文档内容
2018年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号
下的方框里）
1．（3分）2018的相反数是（ ）
A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣
【考点】14：相反数．
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【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A．﹣3 B．2 C．0 D．1
【考点】W5：众数．
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【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，
所以众数为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数
据．
3．（3分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，
中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有 210万，请将“210万”用
科学记数法表示为（ ）
A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
第1页（共22页）【解答】解：210万＝2.1×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10 B．（3a3）2＝6a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
【考点】4I：整式的混合运算．
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【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a7，不符合题意；
B、原式＝9a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣a﹣6，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】先计算判别式得到△＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到
△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相
等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（3分）不等式组 的最小整数解是（ ）
第2页（共22页）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，
解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）如图所示立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在
视图中．
8．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于0，
可以求出x的范围．
第3页（共22页）【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥2且x≠3．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．（3分）将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表
达式为（ ）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此
题得解．
【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4．
化简，得
y＝2x﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下
减”是解题的关键．
10．（3分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置
中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位
置，则AB中水柱的长度约为（ ）
A．4cm B．6 cm C．8cm D．12cm
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH＝x，竖直放置时短软管
的底面积为S，易得AC＝2CH＝2x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面
积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S＝6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．
第4页（共22页）【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH＝x，竖直放置时短
软管的底面积为S，
∵∠BAH＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2CH＝2x，
∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，
∵x•S+x•2S＝6•S+6•S，解得x＝4，
∴AC＝2x＝8，
即AB中水柱的长度约为8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面
积为49，则sin ﹣cos ＝（ ）
α α
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．
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【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出 AC，然后根
据正弦和余弦的定义即可求sin 和cos 的值，进而可求出sin ﹣cos 的值．
【解答】解：∵小正方形面积为α49，大α正方形面积为169， α α
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即AC2+（7+AC）2＝132，
整理得，AC2+7AC﹣60＝0，
解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），
第5页（共22页）∴BC＝ ＝12，
∴sin ＝ ＝ ，cos ＝ ＝ ，
α α
∴sin ﹣cos ＝ ﹣ ＝﹣ ，
α α
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出
直角三角形的较短的直角边是解题的关键．
12．（3分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k的
函数f（k）＝[ ]﹣[ ]（k是正整数）．例：f（3）＝[ ]﹣[ ]＝1．则下列结论
错误的是（ ）
A．f（1）＝0 B．f（k+4）＝f（k）
C．f（k+1）≥f（k） D．f（k）＝0或1
【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．
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【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：f（1）＝[ ]﹣[ ]＝0﹣0＝0，故选项A正确；
f（k+4）＝[ ]﹣[ ]＝[ +1]﹣[ +1]＝[ ]﹣[ ]＝f（k），故选项B正确；
C、当k＝3时，f（3+1）＝[ ]﹣[ ]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故选项C错误；
D、当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所
以D选项的结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判
断各个选项中的结论是否成立．
二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）
第6页（共22页）13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝ 图象上
的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为 1 ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．
【解答】解：∵点P是反比例函数y＝ 图象上的一点，PA⊥x轴于点A，
∴△POA的面积为： AO•PA＝ xy＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解
题关键．
14．（3分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面
积分别为S 、S 、S ．则S ＜ S +S ．（填“＜”或“＝”或“＞”）
1 2 3 1 2 3
【考点】K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质；MI：三角形的内切圆与内心．
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【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义
可得PD＝PE＝PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，
∵P是△ABC的内心，
∴PD＝PE＝PF，
∵S ＝ AB•PD，S ＝ BC•PF，S ＝ AC•PE，AB＜BC+AC，
1 2 3
第7页（共22页）∴S ＜S +S ．
1 2 3
故答案为：＜．
【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心
的定义得PD＝PE＝PF．
15．（3分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完
必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、
历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A
已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理
科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性
相等，则选修地理和生物的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，
所以选修地理和生物的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要
注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
第8页（共22页）16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点
F，DE＝3cm，则BF＝ 6 cm．
【考点】K3：三角形的面积；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC ＝2S△ABD ＝2× AB•DE＝
AB•DE＝3AB，又S△ABC ＝ AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF．
【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC ＝2S△ABD ＝2× AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC ＝ AC•BF，
∴ AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴ BF＝3，
∴BF＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利
用面积公式得出等式是解题的关键．
17．（3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为
D、E、C，半径OC＝1，则AE•BE＝ 1 ．
第9页（共22页）【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得 ＝ ，推出AE•BE＝OE2＝1．
【解答】解：如图连接OE．
∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠BOE＝90°，
∴∠EAO＝∠EOB，
∵∠AEO＝∠OEB＝90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴ ＝ ，
∴AE•BE＝OE2＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的
关键是正确寻找相似三角形解决问题．
18．（3分）设a ，a ，a ……是一列正整数，其中a 表示第一个数，a 表示第二个数，依
1 2 3 1 2
此类推，a 表示第n个数（n是正整数）．已知a ＝1，4a ＝（a ﹣1）2﹣（a ﹣1）
n 1 n n+1 n
2，则a ＝ 403 5 ．
2018
第10页（共22页）【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【分析】由 4a ＝（a ﹣1）2﹣（a ﹣1）2，可得（a ﹣1）2＝（a ﹣1）2+4a ＝
n n+1 n n+1 n n
（a +1）2，根据a ，a ，a ……是一列正整数，得出a ＝a +2，根据a ＝1，分别求出
n 1 2 3 n+1 n 1
a ＝3，a ＝5，a ＝7，a ＝9，进而发现规律a ＝2n﹣1，即可求出a ＝4035．
2 3 4 5 n 2018
【解答】解：∵4a ＝（a ﹣1）2﹣（a ﹣1）2，
n n+1 n
∴（a ﹣1）2＝（a ﹣1）2+4a ＝（a +1）2，
n+1 n n n
∵a ，a ，a ……是一列正整数，
1 2 3
∴a ﹣1＝a +1，
n+1 n
∴a ＝a +2，
n+1 n
∵a ＝1，
1
∴a ＝3，a ＝5，a ＝7，a ＝9，
2 3 4 5
…，
∴a ＝2n﹣1，
n
∴a ＝4035．
2018
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a ＝a +2．
n+1 n
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（ ﹣3.14）0+（ ）﹣2﹣|﹣ |+4cos30°．
π
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．
【解答】解：（ ﹣3.14）0+（ ）﹣2﹣|﹣ |+4cos30°
π
＝1+9﹣ +4×
＝1+9﹣2 +2
＝10．
【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答
本题的关键是明确它们各自的计算方法．
第11页（共22页）20．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ • ＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝3+2 ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测
试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同
的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n＝ 1 0 ；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；
VC：条形统计图．
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【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人
数可得n的值；
（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）样本容量为18÷30%＝60；
第12页（共22页）（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）＝12人，n%＝ ×100%＝10%，
补全图形如下：
故答案为：10；
（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000× ＝2000人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统
计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，
和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，
在楼DE底端D点测得A的仰角为 ，sin ＝ ，在顶端E点测得A的仰角为45°，求
α α
发射塔AB的高度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】作EH⊥AC于H，设AC＝24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出
CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．
第13页（共22页）【解答】解：作EH⊥AC于H，
则四边形EDCH为矩形，
∴EH＝CD，
设AC＝24x，
在Rt△ADC中，sin ＝ ，
α
∴AD＝25x，
由勾股定理得，CD＝ ＝7x，
∴EH＝7x，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH＝7x，
由题意得，24x＝7x+340，
解得，x＝20，
则AC＝24x＝480，
∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28，
答：发射塔AB的高度为28m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、
仰角俯角的概念是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种
型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日
处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
第14页（共22页）（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产
品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购
买费用最少，为什么？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日
处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整
数，得出x＝1，2，3．进而求解即可；
（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．
【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，
根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，
解得x≤3 ，
∵x为正整数，
∴x＝1，2，3，
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；
方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；
方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；
（2）各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9＝42.6＞40，实际付款：42.6×0.9＝38.34（万元）；
方案二：3×2+4.4×8＝41.2＞40，实际付款：41.2×0.9＝37.08（万元）；
方案三：3×3+4.4×7＝39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；
∵37.08＜38.34＜39.8，
∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的
不等关系是解决问题的关键．
24．（9分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB
＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
第15页（共22页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
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【分析】 （1）首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再利用 ASA 证明
△AOE≌△COF；
（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF．
（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，
∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AD＝BC，
∴DE＝BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OB＝OD，EF⊥BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，C、D是以AB为直径的 O上的点， ＝ ，弦CD交AB于点E．
⊙
第16页（共22页）（1）当PB是 O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
（2）求证：BC⊙ 2﹣CE2＝CE•DE；
（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）由 AB 是 O 的直径知∠BAD+∠ABD＝90°，由 PB 是 O 的切线知
∠PBD+∠ABD＝90°，据此⊙可得答案； ⊙
（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，证△ADE∽△CBE得DE•CE＝
AE•BE＝r2﹣OE2，由 ＝ 知∠AOC＝∠BOC＝90°，根据勾股定理知CE2＝OE2+r2、
BC2＝2r2，据此得BC2﹣CE2＝r2﹣OE2，从而得证；
（3）先求出BC＝4 、CE＝2 ，根据BC2﹣CE2＝CE•DE计算可得．
【解答】解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠⊙ABD＝90°，
∵PB是 O的切线，
∴∠ABP⊙＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠PBD；
（2）∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ＝ ，即DE•CE＝AE•BE，
如图，连接OC，
第17页（共22页）设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，
则DE•CE＝AE•BE＝（OA﹣OE）（OB+OE）＝r2﹣OE2，
∵ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴CE2＝OE2+OC2＝OE2+r2，BC2＝BO2+CO2＝2r2，
则BC2﹣CE2＝2r2﹣（OE2+r2）＝r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2＝DE•CE；
（3）∵OA＝4，
∴OB＝OC＝OA＝4，
∴BC＝ ＝4 ，
又∵E是半径OA的中点，
∴AE＝OE＝2，
则CE＝ ＝ ＝2 ，
∵BC2﹣CE2＝DE•CE，
∴（4 ）2﹣（2 ）2＝DE•2 ，
解得：DE＝ ．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角
定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、
C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
第18页（共22页）当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
①当∠AEF＝∠DBE时，求点F的坐标．
②
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再
利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；
（2） 过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可
求出直①线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可
得出S△BDF ＝﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F ，在y轴负半轴取ON′＝ON，连
1
②接EN′，射线EN′交抛物线于点 F ，则∠AEF ＝∠DBE、∠AEF ＝∠DBE，根据
2 1 2
EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF 的解析式，联立直线EF 、抛物线的解析式成
1 1
方程组，通过解方程组即可求出点F 的坐标，同理可求出点F 的坐标，此题得解．
1 2
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2） 过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．
设直线①BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将（3，0）、（1，4）代入y＝mx+n，
第19页（共22页），解得： ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF ＝ FM•（x
B
﹣x
D
）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，S△BDF 取最大值，最大值为1．
过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F ，在y轴负半轴取ON′＝ON，连
1
②接EN′，射线EN′交抛物线于点F ，如图2所示．
2
∵EF ∥BD，
1
∴∠AEF ＝∠DBE．
1
∵ON＝ON′，EO⊥NN′，
∴∠AEF ＝∠AEF ＝∠DBE．
2 1
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF 的解析式为y＝﹣2x+b ，
1 1
将E（1，0）代入y＝﹣2x+b ，
1
﹣2+b ＝0，解得：b ＝2，
1 1
∴直线EF 的解析式为y＝﹣2x+2．
1
联立直线EF 、抛物线解析式成方程组， ，
1
解得： ， （舍去），
∴点F 的坐标为（2﹣ ，2 ﹣2）．
1
当x＝0时，y＝﹣2x+2＝2，
∴点N的坐标为（0，2），
∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF 的解析式为y＝2x﹣2．
2
第20页（共22页）联立直线EF 、抛物线解析式成方程组， ，
2
解得： ， （舍去），
∴点F 的坐标为（﹣ ，﹣2 ﹣2）．
2
综上所述：当∠AEF＝∠DBE时，点F的坐标为（2﹣ ，2 ﹣2）或（﹣ ，﹣2
﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的
性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出
抛物线解析式；（2） 根据三角形的面积公式找出S△BDF ＝﹣x2+4x﹣3； 联立直线
与抛物线的解析式成方①程组，通过解方程组求出点F的坐标． ②
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日期：2019/12/12 20:59:05；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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