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2019年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分） × ＝（ ）
A．4 B．4 C． D．2
3．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣ x2y3 D．﹣ y5
4．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ）
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．（3分）关于x的分式方程 ﹣ ＝0的解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于哪个象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝ （k＞
0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作
BE，CF 垂直 x 轴于点 E、F，OC 与 BE 相交于点 M，记△AOD、△BOM、四边形
CMEF的面积分别为S 、S 、S ，则（ ）
1 2 3A．S ＝S +S B．S ＝S C．S ＞S ＞S D．S S ＜S 2
1 2 3 2 3 3 2 1 1 2 3
10．（3分）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a ，b ）构成一个数组M
k k K
＝{a ，b }（其中k＝1，2…S，且将{a ，b }与{b ，a }视为同一个数组），若满足：对
k k k k k k
于任意的M＝{a，b}和M＝{a，b}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a+b≠a+b，则S
i i i j j j i i j j
的最大值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或
“＜”）．
12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，
现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 ．
13．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分
别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝ ．
14．（3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为 ．
15．（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分
线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 度．16．（3分）如图所示，AB为 O的直径，点C在 O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD
与线段OB相交于点E，满足⊙∠AEC＝65°，连接A⊙D，则∠BAD＝ 度．
17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今
有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何
步及之？“其意思为：速度快的人走 100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先
走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴
处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且
AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过
缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣ |+ 0﹣2cos30°．
π
20．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝ ．
21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为 ，且tan ＝ ，若直线AF与地面l 相交
1
α α
于点B，点A到地面l 的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l 与地面l
1 2 1
平行．
（1）求BC的长度；
（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，
且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l ，若小强的爸爸将汽车沿直线l 后退0.6米，
1 1
通过汽车的前端F 点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F 为点F
1 1
的对应点），求障碍物的高度．
22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的
最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温T（单位：℃） 需求量（单位：杯）
T＜25 200
25≤T＜30 250
T≥30 400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份
这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出
的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月
份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得
的利润为多少元？23．（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交
点，连接CE、DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝
，求正方形OEFG的边长．
24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝
（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为
（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．
（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝ AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结
OP，记△OPQ的面积为S△OPQ ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
①当T取最小值时，求m的值．
②25．（11分）四边形ABCD是 O的圆内接四边形，线段AB是 O的直径，连结AC、
BD．点H是线段BD上的一点⊙，连结AH、CH，且∠ACH＝∠C⊙BD，AD＝CH，BA的延
长线与CD的延长线相交于点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝ PD，AB+CD＝2（ +1）
求证：△DHC为等腰直角三角形；
①求CH的长度．
②
26．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
求该二次函数图象的顶点坐标；
①定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数
②的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝ c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象
与x轴分别相交于不同的两点A（x ，0），B（x ，0），其中x ＜0，x ＞0，与y轴相
1 2 1 2
交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且 OC＝OD，又点E的坐标为（1，
0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若 ＝ ，求二次函数的表达式．
