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2024 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D A B D D C C D A
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．：x≠﹣1．
12．1＜x≤ ．
13．甲．
14． π．
15．①③④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）解：（1）
＝3﹣1+
＝ ；·········5分
（2）
＝ ÷
＝ •
＝x+2．·········10分
17．（9分）解：（1）a＝8，b＝5，c＝90．d＝82.5．·········4分（2）600× ＝150（人）．
答：估计甲小区成绩大于90分的人数是150人．·········6分
（3）根据（1）中数据，甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由是：甲小
区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．·········9分
18．（9分）（1）解：∵函数y＝ （x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m＝4，
∴y＝ ，·········2分
（2）设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a， ），D点的坐标为（0，
），E点的坐标为（1， ），
∵a＞1，
∴DB＝a，AE＝4﹣ ．
∵△ABD的面积为4，
∴ a（4﹣ ）＝4，
解得a＝3，
∴点B的坐标为（3， ）；·········6分
（3）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE＝1，
∵a＞1，
∴EC＝ ，BE＝a﹣1，∴ ＝a﹣1， ＝a﹣1．
∴ ，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴DC∥AB；·········9分
19．（9分）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，·········1分
·········2分
由题意得：AC＝200米，∠BAC＝90°+15°＝105°，∠C＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，·········4分
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴AD＝ AC＝100（米），·········6分
在Rt△ABD中，AB＝ ＝ ＝100 ≈141（米），
∴A、B之间的距离约为141米．·········9分
20．（9分）解：（1）设今年7月份该品牌A型号空调的销售单价为x元，则去年7月份
该品牌A型号空调的销售单价为（x﹣400）元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意，·········3分
答：今年7月份该品牌A型号空调的销售单价为2000元．·········4分（2）设购进A型号空调m台，则购进B型号空调（400﹣m）台，
依题意得：400﹣m≤2m，
解得：m≥ ．
设购进的这批空调全部售出后获得的利润为 w 元，则 w＝（2000﹣1100）m+（2400﹣
1400）（400﹣m）＝﹣100m+400000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥ ，且m为正整数，
∴当m＝134时，w取得最大值，此时400﹣m＝400﹣134＝266．
答：当购进A型号空调134台，B型号空调266台时，才能使这批空调获利最多．··9分
21．（9分）（1）证明：连接OE，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵CD⊥DE，
∴OE∥CD，
∴∠ABC＝∠BOE．
∵∠BOE＝2∠A，
∴∠ABC＝2∠A；·········4分
（2）解：连接BE，
∵⊙O半径为 ，AB：BD＝5：1，
∴AB＝2 ，BD＝ ．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D＝90°．
∵OE⊥ED，
∴∠OEB+∠BED＝90°．
∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE+∠BED＝90°．
∵∠OBE+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BED，
∴△ABE∽△EBD，
∴ ，
∴BE2＝AB•BD＝2 × ＝4，
∵BE＞0，
∴BE＝2．
∴AE＝ ＝ ＝4．·········9分
22．（10分）解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝4，
解得：a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为 ；·········3分
（2）如图：对于 ，当x＝0时，y＝4，则点C（0，4），
∵B（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
设 ，则Q（x，﹣x+4），
∴ ≤2，
当x＝2时，PQ的最大值是2；·········6分
（3）抛物线 向上平移m个单位后解析式为 ，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为 ，
①当抛物线顶点落在MN上时，则 ，
解得 ．
②当抛物线经过点M（﹣2，8）时， ，
解得m＝8；
当抛物线经过点N（3，8）时， ，
解得 ，∴ 时，满足题意．
综上所述， 或 ．·········10分
23．（10分）解：（1）菱形；·········2分
（2）四边形ACGC′是正方形，证明如下：
在图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°
在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'＝90°，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC'＝90°，
由旋转知，AC＝AC'，
∵点F是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF＝C'F，
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，
∵AG⊥CC'，
∴▱ACGC'是菱形，
又∵∠CAC'＝90°，
∴菱形ACGC'是正方形；·········6分
（3）在Rt△ABC中，AB＝2cm，AC＝4cm，
∴AC'＝AC＝4cm，
∴AD＝BC＝ ＝2 （cm），sin∠ACB＝ ＝ ，
∴∠ACB＝30°，
由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，
在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，∴BH＝BC•sin30°＝2 × ＝ （cm），
∴C'H＝BC'﹣BH＝（4﹣ ）cm，
在Rt△ABH中，AH＝ AB＝2（cm），
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣1＝3（cm），
在Rt△CHC'中，tan∠C′CH＝ ＝ ．·········10分
