文档内容
2013年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
二、标题
1．一元一次方程2x＝4的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【考点】86：解一元一次方程．
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【分析】方程两边都除以2即可得解．
【解答】解：方程两边都除以2，系数化为1得，x＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程，是基础题．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x+x＝2x2 B．x3•x2＝x5 C．（x2）3＝x5 D．（2x）2＝2x2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可
求得答案．
【解答】解：A、x+x＝2x≠2x2，故A错误；
B、x3•x2＝x5，故B正确；
C、（x2）3＝x6≠x5，故C错误；
D、（2x）2＝4x2≠2x2，故D错误．
故选：B．
【点评】此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，
解题要注意细心．
3．孔明同学参加暑假军事训练的射击成绩如下表：
射击次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（环） 9 8 7 9 6
则孔明射击成绩的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】W4：中位数．
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【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：将数据从小到大排列为：6，7，8，9，9，
第1页（共18页）中位数为8．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中
位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是
（ ）
A． 正方体 B． 圆柱
C． 圆锥 D． 球
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形．分别写出四个几何体的俯视图即可
得到答案．
【解答】解：正方体的俯视图是正方形；圆柱体的俯视图是圆；圆锥体的俯视图是圆；
球的俯视图是圆．
故选：A．
【点评】本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都
应表现在三视图中．
5．如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是（ ）
第2页（共18页）A．炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上
B．醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上
C．株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上
D．株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上
【考点】D3：坐标确定位置．
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【分析】根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上正确，故本选项错误；
B、醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上正确，故本选项错误；
C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约40°的方向上，故本选项正确；
D、株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上正确，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了利用坐标确定位置，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念
并准确识图是解题的关键．
6．下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．
【解答】解：A、等边三角形有3条对称轴；
B、矩形有2条对称轴；
C、菱形有2条对称轴；
D、正方形有4条对称轴；
第3页（共18页）故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．
7．已知点A（1，y ）、B（2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数 的图象上，则
1 2 3
y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 1 2 3 2 1 3 3 2 1
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】分别把各点代入反比例函数y＝ 求出y 、y 、，y 的值，再比较出其大小即可．
1 2 3
【解答】解：∵点A（1，y ）、B（2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数 的图象
1 2 3
上，
∴y ＝ ＝6；y ＝ ＝3；y ＝ ＝﹣2，
1 2 3
∵6＞3＞﹣2，
∴y ＞y ＞y ．
1 2 3
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．二次函数y＝2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．±8 D．6
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点，△＝0，列式求出m的值，再根据对称轴在y
轴的左边求出m的取值范围，从而得解．
第4页（共18页）【解答】解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，
所以，△＝m2﹣4×2×8＝0，
解得m＝±8，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＜0，
∴m＞0，
∴m的值为8．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确
定出m是正数．
二、填空题（本题共2小题，每小题0分，共24分）
9．在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 一 象限．
【考点】D1：点的坐标．
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【分析】根据各象限的点的坐标特征解答．
【解答】解：点（1，2）位于第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解
决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第
三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
10．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按 60%、面试按40%计算加权平均数，作为
总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是 8 8 分．
【考点】W2：加权平均数．
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【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算
即可．
【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，
∴总成绩是（90×60%+85×40%）＝88分，
故答案为：88．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的
知识点是加权平均数．
四、标题
11．计算： ＝ 2 ．
第5页（共18页）【考点】6B：分式的加减法．
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【分析】分母不变，直接把分子相加即可．
【解答】解：原式＝ ＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
减．
12．如图，直线l ∥l ∥l ，点A、B、C分别在直线l 、l 、l 上．若∠1＝70°，∠2＝50°，
1 2 3 1 2 3
则∠ABC＝ 12 0 度．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出
∠4，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，∵l ∥l ∥l ，∠1＝70°，∠2＝50°，
1 2 3
∴∠3＝∠1＝70°，∠4＝∠2＝50°，
∴∠ABC＝∠3+∠4＝70°+50°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记
性质是解题的关键．
13．如图AB是 O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 48
度． ⊙
第6页（共18页）【考点】M2：垂径定理．
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【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC＝∠DOA即可求得
答案．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴OA＝OC ⊙
∵∠A＝42°
∴∠ACO＝∠A＝42°
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC＝90°﹣∠DCO＝90°﹣42°＝48°．
故答案为：48．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．
14．一元一次不等式组 的解集是 ＜ x ≤ 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：
∵解不等式 得：x＞ ，
①
解不等式 得：x≤1，
②
∴不等式组的解集为： ＜x≤1，
故答案为： ＜x≤1
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出
不等式组的解集．
15．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m＝ 6 ，n＝ 1 ．
第7页（共18页）【考点】51：因式分解的意义．
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【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应
相等即可．
【解答】解：∵（x+5）（x+n）＝x2+（n+5）x+5n，
∴x2+mx+5＝x2+（n+5）x+5n
∴ ，
∴ ，
故答案为：6，1．
【点评】本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
16．已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b的图象不经
过第四象限的概率是 ．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系；X6：列表法与树状图法．
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【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b不经
过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
﹣2 ﹣1 1 2
﹣2 （﹣1，﹣2） （1，﹣2） （2，﹣2）
﹣1 （﹣2，﹣1） （1，﹣1） （2，﹣1）
1 （﹣2，1） （﹣1，1） （2，1）
2 （﹣2，2） （﹣1，2） （1，2）
所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b不经过第四象限情况数有2种，
则P＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到的知识
点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、标题
17．（4分）计算： ．
第8页（共18页）【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】分别根据算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根
据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2+3﹣2×
＝5﹣1
＝4．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函
数值是解答此题的关键．
18．（4分）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣3），其中x＝3．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括
号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣1﹣x2+3x＝3x﹣1，
当x＝3时，原式＝9﹣1＝8．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号
法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．（6分）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察时间x
（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段
的解析式，再把x＝50代入进行计算即可得解．
第9页（共18页）【解答】解：（1）∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
答：该植物从观察时起，50天以后停止长高；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴ ，
解得 ．
所以，直线AC的解析式为y＝ x+6（0≤x≤50），
当x＝50时，y＝ ×50+6＝16cm．
答：直线AC所在线段的解析式为y＝ x+6（0≤x≤50），该植物最高长16cm．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知
自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
20．（6分）已知AB是 O的直径，直线BC与 O相切于点B，∠ABC的平分线BD交
O于点D，AD的延⊙长线交BC于点C． ⊙
⊙（1）求∠BAC的度数；
（2）求证：AD＝CD．
【考点】KW：等腰直角三角形；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
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【分析】（1）由AB是 O的直径，易证得∠ADB＝90°，又由∠ABC的平分线BD交
O于点D，易证得△⊙ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得
⊙∠BAC的度数；
第10页（共18页）（2）由AB＝CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD＝CD．
【解答】解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝CB，
∵直线BC与 O相切于点B，
∴∠ABC＝90⊙°，
∴∠BAC＝∠C＝45°；
（2）证明：∵AB＝CB，BD⊥AC，
∴AD＝CD．
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性
质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（6分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：
跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取
了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解
答下列问题．
第11页（共18页）（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 40% ，其所在扇形统计图中对应
的圆心角度数是 14 4 度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）利用100%减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人
数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可；
（2）根据频数＝总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人
数即可得到A部分的人数，再补全图形即可；
（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）100%﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
360°×40%＝144°；
（2）抽查的学生总人数：15÷30%＝50，
50﹣15﹣5﹣10＝20（人）．如图所示：
（3）1000×10%＝100（人）．
答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点
O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
第12页（共18页）（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；KO：含30
度角的直角三角形；KQ：勾股定理；L8：菱形的性质．
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【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO＝CO，对边平行可得AD∥BC，再利
用两直线平行，内错角相等可得∠OAE＝∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和
△COF全等；
（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO＝30°，然后求出∠AEF＝90°，然后求
出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，
∴OD＝ AD＝ ×2＝1，
第13页（共18页）∴AO＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝CF＝ × ＝ ，
∵菱形的边长为2，∠BAD＝60°，
∴高EF＝2× ＝ ，
在Rt△CEF中，CE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形 30°角所对的
直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF是直角三角形是解
题的关键，也是难点．
23．（8分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动
点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理；
S9：相似三角形的判定与性质．
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第14页（共18页）【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计
算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为
线段AP的中点，从而可以求出AP．
【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：PB＝ ，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣ ＝ ；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
第15页（共18页）综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为 或6．
【点评】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当
△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
24．（10分）已知抛物线C 的顶点为P（1，0），且过点（0， ）．将抛物线C 向下平
1 1
移h个单位（h＞0）得到抛物线C ．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、
2
C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
（1）求抛物线C 的解析式的一般形式；
1
（2）当m＝2时，求h的值；
（3）若抛物线 C 的对称轴与直线 AB 交于点 E，与抛物线 C 交于点 F．求证：
1 2
tan∠EDF﹣tan∠ECP＝ ．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）设抛物线C 的顶点式形式y＝a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，
1
）代入求出a的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用
抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐
标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C 的解析式，再把点A的坐
2
标代入求出h的值即可；
第16页（共18页）（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C 的解析式求出C的坐标，从而求出
1
CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物
线C 的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切
2
值等于对边比邻边列式整理即可得证．
【解答】（1）解：设抛物线C 的顶点式形式y＝a（x﹣1）2，（a≠0），
1
∵抛物线过点（0， ），
∴a（0﹣1）2＝ ，
解得a＝ ，
∴抛物线C 的解析式为y＝ （x﹣1）2，
1
一般形式为y＝ x2﹣ x+ ；
（2）解：当m＝2时，m2＝4，
∵BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标为4，
∴ （x﹣1）2＝4，
解得x ＝5，x ＝﹣3，
1 2
∴点B（﹣3，4），C（5，4），
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（﹣5，4），
设抛物线C 的解析式为y＝ （x﹣1）2﹣h，
2
则 （﹣5﹣1）2﹣h＝4，
解得h＝5；
（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，
∴点B、C的纵坐标为m2，
第17页（共18页）∴ （x﹣1）2＝m2，
解得x ＝1+2m，x ＝1﹣2m，
1 2
∴点C的坐标为（1+2m，m2），
又∵抛物线C 的对称轴为直线x＝1，
1
∴CE＝1+2m﹣1＝2m，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），
∴AE＝ED＝1﹣（﹣1﹣2m）＝2+2m，
设抛物线C 的解析式为y＝ （x﹣1）2﹣h，
2
则 （﹣1﹣2m﹣1）2﹣h＝m2，
解得h＝2m+1，
∴EF＝h+m2＝m2+2m+1，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP＝ ．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函
数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正
切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．
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日期：2019/12/22 11:00:32；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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