文档内容
2009年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（3分）若使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，求得x≥2．
故选：A．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性
质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：观察图形可知A、B、C都是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
第1页（共16页）故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直
线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
4．（3分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】根据k，b的符号确定一次函数y＝x+2的图象经过的象限．
【解答】解：∵k＝1＞0，图象过一三象限，b＝2＞0，图象过第二象限，
∴直线y＝x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．需注意x的系数为1．
5．（3分）估计 的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【分析】应先化简求值，再进行估算即可解决问题．
【解答】解：
＝ ，
的数值在1﹣2之间，
所以 的数值在3﹣4之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本
运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．（3分）从分别写有数字：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4的九张一样的卡片中，
任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值＜2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】在这九个数中，绝对值＜2有﹣1、0、1这三个数，所以它的概率为三分之一．
【解答】解：P（＜2）＝ ＝ ．
第2页（共16页）故选：B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
7．（3分）如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相
同的四边形 OABC 拼成的．测得 AB＝BC，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则
∠OAB的度数是（ ）
A．116° B．117° C．118° D．119°
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L3：多边形内角与外角．
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【分析】利用全等三角形和四边形的内角和即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝BC，OA＝OC，OB＝OB，
∴△AOB≌△COB，
∴∠OAB＝∠OCB＝（360﹣90﹣36）÷2＝117°．
故选：B．
【点评】主要考查了四边形的内角和以及全等三角形的性质和判断．四边形内角和是
360度．注意：垂直和直角总是联系在一起．
8．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这
个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的
实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝
0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，化简即可得到a与c的关
系．
第3页（共16页）【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
二、填空题（共⇔8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）分解因式：x2+3x＝ x （ x + 3 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
10．（3分）孔明同学买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元．那么他买铅笔
和练习本一共花了 （ 0. 4 m + 2 n ） 元．
【考点】32：列代数式．
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【分析】此题要根据题意直接列出代数式．铅笔m支，每支0.4元即0.4m元，练习本n
本，每本2元即2n元．
【解答】解：他买铅笔和练习本一共花了（0.4m+2n）元．
故答案为：（0.4m+2n）
【点评】此题要注意的问题是用多项式表示一个量的后面有单位时，这个多项式要带上
小括号．
11．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC＝32°，则∠CAB的度数是 12 2 度．
第4页（共16页）【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质．
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【分析】两直线平行，内错角相等，据此可求出∠DAB，又∠CAD为90°，所以可求出
∠CAB．
【解答】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°（垂直的定义）．
又∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠ADC＝32°，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝122°．
故答案为：122°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及垂直的定义，是一道较为简单的题目．
12．（3分）反比例函数图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是y＝ ．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （k≠0），即可
求得k的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．
由图象可知，函数经过点P（1，2），
∴2＝ ，
得k＝2．
∴反比例函数解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的
重点．
第5页（共16页）13．（3分）在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是：170，162，155，160，
168（单位：厘米），则这组数据的极差是 1 5 厘米．
【考点】W6：极差．
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【分析】根据极差的定义即可求得．
【解答】解：由题意可知，极差为170﹣155＝15（厘米）．
故答案为：15．
【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值
减去最小值．
注意：
极差的单位与原数据单位一致．
①如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就
②显得不准确．
14．（3分）如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP
（不能添加辅助线），你增加的条件是 BP ＝ DP 或 AB ＝ CD 或∠ A ＝∠ C 或∠ B ＝∠ D
．
【考点】KC：直角三角形全等的判定．
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【分析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，即一角一边，则我们增
加直角边、斜边或另一组角，利用SAS、HL、AAS判定其全等．
【解答】解：∵AC⊥BD于点P，AP＝CP，
又AB＝CD，
∴△ABP≌△CDP．
∴增加的条件是BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D．
故填BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查三角形全等的识别方法的开
放性题目，答案可有多种，注意要选择简单的，明显的添加．
15．（3分）如图，AC是 O的直径，CB与 O相切于点C，AB交 O于点D．已知∠B
＝51°，则∠DOC等于 ⊙ 7 8 度． ⊙ ⊙
第6页（共16页）【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
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【分析】根据切线的性质定理及三角形内角和可求得∠A的度数，再根据一条弧所对的
圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求解．
【解答】解：∵CB与 O相切于点C
∴AC⊥BC ⊙
∵∠B＝51°
∴∠A＝90°﹣∠B＝39°
∴∠COD＝2∠A＝78°．
【点评】综合运用了切线的性质定理以及圆周角定理．
16．（3分）孔明同学在解方程组 的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过
程没有出错，解得此方程组的解为 ，又已知直线y＝kx+b过点（3，1），则b的
正确值应该是 ﹣ 1 1 ．
【考点】98：解二元一次方程组；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】解本题时可将 和b＝6代入方程组，解出k的值．然后再把（3，1）代
入y＝kx+b中解出b的值．
【解答】解：依题意将 代入y＝kx+6
得：2＝﹣k+6，k＝4；
将点（3，1）和k＝4代入y＝kx+b
得1＝3×4+b，
∴b＝﹣11．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代
入一次函数中可解出b的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
三、解答题（共7小题，满分72分）
第7页（共16页）17．（10分）（1）计算：2﹣1+（ ﹣1）0+sin30°；
（2）先化简，再求值： ，其中x＝﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三
角函数值．
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【分析】（1）2﹣1＝0.5，（ ﹣1）0＝1，代入求值即可；
（2）最简公分母是x2﹣9，通分化简后把值代入即可．
【解答】解：（1）原式＝ ＝2；
（2）原式＝
＝
＝ ．
当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
【点评】有理数混合运算注意任何不等于0的数的0次幂为1，一个数的负指数幂等于
这个数的相应的正指数幂的倒数；异分母分式相加减，关键是确定最简公分母．
18．（10分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时
针方向旋转90°得到△OA B ．
1 1
（1）线段OA 的长是 6 ，∠AOB 的度数是 135 ° ；
1 1
（2）连接AA ，求证：四边形OAA B 是平行四边形；
1 1 1
（3）求四边形OAA B 的面积．
1 1
【考点】L6：平行四边形的判定；R2：旋转的性质．
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【分析】（1）图形在旋转过程中，边长和角的度数不变；
（2）可证明OA∥A B 且相等，即可证明四边形OAA B 是平行四边形；
1 1 1 1
（3）平行四边形的面积＝底×高＝OA×OA ．
1
第8页（共16页）【解答】（1）解：因为，∠OAB＝90°，OA＝AB，
所以，△OAB为等腰直角三角形，即∠AOB＝45°，
根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即OA ＝OA＝6，
1
对应角∠A OB ＝∠AOB＝45°，旋转角∠AOA ＝90°，
1 1 1
所以，∠AOB 的度数是90°+45°＝135°．
1
（2）证明：∵∠AOA ＝∠OA B ＝90°，
1 1 1
∴OA∥A B ，
1 1
又∵OA＝AB＝A B ，
1 1
∴四边形OAA B 是平行四边形．
1 1
（3）解： ▱OAA
1
B
1
的面积＝6×6＝36．
【点评】此题主要考查旋转的性质和平行四边形的判定以及面积的求法．
19．（10分）某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共 200人，
各类学生人数比例见扇形统计图．
（1）参加这次夏令营活动的初中生共有多少人？
（2）活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款．结果小学生每
人捐款5元，初中生每人捐款10元，高中生每人捐款15元，大学生每人捐款20元，问
平均每人捐款是多少元？
（3）在（2）的条件下，把每个学生的捐款数额（以元为单位）一一记录下来，则在这
组数据中，众数是多少？
【考点】VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W5：众数．
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【分析】（1）参加这次夏令营活动的初中生所占比例是：1﹣10%﹣20%﹣30%＝
40%，就可以求出人数．
第9页（共16页）（2）小学生、高中生和大学生的人数为 200×20%＝40，200×30%＝60，200×10%＝
20，根据平均数公式就可以求出平均数．
（3）因为初中生最多，所以众数为初中生捐款数．
【解答】解：（1）参加这次夏令营活动的初中生共有200×（1﹣10%﹣20%﹣30%）＝
80人；
（2）小学生、高中生和大学生的人数为 200×20%＝40，200×30%＝60，200×10%＝
20，
所以平均每人捐款＝ ＝11.5（元）；
（3）因为初中生最多，所以众数为10（元）．
【点评】本题为统计题，考查了扇形图、加权平均数和众数的含义．提高了学生的综合
应用能力，解题时要细心．
20．（10分）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼
物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸
可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分每份可得0.2元．
（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．
（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
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【分析】（1）1000份是界限，那就算出1000份时能赚多少钱，进行分析．
（2）关系式为：1000份的收入+超过1000份的收入≥140；1000份的收入+超过1000
份的收入≤200
【解答】解：（1）如果孔明同学卖出1000份报纸，则可获得：1000×0.1＝100元，没
有超过140元，从而不能达到目的；（注：其它说理正确、合理即可．）（3分）
（2）设孔明同学暑假期间卖出报纸x份，
由（1）可知x＞1000，依题意得： ，（7分）
解得：1200≤x≤1500．（9分）
答：孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1200～1500份之间．（10分）
第10页（共16页）【点评】（1）根据题意可计算出卖出1000份报纸所得的利润，与140相比较即可．
（2）根据孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱与卖出报纸的利润相比较，
列出不等式组即可．
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．
21．（10分）如图，点A、B、C是 O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB． ⊙
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．
【考点】JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理．
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【分析】（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB．
（2）利用勾股定理解直角三角形即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC．
∴∠BAC＝∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝ AB＝1．
又∵∠AOE＝30°，∠PEA＝90°，
∴∠OAE＝60°．
∴∠EAP＝ ∠OAE＝30°，
第11页（共16页）∴PE＝AE×tan30°＝1× ＝ ，
即PE的长是 ．
【点评】本题利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解
答，有一定的综合性．
22．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，tanB＝ ，点P在线段AB上运动，点Q、
R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的
面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所
示）．
（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，
那么，（12，36）表示当AP＝12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系．
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了．请根据上述对话，帮他们解
答这个问题．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP＝12时，矩形的面积为36，
可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB＝AP+BP即可求出
AB的长．
（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ
的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的
第12页（共16页）函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．
【解答】解：（1）当AP＝12时，AP•PQ＝36，
∴PQ＝3，
又在Rt△BPQ中，tanB＝ ，
∴
∴PB＝4．
∴AB＝16．
（2）若AP＝x，则PB＝16﹣x，PQ＝ （16﹣x），
∴y＝ （16﹣x）x，
整理得y＝﹣ （x﹣8）2+48．
∴当x＝8时，y最大值 ＝48．
【点评】本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路
求得相应的函数关系式是解题的关键．
23．（12分）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴
上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点
的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接
BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．
第13页（共16页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】方法一：
（1）AO＝AC﹣OC＝m﹣3，用线段的长度表示点A的坐标；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD＝OA，∴D
（0，m﹣3），又P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；
（3）设Q（x，x2﹣2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC
的长，而AC＝m，代入即可．
方法二：
（1）略．
（2）分别求出B、D参数坐标，并代入抛物线，求出参数及抛物线表达式．
（3）利用直线方程分别求出 E、F 的参数坐标，并求出点 C、A 坐标，代入 FC
（AC+EC），并求出其为定值．
（4）设Q点参数坐标，利用三角函数列出等式，并求出Q点坐标．
【解答】方法一：
（1）解：由B（3，m）可知OC＝3，BC＝m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝m，OA＝m﹣3，
∴点A的坐标是（3﹣m，0）．
（2）解：
∵∠ODA＝∠OAD＝45°
∴OD＝OA＝m﹣3，
则点D的坐标是（0，m﹣3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2，
得：
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
第14页（共16页）设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），
则QM＝CN＝（x﹣1）2，MC＝QN＝3﹣x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴
即 ，得EC＝2（x﹣1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴
即 ，得
又∵AC＝4
∴FC（AC+EC）＝ [4+2（x﹣1）]＝ （2x+2）＝ ×2×（x+1）＝8
即FC（AC+EC）为定值8．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）设Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），
设直线BQ：y＝kx+b，
∴l ：y＝（t+1）x+1﹣3t，
BQ
把y＝0代入y＝（t+1）x+1﹣3t，
∴x＝ ，即F（ ，0），
∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），
∴l ：y＝（t﹣1）x+1﹣t，
PQ
把x＝3代入，∴y＝2t﹣2，即E（3，2t﹣2），
∴FC（AC+EC）＝（ ﹣F ）（ ﹣A +E ﹣ ）＝（3﹣ ）（4+2t﹣2）＝8．
X X X X Y Y
∁ ∁ ∁
第15页（共16页）【点评】本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段
的长度，本题也可以先求直线PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的长．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/22 11:00:11；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
第16页（共16页）
