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2024 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C D D B A B D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
2a+1
11．
a2−1
12．b＞1
1
13． ．
3
14．20，15．
3
15． ．
2
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
16．（6分）计算：|−2√3|+(4−π) 0−√12−(−1) 2023−( ) −2．
2
1
【解答】解：|−2√3|+(4−π) 0−√12−(−1) 2023−( ) −2
2
=2√3+1−2√3−(−1)−4
＝﹣2． …………………… 6分
17．（6分）【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE⊥BD，BF⊥AC，在Rt△ADE与Rt△BCF中，
{AD=BC
，
DE=CF
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），…………………… 3分
∴∠ADE＝∠BCF＝∠DAO
∴DO＝AO，
由平行边形的性质可得，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．…………………… 6分
18．（6分）
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
9600 7200
由题意得： − =5，…………………… 2分
1.2x x
解得：x＝160，…………………… 3分
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，…………………… 4分
∴1.2x＝1.2×160＝192，…………………… 5分
答：A款套装的单价是192元，B款套装的单价是160元．…………………… 6分
19．（8分）
【解答】解：（1）：a＝ 93 ，b＝ 99 ，m＝ 100 ； ……………………
3分（每空1分）
1 1
（2）200× +230× =43（名），
10 10
估计此次比赛成绩在A组的队员共有43名； …………………… 6分
（3）乙队成绩好．
因为乙对的众数远远高于甲队． …………………… 8分4
20．（8分）【解答】解：∵（1）∵点A（a，2）在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴2= ．
a
∴a＝2．
∴A（2，2）．
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2．
∵AC＝2BC，
∴BC＝1．
∴B（﹣1，2）．
k k
∴把点B坐标代入y= 得2= ．
x −1
∴k＝﹣2．
2
∴该反比例函数的解析式为y=− ． …………………… 3分
x
−2
（2）设D(n， )．
n
∵A（2，2），点E为AD的中点，
n+2 n−1
∴E( ， )．
2 n
∵点E在y轴上，
n+2
∴ =0．
n
∴n＝﹣2．
3
∴D（﹣2，1），E(0， )．
2
3
∴OE= ．
2
1 3 1 3
∴S = OE⋅|x |= ，S = OE⋅|x |= ．
△OEA 2 A 2 △OED 2 D 2
∴S△OAD ＝S△OEA +S△OED ＝3．
∴△OAD的面积为3． …………………… 8分21．（8分）
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAD，
∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AF∥OC，
∵AF⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为半径，
∴直线l是 O的切线； …………………… 8分
（2）解：如⊙图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD＝90°
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠FAC＝∠CAD＝30°，
在Rt△ACF中，∠FAC＝30°，AF=4√3，1
∴FC= AC，
2
设FC＝x，则AC＝2x， ，
(2x) 2−x2=(4√3) 2
解得：x＝4，
∴CF＝4．
在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，
4 8√3
OC= =
得 √3 3 ．
2
16√3
在Rt△CEO中，OE= ．
3
1 60π⋅OC2 32√3 32π 96√3−32π
∴ S =S −S = OE⋅CG− = − = ．
阴影 △CEO 扇 形CO2D 360 3 9 9
…………………… 8分
22．（10分
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
{7k+b=4300
，
8k+b=4200
{k=−100
解得： ，
b=5000
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000； ……………………3分
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为 28 元时，销售这种板栗日获利 w 最大，最大利润为 48400 元；
……………………6分
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，∴x ＝20，x ＝36，
1 2
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元． …………………… 10分
23．（11分）
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝ ＝30°，
∴∠ACD＝120°， α
∵CA＝CB＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∵H是AD的中点，
∴CH垂直平分AD，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
在△BCD中，CB＝CD，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝∠CBD＝75°，
∴∠EDA＝∠CDB﹣∠CDA＝75°﹣30°＝45°＝∠EAD，
∴∠AED＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形； …………………… 3分
（2）解：EA+EB=√2EC，理由如下： …………………… 4分
如图2.1，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ECF﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠ECB，即∠BCF＝∠ACE，
在四边形ACBE中，∠AEB＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠EBC＝360°﹣∠AEB﹣∠ACB＝180°，∵∠FBC+∠EBC＝180°，
∴∠FBC＝∠EAC，
在△FBC和△EAC中，
∠FBC＝∠EAC
BC＝AC
∠BCF＝∠ACE
∴△FBC≌△EAC（ASA），
∴BF＝AE，CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=√2EC；
∵EF＝EB+BF＝EB+EA，
∴EB+EA=√2EC； …………………… 7分
（3）EC＝2√2或√2．…………………… 11分（写出一个答案得2分）
1
24．（12分）如图1，二次函数y= x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣4，0）和点
2
B，与y轴相交于点C．
（1）①b＝ ，②顶点D的坐标为 ；
（2）如图2，抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E
重合），连接PC，作PQ⊥PC交x轴于点Q（k，0），求k的取值范围；
（3）如图3，连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且∠DMN
＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求点M的坐标．
9
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ： ① b ＝ 1 ， ② 顶 点 D 的 坐 标 为 (−1，− ) ；
2…………………… 4分（每空2分）
1
（2）把x＝0代入y= x2+x−4，
2
得y＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
由点P在线段DE上，设点P的坐标为（﹣1，a），
9
则− ≤a＜0，
2
∵Q（k，0），C（0，﹣4），
∴PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6，
∵PQ⊥PC，
∴∠QPC＝90°，
在Rt△QPC中，CQ2＝PQ2+CP2，
∴k2+16＝（k+1）2+a2+1+（a+4）2，
整理得k＝﹣（a+2）2+3，
9
∵− ≤a＜0，
2
9 13
∴当a＝﹣2时，k取得最大值3；当a=− 时，k取得最小值− ，
2 4
13
∴− ≤k≤3； …………………… 8分
4
（3）由抛物线对称性可得，∠DBA＝∠DAB，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠DMN＝∠DBA＝∠DAB，
1
把y＝0代入y= x2+x−4，
2
解得x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵点M在线段AB上（含端点），
∴﹣4≤m≤2，
①若DN＝DM，则∠DMN＝∠DNM，∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DNM，
得点N与点A重合，则点M与点B重合，
∴点M的坐标为（2，0）；
②若DN＝MN，则∠DMN＝∠NDM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠NDM＝∠DAB，
∴AM＝DM，
√ 9
即m+4= (m+1) 2+( ) 2，
2
7
解得m= ，
8
7
∴点M的坐标为( ，0)；
8
③若MN＝MD，则∠MND＝∠MDN，
∵∠AMD是△BDM的外角，
∴∠AMN+∠DMN＝∠BDM+∠DBA，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠AMN＝∠BDM，
∵MN＝MD，∠MAN＝∠DBM，
∴△AMN≌△BDM（AAS），
∴AM＝BD，
3√13
∴m+4= ，
2
3√13−8
解得m= ，
2
3√13−8
∴点M的坐标为( ，0)；
2
7
综上所述，若△DMN 是等腰三角形，则点 M 的坐标为（2，0），( ，0)，
8
3√13−8
( ，0)．
2
