文档内容
2019年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【考点】17：倒数．
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【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣3×（﹣ ）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这
两个数互为倒数，属于基础题．
2．（3分） × ＝（ ）
A．4 B．4 C． D．2
【考点】75：二次根式的乘除法．
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【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解： × ＝ ＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣ x2y3 D．﹣ y5
【考点】34：同类项．
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【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解答】解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
C、﹣ x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；
第1页（共23页）D、﹣ y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
4．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ）
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
C、矩形的四个角都相等，正确；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键．
5．（3分）关于x的分式方程 ﹣ ＝0的解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于哪个象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
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【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
第2页（共23页）【解答】解：点A坐标为（2，﹣3），则它位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解
决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第
三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数．
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【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分
别列出方程，进行计算即可求出答案．
【解答】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到： （x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到： （x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到： （x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到： （x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故选：A．
【点评】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大
（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，
则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算
术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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第3页（共23页）【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝ （k＞
0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作
BE，CF 垂直 x 轴于点 E、F，OC 与 BE 相交于点 M，记△AOD、△BOM、四边形
CMEF的面积分别为S 、S 、S ，则（ ）
1 2 3
A．S ＝S +S B．S ＝S C．S ＞S ＞S D．S S ＜S 2
1 2 3 2 3 3 2 1 1 2 3
【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函
数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．
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【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S ＝S ，即可得到结论．
3 2
【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝ （k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，
BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S
1
＝ k，S△BOE ＝S△COF ＝ k，
∵S△BOE ﹣S
OME
＝S△CDF ﹣S△OME ，
∴S ＝S ，
3 2
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图
形是解题的关键．
第4页（共23页）10．（3分）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a ，b ）构成一个数组M
k k K
＝{a ，b }（其中k＝1，2…S，且将{a ，b }与{b ，a }视为同一个数组），若满足：对
k k k k k k
于任意的M＝{a，b}和M＝{a，b}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a+b≠a+b，则S
i i i j j j i i j j
的最大值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【考点】1B：有理数的加减混合运算；37：规律型：数字的变化类．
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【分析】找出a+b 的值，结合对于任意的M＝{a，b}和M＝{a，b}（i≠j，1≤i≤S，
i i i i i j i j
1≤j≤S）都有a+b≠a+b，即可得出S的最大值．
i i j j
【解答】解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴a+b 共有5个不同的值．
i i
又∵对于任意的 M ＝{a ，b}和 M ＝{a ，b}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有
i i i j j j
a+b≠a+b，
i i j j
∴S的最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a+b 共有几个不同的值是解题的关键．
i i
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a ＜ 0（填“＝”或“＞”或
“＜”）．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a＜0．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，
∴a＜0．
故答案是：＜．
【点评】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大
小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大
小，|a|越大开口就越小．
12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，
现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．
第5页（共23页）【解答】解：∵布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，
∴摸到白球的概率是 ＝ ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分
别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝ 4 ．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理．
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【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．
【解答】解：∵E、F分别为MB、BC的中点，
∴CM＝2EF＝2，
∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平
行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．（3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为 a ＜ 1 且 a 为有理数
．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】根据题意列出不等式，解之可得，
【解答】解：根据题意知2﹣a＞1，
解得a＜1，
故答案为：a＜1且a为有理数．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是
关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15．（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分
第6页（共23页）线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 6 6 度．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到
∠PAB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108度，
∵AP是∠EAB的角平分线，
∴∠PAB＝54度，
∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．
故答案为：66．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角
和定理．
16．（3分）如图所示，AB为 O的直径，点C在 O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD
与线段OB相交于点E，满足⊙∠AEC＝65°，连接A⊙D，则∠BAD＝ 2 0 度．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
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【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝
∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定
理即可得出答案．
【解答】解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
第7页（共23页）∴∠COE＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，
∴∠BAD＝ ∠BOD＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角
和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今
有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何
步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先
走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 25 0 步才能追到速度慢的人．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
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【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，
即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．
【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100﹣60）t＝100，
解得：t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
第8页（共23页）题的关键．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴
处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且
AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过
缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1. 5 ．
【考点】FH：一次函数的应用；KQ：勾股定理；P6：坐标与图形变化﹣对称．
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【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即： ，即：
，解得：a＝1，求出y ＝1+2＝3，同理可得：y ＝1.5，即可求解．
C D
【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，
过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，
第9页（共23页）方法一：∵△GOB为等腰三角形，
∴G （1，1），
∵B为CG中点，
∴C （﹣1，3），
同理D（﹣1，1.5），
∴CD＝3﹣1.5＝1.5
方法二：∠OGH＝∠CGE＝ ，设GH＝a，则GF＝2﹣a，
α
则tan∠OGH＝tan∠CGE，即： ，
即： ，解得：a＝1，
则 ＝45°，
∴GαE＝CE＝2，y
C
＝1+2＝3，
当光线反射过点A时，
同理可得：y ＝1.5，
D
落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，
故答案为1.5．
【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本
题关键是弄懂题意，正确画图．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣ |+ 0﹣2cos30°．
【考点】2C：实数的运算π；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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第10页（共23页）【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得
出答案．
【解答】解：原式＝ +1﹣2×
＝ +1﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可
解答本题．
【解答】解： ﹣
＝
＝
＝
＝
＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝﹣4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，
此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为 ，且tan ＝ ，若直线AF与地面l 相交
1
α α
于点B，点A到地面l 的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l 与地面l
1 2 1
平行．
第11页（共23页）（1）求BC的长度；
（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，
且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l ，若小强的爸爸将汽车沿直线l 后退0.6米，
1 1
通过汽车的前端F 点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F 为点F
1 1
的对应点），求障碍物的高度．
【考点】LB：矩形的性质；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三
角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】（1）由题意得到∠ABC＝∠ ，解直角三角形即可得到结论；
（2）过D作DH⊥BC于H，于是得到α四边形ADHC是矩形，根据矩形的性质得到AD
＝CH＝BE＝0.6，根据线段的中点的定义得到BM＝CM＝2.4米，求得EM＝BM﹣BE＝
1.8，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，∠ABC＝∠ ，
α
在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tan ＝ ，
α
∴BC＝ ＝ ＝4.8m，
答：BC的长度为4.8m；
（2）过D作DH⊥BC于H，
则四边形ADHC是矩形，
∴AD＝CH＝BE＝0.6，
∵点M是线段BC的中点，
∴BM＝CM＝2.4米，
∴EM＝BM﹣BE＝1.8，
∵MN⊥BC，
∴MN∥DH，
∴△EMN∽△EHD，
第12页（共23页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴MN＝0.6，
答：障碍物的高度为0.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题问题，牢固掌握仰角俯角的定
义是解题的关键．
22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的
最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温T（单位：℃） 需求量（单位：杯）
T＜25 200
25≤T＜30 250
T≥30 400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份
这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出
的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月
份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得
的利润为多少元？
第13页（共23页）【考点】V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；X8：利用频率估计概
率．
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【分析】（1）由条形图可得答案；
（2）用T＜25的天数除以总天数即可得；
（3）根据利润＝销售额﹣成本计算可得．
【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2＝8
（天）；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为 ＝ ；
（3）250×8﹣350×4+100×1＝700（元），
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为700元．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固
定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的
集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交
点，连接CE、DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝
，求正方形OEFG的边长．
第14页（共23页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
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【分析】（1）由正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC、BD，可得∠DOA＝
∠DOC＝90°，∠GOE＝90°，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可
利用“边角边”即可证两三角形全等
（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45°，由可得DH，MH 长，从而
求得HO，即可求得MO，再通过MH∥DG，易证得△OHM∽△ODG，则有 ＝ ，
求得GO即为正方形OEFG的边长．
【解答】解：
（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC，
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°
∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴在△DOG和△COE中
∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H
∵AM＝ ，DA＝2
第15页（共23页）∴DM＝
∵∠MDB＝45°
∴MH＝DH＝sin45°•DM＝ ，DO＝cos45°•DA＝
∴HO＝DO﹣DH＝ ﹣ ＝
∴在Rt△MHO中，由勾股定理得
MO＝ ＝ ＝
∵DG⊥BD，MH⊥DO
∴MH∥DG
∴易证△OHM∽△ODG
∴ ＝ ＝ ＝ ，得GO＝2
则正方形OEFG的边长为2
【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质
和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题
目，有一定的难度．
24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝
（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为
（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．
（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
第16页（共23页）（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝ AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结
OP，记△OPQ的面积为S△OPQ ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
①当T取最小值时，求m的值．
②
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx，即可求解；
（2） sin∠APQ＝ ＝ ＝sin ＝ ，则PA＝a＝ t，则点C（ t，2 t），T
① α
＝OH2﹣S△OPQ ＝（OC•sin ）2﹣ ×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t； 当t＝ 时，T取得最小值，
α ②
而点C（ t，2 t），即可求解．
【解答】解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，
解得：k＝2，
故一次函数表达式为：y＝2x，
（2） 过点B作BM⊥OA，
①
第17页（共23页）则∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝ ，
α
则tan ＝ ，sin ＝ ，
α α
∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），
设：AP＝a，则OC＝ a，
在△APQ中，sin∠APQ＝ ＝ ＝sin ＝ ，
α
同理PQ＝ ＝2t，
则PA＝a＝ t，OC＝ t，
则点C（ t，2 t），
T＝OH2﹣S△OPQ ＝（OC•sin ）2﹣ ×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，
α
∵4＞0，∴T有最小值，当t＝ 时，
②
T取得最小值，
而点C（ t，2 t），
故：m＝ t×2 t＝ ．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次
函数等知识，其中（2） ，确定点C的坐标，是本题解题的关键．
25．（11分）四边形ABCD①是 O的圆内接四边形，线段AB是 O的直径，连结AC、
BD．点H是线段BD上的一点⊙，连结AH、CH，且∠ACH＝∠C⊙BD，AD＝CH，BA的延
长线与CD的延长线相交于点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝ PD，AB+CD＝2（ +1）
求证：△DHC为等腰直角三角形；
①求CH的长度．
②
第18页（共23页）【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）由圆周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可证AD∥CH，由一组
对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；
（2） 由平行线的性质可证∠ADH＝∠CHD＝90°，由∠CDB＝∠CAB＝45°，可证
△DHC①为等腰直角三角形；
通 过 证 明 △ ADP∽ △ CBP ， 可 得 ， 可 得 ， 通 过 证 明
②
△CHD∽△ACB，可得 ，可得AB＝ CD，可求CD＝2，由等腰直角三
角形的性质可求CH的长度．
【解答】证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH
∴AD∥CH，且AD＝CH
∴四边形ADCH是平行四边形
（2） ∵AB是直径
∴∠A①CB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°
∴CH＝DH，且∠CHD＝90°
∴△DHC为等腰直角三角形；
∵四边形ABCD是 O的圆内接四边形，
②∴∠ADP＝∠PBC，且⊙∠P＝∠P
第19页（共23页）∴△ADP∽△CBP
∴ ，且PB＝ PD，
∴ ，AD＝CH，
∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°
∴△CHD∽△ACB
∴
∴AB＝ CD
∵AB+CD＝2（ +1）
∴ CD+CD＝2（ +1）
∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形
∴CH＝
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质等知识，求CD的长度是本题的关键．
26．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
求该二次函数图象的顶点坐标；
①定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数
②的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝ c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象
与x轴分别相交于不同的两点A（x ，0），B（x ，0），其中x ＜0，x ＞0，与y轴相
1 2 1 2
交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且 OC＝OD，又点E的坐标为（1，
0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延
长线与BC的延长线相交于点P，若 ＝ ，求二次函数的表达式．
第20页（共23页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1） 把a、b、c的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐
标． ①
根据定义，把y＝x代入二次函数y＝x2﹣2x﹣1，得x2﹣2x﹣1＝x，根据根的判别式可
②知满足此方程的x有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的“不动点”．
（2）由条件∠AFC＝∠ABC与 ＝ 联想到证△PFC∽△PBA的对应边的比，
即有 ．由DF⊥y轴且OC＝OD可得DF∥x轴，由平行线分线段定
理可证E也为CF中点，其中CE＝ ，CF＝2CE可用含c的式子表示．AB可用含
x ﹣x 表示，通过韦达定理变形和b＝ c3代入可得用a、c表示AB的式子．又由∠AFC
2 1
＝∠ABC和∠AEF＝∠CEB可证△AEF∽△CEB，对应边成比例可得式子AE•BE＝
CE•EF，把含c、x 、x 的式子代入再把韦达定理得到的x +x ＝﹣ ，x x ＝ 代入化
2 1 1 2 1 2
简，可得c＝﹣2a．即能用a表示CF、AB，代回到 解方程即求得a
的值，进而求b、c的值，得到二次函数表达式．
【解答】解：（1） ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（①x﹣1）2﹣2
第21页（共23页）∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）
证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x
②整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根
即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．
（2）把b＝ c3代入二次函数得：y＝ax2+ c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0）（x ＜0，x ＞0）
1 2 1 2
即x 、x 为方程ax2+ c3x+c＝0的两个不相等实数根
1 2
∴x +x ＝﹣ ，x x ＝
1 2 1 2
∵当x＝0时，y＝ax2+ c3x+c＝c
∴C（0，c）
∵E（1，0）
∴CE＝ ，AE＝1﹣x ，BE＝x ﹣1
1 2
∵DF⊥y轴，OC＝OD
∴DF∥x轴
∴
∴EF＝CE＝ ，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴ ，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x ）（x ﹣1）＝1+c2
1 2
展开得：1+c2＝x ﹣1﹣x x +x
2 1 2 1
第22页（共23页）1+c2＝﹣ ﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0
（c2+2）（c+2a）＝0
∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a
∴x +x ＝﹣ ＝4a2，x x ＝ ＝﹣2，CF＝2 ＝2
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x ＝16a4+8
1 2 1 2 1 2
∴AB＝x ﹣x ＝
2 1
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P
∴△PFC∽△PBA
∴
∴
解得：a ＝1，a ＝﹣1（舍去）
1 2
∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝ c3＝﹣4
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2
【点评】本题考查了求二次函数顶点式，一元二次方程的解法及根与系数的关系，相似
三角形的判定和性质，因式分解．第（2）题条件较多且杂时，抓住比较特殊且有联系
的条件入手，再通过方程思想不断寻找等量关系列方程，逐个字母消去，求得最终结果．
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日期：2019/12/22 11:01:05；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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