a }满足，a =2n−1 ，其前n项和为S ，证明：279|S ；
n n n 3000
（2）若n为奇数，求证:an+bn能被a+b整除；
n
（3）对于整数 与 ， , 求证： 可整除 .
n k F(n,k)=∑r2k−1 F(n,1) F(n,k)
r=1
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